- 1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 231 名前：228 mailto:sage [2009/07/21(火) 07:55:52 ]
- >>229
確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。
どう考えても結局同じ解答に至るということだね。
一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき，
{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β }
の最小元を探す問題は，同様に
|| f- ag - bh ||^2
を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 08:30:59 ]
- a,b,c＞0
abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 22:53:03 ]
- >>227
諦めろ！
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 00:24:18 ]
- >>231
{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/22(水) 05:43:21 ]
- 1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。
ただし2.71<e<2.72。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 21:12:15 ]
- ふと思った問題
↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>0
のとき
|↑x|を最大,最小にする↑xは何か
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 21:40:33 ]
- >>234
直交性から
∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,
>>235
与式をＩとおく。
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
から
[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1),
1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1,
1.43333････ < Ｉ < 1.49290････
>>236
最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|.
- 238 名前：235 [2009/07/22(水) 22:07:21 ]
- 用意していた解法
e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う
∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>1.4
∫[0,1]e^(x^2)dx
=e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx
≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx
=e-(1178/945)
<2.72-1.22
=1.5
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/23(木) 00:45:30 ]
- この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。
鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:45:00 ]
- 釣りは他所でやってね
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:50:41 ]
- >>239
中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける
確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、
知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。
それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に
欠けてるってのは考え難い。
東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。
金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、
素直に応援しようじゃないか。
そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:54:35 ]
- 釣りにマジレスすんなｗ
- 243 名前：241 mailto:sage [2009/07/23(木) 01:57:29 ]
- 3辺の長さがa,b,cの三角形がある。ただし、a≧b≧cである。
s=(a+b+c)/2とおく。
三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、
l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。
- 244 名前：241 mailto:sage [2009/07/23(木) 01:59:16 ]
- >>242
すまん、死んでお詫びを(AA略
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 04:41:11 ]
- 政権童貞 「一回やらせて」
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 05:30:30 ]
- 0 ﾟ < θ < 180 ﾟ において
cosθ = 12 / 13 のとき
n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ
を満たす整数nを求めよ （早稲田大）
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 09:32:50 ]
- カンでn=5
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 16:55:20 ]
- ここの問題を他所で自分が考えたように出題
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 22:19:35 ]
- >>246
cosθ = 12/13 より,
cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0,
sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4),
