- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 21:54:37 ]
- >>235
2sinθ + tnaθ > 3θ, 0<θ<π/2 .
を Snell の式とか言うらしいよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000//591 , 565
不等式スレ３
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 22:12:14 ]
- >>235
平方根の近似値使わなくてもできる
>>235 から
4(2sin(π/12) + tan(π/12)) ＞ π …(1)
また、
22/7 - 4(2sin(π/12) + tan(π/12))
= (2/7) (-17 + 7√2 + 14√3 - 7√6)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (3√6-7)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (√54-√49)
＞ 0
∴ 22/7 ＞ 4(2sin(π/12) + tan(π/12)) …(2)
3.15 ＞ 22/7 …(3)
は明らか
(1)(2)(3) より π＜3.15
ところで、いきなり相加相乗使ってるけど、
そのやりかた有名なの？
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/22(土) 08:23:27 ]
- >>240
なるほど・・・
22/7が割と正確な円周率の近似であることをうまく利用するんですね
この方法は>>239にあるとおり、光の屈折に関するsnellの法則で有名なWillebrord Snellが
円周率の値を評価するときに使った方法です
3sinθ/(2+cosθ)<θ<(2sinθ+tanθ)/3の右側ですね
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/22(土) 19:48:19 ]
- ↑の略証
1 - {(1-cos(x))/(2+cos(x))}^2 < 1 < {cos(x) + cos(x) + 1/(cos(x)^2)}/3,
を [0,θ] で積分する････
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/11/22(土) 22:53:55 ]
- >>185
これって、2008年度の京大乙6番のように三角関数表が与えられたら、こういう解答も成り立つ。
正45角形ならばS_45 = 45 tan 4°だが、0.0699 < tan 4° < 0.0700より、
\pi < S_45 < 45*0.0700=3.15より、円周率は3.15未満。
0.0697 < sin 4°< 0.0698より、\pi > s_90 = 45*sin 4°>45*0.0697=3.1365>3.1
hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/08/k01-23p/3.html
但し、三角関数表自体は切り捨てか切り上げか明言していないので、使うべき角度には注意が必要。
角度が小さ過ぎても、円周率には躙り寄れるが今度は誤差が大きいので問題あり。
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/22(土) 23:39:37 ]
- なんだかんだで185は人気だなｗｗ
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/23(日) 00:13:39 ]
- 一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが
四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。
- 246 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/23(日) 00:28:56 ]
- google入社試験のやつだろ。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/23(日) 04:33:12 ]
- >>241-242
サンクス
不等式スレも見てるのに見落としてた…
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/23(日) 15:11:27 ]
- 正の無理数αに対し、二つの数列
2α、4α、8α、16α、32α…（2^nα）
6α、12α、24α、48α、96α…（3*2^nα）
を考える。
このとき、いかなるαを考えたとしても、
これらの数の中に必ず、小数部分が1/4より大きくなるものがあることを示せ。
また、上記命題において1/4が最良であることも示せ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/23(日) 16:21:04 ]
- >>248
2進法で考えて、α の小数点以下(n+1)桁目が 1 だったら、
2^n*α は小数点以下1桁目が 1 だから、小数部分は 1/2 以上
だから、1/4 が最良ってのは変じゃないか？
- 250 名前：248 mailto:sage [2008/11/23(日) 16:30:45 ]
- すまん、ちょっと考えなおしてくる
- 251 名前：249 mailto:sage [2008/11/23(日) 19:14:14 ]
- 1/4 を 3/4 にすれば問題が成立してると思う
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 01:07:35 ]
- f：N×N→Nが次の３条件を満たすとき、fをすべて求めよ
f(x,x)=x
f(x,y)=f(y,x)
(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 01:17:20 ]
- >>248
αの2進小数表示を考える。
小数部分の数字の中に 1 が連続している場所が在れば
その部分 11 が小数点のすぐ右に来たときに2^n・αの
小数部分が3/4より大きく）になる。
また連続した場所が無ければ、小数点の右に 010が来たときに
3・2^nαの小数部分が3/4より大きくなる。
2進小数で
0.00.........（0がn桁）.........00100.........（0がn+1桁）.........00100.........（0がn+2桁）.........00100（0が三桁）
というような数を考えると、nが大きいとき、>>248の系列の最大値は3/4に充分近い。
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/25(火) 05:23:29 ]
- m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が解をもつとき、この方程式は無数に多くの解を持つことを証明せよ。
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 07:00:36 ]
- どう見ても双曲線
(x,y)=((√m)/cost,tant/(√n))
- 256 名前：254 mailto:sage [2008/11/25(火) 07:02:16 ]
- すまない、「整数解」が抜けていた。正しくは
m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が整数解をもつとき、この方程式は無数に多くの整数解を持つことを証明せよ。
