★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 372 名前：( °┌･･ °) ﾎｼﾞﾎｼﾞ mailto:sage [2008/12/25(木) 02:55:52 ] �納k=1,n]a[k]=nであり f(x)=�納k=1,n]a[k]coskx としたとき 常にf(x)≧-1 となるような実数a[k]が任意の自然数nに対して存在することを示せ 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 02:58:34 ] 何だ、カツオはおばかな366トは別か 374 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 03:03:08 ] >>361 ３本くらいで実験してみな。ごく普通の前科式の問題だよ。 375 名前：カツオ [2008/12/25(木) 03:05:13 ] >>371いや馬鹿にしたんではなくて気付いたこと書いただけかなぁ。実際そんな頭良くないし間違ってたら頭いい人が訂正してくれるし…。あとなんかそれ言いたいことが違う気がする… 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 03:05:54 ] >>375 勘違いだ、ごめん。358と間違えたんだ。 377 名前：カツオ [2008/12/25(木) 03:08:53 ] いえいえ！大丈夫です！なんかビックリしてしまった(笑) 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 03:14:09 ] >>367 これｎが偶数のときの説明がおかしい m=1/2としたらそのときｎ=mになるけどm(2m+1)は分数だもの。 よって命題は成り立たない 379 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 03:16:19 ] >m=1/2としたら しません 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 03:19:09 ] なんで？ ｍには制約ないでしょ てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなるからn=2m自体が成り立たないよ。 仮定がおかしい 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 03:22:21 ] >ｍには制約ないでしょ あります >てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなる そのときの想定は無用です >仮定がおかしい おかしくありません。n本の線を引くとあるのだから、nが自然数 or 0だと想定できます 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 03:22:52 ] ここバカばっかじゃん 383 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 03:28:30 ] 言語能力０ 数学能力０ 他者罵倒力 ∞ - 計測不能 傲岸不遜力 ∞ - 計測不能 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 12:10:05 ] 358はまじで中学からやりなおしたほうがいい。 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 12:36:49 ] 確かに。ｎ(n+1)が偶数でないことを知らないなんて。 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 12:42:16 ] 知らなくても少し考えれば分かることなのに 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 12:59:21 ] 釣られすぎ 388 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/25(木) 13:01:37 ] 釣れた 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 13:02:22 ] 俺が主犯だけどｗｗｗお前らつられすぎてて吹いたｗｗｗｗｗ 東北医ですｻｰｾﾝｗｗｗｗｗｗｗ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 13:32:48 ] 東北医（笑） 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 13:55:21 ] おっスレが伸びてるな、と思ったら 基地外が乱入してたのね 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 17:20:54 ] >>389 ほんとに東北医なの？ fusianasanって名前欄に入れて書き込んでみなよ 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 17:31:09 ] いや、だって今地元に帰ってるし 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 17:39:37 ] じゃあ、難しい問題解いてみてよ >>372とかさ 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 17:46:43 ] 今考えてるけどよく分からん フーリエ級数みたいだね 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 18:06:21 ] >>372 �納k=1,n]a[k]=n これってa[k]=1にしかならないと思うんだが・・・ 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 18:11:09 ] おいおい、もう釣りはいいから cosx+cos2x≧-1 とか常には成り立たないだろ もしかしてa[k]を自然数と勘違いしてるのか？ 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 20:57:36 ] >>396-397 　nを固定して考えれ。 n=2 の場合 　(左辺) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]), 判別式は 　D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,　　 　D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。 ∴　a[1]=4/3, a[2]=2/3, このとき 　(左辺) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1, 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 21:06:51 ] >>396-397 　nを固定して考えれ。 