4θ -90ﾟ > 0 より
sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ),
|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ),
239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1),
0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ
22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ
n = 22
なお、 θ = 22.61986494804042617294901087668･･･
>>237 (中) 補足
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
左側: 逐次積分で
e^t -1 >0, (t>0)
e^t -t -1 >0,
e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0,
右側:
(e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2,
を e^t について解く。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 23:15:31 ]
- 自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )
e < 2.721
( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 17:00:01 ]
- myhome.personaldb.net/ideahitme/problem3.pdf
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 23:00:31 ]
- >>228の6x-2ってどっから出てきたんですか？
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/24(金) 23:10:16 ]
- >>252
∫[0,1]{f(x)-ax-b}^2dx を展開して，最小になるa,bを平方完成で見つける。
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 23:30:59 ]
- なぜ一次関数なんですか？
何について平方完成するんですか？
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/24(金) 23:43:44 ]
- >>250
(1)
(1/k!) < (1/k!){1 + 1/(k-1) -1/k} = (1/k!){k/(k-1) -1/k} = 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,4] 1/(k!) + Σ[k=5,∞) 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k)}
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + 1/(4!*4)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2)
0 ≦ (1 - 1/t)^2 = 1 + 1/(t^2) -2/t,
を t で積分すると
0 ≦ t - 1/t -2log(t), (t≧1)
ここで t = √(1+x) とおく。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 00:58:20 ]
- >>250
(1) k≧4 のとき
1/k! < (1/4!)(1/5)^(k-4),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,3] 1/(k!) + (1/4!)Σ[k=4,∞) (1/5)^(k-4)
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!)/(1 - 1/5)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2) sinh(z) > z, (z≧0)
に z = (1/2)log(1+x) を代入…
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 02:08:20 ]
- x > 1 のとき
( 1 + 4 x ^ 2 + x ^ 4 ) log x + ( 3 / 2 ) ( 1 - x ^ 4 ) > 0
0 ≦ x [ k ] ≦ π / 2
Σ [ k = 1 , n ] cos x [ k ] = 1
のとき
Σ [ k = 1 , n ] sin x [ k ] ≧ √ ( n - 1 )
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 04:55:02 ]
- >>257
(上)
f(y) = (1/2)log(y) + (3/2)(1-y^2)/(1+4y+y^2),
とおくと
f '(y) = (y-1)^4/{2y(1+4y+y^2)^2} ≧ 0,
y=x^2 >1 とおく。
(下)
0 ≦ x ≦ π/2 から
cos(x) ≧0, sin(x) ≧0,
cos(x) + sin(x) = √{1 + 2sin(x)cos(x)} ≧ 1,
から
∑[k=1,n] sin(x[k]) ≧ n-1,
- 259 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/25(土) 06:29:57 ]
- x>0のとき、(x^3+2)/xの最小値を求める問題で
(x^3+2)/x=(x^3+1+1)/x≧3√(x^3*1*1)/x=3x/x=3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
x^3+2=x^3+1+1≧3√(x^3*1*1)=3x⇔(x^3+2)/x≧3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
どうしてこの2つは駄目なんでしょうか？
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 07:50:38 ]
- 質問は他いけ
- 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 16:35:01 ]
- >>254
とりあえず計算してみ
>なぜ一次関数なんですか？
定数じゃムリなので1次関数
>何について平方完成するんですか？
計算すると∫[0,1]{f(x)}^2dx以外に a,b の2次式が出てくる
この2次式を -G(a,b) とでもおくと (わかりやすくマイナスにした)
∫[0,1]{f(x)}^2dx － G(a,b)
これが0以上なので ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ G(a,b)
