不等式への招待 第４章

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:23:43 ] >>345 >>346 複素数まで広げちゃうと不等式にそぐわなくないかい？ 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:35:00 ] >>348 そりゃ複素数に不等号（大小関係）は無いが、>>332や>>338のような奴がいるからなｗ そういうアホな突っ込みをする前に、函数論を勉強してから来いと 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:37:50 ] >>348 負の実数の1/3乗の主値を、負の実数と決めれば >>323に関しては問題ないだろ。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:38:31 ] >>336 > aが負なら(n)√aは負の実数値 a=-1， n=2 のとき√-1は負の実数値なのですかｗ ゆとりの影響は恐ろしいなｗ 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:39:19 ] >>351 nが奇数のとき の文字が見えんのか 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 10:10:03 ] 本当にゆとりの影響は恐ろしいな 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 11:28:14 ] >>350 それでも>>331の問題が解決できぬ 355 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 11:43:54 ] ゆとり不等式 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 14:22:00 ] >>354 あ゛ーもうどいつもこいつもお塩も法子も．．． (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2 が (-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1 と同じ暴論だということもわからんのか。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 15:42:54 ] お塩と法子ｗｗ 358 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 16:20:53 ] 単純打率　ヒットの本数だけで判断した稚拙な計算による打率　→　イチロー 実質打率　内野安打・ポテンヒット等の凡打を省いた打率（２塁への進塁打は安打に含む）　　　　→　松井 正当打率　偶然ではなく実力で打ったヒットによる打率　　　　　　→　松井 貢献打率　勝利のためのチームバッティングを評価する打率　　→　松井 名門打率　所属チームの強さ・格式に準拠される打率　　　　　　→　松井 強敵打率　雑魚相手にヒットを稼ぐ不正を許さない打率　　　　　 →　松井 健康打率　健康体であるという条件下の元で算出した打率　　　 →　松井 芸術打率　フォーム・弾道の美しさを最大限評価する打率　　　　→　松井 人格打率　選手の人間性を加味した上で導き出す打率　　　　　 →　松井 大局打率　現状の成績に惑わされず大局を見抜いた打率　　　　→　松井 謙虚打率　強欲にヒットを欲しがろうとしない控えめな打率　　　　→　松井 精髄打率　ヒットの量ではなく本質を見つめ直した打率　　　　　　→　松井 社会打率　１人目立とうとして周りの空気を悪くしない打率　　　　→　松井 来年打率　今年は忘れ来期に目を向けた将来性重視の打率　　→　松井 玄人打率　野球に詳しい理系の人間だけが知る真実の打率　　 →　松井 主観打率　数字に依存しない独自の視点から優劣を決める打率 →　松井 実績打率 過去の成績を考慮に入れた打率→ 松井 怪我考慮打率 怪我をしていてもチームの為に痛みを我慢して打席に立つ男気溢れる打率→ 松井 スタベン打率 チームの為なら調子の悪い時はスタベンでも構わないという人情味溢れる打率→ 松井 チームリーダー打率 リーダーとしてチームメイトの悩みを聞いたり、アドバイスしたりする打率→ 松井 トレード打率 トレードされるかもしれないというとてつもない不安感の中での打率→ 松井 焼肉打率　　　焼肉記者の機嫌を取りながら稼ぐ打率　　　　　　　　→松井 仮に四番打率→ もし四番で起用されていたらと仮定した場合の打率 →松井 立場逆転打率 イチローと松井の立場が逆ならばと仮定した場合の打率→ 松井 常識打率　普通に考えたらどっちが上かわかりそうな打率　　　　→　松井 撃破打率 　ヒットや三振などに囚われず、相手投手にダメージ、動揺を与えた打率→ 松井 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 16:25:50 ] www4.himitsukichi.info/up/occult/1221405706/1221405706.jpg コイツも覚せい剤やってそう 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 17:45:25 ] >>323 3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、 {(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合 a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、 abc>0として大丈夫だろう。 で、自信はないが a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27 a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)=1/(b+c) k+3=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) よって(k+3)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b) (a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c) =1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-1/27 (a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca+1 k=(ab+bc+ca+1)/(ab+bc+ca-1/27)-3=(28/27)/(ab+bc+ca-1/27)-2 ab+bc+ca={(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}/2=(1-a^2-b^2-c^2)/2であり、 (a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2からab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3 k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2 361 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 19:32:01 ] ＞a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、 ＞abc>0として大丈夫だろう。 Why ? 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 19:33:58 ] whyもなにも書いてある通りだろ 363 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 19:36:18 ] >>361 abcが負のとき、-a,-b,-cを新たにa,b,cとすればabc>0 でも、これでも{(-1)^3}^(1/3)がでてきて、 解決にはなってないような気がすると思い始めてきた 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 19:48:36 ] (abc)^(1/3)は或る実数 r か rω か rω^2 なんだから そのうち r を表す場合以外は解無しだと思う 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 20:05:47 ] 夏だからなのか？