n=2 の場合 　f(x) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]), 　= 2a[2]{cos(x) + a[1]/4a[2]}^2 - D/(8a[2]), これが常に非負となるから、D≦0, 　D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,　　 　D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。 ∴　a[1]=4/3, a[2]=2/3, このとき 　f(x) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1, 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/25(木) 22:39:03 ] >>372 n=3 のときは 　a[1]=3/2, a[2]=1, a[3]=1/2, 　f(x) = (3/2)cos(x) + cos(2x) + (1/2)cos(3x) = 2{1+cos(x)}cos(x)^2 -1 ≧ -1. かな。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/26(金) 00:07:30 ] a[k]を具体的に求める方法ってあるの？ n=2なら偶然見つけられたけどn=3以上になると全然見つけられない 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/26(金) 00:55:49 ] n=k(k≧3)で固定すれば容易 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/26(金) 10:17:31 ] >>372 任意の実数α(≧0)ついて、 �納k=1,n]a[k]=α　　f(x)≧-α/n を満たすa[k]があることを帰納法で示す。 n=1は省略 404 名前：403 mailto:sage [2008/12/26(金) 10:20:57 ] すまぬ。出来たつもりで書こうとしたら出来てなかったorz 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/26(金) 10:29:31 ] 期待してるよー 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/26(金) 15:18:34 ] n≧kをみたす任意の整数nに対して n＜m^2＜(2009/2008)*n となるような整数mが存在するような正の整数kのうち最小のものを求めよ。 407 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 08:55:36 ] 入試問題の多くはソ連科学アカデミーの天才養成よう難問集がネタ本だよ。 408 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 09:08:46 ] n＜m^2＜(2009/2008)*n (2009/2008)*n-n>1 a^x-x>1 f=e^xloga-x df/dx=logae^xloga-1=0 e^xloga=1/loga xloga=-logloga x=-logloga/loga=n=16.950 409 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 09:25:07 ] 「アメリカのマサチューセッツ工科大学（ＭＩＴ）コンコースプログラムに使われた問題が載 っており、その出典はユーリがロシア（当時はソ連）のモスクワ大学助教授時代に国内で行わ れていた「オリンピヤード（数学コンテスト）」や大学入試の問題、難解でひねりの利いたク イズなどです。ちなみに題名の「ミンスク」はベラルーシ共和国（旧ソ連白ロシア共和国）の 首都です。」という本です。 「ペレリマン，ヤコフ・イシドロヴィチ〈Перелъман，Яков　Исидорович〉」 410 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 09:26:15 ] ペレリマン1882.10.17-1942.3.16 『遊びの数学』(藤川健治訳)現代教養文庫958, 社会思想社 (1978)　Yakov Isidorovich Perel’man ペレリマン 『数のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987)　Ya.I.Perel’man ペレリマン 『代数のはなし』(山崎昇訳)東京図書(1987)　Ya.I.Perel’man ペレリマン 『幾何のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987)　Ya.I.Perel’man ペレリマン 『数学のはなし』(三橋重男訳)東京図書(1987)　Ya.I.Perel’man「生きた数学」「おもしろい数学」などのタイトルで出版されていたもの 411 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 09:27:37 ] www.junko-k.com/mondai/kakomon.htm 412 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 09:37:22 ] 入学までにこれくらいは目を通してね 春休みとかに No10131　ソ連教育科学アカデミー版　基礎数学（全６巻揃）、東京図書、1966-1967年、15,750円 １、数と集合１　第１部：記数法の起源／第２部：集合、群、環、体、数の体系 バシュマーコヴァ・ユシケーヴィチ／プロスクリャーコフ 1967 4刷 ２、数と集合２　第３部：数論／第４部：暗算と筆算、計算の補助手段 ヒンチン／ブラジス 1966 2刷 ３、代数１　第１部：ベクトル空間と一次変換／第２部：方程式の数値解法と図式解法 ウスコフ／ドモリヤード 1966 2刷 ４、代数２　第３部：多項式環と有理式体 オクニヨーク 1966 2刷 ５、解析１　第１部：実変数の初等函数、数列と函数の極限、函数の一般概念 ゴンチャロフ 1966 2刷 ６、解析２　第２部：微分、積分、級数／第３部：複素変数の初等函数 ナタンソン／ゴンチャロフ 1966 2刷 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 09:39:13 ] ここはお前の日記帳じゃねーよ 414 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/28(日) 09:39:21 ] スミルノフ高等数学教程　1〜12 12冊セット スミルノフ高等数学教程 著者名　：　スミルノフ，B．I．著　福原満洲雄・彌永昌吉他監 出版社　：　共立出版 発行年度　：　昭和36年 販売価格　：　\14,000 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 10:48:51 ] 春休みならそれくらい読めそうだな。面白そう 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 14:25:52 ] 三日でスミルノフ一冊ってのはちょっと無理だろ。 