- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 481 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/22(木) 22:35:01 BE:156224232-2BP(1028)]
- >>472
正ｎ角形の中心を原点とし、Ｙ軸上に頂点x1を置く。
各頂点の角度θはＸ軸を基準にするとθ=2π/n*i+π/2ただし(i=0,1,..,n-1)となる。
このとき∑cos(θ)=0である。なぜなら各頂点はＹ軸に対して対称で
対称な頂点ではcos(θ)の値は符号が逆で大きさは同じ為。一方で、
∑cos(θ)=∑cos(2π/n*i+π/2)=∑{cos(2π/n*i)cos(π/2)-sin(2π/n*i)sin(π/2)}
=∑{cos(2π/n*i)*0-sin(2π/n*i)*1}=-1*∑sin(2π/n*i)=0
すなわち∑sin(2π/n*i)=0となる
X_i=2π/n*iと置くと
∑sin(X_i)=0, ∑cos(X_i)=0
∑sin(X_i+β)=∑{sin(X_i)cos(β)+cos(X_i)sin(β)}
=cos(β)∑sin(X_i)+sin(β)∑cos(X_i)
=0
同様に
∑cos(X_i+β)=0
- 482 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/22(木) 22:41:14 BE:1275828277-2BP(1028)]
- >>481 追加
∑cos(X_i)=0 は
∑sin(θ)=∑sin(2π/n*i+π/2)=∑{sin(2π/n*i)cos(π/2)+cos(2π/n*i)sin(π/2)}
=∑{sin(2π/n*i)*0+cos(2π/n*i)*1}=∑cos(2π/n*i)=0
と導ける
- 483 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/22(木) 23:20:47 BE:468671292-2BP(1028)]
- >>472
>>469で、対称線上にL(P)があるのは確かだが
いきなり交点がL(P)と断言するのは飛躍してると思う。
対称軸Y1上の点Py1を、別の対称軸Y2を基準に評価すると
楕円の方法論で、Py1からY2軸に垂直に交わる点Py2をとると
原点からの距離は、Py2<Py1となり
L(Py2)<L(Py1)となり、これを繰り返すと
最終的に対称軸の交点が最小となることを
示した方がいいと思う。
実は交点じゃなくて 端っこの点の方が最小で最小点はｎ個というケ～スもあると思う。
あるいは どの点でもＬ(Py)の値は同じかもしれんし
まぁ もれの頭が足りないだけなのかもしれんが ｏｒｚ
- 484 名前：狂介(=472) mailto:sage [2009/01/23(金) 11:41:10 ]
- >>483
＞>>469で、対称線上にL(P)があるのは確かだが
＞いきなり交点がL(P)と断言するのは飛躍してると思う。
対称軸にY1,Y2,Y3…と名前をつけます。
このとき、L(P)に最小値を与えるPならば、「そのPはY1上にある」ということが必要条件です。
同様に、「PはY2上にある」「PはY3上にある」も、すべて必要条件です。これらすべての必要条件を満たすのは唯一多角形の中心なので僕の考えはあってるかと。
- 485 名前：狂介 mailto:sage [2009/01/23(金) 11:45:00 ]
- >>483
＞対称軸Y1上の点Py1を、別の対称軸Y2を基準に評価すると
＞楕円の方法論で、Py1からY2軸に垂直に交わる点Py2をとると
＞原点からの距離は、Py2<Py1となり
＞L(Py2)<L(Py1)となり、これを繰り返すと
＞最終的に対称軸の交点が最小となることを
＞示した方がいいと思う。
その操作を繰り返して、Py1,Py2,Py3…と作っていってもPynが多角形の中心になることはないと思う。（極限値は収束するけど）
だからその場合は中心について議論したことにならない希ガス。
- 486 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/24(土) 07:53:36 ]
- y2=x^3+x^2-x という楕円曲線上の有理点をすべてもとめなさい。 30点
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 12:22:30 ]
- >>485
君が示したのはL(P0)＜L(P1)のみ。これが意味するのは、
「対称軸上にない点は最小値になりえない」ということだけ。
よって、
(1)もし最小値が存在するならば
L(P)が最小になる点は原点しかありえないということになり、
証明は終わる。ところが、
(2)もし最小値が存在しないならば
もともと最小値が無いのだから、君が示したことは意味が無い。
君が示すべきは(1)。「そんな必要ないだろ」と思うかもしれないが、
これは絶対に必要。君がやっているロジックは、以下の議論と同じなのだ。
・自然数の最大値は1である。
証明：n≠1のときは、nより大きな自然数が存在する。これは、
1でない自然数は 自然数の最大値になりえないことを意味する。
よって、n＝1が最大値である。
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 12:47:14 ]
- >>471
＞使った不等式は ∑X_i ≧ √(∑X_i^2)
これは間違い。Σ｜X_i｜≧√(∑X_i^2)が正解。
- 489 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/24(土) 16:02:10 BE:312448234-2BP(1028)]
- >>488
長さに負は存在しないから X_i>0 （書くの省略してました）