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 20:44:24 ]
- m=n=1の時点で有限個なんだが
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 20:49:06 ]
- ﾜﾗﾀ
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:06:14 ]
- 連続で有界な定数でない実関数f,gが任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを求めよ。
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:13:48 ]
- Fラン用？
f(x)=cosx
g(x)=sinx
- 261 名前：259修正 mailto:sage [2008/11/25(火) 21:39:00 ]
- 連続で有界な定数でない実関数f,gが任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを『すべて』求めよ。
いや、っていうか何の条件もなかったら普通「すべて」だよね……
そう思ってた、俺がバカなのか……orz
だから、唯一性の証明がだなぁｒｙ
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:39:49 ]
- >>260
あと、それだけじゃないよ。唯一性とは言ったが、答えは無限にあるので……
と言ってもｒｙ
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:46:07 ]
- こんな有名問題出るわけねーだろカス
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 23:06:26 ]
- いやもう出るとか出ないとか気にしてる人いないと思う。
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 23:17:12 ]
- 微分可能なやつだったら解けるが
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 00:59:25 ]
- >>260は
これFラン用？Eランク大学の俺様には簡単すぎて欠伸が出るんだけど。
くらいの意味だと思っといたほうがｗ
>>263
微分可能って条件があるのだったら見たことあるけど、
それが無い奴はそんなに有名でも無いと思うけど。
まあ定義に従って微分を求めたら求められた気もしたけど。
- 267 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/26(水) 10:36:03 ]
- f(x)を実数において定義され実数値をとる連続な関数とし、さらに
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)= 4x+3
を満たすとする。
(1)実数a,bに対してf(a)=f(b)が成立するときa=bであることを示せ。
(2)f(x)は単調増加であることを示せ.
(3)f(x)を求めよ.
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 13:30:21 ]
- >>260
お願いだからギャグと言ってくれ
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 14:14:00 ]
- >>253
0.01011x11=1.00001.
- 270 名前：260 mailto:sage [2008/11/26(水) 14:22:36 ]
- 釣れたーーーーーーーーーー＾＾；
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 15:03:01 ]
- >>261
これ本当に解けるか？
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 18:08:34 ]
- うるさい。
- 273 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/26(水) 18:40:21 ]
- x,yは正の整数、またdをx,yの最大公約数とする。
方程式：d^3+x+y^2=dxy
を満たすx,yをすべて求めよ。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 20:25:58 ]
- >>261
できた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1227698744
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:00:10 ]
- >>261
なんかミスってた＆ヘタクソなことしてた(´・ω・｀)
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1227700775
- 276 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/26(水) 21:18:36 ]
- 文 科
第 一 問（文理共通）
sin2009°の小数第一位から少数第五位までのそれぞれの数を，
a，b，c，d，eとして，このとき，
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
とする．
(1) sin2009°とsin1877°の大小を比較せよ．
(1) a，b，c，d，e，f(e)のそれぞれの値を求めよ．
(2) f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(1)は東大の易化にあわせたつもりだが簡単すぎる．
ちなみに1877年は東大設立の年．
sin1877°＞ sin2009°になることはどうみても明らかだけども，
懐古的な（といっても1877年だと古すぎるが）教授なら，
2009年よりも1877年のほうが東大は輝いていたに違いない―，なんて言うかもしれないと思って．
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:39:44 ]
- (2)はかなり面倒じゃない？
sin 29°の値なんて手計算させてどうすんの？
sin 2010°なら意味分かるけども。
三倍角の公式を使って三乗根の値を概算、なんてやってたら
（最近の学生はゆとり教育の結果計算力がなくなっているとかそういうことではなくて）
三十分じゃ全然時間が足りないと思うけど。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:17:29 ]
- >>276
電卓があれば解ける問題って……いくらなんでもあり得ないのでは？
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:27:19 ]
- >>261-262
Fラン用？
f(x) = cos(ax),
g(x) = sin(ax),
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:50:11 ]
- もうええからそれは
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 02:45:44 ]
- >>275
一生懸命タイプして完成して嬉しい気持ちでうｐしたんだろうなと思ったら萌えた
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/27(木) 18:33:56 ]
- n^n + 2 (n∈N)が素数になるような n が無数に存在することを証明せよ.