>>226成立のためにはG(a,b)≧4であれば十分
試しにG(a,b)の最小値を求めてみるとa=6，b=-2となる
この際に平方完成する．具体的にはまずbについて平方完成→残りをaについて平方完成(逆も可)
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 21:24:26 ]
- >>259
別に間違ってないような・・・
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 00:57:10 ]
- >>259
x>0という条件があるので相加相乗平均の前提条件である非負はクリア
次に等号成立条件も定義域x>0に取れる
第2式の⇔変形もx>0なので問題ない
何も間違っていないと思うぜ
tinyurl.com/n2szo6
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 05:03:40 ]
- 周の長さが一定の正 n 角形の面積を S [ n ] とする
n < m のとき , S [ n ] < S [ m ]
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 06:31:24 ]
- 拾い
10 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198
ただし,対数の値は与えられていない
- 266 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/26(日) 11:57:06 ]
- もとは99^99は何桁かって問題だな。
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 12:42:54 ]
- 笑
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 14:46:04 ]
- >>265
受験板とマルチかつ解決済
namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/459-463n
namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/474n
答えて損した
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 14:55:45 ]
- >>265
99^99 < 100^99 = 10^198 は簡単
10log2 = log1024 > 3 より log2 > 0.3
7log3 + log5 = log10935 > 4 より
7log3 > 3 + log2 > 3.3 だから log3 > 0.47
また 4log7 = log2401 > log2400 = 2 + 3log2 + log3 なので
2log99 = log9801 > log9800 = 2 + log2 + 2log7 > 3 + (5/2)log2 + (1/2)log3
よって log99 > 3/2 + (5/4)log2 + (1/4)log3 > 1.9925
ゆえに 99log99 > 197.2575
- 270 名前：269 mailto:sage [2009/07/26(日) 14:57:46 ]
- >>268
私も書く前にリロードすべきだった
同じく書いて損した
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 16:25:48 ]
- ヒント：拾い
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 17:33:39 ]
- >>232
(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) ≧ 5/2,
等号成立は a = b = φ^2, c = 1/φ^4 etc. のとき {φ=(1+√5)/2=1.618034}
>>264
周の長さを L とおく。
一辺の長さは L/n,
中心から一辺を見る角は 2π/n,
中心と頂点の距離は L/{2n･sin(π/n)},
中心と辺の中点の距離は h = L/{2n･tan(π/n)},
S[n] = h*L/2 = (L^2){4n･tan(π/n)},
ところで tan(x)/x はxについて単調増加。
>>265
log((n-1)/n) = -log(n/(n-1)) = -log(1 + 1/(n-1)) > - 1/(n-1),
(n-1)･log((n-1)/n) > -1,
n = 100 とおくと
99*log(0.99) = -0.99498324949664267717133689829622 > -1
同じく 解いて損した。
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 18:16:10 ]
- はて？この流れだと ﾌﾟｷﾞｬｰのＡＡを張るのが
数学板のマナーかの？
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 18:38:59 ]
- >>265
10^197<99^99<10^198⇔1<(1+1/99)^99<10
f(x)=(1+1/x)^x,g(x)=(1+1/x)^(x+1) (x>0)とおく。
(x+1)/xと1に重み付き相加相乗平均を用いて(重みはそれぞれx,a)
f(x)は単調増加
x/(x+1)と1に重みx+1,aで同様に、g(x)は単調減少
1<2=f(1)<f(99)=(1+1/99)^99<(1+1/99)^100=g(99)<g(1)=4<10
損した
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 18:46:13 ]
- 損するのがブームらしい
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 19:18:45 ]
- 重み付き相加相乗平均がわからない。加重平均っぽい言葉だ。
- 277 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/26(日) 19:53:51 ]
- 自信作
π＾ｅ＜23を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 21:39:58 ]
- >>276
まとめWikiを見よう。
wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%A4%E8%A4%AF%BB%C8%A4%A6%C9%D4%C5%F9%BC%B0
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 23:16:14 ]
- >>278
ありがとうあいしてる
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 04:26:29 ]
- 実数全体で定義された実数値関数 f ( x ) は次の条件を満たす
1 + x ≦ f ( x )
f ( x ) f ( y ) ≦ f ( x + y )
このとき x < 0 において
0 < f ( x ) < 1