最初のほうの巻しか無理。 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/28(日) 17:48:54 ] たぶんやっても「読んだだけ」で終わる可能性が高い 一部の天才を除いて数学って実際にペンを取って理解をつけてくものだもの 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 19:59:23 ] >>372 >>401 >>405 　a[k] = 2(n+1-k)/(n+1),　　(k=1,2,･･･,n) 　f(x) = (1/(n+1)){1-cos((n+1)x)}/{1-cos(x)} -1, 　等号成立は cos((n+1)x) =1 (ただし cos(x)≠1) のときで、 　　x= 2π/(n+1), 4π/(n+1), ･････, 2nπ/(n+1). 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/01(木) 17:47:52 ] www.imomath.com/tekstkut/ineq_im.pdf 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/01(木) 20:08:51 ] >>418 　f(x) = (1/(n+1))Σ[k=1,n] (n+1-k)*2cos(kx), に 　2cos(kx) = {2cos(kx) - 2cos(kx)cos(x)}/{1-cos(x)} 　　　　　 = {2cos(kx) - cos((k-1)x) - cos((k+1)x)}/{1-cos(x)}, を代入したな･･･ 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/07(水) 22:21:42 ] >>419 　７．Problems の 10番 10. Determine the maximal real number ａ for which the inequality (x_1)^2 + (x_2)^n + ･････ + (x_n)^2 ≧ ａ{x_1･x_2 + x_2･x_3 + ･････ +x_(n-1)･x_n}, 　holds for any ｎ real numbers x_1, x_2, ･････, x_n. 答は ａ = 1／cos(π/(n+1))　らしいんですけど、どうやって解くんでつか？ 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/07(水) 22:54:59 ] >>421 ２次形式の行列が半正定値であればよい。 この行列の固有多項式は第２種チェビシェフ多項式を使って表せるから固有値が簡単に求まる。 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 02:58:30 ] >>421 対角化すると････ (左辺) - (右辺) = (a/2)�納k=1,n-1] s_k･s_(k+1) {x_k/s_k - x_(k+1)/s_(k+1)}^2, 　等号成立は x_k = s_k (の定数倍) のとき。 　ここに s_k = sin(kπ/(n+1)), 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 23:45:49 ] >>422 　(左辺) - (右辺) = ｘＦｘ† とおくと、 　det|Ｆ-λＩ| = (a/2)^n U_n((1-λ)/a), U_n の零点は cos(kπ/(n+1)),　(k=1,2,････,n) だから、 Ｆの固有値は λ_k = 1 - a･cos(kπ/(n+1)),　(k=1,2,････,n) 最小の固有値は λ_1 Ｆが半正値　⇔　λ_1 =0　⇔　ａ=1／cos(π/(n+1)). 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/09(金) 23:32:50 ] >406 nを超える最小の平方数を f(n) とおく。 　f(n) = M　　⇔　　(M-1)^2 ≦ n < M^2, 上記の2M-1個のnについて題意が成り立つためには、n=(M-1)^2 について成り立てばよい。 　M^2 < (2009/2008)*(M-1)^2, 　√(2009/2008) < 1 - 1/M, 　M > 2009 + √(2008*2009) = 2009 + 2008.5 -ε = 2017.5 - ε, 　M ≧ 2018 のとき、すべてのnについて題意が成り立つ。 　M=2017 のときは n ≧ 2016^2 +1 について成り立つが、 n = 2016^2 については成り立たない。 これが最大の反例だから、k= 2016^2 +1. 426 名前：425 mailto:sage [2009/01/10(土) 01:21:39 ] >>406 (訂正) 　M^2 < (2009/2008)*(M-1)^2, 　√(2008/2009) < 1 - 1/M, 　M > 2009 + √(2008*2009) = 2009 + 2008.5 -ε = 4017.5 -ε,　(ε<<1) 　M ≧ 4018 のとき、上記のすべてのnについて題意が成り立つ。 　M=4017 のときは n ≧ 4016^2 +1 について成り立つが、 n = 4016^2 については成り立たない。 これが最大の反例だから、k= 4016^2 +1. 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/10(土) 05:45:29 ] >>406 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/666 　4016^2 +1 = 16128257 K大入試作問者スレ(1) 428 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/11(日) 15:46:13 ] age 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/11(日) 20:56:23 ] A+B+C=π のとき次式を示せ。 　a'=sin(A/2), b'=sin(B/2), c'=sin(C/2) とおく. (1)　a'/(a'+b'+c') + b'/(b'+c'+a') + c'/(c'+a'+b') = 1, (2)　a'/(a'+b'c') + b'/(b'+c'a') + c'/(c'+a'b') = 2, (3)　1/{tan(A)tan(B)} + 1/{tan(B)tan(C)} + 1/{tan(C)tan(A)} = 1, (4)　tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1, science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1230393194/40 おながいします。 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/11(日) 21:10:27 ] スレチかつマルチ 431 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/12(月) 08:59:36 ] 一辺が1の正n角形x1x2x3…xnの内部に点Pをとる｡ L=x1P+x2P+…xnP とするとき､Lの最小値を求めよ｡ 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 02:01:35 ] >>429 (1) は明らか。 　(2) a' + b'c' = a' + (1/2)cos((B-C)/2) - (1/2)cos((B+C)/2) 　　　= a' + (1/2)cos((B-C)/2) - (1/2)sin(A/2) 　　　= (1/2)cos((B-C)/2) + (1/2)sin(A/2) 　　　= (1/2)cos((B-C)/2) + (1/2)cos((B+C)/2) 　　　= cos(B/2)cos(C/2), 　　(左辺) = {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/{2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)} = 2, 　(3) tan(C) = tan(π-A-B) = -tan(A+B) = -{tan(B)+tan(C)}/{1-tan(B)tan(C)}, 　(4) tan(C/2) = tan((π-A-B)/2} = 1／tan((B+C)/2) = {1-tan(B/2)tan(C/2)}/{tan(B/2)+tan(C/2)}, 433 名前：432 mailto:sage [2009/01/16(金) 04:07:22 ] >>429 やってしまった････ 訂正すまそ。 　(3) tan(A) = tan(π-B-C) = -tan(B+C) = -{tan(B)+tan(C)}/{1-tan(B)tan(C)}, 　(4) tan(A/2) = tan((π-B-C)/2} = 1／tan((B+C)/2) = {1-tan(B/2)tan(C/2)}/{tan(B/2)+tan(C/2)}, 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 20:19:41 ] 東大の2002年前期3番って、円周率が\pi < 60/19=3.1578…を満たすことを証明する必要があったのでしょうか？ hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/02/t01.html もしあったなら、この翌年の「\pi > 3.05を示せ」よりずっとエグいと思いますが。 円に外接する正12,24角形ではアウトなので、正36角形を持ち出すか、あるいは>>235のようなトリックが必要です。 もちろん三角関数表はない状況での話です。 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 23:49:21 ] 必要ない 436 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/19(月) 00:13:07 BE:624895564-2BP(1028)] >>431 Min_L(N) = N / √[2*{1-cos(2π/N)}] 437 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/20(火) 02:10:23 ] 正確に動いている時計がある。この時計の短針、長針、秒針がすべて重なる時刻は１２時００分００秒だけであることを示せ。 ただし時計の針は３本とも等速円運動をしているとする。 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 04:39:46 ] >>437 レベル的には中学入試か？ 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 05:19:33 ] >>437 普通に一致するだろ 例えば12:00:00から3600/59秒=61,01...秒後 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 05:25:46 ] すまんボケてた 3600/59分後だな 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 09:13:47 ] まだボケてる>>440 全然話にならないくらいにボケてる 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 09:35:48 ] どちらにせよスレ違い 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 10:00:28 ] >>441 どこが？ 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 11:05:24 ] >>443 とりあえず、3600/59 分間に 　長針は　366.10・・・度 　短針は　30.50・・・度 それぞれ回転する。明らかにその差は360度の整数倍ではない。 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 11:20:17 ] >>444 本気で言ってる？ だとしたら相当頭悪い 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 11:22:47 ] >だとしたら相当頭悪い 自分のこと、か？ 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 11:24:05 ] >>446 訂正するならしていいよ 448 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/20(火) 11:26:04 ] >>445 3600/59 は大体61。12時ちょうどの61分後は1時1分。そのときに長針と短針が重なるのか、お前の星の時計だと。 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 11:33:40 ] 何にしても、分母に59などと書いてる時点で、吟味する価値もないかと。55ならまだしも。 いい加減すれ違いだからやめれ。 450 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/20(火) 12:33:52 ] ５９は出てくるがどうやったら５５なんて出てくるんだ？ 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 13:47:01 ] wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:04:35 ] >>450 ヒント：長針は12時間で一周する 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:05:14 ] >>431 これって実質Pが正多角形の中心であることを示せってことでしょ？俺の解答見てくれ。 xy座標を取り、多角形の中心が原点になり、y軸対称になるように置く。 