そうなのか？そうなんだな？ 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 20:30:35 ] >>356 どの辺が暴論？ 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 20:43:29 ] a,b,cを実数とするとき r^3 = abc を満たす実数 r(a,b,c) は唯一つ存在する。 実数a,b,cが(a+b+c)/3=r(a,b,c)≠0を満たすとき k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ これなら問題ないんだよね 368 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 22:46:25 ] 重大なミスを発見 > k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2 ab+bc+ca<1/27を考えてなかった。 k<-2または3/2≦kだな。 実際>>335のように a=8,b=c=-1のときk=-30/7 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:06:27 ] >>366 指数定理 　(a^m)^n=a^(mn) が成り立つのは、 「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの どちらかの条件を満たす場合である。 だから (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6)や (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2)は 成立しない。それだけのこと。 370 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 23:12:10 ] 頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、 また間違いに気付いたorz 十分性に欠けることには気づいてたんだが… ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは t^3-t^2+pt-1/27=0の解 判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より p=1/3またはp≦-5/12 したがってk=3/2または-30/7≦k<-2 首吊ってくる 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:14:25 ] >>369の修正 誤：指数定理 正：指数法則 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:27:34 ] >>369 知らなかった… 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:28:24 ] >>349 >>369を見ても>>332がおかしいと思う？ 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:35:39 ] 　>>326　→　>>331 →>>332　→　>>334 良く見ろ しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:42:56 ] >>369 だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが まあ，この矛盾を避けるために [1] (負）^(1/3) の定義を許さない [2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない の両者の立場の違いなのかとも思うが， 一般的には前者なのではないか？ もっとも，複素関数論のように多寡であることを認めるのであれば 事情は全く異なるのは確か 376 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 08:26:18 ] p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ： ∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p). 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:29:27 ] >>374 本当だよ。 複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ はっきり言って、受験生は板違いだから。 このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20) ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験] 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:49:48 ] >>369 嘘つくなボケ！ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:51:46 ] オイラーの公式をしらんのか？ e^{πi}=-1 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 01:53:40 ] >>302 (下) 　√{(k-1)(k+1)} = √(k^2 -1) < k, を使う。 　99!!/100!! = {3/(2√4)}{5/√(4･6)}{7/√(6･8)}･･････{99/√(98･100)}{1/√(100)} 　　　> {3/(2√4)}{1/√(100)} 　　　= (3/4)(1/10) 　　　= 3/40 　　　= 1/13.3333333･･･ 　99!!/100!! = {9!!(√11)/10!!}{√(11･13)/12}{√(13･15)/14}･･････{√(97･99)/98}{(√99)/100} 　 　　　< {9!!(√11)/10!!}{(√99)/10} 　　　= (9!!*11*3)/(10!!*10) 　　　= 31185/384000 　　　= 1/12.3136123･･･ 381 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 02:14:11 ] >>40 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 03:09:31 ] >>381 a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac より abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac　……�@ ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので�@≦0 よってabx+bcy+caz≦0 383 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/11(火) 21:09:17 ] kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 01:41:55 ] Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k より明らか 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 13:26:47 ] >>383,>>384 r≠0,nか? ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。 Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。 (できればζ(2)=π^2/6を用いないで) 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 15:15:56 ] >>385 ζ(3)-1<�納n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4 ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2 より Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 18:15:09 ] >>315 コーシーより 　(左辺)^2 ≦ {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･{sin(mA)^2 + sin(mB)^2 + sin(mC)^2} 　　　　= {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･f(mA,mB,mC) 　　　　≦ (1/3)(p^2 + q^2 + r^2)^2･f(mA,mB,mC), となるので、 f(mA,mB,mC) ≦ 4/9 を示せばよいが･･･ ※　(p^2 + q^2 + r^2)^2 - 3{(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2} 　　= (1/2)(p^2 -q^2)^2 + (1/2)(q^2 r^2) + (1/2)(r^2 -p^2) ≧0, 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 18:24:14 ] >>315 〔補題〕 A+B+C=π、mは整数のとき 　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４, (略証) m=0 のときは明らかだから m>0 とする。 左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を 　A' = mA - [mA/π]π, 　B' = mB - [mB/π]π, 　C' = mC - [mC/π]π, とおくと 　0 ≦ A',B',C' < π. 　A' + B' + C' = 0, π, 2π. しかし　右辺が0のとき A'=B'=C'=0 なので明らかに成立。 　 また　右辺が2πのときは　　　　　　{sin(π-x) = sin(x)} 　A' = π + [mA/π]π - mA, 　B' = π + [mB/π]π - mB, 　C' = π + [mC/π]π - mC, とおき直せば 　A' + B' + C' = π, 鈍角3角形(C'>90ﾟ)の場合は、C'を90ﾟに減らし、その分 A',B'を増やした方が明らかに大きい。 ∴　鋭角三角形と直角三角形を考えれば十分。 　(左辺) = {sin(A')}^2 + {sin(B')}^2 + {sin(C')}^2, 　= 1 -(1/2)cos(2A') -(1/2)cos(2B') + {sin(C')}^2 　= 2 + cos(C')cos(A'-B') + {sin(C')}^2　　　　　　{0≦cos(C'), cos(A'-B') ≦1} 　≦ 2 + cos(C') - {cos(C')}^2 　= 9/4 - {1/2 - cos(C')}^2 　≦ ９／４. 等号成立は A'=B' かつ C'=π/3,　すなわち A'=B'=C'=π/3 (正三角形)のとき。　 389 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 19:35:02 ] α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β の大小関係を答えよ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 17:44:53 ] >>387 (別解) A+B+C = π のとき 　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 　= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2 　= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2 　= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2 　= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2 　= 2 + (1/4)γ^2 - {(γ/2) + cos(mC)}^2 　≦ 2 + (1/4)γ^2, ただし、γ=(-1)^m･cos(m(A-B)), ぬるぽ 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 19:03:57 ] >>385 n≧2 のとき 　1/n ≦ 3/{2(n+1)}, ∴　Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]} 　= 1/{(n^2)(n-1)} 　≦ 3/{2(n-1)n(n+1)} 　= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}, よって 　ζ(s) -1 = Σ[n=2,∞) 1/(n^s) 　Σ[s=3,∞) {ζ(s)-1} = Σ[s=3,∞) Σ[n=2,∞) 1/(n^s) 　= Σ[n=2,∞) Σ[s=3,∞) 1/(n^s) 　≦ (3/4)Σ[n=2,∞) {1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))} 　= 3/8, 蛇足だが、 　ζ(3) - 1 = 0.20205690315732････ 　ζ(4) - 1 = (π^4)/90 - 1,　 　ζ(6) - 1 = (π^6)/945 - 1, 　････ を使うと 　(左辺) = 0.3550659331455･･･ < 3/8, 392 名前：385 mailto:sage [2009/08/13(木) 19:41:53 ] >>386,>>391 正解です。にしても評価粗すぎたなw 最初の想定では Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1} で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた) 考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz ついでに >(左辺)=0.3550659331455･･･ =2-(π^2)/6です 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 19:59:02 ] つまらん 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/14(金) 20:49:16 ] >>316 　 〔問題38〕 三角形の辺の長さの和をa,b,c, 頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、 　(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c), 等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による) 　 数セミ、Vol.48, No.9, 通巻576, p.54, Notes (2009/09) Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.38 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/14(金) 20:55:34 ] >>394 (左側) 　 角の二等分線は△の内部で交わるから、 　a = BC < BB" + C"C, 　b = CA < CC" + A"A, 　c = AB < AA" + B"B, 辺々たして2で割る。　 　 (右側) 　(a+b+c)/2 = s とおく。 �僊BC = �僊BA" + �僊CA" 　= (1/2)(b+c)AA" sin(A/2) 　= (1/2)(b+c)AA" √{(s-b)(s-c)/bc} 　≧ AA" √{(s-b)(s-c)},　　　　　　(相加相乗平均) ∴ ヘロンの公式から AA" ≦ �僊BC /√{(s-b)(s-c)} 　= √{s(s-a)} 　= (√3) √{(s/3)(s-a)} 　≦ (√3){(s/3)+(s-a)}/2　　　　　(相加相乗平均)　 　= (√3){(2/3)s -a/2}, 循環的にたすと 　AA" + BB" + CC" ≦ (√3)s, 等号成立は s-a = s-b = s-c = s/3, すなわち a=b=c. 　 Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.39 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 01:37:47 ] 　　∧＿∧ 　　( ;´∀｀)=3 ﾊｧﾊｧ… 　 人　Y　/ 　(　ヽ し 　（＿）＿） 397 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 02:35:00 ] 516:大学への名無しさん[] 2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」 って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？ そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 03:12:26 ] 褒美だ！ ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ、ｿﾚﾊ ﾎｳﾋ！ 　 くく　へﾍﾉ ←>>397 399 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 15:29:22 ] >>376は？ 400 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 18:16:10 ] x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。 2文字消去して定義域出して微分して解析、 という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。 誰かかっこよく頼む。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 19:30:08 ] >>400 x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また， x^3 + y^3 + z^3 = 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x) = 3s + 25 なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには， X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい． ３次方程式の判別式より D = 2112 - 148s - 27s^2 = -(s + 12)(27 s - 176) よって D ≧ 0 なる最小の s は s = -12． よって x^3 + y^3 + z^3 の最小値は 3×(-12) + 25 = -11 ３次方程式の判別式はアンチョコつかった． 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 19:30:26 ] そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い 403 名前：401 mailto:sage [2009/08/15(土) 19:32:29 ] 最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 20:23:11 ] >>401 アンチョコって？ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 20:34:54 ] >>404 覚えてないからメモを見たってことでしょ 406 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/16(日) 06:33:24 ] f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする (∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a)) 407 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/17(月) 02:02:15 ] >>400 n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15 x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7 よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9 t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと {t[n]}の漸化式が得られる. 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 05:15:05 ] >>400 x=kとおくと y+z=1-k また x(y+z)+yz=-8より k(1-k)+yz=-8 k(1-k)+y(1-k-y)=-8 y^2-(1-k)y-k(1-k)-8=0 yが実数解を持つには (1-k)^2+4k(1-k)+4･8≧0 -3≦k≦11/3 よって -3≦x,y,z≦11/3 x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) 　　　　　 =1+16=17 x^3+y^3+z^3=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz 　　　　　 =25+3xyz 　　　　　 =25-3x(xy+zx+8) 　　　　　 =25-3x{xy+(1-x-y)x+8} 　　　　　 =25-3x(x-x^2+8) 　　　　　 =3x^3-3x^2-24x+25 xの範囲より最小値-11最大値779/3 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 05:33:58 ] >>407はt[2]で早くも間違えてたので書き直そう >>400 n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=17 x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]-17-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz+25 よって求める最小値, 最大値は-11, 401/9 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 06:12:35 ] >>407>>409 y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 ここの論理って、どういう過程？ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:07:19 ] 易問にいつまで関わるん？ 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:19:27 ] >>410 xyz=kとするとkの値によってx,y and zの値が変わる(つまりxyzの値を何にとるかで3文字は，3!=6通り以下あるにせよ，決まる)． kを変えたときに3変数がどれも実数となるようなkの範囲を調べる． そうなるのはグラフ書いて考察して今回の場合は(y=t^3-t^2-8tの極小値)≦k≦(y=t^3-t^2-8tの極大値)． 