を満たすことを示せ
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 04:57:16 ]
- 最近は単なる受験問題スレでつまらん
驚きも何も無い
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 10:16:13 ]
- >>280
その条件があれば f(x)=e^x であると決まる。
ゆえに x<0 ⇒ 0<f(x)<1 は成り立つ。
blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/27(月) 18:36:49 ]
- >>277
示すべき不等式は、
f(23)-f(π)>1
と同値
ただし、
f(x)=ln(lnx)
この時、
f'(x)=1/(xlnx)>0(x>1)
より、
f(23)-f(π)≧1
ここで、
f(23)-f(π)=1
とすると、
e=ln(23-π)>ln19⇔ln(ln19)<1⇔ln19<1
一方、
ln19>lne=1
となるので不適である。
以上より示された。
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 19:04:21 ]
- >>283
ダメダメ
- 285 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/07/27(月) 19:25:34 ]
- 皆さんメチャメチャ辛抱強いなァ
頭が下がりまっせ！
- 286 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/27(月) 20:37:41 ]
- >>282
googleでどうやって検索したんですか？
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 23:54:17 ]
- 数式の終りにコンマ『,』をつける。
- 288 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/28(火) 14:11:11 ]
- 251きぼん
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 20:51:43 ]
- >>232
(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) > 2,
(略証)
例によって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左辺) = {1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)} + {ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a)}
= (s^2 +t)/(st-u) + (t^2 +su)/(st-u)
= 2 + {(s-t)^2 +t +(s+2)u}/(st-u)
≧ 2,
下限に近付くのは s=t → ∞ のとき。
例えば、(a,b,c) = (a,1,1/a)、 s=t = a + 1 + 1/a, u=1,
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:13:34 ]
- >>277
e = 2.7182818････ < 2 + (5/7) + (1/250), より
π^(1/250) = {1 + (π-1)}^(1/250) < 1 + (π-1)/250 < 1 +(2.5)/250 = 1.01,
π = 3.14159･･･ < 22/7 より
π^2 < (22/7)^2 = 484/49 < 4851/490 < 9.9,
∴ π^(2 + 1/250) < 10,
π^(5/7) < (22/7)^(5/7) = (16/7)^(5/7)*(11/8)^(5/7),
ところで
(11/8)^5 = 161051/(8^5) < 5*32764/(8^5) = 5 = 245/(7^2) < 256/(7^2) = (16/7)^2,
∴ π^(5/7) < 16/7,
∴ π^e < 160/7 = 23 - 1/7,
Yahoo!掲示板 数学カテ 数学･算数質問コーナー(制限板)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:19:13 ]
- 自信作
e＾π＞23 を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:26:21 ]
- >>291
それは東大の問題だょ
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:29:59 ]
- >>250
(3)e^(1 / 32) = 1.03174341･･･より題意は示された
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:53:45 ]
- x1,x2,...,xn>0とする
n変数k次基本対称式
Sk=Σx1x2...xk
とする。このとき、
(Sk/nCk)^(1/k)≧(S_{k+1}/nC{k+1})^(1/(k+1))
を示せ！
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/28(火) 22:12:39 ]
-
不等式！
-= ､､∧,,∧ どぞどぞ！
-=≡(｀･ω･) ＜＜
-= ／､_〇＝O≧≧≧
-=(_⌒)ﾆ∥_≦≦≦≦_
-(／し′∂ﾆ∂三∂ﾆ∂
- = ≡ グヮﾗ! ｶﾞﾗ ｶﾞﾗ!!
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 22:55:34 ]
- >>292
ちょっと違う
>1999年東大6番は、e^π>21 だな。
cheese.2ch.net/math/kako/972/972279847.html
e^π>2.71828^3.14159=(2.71828^3)*(2.71828^0.14159)
ここで e^x>1+x+(x^2)/2 より
2.71828^0.14159>1+0.14159+(0.14159^2)/2=1.15161386
これと 2.71828^3 = 20.0854964 を合わせて，
e^π>20.0854964*1.15161386=23.130736
ちなみにe^π = 23.1406926
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:26:09 ]
- >>294
過去に何度もでてたはず。
S[k]/C[n,k]=p[k]とおく。
補題.(p[k])^2≧p[k+1]p[k-1] (k=1,2,…,n-1)
等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n]
証明.nについての帰納法で示す。
(n-1)個の数x[1],x[2],…,x[n-1]のk次基本対称式をS'[k]とおき、
p'[k]=S'[k]/C[n-1,k]とおく。
k=1,2,…,n-2で(p'[k])^2≧p'[k+1]p'[k-1]、
等号成立がx[1]=x[2]=…=x[n-1]であると仮定する。