- 490 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/24(土) 16:05:02 BE:416597344-2BP(1028)]
- 公式として覚えてたわけじゃなくて、
この問題用に その場で証明して使っただけなんで・・・
- 491 名前：狂介 mailto:sage [2009/01/24(土) 16:08:09 ]
- >>487
おっしゃるとおり、僕の解答には不備があるようです。「Pが原点以外のとき、最小値をとりえない。」
これが僕の示したところとなりますね。
＞もともと最小値が無いのだから、…
これについては何かおかしいかと。何とかして最小値があることを示せば僕の解答は正しいことになるし、最小値は存在すると思いますが、いかがでしょう？
- 492 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/24(土) 16:15:08 BE:1093567076-2BP(1028)]
- あ X_i≧0 ねｗ
- 493 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/24(土) 16:15:14 ]
- >>471
その不等式を使っては示せないと思うが。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 16:15:37 ]
- >>491
「もし(2)だったら、もともと最小値が無いことになって、意味が無い」
ということ。何もおかしくない。文脈上は
なぜ(1)を示さなければいけないのか？ → もし(2)だったら意味が無いから
こういう流れで書いている。
- 495 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/24(土) 16:56:33 BE:624895564-2BP(1028)]
- >>493
ｏｒｚ
- 496 名前：狂介 mailto:sage [2009/01/24(土) 16:59:39 ]
- >>494
ごめんなさい。読み違えました。
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 18:37:27 ]
- 平面上に9個の相異なる点があり、これらのうち少なくとも3点をとおる直線がn本ある。
nの最大値を求めよ
- 498 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/24(土) 19:09:45 BE:520746454-2BP(1028)]
- >>493
不等式使うの辞めた。「∑X_iが最小 ⇔ (∑X_i)^2が最小」 を使うことにした。
内点Ｐと各頂点の距離をR_iとし、X_i=2π/n*iとする
(∑R_i)^2を展開すると
結局、∑cos(X_i+β)=0だし、積和公式使うと∑cos(X_i+β)cos(X_j+β)=0となるので
(∑R_i)^2=r^2+r_p^2
となり、これが最小なのは r_pを0とした時となる
ただし
各頂点(x,y)=(r*cosX_i,r*sinX_i)
内点Ｐを(x,y)=(r_p*cosβ,r_p*sinβ)
とした
- 499 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/24(土) 19:22:56 BE:416597928-2BP(1028)]
- >>498
あぅ また早とちりしてた ｏｒｚ
- 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 19:45:25 ]
- うん、BeをNGに入れたから
- 501 名前：Be mailto:sage [2009/01/25(日) 12:49:54 BE:833193784-2BP(1028)]
- >>431
L(P)を、極座標の動径ｒで微分するとr>0で正
ｒ→０のlimで０になるからｒ＝０のとき最小
じゃダメ？
- 502 名前：狂介 mailto:sage [2009/01/25(日) 16:08:47 ]
- >>501
計算複雑そうでやる気しないんだが、r=0は不定義点なの？
- 503 名前：Be mailto:sage [2009/01/25(日) 19:15:03 BE:1874686289-2BP(1028)]
- >>502
定義されてる。
ちょっと、また勘違いしてて、別の計算の途中でｒ＝０だと困るという勘違いしてた
- 504 名前：Be mailto:sage [2009/01/25(日) 20:51:55 BE:2109021899-2BP(1028)]
- 正ｎ角形の各頂点x_iは(x,y)=(rcos(2π/n*i),rsin(2π/n*i))
内点Ｐの座標は(x,y)=(rcos(θ_p), rsin(θ_p))
L(P)=∑√{r^2+r_p^2-2*r*r_p*cos(2π/n*i-θ_p)}
=∑√[{r_p-r*cos(2π/n*i-θ_p)}^2+{r*sin(2π/n*i-θ_p)}^2]
a_i=r_p-r*cos(2π/n*i-θ_p)
b_i=r*sin(2π/n*i-θ_p)
とおくと、L(P)=∑√(a_i^2+b_i^2)
L(P)を動径r_pで微分すると
d{L(P)}/dr_p = d{∑√(a_i^2+b_i^2)}/dr_p
=∑{a_i/√(a_i^2+b_i^2)}
=∑[i≠k]{a_i/√(a_i^2+b_i^2)} ただし r_p≠0 また 存在するならばkのときa_k=0
=∑[i≠k]{1/√(1+(b_i/a_i)^2)}
>0
r_p=0のとき
d{L(P)}/dr_p = ∑[(-1*r*cos(2π/n*i-θ_p))/√{(r*cos(2π/n*i-θ_p))^2+(r*sin(2π/n*i-θ_p))^2}]
