- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 19:42:04 ]
- >>526
e^x=log(x+a)⇔e^(e^x)-x=a
f(x)=e^(e^x)-xとおくと
f'(x)=e^(x+e^x)-1
よってf(x)はx+e^x=0の解αで極大値をとりその値f(α)がaに等しい
ここでx+e^x=0はただひとつの解をもち
-1/2+e^(-1/2)>0…(1)
-2/3+e^(-2/3)<0…(2)
なので-2/3<α<-1/2また
a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
a=e^(-α)-α
ここでe^(-x)-xは明らかに単調減少であり
2<e^(1/2)+1/2<e^(-α)-α<e^(2/3)+2/3<3 …(3)
(3)より2<a<3
(1)(2)(3)の証明はここでは省いた
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 20:25:34 ]
- 一応 >>528の(1)(2)(3)について
(1)の証明
2>√e より1/2<e^(-1/2)
(2)の証明
e*(2/3)^(3/2)>4√6/9>1より
(2/3)^(3/2)>1/e
2/3>e^(-2/3)
(3)の証明
(3/2)^2<eより3/2<e^(1/2)であるから
2<1/2+e^(1/2)
また
(7/3)^(3/2)>3>eより
e^(2/3)<7/3なので
2/3+e^(2/3)<3
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 22:37:08 ]
- >>528
W･exp(W) = c, c≧0,
の唯一の実根を W(c)と定義する。（Lambertの W-函数)
然らば、
α = -W(1),
ここに
W(1) = 0.56714329040978387299996866221036････
はオメガ定数。
∴ a = W(1) + 1/W(1) = 2.3303661247616805832251704391621 のとき
両曲線は (x,y) = (-W(1), W(1)) で接する。
mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
mathworld.wolfram.com/OmegaConstant.html
- 531 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/16(水) 22:57:56 ]
- 次の条件を満たす領域Ａの体積を求めよ。
☆領域Ａに含まれる任意の点Ｐはx軸、y軸、z軸までの距離がいずれもa(>0)以下。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 23:12:39 ]
- >>531
x^2+y^2≦a^2
y^2+z^2≦a^2
z^2+x^2≦a^2
で結局垂直三円柱の共通部分になる
んじゃね？
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 23:34:06 ]
- >>528のf(α)は極小値だった
- 534 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/16(水) 23:53:49 ]
- >>532
です．
さすがに簡単すぎですかw
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 00:40:19 ]
- >>534
2004年名市大に同一問題
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 10:08:38 ]
- >>528
>a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
>a=e^(-α)-α
a=e^(e^α)-α=e^(-α)-α=-1/α-α
までやればもっと楽だと思う
αの範囲も-1<α<-1/2まで絞るだけでいいし
- 537 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/17(木) 14:05:54 ]
- 全ての自然数nに対して,|a[n]|<1ならば
lim[n→∞]a[1]a[2]…a[n]＝0
であるといえるか。
いえるなら証明し、いえないなら反例をあげよ。
- 538 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/17(木) 14:07:03 ]
- ↑「対して」の後の「,」は不要でした。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 14:21:01 ]
- >>537
いえない
反例
a_n=(1/2)^{(1/2)^(n-1)}
のとき
積の極限は1/4
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 14:30:19 ]
- >>537
全ての自然数nに対してb_n<0ならば
Σ[1,∞]b_n=-∞は常に成り立つか？
って問題と同値
成り立つ訳ない
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 22:24:08 ]
- >>537
家ない。
判例
a[k] = {(k+1)/k}{(k-1+α)/(k+α)},
のとき
a[1]a[2]……a[n] = (n+1){α/(n+α)} → α, (n→∞)
- 542 名前：541 mailto:sage [2009/09/17(木) 22:35:14 ]
- >>537
a[k] = 1 - (1-α)/{k(k+α)} < 1,
-1/3 < α < 1 より
|a[k]| < 1,
- 543 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 01:37:32 ]
- f(x)=x^n/e^xとする．
全ての自然数nに対して、
lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dx
が収束することを示せ。
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 02:00:37 ]
- >>543
∫x^n*e^(-x)dx=-x^n*e^(-x)+n∫x^(n-1)*e^(-x)dx
帰納法で終了
- 545 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 02:08:53 ]
- >>543 正解です。
あとは面倒なだけですねorz
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解が全て正の数であるとき、
ab/c>7を示せ。
- 546 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 02:15:43 ]
- ab/c≧9に訂正をば。
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 02:28:40 ]
- >>545
3つの正の解をα，β,γとすると
ab/c=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)/αβγ=
(α+β+γ)(1/α+1/β+1/γ)≧(1+1+1)^2=9 (コーシ−シュワルツより)