S[k]=S'[k]+a[n]S'[k-1]であるから、
p[k]={(n-k)p'[k]+kp'[k-1]} (k=1,2,…,n-1)
k=2,3,…,n-2のとき
(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]={X(a[n])^2+Y(a[n])+Z}/n^2
ただし、X=k^2(p'[k-1])^2-(k^2-1)p'[k]p'[k-2]≧(p'[k-1])^2
Y=(nk-k^2-n-1)p'[k]p'[k-1]-(n-k-1)(k-1)p'[k+1]p'[k-2]≧-2p'[k]p'[k-1]
Z=(n-r)^2(p'[k])^2-{(n-r)^2-1}p'[k+1]p'[k-1]≧(p'[k]^2)
ここで、(p'[k])^2(p[k-1])^2≧p'[k+1]p'[k-1]p'[k]p'[k-2]より
p'[k]p'[k-1]≧p'[k+1]p'[k-2]となることを用いた。
よって(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]≧(p'[k-1]a[n]-p'[k])^2/n^2≧0
左の等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n-1]であり、この条件のもとで
右の等号が成立するのはx[1]=x[2]=…=x[n-1]=x[n]のとき
k=1,n-1のときも同様にして証明できるので、題意は示された。
Π[i=1,k](p[k])^2k≧Π[i=1,k](p[k+1]p[k-1])^k,p[0]=1より
(p[k])^(k+1)≧(p[k+1])^k (k=1,2,…,n-1)
よって(p[k])^(1/k)≧(p[k+1])^{1/(k+1)}
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:26:29 ]
- >>295
ワロス
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:42:51 ]
- a_1，a_2，…，a_(2n+1)を次の性質（Ｐ）をみたす整数の集まりとする。
（Ｐ）：これらの整数のどの１つを除いても，残りの2n個の整数は，２つのn個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。
このとき， a_1＝a_2＝…＝a_(2n+1) を示せ。
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:51:58 ]
- 数オリ本選のパクリ乙
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/29(水) 03:23:08 ]
- 節子…それ、不等式やない、恒等式や
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 04:48:50 ]
- 凸5角形の5辺の長さの和を s [ 1 ] , 対角線の和を s [ 2 ] とする
s [ 1 ] < s [ 2 ] < 2 s [ 1 ]
1 / 15 < 99 !! / 100 !! < 1 / 12
- 303 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/29(水) 12:25:34 ]
- x>0,n≧0の時、(1+x)^n>1+nx
をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 12:27:31 ]
- 先生！n=0のときその不等式は成り立ちません！
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 13:46:53 ]
- 先生！n=1(ry
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 16:07:36 ]
- >>303
数日前に別スレで似たような問題があったな
マルチっぽいな
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 21:19:22 ]
- >>302 (上)
凸5角形をABCDE、対角線の交点を A',B',C',D',E' とおく。(対角線BD とCE の交点をA' とおく。)
CD < CA' + DA', CE < CD + DE,
循環的に加えると、
s[1] < s[2], s[2] < 2s[1],
>>303
x=0 のとき等号成立だから、xで割り切れる。(因数定理)
(左辺) - (右辺) = {(1+x)^n -1} -nx
= x{(1+x)^(n-1) + (1+x)^(n-2) + ･････ + (1+x)^1 +1 -n} (← 等比級数の和)
= x{(1+x)^(n-1) -1} + x{(1+x)^(n-2) -1} + ････････ + x{(1+x)^1 -1}
> 0,
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 22:15:26 ]
- >>303
a[1],a[2],…,a[n]を、-1以上の数で、かつ、a[k]≧0かa[k]≦0のいずれかが成り立つとする。
このときΠ[k=1,n](1+a[k])≧1+Σ[k=1,n]a[k]
等号成立は、a[k]≠0なるkが高々1個のとき
n=1は自明
(1+a[k])≧0から、Σ[k=1,n]a[k]<-1であれば明らか
以下、Σ[k=1,n]a[k]≧-1とする。
n=2のとき
(1+a[1])(1+a[2])=1+a[1]+a[2]+a[1]a[2]≧1+a[1]+a[2]
等号成立はa[1]=0またはa[2]=0
n=iの場合の成立を仮定して、n=i+1の場合を示す。
Π(k=1,i+1)(1+a[k])≧(1+Σ[k=1,i]a[k])(1+a[i+1])≧(1+Σ[k=1,i+1]a[k])
(∵a[k]≧0のときΣ[k=1,i]a[k]≧0
a[k]≦0のとき0≧Σ[k=1,i]a[k]≧Σ[k=1,i+1]a[k]≧-1)
左の等号成立条件はk=1,2,…,iでa[k]≠0なるkが高々1個であり、
右側の等号成立条件はΣ[k=1,i]a[k]=0またはa[i+1]=0であるから、
(最左辺)=(最右辺)となるのはa[k]≠0なるkが高々1個
(1+x)^n≧1+nxはa[k]=xの特別な場合
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/30(木) 03:48:58 ]
- 三角形の辺の和は,中線の和の4/3より大きくはない
組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす
それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば
SS'≦48
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 00:32:00 ]
- >>309 (下)
つ [前スレ.863-865,870]
S ≦ ((√3)/4) * abc,
S' ≦ ((√3)/4) /(abc),
を出す。
解1. [前スレ.865]
相乗･相加平均 と 上に凸から