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 20:16:19 ]
- 1877 = 1800+77 より sin1877゜= sin77゜
2009 = 1800+180+29 より sin2009゜= -sin29゜
符号を見て分かる通り、sin1877゜ > sin2009゜
････ダメ？
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 20:26:54 ]
- >>267
(1)f(a)=f(b)のときf(f(a))=f(f(b)),f(f(f(a)))=f(f(f(b)))なので
4a+3=4b+3
ゆえにa=b
(2)(1)よりf(x)は単射の連続関数なので
単調増加または単調減少
単調減少と仮定すると
f(f(x))は単調増加、f(f(f(x)))は単調減少なので
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)は単調減少
だが右辺の4x+3は単調増加で矛盾する。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 22:33:03 ]
- >>283
elegant
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 02:12:30 ]
- eelegantか？普通じゃないの
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 03:10:33 ]
- >>256
１つの整数解を (x_1, y_1) とし、
α = x_1･√m - y_1･√n,
β = x_1･√m + y_1･√n,
とおくと
αβ = m(x_1)^2 - n(y_1)^2 = 1,
また、α、βは奇数乗しても
α^(2k+1) = x_(2k+1)･√m - y_(2k+1)･√n,
β^(2k+1) = x_(2k+1)･√m + y_(2k+1)･√n,
の形を保つ。 そして漸化式
x_(2k+1) = {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}x_(2k-1) + {2n(x_1)(y_1)}y_(2k-1),
y_(2k+1) = {2m(x_1)(y_1)}x_(2k-1) + {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}y_(2k-1),
から、 x_( ), y_( ) はすべて整数となる。
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 11:15:15 ]
- >>267
cを任意の実数とし数列x[n]を漸化式x[1]=c, x[n+1]=f(x[n])で定める。
与方程式から
x[n+3]-3x[n+2]+6x[n+1]=4x[n]+3 (n=1,2,...)となる。
階差数列をy[n]=x[n+1]-x[n]とおけば
y[n+3]-1=-8(y[n]-1) となるので
y[3n+1]=(-8)^n*(y[1]-1)+1
を得る。ゆえにy[1]≠1と仮定すると十分大きなnに対してy[u]>0,y[v]<0となるような番号u,vが
それぞれ存在する。
ゆえにf(x[u])>u,f(x[v])<vとなるような実数x[u],x[v]が存在するが、f(x)は連続なので
中間値の定理からf(w)=wとなる実数xが存在する。
これを与方程式に代入すればw-3w+6w=4w+3⇔0=3となり矛盾する。
従ってy[1]-1=0でなければならず、すなわちx[2]=x[1]+1,つまりf(c)=c+1である。
cは任意であったから任意の実数xに対して
f(x)=x+1でなければならない。
逆にこれは与えられた条件を満たす。ゆえにf(x)=x+1
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 15:42:04 ]
- lim{n->∞}{( 1 + 1/(n*(n-1)) )^n}を求めよ。
ネイピア数e = lim{n->∞}{(1 + 1/n)^n}(表記の参考までに）
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 22:02:48 ]
- 任意の実数a, bに対して
F(2a) + F(2b) = 2F(a+b)F(a-b)
を満たし、かつ定数関数ではない関数F(x)がある。
F(p)=F(q)を満たす実数p, qに対して、F(p+q) と F(p-q)の少なくとも一方は1に等しいことを示せ。
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 22:28:20 ]
- >>290
a=b=0とすると
f(0)+f(0)=2f(0)^2⇔f(0)=0,1となるがf(0)=0と仮定すると
b=aとして,f(2a)=0が任意のaで成立し仮定に矛盾するからf(0)=1
さらにb=0としてf(2a)+1=2f(a)^2 ∀a ･･･(1)
a=(p+q)/2,b=(p-q)/2として
f(p+q)+f(p-q)=2f(p)f(q) …(2)
a=p,qとして
2f(p+q)f(p-q)=f(2p)+f(2q) ･･･(3)
(1)よりf(p)=f(q)のときf(2p)=f(2q) ･･･(4)
ゆえに(2)(3))(4)より
(1-f(p+q))(1-f(p-q))
=1-f(p+q)-f(p-q)+f(p+q)f(p-q)
=1-2f(p)f(q)+{f(2p)+f(2q)}/2
=1-2f(p)^2+f(2p)=0 (∵(1))
よって示せた。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 04:25:44 ]
- >>290
b=a を代入すると、2F(2a){1-F(0)} = 0,
題意により F(2a)≡0 ではないから、F(0) = 1.