- 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 06:10:13 ]
- >>545
応用してみた。
x^3-ax^2+bx-c=0(a,b,cはともに実数)
(1)この方程式が正の解しか持たない時、ab/c≧9であることを示せ。
(2)いまサイコロを三回投げて、順に出た目をa,b,cに代入した。
この時、この方程式の解が正整数解しかもたない確率を求めよ。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 08:38:23 ]
- >>548
(1)>>547
(2)0<α≦β≦γとしておく
(1)よりab/c≧9なのでc≦4
c=1のとき、α=β=γ=1⇔a=3,b=3
c=2のとき、α=β=1,γ=2⇔a=4,b=5
c=3のとき、α=β=1,γ=3⇔a=5,b=7(不適)
c=4のとき、α=β=1,γ=4⇔a=6,b=9(不適)
または α=1,β=γ=2⇔a=5,b=8(不適)
求める確率は2/216=1/108
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 09:10:42 ]
- 東工大に類題あるな
- 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 10:02:44 ]
- あまり(1)と(2)に関連がないような気もする
- 552 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 14:55:23 ]
- 3点P(0,0,1),Q(0,1,0),R(0,0,1)を頂点とする正三角形の板Sを考える。
(1)Sをz軸のまわりに1回転させたとき､Sが通過する点全体のつくる立体Tの体積を求めよ。
(2)Tをy軸のまわりに1回転させたとき､Tが通過する点全体のつくる立体Uの体積を求めよ。
- 553 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 15:57:53 ]
- n,m,l,kを正の整数とする。
以下の式を満たすn,m.l.kの組を全て求め、
それが全てであることを示せ。
(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 16:13:10 ]
- 誰か >>511 をお願い
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 16:53:52 ]
- >>553
n≦m<lで考える
n<m<lのとき
(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k の両辺(n!)^kでわると
1+(P(m,m-n))^k=(P(l,l-n))^k …(1)
(1)の左辺はn+1で割って1余り右辺はn+1で割り切れるので不適
ゆえに m=nとなり
2(n!)^k=(l!)^k
両辺 (n!)^kで割って
2=(P(l,l-n))^k
これを満たす組み合わせは
k=1, m=n=1,l=2のみ
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 17:10:02 ]
- >>555
正解、簡単すぎかな
スマートな面白さを求めたつもりだったけど・・・
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 17:21:11 ]
- とりあえず回答が出てある程度時間経ったら出題者は自分の用意した回答だしてくれ
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 22:23:53 ]
- >>543
f(x) = (x^n)･e^(-x),
は x=n で最大値 f(n) = (n/e)^n をとる。
y>0 のとき
f(2n+y) = f(2n)･(1 + y/2n)^n･e^(-y) < f(2n)･e^(y/2)･e^(-y) = f(2n)･e^(-y/2),
a>2n のとき
(与式) = ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[2n,a] f(x)dx
= ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[0,a-2n] f(2n+y)dy
< ∫[0,2n] f(n)dx + f(2n)∫[0,a-2n] e^(-y/2)dy
= 2n･f(n) + 2･f(2n){1 - e^(-(a-2n)/2)}
→ 2n･f(n) + 2･f(2n), (a→∞)
- 559 名前：558 mailto:sage [2009/09/18(金) 22:28:54 ]
- >>543
>558 より与式は有界。
また、与式はaについて単調に増加するから、収束する。
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 23:57:00 ]
- >>554
>>511は簡単すぎて誰もﾄﾅｶｲ
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:01:35 ]
- 簡単とか難しい以前に解こうかなって思わせる要素が全くない、面白くない
あれだったら自分の用意してた答え書いてみ
- 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:04:16 ]
- と解けない人が回答を欲しがっています
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:05:14 ]
- >>560
トナー買うなら･･･
www.tonakaibin.com/index.php
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:06:47 ]
- >>563
ﾄﾅｶｲの便w
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 00:16:06 ]
- ２/３＝１/２＋１/６
１１／１４＝
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:17:44 ]
- >>552 (1)
Rを頂点とする2つの円錐と、xy-平面とで囲まれた部分。→ T
外側の円錐は、RP,RQを通り、底半径1,
内側の円錐は、PQの中点を通り、底半径1/√2,
V(T) = (1/3)π- (1/6)π = π/6,
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 00:18:26 ]
- >>561の面白い問題投下に期待
- 568 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 02:04:03 ]
- 確かに解答者の解答が示されないと面白みが半減するな
- 569 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 02:04:27 ]
- 一辺が10の立方体がある。
この中に半径1/√5の球を立方体からはみださないようにいれていく。
立方体に詰めることができる球の最大の個数を求めよ。
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 08:45:57 ]
- >>569
秋山仁乙
- 571 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 10:03:36 ]
- >>568