{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(π/3) = (√3)/2,
解2. [前スレ.870]
s=(a+b+c)/2. s-a, s-b, s-c の基本対称式を s,t,u とおく。ヘロン公式から
S = √(su) = {s･(√su)･u}^(1/3) ≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) ≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) = (√3)/4･(abc)^(2/3),
- 311 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 01:38:26 ]
- ＞nは自然数とする
＞(sinx)^n+(cosx)^n
＞の最大値、最小値を求めよ
これって，nが偶数のとき
(sinx)^n≦(sinx)^2
(cosx)^n≦(cosx)^2
より
(sinx)^n+(cosx)^n ≦(sinx)^2+(cosx)^2=1
の考え方使えないかなー
- 312 名前：310 mailto:sage [2009/08/01(土) 07:03:19 ]
- 訂正
S ≦ ((√3)/4) * (abc)^(2/3),
S' ≦ ((√3)/4) / (abc)^(2/3),
より
SS' ≦ 3/16,
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 09:23:30 ]
- >>309 (上)
中線を AA', BB', CC' とおく。
△ABC の重心をGとおくと、初等幾何により
AG = (2/3)AA', BG = (2/3)BB', CG = (2/3)CC',
ところで
a = BC < BG + CG,
b = CA < CG + AG,
c = AB < AG + BG,
辺々たして
a+b+c < 2(AG+BG+CG) = (4/3)(AA'+BB'+CC').
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 17:54:30 ]
- >>309
これって、SS' < 1/4,でもいいとき、
n=min(a,b,c), d=mid(a,b,c), x=max(a,b,c),
とおく。
S = (1/2)nd･sin(?) ≦ (1/2)nd,
S' = {1/(2xd)}sin(?) ≦ 1/(2xd),
より
SS' ≦ n/(4x) ≦ 1/4,
の考え方使えないかなー
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 22:43:13 ]
- p,q,r≧0
A,B,C＞0,A+B+C=π
mは自然数
|pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2)
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/03(月) 07:36:25 ]
- >>309 (上)
〔類題〕
三角形の辺長をa,b,c 中線の長さを AA', BB', CC' とおくと
1 < (a+b+c)/(AA'+BB'+CC') < 4/3.
(略証)
・右側は >>313
・左側を示す。
B'A' = AC' = C'B = (1/2)AB = c/2,
C'B' = BA' = A'C = (1/2)BC = a/2,
A'C' = CB' = B'A = (1/2)CA = b/2,
より
AA' < AB' + B'A' = (c+b)/2,
BB' < BC' + C'B' = (a+c)/2,
CC' < CA' + A'C' = (b+a)/2,
辺々たすと
AA' + BB' + CC' < a+b+c,
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 03:39:24 ]
- このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]
- 318 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:46:11 ]
- >>315
過去スレ
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 20:40:44 ]
- F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dx
を示せ
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 00:39:44 ]
- [0,1]→[0,1] の意味は？
値域がって事？
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 07:33:59 ]
- わかるだｒ
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 10:20:05 ]
- >>319
過去スレ嫁
- 323 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 17:54:14 ]
- 拾ったものをいじった
実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 23:28:40 ]
- > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
ﾆﾔﾆﾔ…
- 325 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 23:40:01 ]
- ↑
なんでにやついているの？
- 326 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 00:26:45 ]
- ((-6)^3)^(1/3)って-6？
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:17:00 ]
- >>325
相加平均=相乗平均
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 03:20:02 ]
- a=-1,b=0,c=1の場合は？
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:21:20 ]
- >>328
≠0
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:23:20 ]
- >>327
適用条件
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:23:54 ]
- >>326
(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．
(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
と矛盾を起こしかねないから。
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