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:19:36 ] >>411 いいから黙ってろ！ 屁かますぞ！ 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 18:14:00 ] なるほど。Thx 415 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/18(火) 13:50:42 ] かまして！ 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 01:35:11 ] ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ 　 くく　へﾍﾉ ←>>415 417 名前：清書屋 mailto:sage [2009/08/20(木) 23:03:27 ] >>400 x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと 　x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s,　　　　　･･･････ (1) だから、sの最大・最小を求めればよい。 　X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S ここに 　B = b - (1/3)a^2, 　S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3, 判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2, ∴　D ≧0 となる条件は 　-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2),　B<0, 　-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2), よって (1) から 　(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2), 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 02:41:25 ] 正の実数a,b.cについて Σcyc [{√(a+b)(a+c)}(√b+√c)] ≧ 3√{(a^3+b^3+c^3+5abc)/2} 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 03:07:09 ] 自分で解けくず 420 名前：宮川ダイスケ mailto:sage [2009/08/21(金) 09:10:35 ] なんもかんがえなくとも、 x,yを中心にかんがえ、 x+y=1-z xy+z(x+y)=xy+z(1-z)=-8よって、 x+y=p.xy=q,ｘｙを２つの解とした二次方程式の判別式＞０よりｚの範囲でる。 最後は、p^3-3pq=(1-z)^3-3(1-z) あと適当に、、、なんか不等式みてると眠くなる 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 22:24:15 ] >>417 　等号条件は 　左側 {x,y,z} = {(a/3)-2√(-B/3), (a/3)+√(-B/3), (a/3)+√(-B/3)}, 　右側 {x,y,z} = {(a/3)+2√(-B/3), (a/3)-√(-B/3), (a/3)-√(-B/3)}, 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 23:11:22 ] >>417　の一般解 　(X - a/3)^3 +B(X - a/3) = S, を 2(-B/3)^(3/2) で割ると 　4ξ^3 -3ξ = S/{2(-B/3)^(3/2)}, となる。ここに 　ξ = (X -a/3)/[2√(-B/3)], ところで右辺は、実根条件から 　D = 4(-B)^3 -27S^2 ≧ 0, 　-1 ≦ S/{2(-B/3)^(3/2)} ≦ 1,　(B<0), よって 　S/{2(-B/3)^(3/2)} = cos(σ),　0≦σ≦π を満たす σ がある。 　4ξ^3 - 3ξ = cos(σ), ∴　ξ = cos((σ-2π)/3), cos(σ/3), cos((σ+2π)/3), ∴　{x, y, z} = {(a/3)+2(√(-B/3))cos((σ-2π)/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos(σ/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos((σ+2π)/3)}, s を動かしても σ しか動かない。　　>>417 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 07:37:37 ] √ [ x ^ 2 + ( 1 - y ) ^ 2 ] + √ [ ( 1 - x ) ^ 2 + y ^ 2 ] の最小値を求む 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 08:32:45 ] べく 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 22:56:37 ] 普通に(1,0)と(0,1)からの距離を考えて√2 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 01:42:44 ] 複素係数の1変数代数方程式 z^m＋�納j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0 の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす． 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 18:56:29 ] >>423 軸を45ﾟ回す。 　x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2, 　(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2, よって 　√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|, 　√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|, 辺々たす。 　(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2, 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 19:24:27 ] >>418 y=√x は上に凸だから 　√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)}, 　√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)}, 　√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)}, よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと 　(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)} 　= 3√{2(st-u)} 　≦ 3√{2(st-u + F_1)} 　= 3√{2(s^3 -3st +8u)} 　= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)}, ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0, ジャマイカ? 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 19:36:42 ] >>427 　u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？ 