=∑[(-1*r*cos(2π/n*i-θ_p))/√(r^2)]
=-1*∑cos(2π/n*i-θ_p)
=0
以上から、L(P)はr_p=0のときL(P)が最小でr_p>0のとき増加
どうでしょう？
- 505 名前：Be mailto:sage [2009/01/25(日) 20:52:46 BE:2109021899-2BP(1028)]
- ＞内点Ｐの座標は(x,y)=(rcos(θ_p), rsin(θ_p))
内点Ｐの座標は(x,y)=(r_p*cos(θ_p), r_p*sin(θ_p))
- 506 名前：Be mailto:sage [2009/01/25(日) 21:31:00 BE:468671292-2BP(1028)]
- あっ やっぱダメだ ｏｒｚ a_iの符号が・・・a_i/|a_i|になって こまるぅ
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/25(日) 22:43:01 ]
- >>473
f(x)=P(x)+Q(x)/R(x)とおく。ただしP,Q,Rは整式でQはn-1次以下、Rはn次とする。
f'(x)=P'(x)+(Q'(x)R(x)-Q(x)R'(x))/(R(x))^2
第2項の分子は2n-2次以下、分母は2n次だからf'(x)≠1/x
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 00:13:09 ]
- >>431
r=1/(2sin(π/n))とする。√は凹関数だから
L/n＝(1/n)Σ[k=0,n-1]√(x^2+y^2+r^2-2r(xcos(2πk/n)+ysin(2πk/n)))
≧√((1/n)Σ[k=0,n-1](x^2+y^2+r^2-2r(xcos(2πk/n)+ysin(2πk/n))))
＝√(x^2+y^2+r^2)≧r
x=y=0のとき実際にL/n=rを達成できるからLの最小値はn/(2sin(π/n))
凸不等式使うところはシュワルツの不等式でも行ける。
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 00:22:08 ]
- >>508
その式は間違ってる。不等号の向きが逆(√xは上に凸だから)。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 01:01:33 ]
- >>455-456まで出ていながら 未だに誰も解いていないのが不思議でならない。
n本の対称軸によって、R^2は2n個の領域に分割される。それらの領域を
D1,D2,…,D2nと置く。x＝x1∈R^2－{o}を任意に取るとき、x1∈Dkを満たす
kが少なくとも1つ存在する。Dkの境界は2本の対称軸(の一部分)であるから、
x1からそれらの対称軸のどちらかに垂線を下ろし、交わった点をx2とおく。
以下、図のようにしてx3,x4,…を作っていくと、xi→o in R^2である。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1232899080
L：R^2→[0,∞)は連続であることに注意すると、L(xi)→L(o)が成り立つ。
また、>>455-456の議論から、L(x1)＞L(x2)＞L(x3)＞… が成り立つ。
つまり、L(xi)はiの数列として狭義単調減少である。これとL(xi)→L(o)から、
L(x1)＞L(o)が成り立つ。以上をまとめると、
x1∈R^2－{o} ⇒ L(x1)＞L(o)
ということである。これは、原点oが最小値であることを意味する。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 01:07:12 ]
- ＞以下、図のようにしてx3,x4,…を作っていくと、xi→o in R^2である。
↑図がいい加減で分かりにくいかもしれないが、要するに、垂線を下ろす操作を繰り返す。
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 01:12:17 ]
- >>509
あー俺もう駄目かも
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 01:31:22 ]
- 別解：>>487の(1)を示す。これは よくやるオーソドックスな方法。
高校の範囲を少し超えるけどな。
まず、L：R^2→(0,∞)は明らかに連続である。また、簡単な評価によって
lim[|P|→∞]L(P)＝∞ となることが分かる。よって、あるM＞0が存在して、
「|P|＞MならばL(P)＞L(o)」…(*)が成り立つようにできる。
このMに対して、原点中心、半径Mの閉円盤Dを考え、LをD上に制限する。
DはR^2の有界閉集合だから、LはD上で最小値を持つ。その値をmとすると、
o∈Dだからm≦L(o)である。実は、mはR^2上におけるLの最小値にもなっている。
実際、P∈R^2－Dのときは、(*)によってL(P)＞L(o)≧mとなるので。
よって(1)は成り立つ。つまり、LはR^2上で最小値を持つ。
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 01:48:35 ]
- 円周上に五点を取って五角形を取るとき
その面積が最大になるのはどのような場合か、
というような問題も似たような話だよね
- 515 名前：Be mailto:sage [2009/01/26(月) 08:05:56 BE:911305875-2BP(1028)]
- >>511
それは>>483で書いてる
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 12:27:56 ]
- 東大にこんな問題はでない