解けていないのに,解いて欲しいが為に出題する奴が多いから無理
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 10:13:21 ]
- >>511の出題者は、「問題」を思いついただけで、
高校課程の知識での解等例はおろか
「もちろん，大学以降の知識を使えば自明」な解答すら実は書けないのではないか。
- 573 名前：511 mailto:sage [2009/09/19(土) 11:23:26 ]
- 高校範囲内の解答はもちろん用意していますが、
誰もﾄﾅｶｲのでお蔵入りです。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 11:46:09 ]
- そりゃ残念だったな
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 11:48:47 ]
- 真っ赤なIDのトカナイさん
- 576 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 11:55:38 ]
- 有理数と有理数の間には必ず無理数が存在し、
無理数と無理数の間には必ず有理数が存在することをいえばよいのかな？
- 577 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 11:59:41 ]
- ↑スルーしてくださいorz
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:06:31 ]
- >>512がといてるやん
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:11:25 ]
- 無理数はいくらでも有理数で近似できることを用い、連続性の定義を振り返ればよい
- 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:37:26 ]
- >>578
>>512は範囲外だろ。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 12:50:21 ]
- どいつもこいつも歯切れが悪くてイライラするぜ
- 582 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 13:26:03 ]
- >>570はげ山仁がだしてたの？
研究室で結晶格子みながらこのスレみたから投下してみた
- 583 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 13:58:47 ]
- 半円x^2+y^2=1(y≧0)上に2点P,Qがある．線分PQの中点をRとする。
P,Qが半円上をそれぞれ自由に動く時、Rの存在する領域を図示せよ。
- 584 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 14:07:13 ]
- >>565
1/2 + 1/4 + 1/28 =11/14
- 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 14:07:34 ]
- >>583
計算による問題は既出。
幾何的に解くのは，大数1対1対応の演習（旧課程版）にあり。
- 586 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 16:20:55 ]
- 一辺が2の正三角形ABCがある。
辺AB,辺BC,辺CAを軸に正三角形ABCを回転させてできる立体の共通部分の体積を求めよ。
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 16:33:13 ]
- 東大志望だけどこのスレ見てると死にたくなったｗｗ勉強してくる
- 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 18:16:30 ]
- science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1249096955/とか他にも出題スレはあるよ
- 589 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/20(日) 00:26:32 ]
- 大数かなんかの裏表紙の広告にあった問題
正七角形ＡＢＣＤＥＦＧにおいてＡＢ＝ｘ、ＡＣ＝ｙ、ＡＤ＝ｚとおくと
y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5となることを示せ。
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 01:32:15 ]
- >>583
問題の半円から、中心(-1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と、 中心(1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と を除いた領域。
(x + 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2, (x - 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,
R(x,y) がこの領域内にある ⇔ Rを通りORに垂直な直線と半円とが２点で交わる(P,Q)。
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 02:47:14 ]
- >>589
外接円の半径をR とする。
x = AB = 2R･sin(∠AOB/2) = 2R･sin(π/7) = −2R･sin(8π/7),
y = AC = 2R･sin(∠AOC/2) = 2R･sin(2π/7),
z = AD = 2R･sin(∠AOD/2) = 2R･sin(3π/7) = 2R･sin(4π/7),
よって
y/x = 2cos(π/7),
z/y = 2cos(2π/7),
x/z = −2cos(4π/7) = 2cos(3π/7),
よって
(y/x)^2 = 2{1 + cos(2π/7)},
(z/y)^2 = 2{1 + cos(4π/7)},
(x/z)^2 = 2{1 + cos(6π/7)},
よって
(与式) = 5 + {1 + 2cos(2π/7) + 2cos(4π/7) + 2cos(6π/7)}
= 5 + Σ[k=0,6] cos(2kπ/7)
= 5,
-------------------------------------------------
(注) cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) は
1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 -4u +4u^2 +8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの、すなわち
1 -4u +4u^2 +8u^3 = 0,
の3根である。（本問では使わないが）
- 592 名前：591 mailto:sage [2009/09/20(日) 02:52:37 ]
- >591 の訂正
1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 +4u -4u^2 -8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの。
ｽﾏｿ.