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 21:20:44 ] >>426 の証明をお願いします 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/26(水) 00:05:45 ] >>426,430 Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと 　|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j) 　≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j) 　= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m}　　　　　　　　(|z|≠M) 　≦ {M/(|z|-M)}|z|^m, いま |z| > 2M と仮定すると、 　M/(|z|-M) < 1 となり、題意を満たさない。 ∴　題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M. 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:51:39 ] |z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 22:23:19 ] | x | < π / 2 のとき cosh x ≦ sec x 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 22:49:41 ] >>433 cosh x * cos x ≦ 1 微分して楽勝 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 01:29:26 ] 誰と戦ってるんだ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 01:56:12 ] >>435 見えざる敵 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 08:15:26 ] >>435 数学との戦い 438 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 08:36:45 ] x,y,z＞0のとき x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ． 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 11:14:31 ] 愚問 440 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/01(火) 11:50:02 ] そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、 大昔にどっかで見た事がありますよ。 コレを愚問っちゅうんだったらですね、 それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。 大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！ そやけんどそんな事は出来ひんやろ！ そやし、どないすんねん？ 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:09:34 ] >>438 相乗平均相加平均より xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz よって x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz =(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0 から題意の不等式を得る そんな愚問か？ 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:19:48 ] 途中の不等号逆じゃね？ 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:29:28 ] あーホントや 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 15:31:49 ] 444 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 16:40:10 ] >>433 　cosh(x) = (1/2){exp(x) + exp(-x)}, 　cos(x) = (1/2){exp(ix) + exp(-ix)}, 　cosh(x) * cos(x) = (1/4){exp((1+i)x) + exp((1-i)x) + exp(-1+i)x) + exp((-1-i)x)}, ところで 　exp(ax) = Σ[k=0,∞) {(a^k)/k!} x^k, であった。 　1±i = (√2)exp(±(π/4)i), 　-1干i = (-1)･{　〃　}, より 　(1+i)^k + (1-i)^k = 2^(k/2)*{exp((kπ/4)i) + exp(-(kπ/4)i)} = 2^(1 + k/2)･cos(kπ/4), 　(-1-i)^k + (-1+i)^k = (-1)^k･{　〃　}, 辺々たして 　(1+i)^k + (1-i)^k + (-1-i)^k + (-1+i)^k = {1+(-1)^k}･2^(1 + k/2)･cos(kπ/4), 　　= 4 * 2^(k/2) (-1)^(k/4)　　　{kが4の倍数 or 0 のとき} 　　= 0,　　　　　　　　　　　　　{その他} 　cosh(x) * cos(x) = Σ[j=0,∞) (-1)^j {(4^j)/(4j)!} x^(4j) 　　= 1 - (1/6)x^4 + (1/2520)x^8 - (1/7484400)x^12 + (1/81729648000)x^16･･････, 交代級数となるから 2項づつまとめて 　cosh(x) * cos(x) = 1 - (1/6){1 - (1/420)x^4}x^4 - (1/7484400){1 - (1/10920)x^4}x^12 - ･････ 　< 1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(|x|<π/2) 微分しなくても楽勝 微分方程式 y "" = -4y　の解 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 04:23:36 ] 0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき (a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 16:43:32 ] >>446 問題それであってるの？ （わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると 0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、 ） 最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、 448 名前：447 mailto:sage [2009/09/10(木) 16:48:44 ] あ、とちゅうで送信してしもうた。 ＝＝＝＝ bをx,qをyって書き換えると、 0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの (x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。 a,bを定数とまずみなすと、 xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる） だから、(x-y)^2+(a-p)^2 の最大値も分かる（そのときのa,pの値もわかる） あとは、a,pの計算。

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