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 13:40:08 ]
- 文系ですが失礼します
www.hotdocs.jp/file/90845
このサイトで東大数学の古い過去問を見つけたんですが回答がなくて困ってます
誰か回答もってないですか？
っていうか解いてくｒ いや、くださいｗｗｗ
- 518 名前：狂介 mailto:sage [2009/01/27(火) 18:36:40 ]
- >>513
ありがとう。それを僕の解に付け加えれば完璧になる。（といいながら高校の範囲超えてるから良く分からないけど）
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/27(火) 22:12:49 ]
- >>517
この本を買えば載っていますよ。
www.amazon.co.jp/dp/4792210410/
あと、文系の問題は載っていませんがここは解答も充実しています。
www.j3e.info/ojyuken/math/
- 520 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 13:02:26 ]
- サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする
①Ｘが奇数になる確率を求めよ
②Ｘ=12になる確率を求めよ
③y=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ
おねがいしまあす
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 13:49:15 ]
- >>520
マルチ
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 22:02:44 ]
- tan１°は超越数か。
- 523 名前：KingGold ◆3waIuSKark [2009/01/28(水) 22:03:59 ]
- Reply:>>522 超越数だ。
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 22:09:54 ]
- oui
- 525 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 22:22:14 ]
- リンデマンの定理
a[1],…,a[n]を相異なる代数的数としたとき、
e^a[1],…,e^a[n]は代数的数体上線型独立である。
この定理を使う。
代数的数α≠0(cosα≠0)に対して、tanαが代数的数であるとすると
tanα=sinα/cosα=(e^(iα)-e^(-iα))/((e^(iα)+e^(-iα))i)より
(itanα-1)e^(iα)+(itanα+1)e^(-iα)=0
itanα±1は代数的数で同時に0とはならない。
これはリンデマンの定理から矛盾する結果である。
したがってtanαは超越数。
特にα=1は代数的数だからtan1は超越数。したがって、tan1は無理数。
- 526 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/01/28(水) 22:39:40 ]
- Reply:>>523 お前は誰か。何が超越数か。
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 23:33:46 ]
- >522
tanの加法公式から、
tan(nθ) = F(tanθ) / G(tanθ),
と書ける。F と G は n-1次とn次の整係数多項式。
n=45, θ=1ﾟ とおくと、
F(tan(1ﾟ))/G(tan(1ﾟ)) = 1,
となるから、tan(1ﾟ) は 45次の整係数方程式の根、よって代数的数。
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 02:30:54 ]
- >>519
丁寧にありがとうございます。
いいサイトですねｗｗ
背伸びして頑張ってみます。
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 03:10:36 ]
- そこで草を生やす意味が分からない
- 530 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/29(木) 05:35:12 ]
- en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel%E2%80%93Roth_theorem
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/31(土) 15:35:25 ]
- 分からない問題はここに書いてね３００
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1232536981/722
722 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2009/01/26(月) 20:35:36
時針、分針、秒針すべての長さが等しい時計がある。
針の先端がつくる三角形の面積が最大になる時刻はいつか。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/31(土) 16:46:57 ]
- 497 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2009/01/24(土) 18:37:27
平面上に9個の相異なる点があり、これらのうち少なくとも3点をとおる直線がn本ある。
nの最大値を求めよ
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/31(土) 21:50:11 ]