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 03:01:35 ]
- 1の７乗根ζは難問の宝庫
ζ＋ζ^2＋ζ^4 の値を求めよ
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:30:19 ]
- >>593
とっかかりすりゃわからん・・・ところで、ζってなんて読むの？あと７乗根って１含む？
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:51:26 ]
- >>594
z = ζ + ζ^2 + ζ^4 とおく。
z* = ζ^6 + ζ^5 + ζ^3,
z + z* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) -1 = -1,
zz* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) + 2 = 2,
Z^2 + Z +2 = 0,
∴ z = {-1 + (√7)ｉ}/2,
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 06:25:34 ]
- >>586
A(√3,0) B(0,1) C(0,-1)
とする。
AB: y = 1 - x/√3,
AC: y = x/√3 -1,
領域D:
1 - (√3)x < y < (√3)x - 1, {(1/√3) < x < (√3)/2}
(x/√3) - 1 < y < 1 - (x/√3), {(√3)/2 < x < √3}
の体積を求めて3倍する。
x '(y) = (√3)(1-|y|),
z(x,y) = √{(x ')^2 - x^2} = √{3(1-|y|)^2 - x^2},
V = ∫_D z(x,y) dxdy = ･･･
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 07:49:27 ]
- >>558
〔補題〕
x>0 のとき
(1 + x/n)^n < e^x,
(略証)
(左辺) = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)(n-2)････ (n-k+1)/(n^k)} (1/k!) x^k
< Σ[k=0,n] (1/k!) x^k
< e^x,
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 08:25:15 ]
- >>560 >>563
www.youtube.com/watch?v=g5QZ8asNHoQ 02:22 モー娘。
www.youtube.com/watch?v=nxUsvRr8o0k 02:52 歌詞付
www.youtube.com/watch?v=0q6lD9IFtks 02:15 池田淳子
www.youtube.com/watch?v=vDUzcqZuBdI MP3TUBE
www.youtube.com/watch?v=pISgVQOj_QM 03:04
www.youtube.com/watch?v=rUyRYH8w7EM 02:35
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 08:28:20 ]
-
日本には「鼻蔵」という僧がいて、クロード・コンピューティングの開祖とされている････
これも今は昔、奈良に、蔵人得業 恵印といふ僧ありけり。
鼻大きにて、赤かりければ、「大鼻の蔵人得業」といひけるを、後(のち)ざまには、ことながしとて、「鼻蔵人」とぞいひける。
なほ後々(のちのち)には、「鼻蔵(はなくら)、鼻蔵」とのみいひけり。
--宇治拾遺物語「蔵人得業猿沢の池の龍の事」より--
- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 14:45:48 ]
- >>579
できればもっと詳しくお願いします
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 18:45:59 ]
- >>600
？
この文言で明らかじゃないなら勉強が不足しているよ君
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 20:13:08 ]
- >>601
お前、ここが高校生向けの問題を作るスレだって自覚してる？
- 603 名前：清書屋 mailto:sage [2009/09/20(日) 20:44:25 ]
- >>510
a≠0 のとき f(t) = aT^3 + (c - b^2 /a)T + 定数項, (T = t + b/3a)
f '(t) = 3aT^2 + (c -b^2 /a),
a(c - b^2 /a) = ac - b^2 < 0 のとき、極値を持つ … ○
a(c - b^2 /a) = ac - b^2 ≧ 0 のとき、極値を持たない … ×
a=0 のとき
b≠0 のとき、f(t)は2次式、極値を持つ … ○
b=0 のとき、f(t)は1次式
c≠0 のとき、極値を持たない … ×
c=0 のとき、定数 … ○
∴ 求める条件は
a≠0 かつ ac-b^2 < 0,
a=0 かつ b≠0,
a=b=c=0,
のいずれか。
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:13:43 ]
- >>593
2000年4月号の学力コンテストに類題あり、
a,b,cは相異なる複素数で、a^2=b、b^2=c、c^2=aであるとする。このときa+b+cは実数でないことを示せ。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:47:17 ]
- >>604
こんな簡単な問題が出るかなぁ
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:50:05 ]
- >>593
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7) を求めよ
なんて形で出題したら、受験生の何割が完答するだろう？
範囲外か
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:52:10 ]
- >>606
sin(\pi/14)をかけて割ればいいから範囲内です。