このとき、P0をy軸上に、P1をその他の場所におく。（ただしP0とP1のy座標は同じ） （続く） 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:11:25 ] >>452 ｵｲｵｲw 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:14:36 ] （以降、L(P)=x1P+x2P+…+xnPと表記する。） L(P0)<L(P1)をまず下に示す。 x1〜xnまでのn個をy座標の値でグループ分けする。 （１）１グループに一つ点がある場合（n:oddに限る） その点をAとする このときAP0<AP1 （２）１グループに二つ点がある場合。（つまりほとんどの場合） その２点をB、Cとする このときBP0+CP0<BP1+CP1となる。（図を書いて楕円の性質を考えれば明らか。） x1からxnまでnこの点を前述の通りグループ分けすれば、任意のグループについて（１）、（２）が成り立つ。 従ってL(P0)<L(P1) （続く） 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:22:05 ] L(P0)<L(P1)が意味する事は、正多角形についてそれを対称に分割する直線（直線Sと呼ぶ）を引いた場合、 「L(P)を最小とするPは必ずその直線上にある」という事が成り立つということである。 任意の直線Sの上にある点は、多角形の中心のみである。 よってminL(P)=N*(2sin(π/2n))^(-1) 従ってPは多角形の中心。 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:22:55 ] 訂正 最後の２文の順番が逆。 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:26:11 ] さらに訂正 (n:oddにかぎる)は必要ない。 あとB,Cのy座標が0の時は BP0+CP0≦BP1+CP1 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 14:39:17 ] >>445 お前の星だと、長針と短針は一分当たり(あるいは一時間当たり)それぞれ何度回るのか言ってくれ。 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 20:54:18 ] >>431 三角不等式つかいまくるだけなんじゃ？ 461 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/20(火) 20:56:45 BE:1458089287-2BP(1028)] >>456 その式で 正４角形を計算すると２√２にならんのだが・・・ 462 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/20(火) 21:51:39 BE:911306257-2BP(1028)] Ｌ＝ｎ／（２sin(π/ｎ))　か。 漏れは　局座標系を使って全部計算で解いた。 原点を正ｎ角形の中心点にとる。x1,x2,...,xN は、 (x_i,y_i)=(rcosθ,rsinθ), θ=2π/n*i, i=1,...,N 最小となる点が中心となることの証明も計算で・・・ 原点と異なる点Ｐとx1,x2,...xNとの距離の和Ｌ(P)を計算する 点Ｐを(x,y)=(r_p cosθ_p, r_p sinθ_p) Ｌ（Ｐ）＝ｎ（r^2＋r_p~2) - 2rr_p�把osX_i, X_i=2π/n*i-θ_p となるが�把osX_i はゼロになることが�敗inX=0と加法定理から導ける 463 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/20(火) 21:54:06 BE:703008239-2BP(1028)] 結局、最小になるのは r_p = 0 のときで、点Ｐ＝原点のときとなる。 464 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/20(火) 22:03:42 BE:208299124-2BP(1028)] ＞このときBP0+CP0<BP1+CP1となる。（図を書いて楕円の性質を考えれば明らか。） どのような楕円の性質を考えたらいいのか　教えてもらえないか？ 465 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/20(火) 22:32:43 BE:650933055-2BP(1028)] >>456 論理の飛躍があるような気がするんだけど・・・ ＞L(P0)<L(P1)が意味する事は、正多角形についてそれを対称に分割する直線（直線Sと呼ぶ）を引いた場合、 ＞「L(P)を最小とするPは必ずその直線上にある」という事が成り立つということである。 確かにＹが同じなら　対称に分割する直線上の点が最小になるわけだけど　 じゃぁ　その直線上では　どこが最小になるのか　言えてるのか？ 466 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/20(火) 22:37:42 BE:546783473-2BP(1028)] あっ　漏れの方法ダメかも　ｏｒｚ 467 名前：452 mailto:sage [2009/01/20(火) 23:53:07 ] >>454 しまった！ 468 名前：456 mailto:sage [2009/01/20(火) 23:54:04 ] >>464 2chでは図が使えないから説明しにくいけど頑張る。 B,Cを焦点とし、P0を通る楕円を書いてください。その曲線状の任意の点Gについて BG+CG=BP0+CP0がなりたちます（これが楕円の性質というか定義というか） P1についても同様に楕円を書いてくれれば、後はその図で分かると思う。 469 名前：456 mailto:sage [2009/01/20(火) 23:58:54 ] >>465 ＞じゃぁ　その直線上では　どこが最小になるのか　言えてるのか？ まず、その直線上にPが存在することは必要条件。次に、多角形を回転し、別の対象に分割する線をY軸に一致させる。 この場合でもPはY軸上に存在するのが必要。 こうなると二つの線の交点は原点の一箇所しかないからPはそこになる。 ところで最後の最後にくだらない計算ミスしてすいません。 470 名前：456 mailto:sage [2009/01/21(水) 00:00:20 ] 訂正： 別の対象に分割する線を→別の「対称に分割する線」を 471 名前：ボケ mailto:sage [2009/01/21(水) 00:31:13 BE:260373825-2BP(1028)] やっぱり　計算間違えてたｗ 距離計算するのにル〜トとるの忘れてたわ けど、不等式つくって　r_p＝0のとき最小になると示せる 使った不等式は　�嚢_i ≧ √(�嚢_i^2) 472 名前：456 mailto:sage [2009/01/21(水) 13:31:58 ] >>462 �敗inX=0は分かるんですけど、そこから�把osX=0を導く過程、教えてください。 あと、僕の解答は納得いただけましたか？

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