- >>525
おいこれ昔俺が益田んとこに書いたレスじゃねえかよ
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/03(火) 23:24:05 ]
- 益田とか懐かしいな
あいつ突然いなくなったけどめんどくさくなったんかな
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 00:25:33 ]
- リーマンショックで株価暴落して生活苦という説が有力。
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 00:26:50 ]
- 株ニートかよｗ
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 01:57:38 ]
- ニートって、貧乏とかいう意味になって来てるんだろうか
>>536に限らず、本来の意味からどんどん離れてる気がする
スレ違いでごめん
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 05:31:34 ]
- l^2+m^2=n^2を満たす自然数l,m,nのうち
どれか1つは必ず2の倍数であることを示せ
これはできそうでできない難問
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 05:39:48 ]
- >>538
全て奇数と仮定して合同式はmod 4とすると(奇数)*(奇数)≡1, (偶数)*(偶数)≡0であり、
(左辺)≡2, (右辺)≡0により成立しないので、背理法により証明された。
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 06:34:31 ]
- >>539
大筋はいいとしても
途中で間違ってるぞ
- 541 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/04(水) 09:04:48 ]
- >>538
くそ簡単すぎてﾜﾛﾀ
l,m,nすべてが奇数だと、「奇数+奇数=奇数」となるのですべて奇数は否定された。
つまりどれか一つは偶数
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 13:42:13 ]
- >538
おい、顔真っ赤だぞ
- 543 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/04(水) 18:34:47 ]
- >>540>>542
>>538は数学的に合ってる
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 18:36:41 ]
- できそうでできない難問だというところが間違っているんじゃないの
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 01:35:16 ]
- ＞(右辺)≡0
(右辺)≡1だった
- 546 名前：538 mailto:sage [2009/02/05(木) 01:42:59 ]
- お前ら解けんのかよ・・・
出直してきます
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 01:51:56 ]
- 何だmod4じゃなくてmod2で解けちゃったのか
- 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 02:24:08 ]
- >>538は数学の素養に乏しいだろう
問題文がそれを如実に伝えているのである
> どれか1つは必ず2の倍数
の部分は
少なくとも1つは偶数
でいいからである
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 22:53:25 ]
- 538が難問とか言ってる時点で素養もクソもなかろうｗ
- 550 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/07(土) 15:01:42 ]
- 538って中学生の教科書レベルでは？
まあ彼には難しいんだろうけどｗｗ
- 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 16:06:41 ]
- お前らつられ過ぎだろ
このスレ痛いやつばっかだな
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 16:38:32 ]
- 今のがなければ>>550で最後だったのにな
心配しなくても黙ってれば終わるよ
出題者（笑）
- 553 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/07(土) 16:41:02 ]
- 1x2x4のブロックを７ｘ７ｘ７の立体にできるだけつめる問題
何個か
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 01:54:07 ]
- 7^3 ÷ 1*2*4 で43より少ないことはたしかか。
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 03:31:38 ]
- 2,2^2,2^3,…,2^2009の中で一番位が高い数字が1であるものの個数を求めよ
- 556 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/09(月) 18:55:39 ]
- >>555
(2^2009の桁数)-1
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 19:07:35 ]
