- 111 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/01(水) 09:24:13 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
α を X から複素数体 C への写像で、X の任意のコンパクト部分集合 K
に対して (Σ|α(x)|, x ∈ K) ＜ +∞ とする。
μ を α から定まる原子的な複素Radon測度(>>110)とする。
任意の x ∈ X に対して μ({x}) = α(x) である。
よって、α は μ により一意に定まる。
証明
α = α_1 - α_2 + i(α_3 - α_4) と書ける。
ここで、α_1, α_2, α_3, α_4 は正値関数である。
よって、α ≧ 0 と仮定してよい。
δ_x を x における Dirac 測度(過去スレ009の708)とする。
(α(x) δ_x), x ∈ X は総和可能族(過去スレ011の81)であり、
μ = Σ α(x) δ_x である。
過去スレ011の88より、∫^e χ_{x} dμ = Σ∫^e χ_{x} d(α(x) δ_x)
である。
χ_{x} はσ-有限であるから過去スレ011の472より、
∫ χ_{x} dμ = Σ∫ χ_{x} d(α(x) δ_x)
この右辺は、Σα(x) である。
証明終
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