数学オリンピック1963年[5]がこの問題でした。
- 608 名前：595 mailto:sage [2009/09/20(日) 21:55:55 ]
- >>604
a^8 = b^4 = c^2 = a,
a=0,1 とすると a=b=c となり、題意に適さない。
∴ a^7 =1, a≠1,
∴ a = exp((2kπ/7)ｉ) = ζ, (1≦k≦6)
以下 >>595 と同じ。
- 609 名前：607 mailto:sage [2009/09/20(日) 21:56:44 ]
- ついでに言えば、2007年数学検定2段で\sum_{k=1}^{180}sin k°= cot 0.5°を示せというのがありました。
この計算は、定積分 \lim_{n \to \infty} \sum_{n}^{k=1} (1/n) \sin( \pi k/n) を求めるのにも使えます。
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 22:49:23 ]
- >>602
無理数の定義自体、有理数でない実数、程度の高校数学で
高校生にどんな解答を期待しているのか、マジで知りたい。
- 611 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 03:12:58 ]
- >>398（訂正版 >>404）
n=3のとき題意を充たすpが存在しないことを示せばよい。
（n=k≧4のときに存在すれば、p=a_{k-2}と置き直してa_3=3となる）
a_3=3となるには、a_2の各位の値は3が1つと残りは1でなければならない。
ところでa_2はpの各位の数の積なので、a_2の素因数としてありうるものは2、3、5、7。
素因数に2、5を含むとすると、a_2の1の位が偶数または5となり不適。
よってa_2=3^s･7^t（s、tは非負整数）とかける。
ここでa_2の1の位としてありうるものは1、3、7、9であるが、それらと3あるいは7との積の10の位は偶数であるから、
任意の(s,t)について、帰納的にa_2の10の位は偶数である。これとa_2が2桁以上の整数であることにより、a_3は偶数となる。
従ってa_3=3とはなりえないから、題意は示された。
帰納的に〜あたりは端折りすぎというか、言葉遣いが間違ってる気がするが伝わるだろうか…。
あと、この議論だと1、7、9にもなりえない気が…。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 05:41:45 ]
- >>610
ヒント 中間値の定理
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 19:05:26 ]
- なるほど
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 20:56:20 ]
- 面白い問題を思いついた．完璧に解ける高校生は非常に少ないと思う．
入試ではﾀﾌﾞｰだと思うので実際に出題される事はないと思いうが．
n，m を2以上の整数とするとき，次の関数の導関数を求めよ．
y＝[n]√(x^m)
- 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 21:58:54 ]
- xの範囲も指定せずに導関数を求めよとか有りなのか
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:04:40 ]
- >>615
mが奇数ならx>=0のみ、mが偶数なら全実数ということでは？
- 617 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:07:06 ]
- x^(m/n)じゃなくて？
- 618 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:13:44 ]
- >>614
ガウス記号かと思った
- 619 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:21:19 ]
- 俺もガウス記号に見えて何言ってんだろうって思った
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:46:46 ]
- >>615
実数値関数として意味を持つ x の範囲が定義域だろ、普通。
y＝√x のときに x＞0 とか書かない。
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:51:25 ]
- >>616
ちょっと全然違う。
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:02:27 ]
- >>614
{ [n]√(x^m) }’＝ { x^(m/n) }’＝(m/n) x^(m/n−1)＝(m/n) [n]√{ x^(m−n) }
ではどこがあかんのですか？
- 623 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 23:20:13 ]
- f(x)=e^(m/n)logx
f'(x)=e^(m/n)logx*m/n*1/x
=m/n*x^(m/n-1)
これなら教科書にも載ってるしな
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:21:26 ]
- >>619
>>622
俺もそう思った。
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:24:47 ]
- どうも、思いつき、が多いなあ。
- 626 名前：614 mailto:sage [2009/09/21(月) 23:30:00 ]
- どうも出題意図が上手く伝わらない．
ではもっとｼﾝﾌﾟﾙにして，次の様に修正．
y＝[3]√(x) 及び y＝[6]√(x^2) の導関数を求めよ．
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:37:51 ]
- え？[3]√(x)＝[6]√(x^2) では?
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:45:45 ]
- もしかしてあれか、定義にしたがって求めよってやつか？
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