- 必ず桁が上がる時に1を経由するからね。
以前わからない問題スレにあった
2^555の桁数は168で最高位が1である
このとき2^n（n＝1､2､3....555）の中で最高位が4の数は何個あるか
のほうがおもしろいね。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/10(火) 00:04:10 ]
- >>557
さすがに優秀な入試問題は練ってあるよね。
ちなみに早稲田教育の問題やね。しかも小問集合。鬼だｗ
- 559 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/10(火) 21:05:28 ]
- 答え聞いた時は入試問題としては発想が難しすぎだなって思った。
数学は遊びだって人でも運が良くないと無理そう。
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/12(木) 00:38:21 ]
- >>557は細かい計算が必要な気がしてごちゃごちゃやっててハッとした
- 561 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/12(木) 18:51:55 ]
- 次の連立方程式において､
0≦x,y＜2πを満たす解はただ1組存在することを示せ｡
sinx+cosx=sinycosy
sinxcosx=siny+cosy
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/13(金) 06:38:06 ]
- 媒介変数表示の求積問題だしてたな、あれはいかん。
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/14(土) 14:01:50 ]
- >>561
それは偽だぞ。x'=x+π/4,y'=y+π/4とおくと
(1) sin(x')=-(1/2√2)cos(2y')
(2) sin(y')=-(1/2√2)cos(2x')
だからx'をπ-x'(あるいは3π-x')に置換しても同じ方程式になってしまう。
解がちょうど4つあることは次のように示すことができる。
(2)をsin(y')=(1/2√2)(2sin^2(x')-1)と思って(1)を代入すると、
(3) sin^4(y')-sin^2(y')-2√2sin(y')-3/4=0
という方程式になり、t^4-t-2^2-2√2t-3/4=0は[-1,1]の範囲に唯一の解を持つ。
この解は実は(-1,0)の範囲に含まれていてy'は2通りある。
(1)(2)と(1)(3)は連立方程式として同値だから、
sin(y')=tのもとで(1)の解の個数を調べればよいが、
sin(x')=-(1/2√2)(1-2t^2)は2解を持つので(x',y')の組は4通りある。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/15(日) 13:00:01 ]
- ｃｏｓ（ｘ）＋ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）ｓｉｎ（ｙ）＝ａ。
ｃｏｓ（ｘ）ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）＋ｓｉｎ（ｙ）＝ｂ。
ａ＾２＝１＋２ｂ。
ｂ＾２＝１＋２ａ。
（ａ＾２－１）＾２＝４（２ａ＋１）。
ａ＾４－２ａ＾２－８ａ－３＝０。
（ａ＾２＋２ａ＋３）（ａ＾２－２ａ－１）＝０。
ａ＝１－√（２）。
ｂ＝１－√（２）。
（ｃｏｓ（ｘ）－ｓｉｎ（ｘ））＾２＝２√（２）－１。
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/15(日) 16:27:35 ]
- >>561
0≦x､y≦π に訂正を｡
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/15(日) 20:34:59 ]
- ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
を差積とか Vandermonde 行列式とか 言うらしい。
〔問題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/737 , 739
不等式スレ３
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 04:36:56 ]
- >>557
題意より 168 ≦ n･log(2) < 168 + log(2),
最上桁が '1'
[ n･log(2) ] = 76 個,
最上桁が '2' か '3'
[ (n-1)log(2) ] +1 = 77個,
最上桁が '5'～'9'
[ (n+1)log(2) ] = 77個,
最上桁が '4'
n - (76+77+77) = 25個, (← 題意より n=255)
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:26:20 ]
- >>567
全然違うぞ
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:27:57 ]
- >>522, 527
F(t) = 45t -14190t^3 +1221759t^5 -45379620t^7 +886163135t^9 -10150595910t^11
+73006209045t^13 -344867425584t^15 +1103068603890t^17 -2438362177020t^19 +3773655750150t^21
-4116715363800t^23 +3169870830126t^25 -1715884494940t^27 +646626422970t^29 -166871334960t^31
+28760021745t^33 -3190187286t^35 +215553195t^37 -8145060t^39 +148995t^41 -990t^43 +t^45,
G(t) = 1 -990t^2 +148995t^4 -8145060t^6 +215553195t^8 -3190187286t^10
+28760021745t^12 -166871334960t^14 +646626422970t^16 -1715884494940t^18 +3169870830126t^20
-4116715363800t^22 +3773655750150t^24 -2438362177020t^26 +1103068603890t^28 -344867425584t^30
+73006209045t^32 -10150595910t^34 +886163135t^36 -45379620t^38 +1221759t^40
-14190t^42 +45t^44,
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:40:58 ]
- >>527
蛇足だが
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
(略解)
複素数を使う。√(-1) =i とおく。
1+it ∝ cosθ + i･sinθ = exp(iθ), (← t=tanθ)
cos(nθ) + i･sin(nθ) = exp(inθ) = {exp(iθ)}^n,
より
G(t) + i･F(t) = (1+it)^n = {Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j)} +iΣ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1)},
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
n=45 のときは >>569
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 16:23:09 ]
- >>567
その理論、nが小さい時に試してみたら？
- 572 名前：571 mailto:sage [2009/02/22(日) 16:31:07 ]
- >>567
「+1」が見えてなかった
スマン
- 573 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 10:43:35 ]
- 2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 10:49:22 ]
- >>573
久しぶりだね
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 11:01:27 ]
- ＞そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
この引き算は行列としての引き算じゃ無いの？
だとしたら問題文でわざわざ断るのは不自然。
（いや何でこんなこと書いたのかは分かるんだけどね）
2×2行列としての構造を無視するなら、
ただの濃度が |R| の集合に過ぎないんだから何も求めようがなくなる
- 576 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 12:02:31 ]
- 流れ豚切ってすみません。
以前、ここか京大スレかのどこかで
lim[n→∞]a[n]=0 ⇒ lim[n→∞]Π[k=1,n]a[k]=0
は成り立つか？みたいな雰囲気の問題を見た覚えがあるんですけど、
（本物はこんなに簡単じゃなくて、アイディアが必要な問題でした・・・）
誰か詳細をご存じないでしょうか。過去ログ調べたんですが見つかりませんでした。
（ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
何か情報をお持ちの方は、ご教示下さい。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 12:36:05 ]
- >>576
＞ （ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
会員登録すれば誰でも使えたYahoo!ブリーフケースが、有料会員専用に変更された
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 23:37:23 ]
- >>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 00:33:57 ]
- >>576
例示してるのと大差ない気がするけどこれ?
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/10/26(日) 14:27:34
じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 580 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/25(水) 12:33:46 ]
- >>579
んんっ…あっ…これです！！！
どうも有り難うございました。
>>578さんもお疲れ様ですm(_ _)m
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 21:55:13 ]
- >>580
んんっ・・・あっ・・・
エッチぃのは嫌いです＞＜
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