|F(1)| < 1 のとき F(x) = cos(ax), ただし a = arccos{F(1)},
F(1) > 1 のとき F(x) = cosh(a'x), ただし a' = arccosh{F(1)} = log{F(1)+√[F(1)^2 -1]},
- 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/29(土) 16:21:57 ]
- 円周率πは無理数であることが知られている。
πに1/mπ(m:0以外の実数)なる数以外の数を掛けたとき、その値が0でない有理数となることはあるか。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 16:50:44 ]
- 1/mπ(m:0以外の実数)は0以外のすべての実数を取りうるから
これ以外の実数はない。
よってない。
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 18:06:26 ]
- >>289
n(n-1) = N とおくと
N→∞, (n→∞)
(与式) = { (1 + 1/N)^N }^(1/(n-1)) → e^0 = 1. (n→∞)
- 296 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/29(土) 20:10:03 ]
- n^2009の上2009桁がすべて1であるような正の整数nが存在することを証明せよ。
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 01:40:47 ]
- ∫[x=1,0]x^(p-1)*(1-x)^(q-1)dxが収束するp,qの範囲を求めよ
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 01:47:39 ]
- >>297
そんなベータ関数の有名問題が出ると思ってんの？バカなの？
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 12:44:50 ]
- >>296
各桁がすべて1の2009桁の整数をa=111...11
とおく。
nが題意を満たす条件は
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
を満たす0以上の整数kが存在することである。
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
⇔loga+k≦logn<log(a+1)+k
数列x[n]=lognについて考えると
x[n]→∞で、x[n+1]-x[n]=log(1+1/n)→0なので
x[n]の階差はいくらでも小さくなる。区間[loga+k,log(a+1)+k)の長さはlog(a+1)-loga=log(1+1/a)は0より大きい定数だから
k,nが十分大きければ
x[n]=lognが区間[loga+k,log(a+1)+k)に属するような正の整数nが存在する。
よって題意は示された。
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 17:31:16 ]
- >>299
nじゃなくてn^2009なんだが
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:18:35 ]
- ∫[x=2π,0]√(2-2cost)dt
において
x=costと置換すると
積分区間は[x=1,1]となるが
これが０にならないとことを示せ
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:22:40 ]
- >>301
そりゃ、ルートがついたもん積分したら、中々０にゃならんだろ
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:45:15 ]
- ＞x=costと置換すると
＞積分区間は[x=1,1]となるが
こういう間の抜けたことは東大入試の問題文には書かないかと
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:47:11 ]
- >>301
狙いは分かるが．．．
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:50:06 ]
- そういう盲点というか受験生の理解不足になりがちなポイントを、
うまく問題の中に潜ませるのがうまい問題だな。
突きたいポイントをずばり問題にしてしまったのでは駄作。
ま、俺には作れんが。
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 00:28:07 ]
- science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/
京都大学入試作問者になったつもりのスレ①
の308で∫[x=0,1]√(2-2cos(2πx))dxが出てくる悪寒
・・・でもそんな置換はしないか
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 00:31:27 ]
- a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
f(n)が全て非素数になるa,bの組を一つ求めよ。存在しないのならその事を示せ
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 00:41:09 ]
- a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
いかなるa,bを選んでも、f(n)が合成数になるような無数に多くのnが存在することを示せ
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 01:26:56 ]
- >>308
mod2で考えれば 000… または …110110… だから，偶数の項は無限に存在する。
f(n)は単調増加だから4以上の偶数が無限に存在することになる。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 21:37:11 ]
- >>301
変数変換したら被積分関数が閉区間[1,1]で存在しないことを
証明すればいいんだろ
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 22:03:41 ]
- >>310
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 23:07:08 ]
- >>306
半角の公式
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/15(月) 04:36:01 ]
- 1からnまでの数字が1つずつ書かれたn枚のカードがある。この中から1枚を引き、
出たカードの数字をX_1とする。さらに、カードをもとに戻して再び1枚を引き、
出たカードの数字をX_2とする。X_1, X_2のうち、小さくない方をXとする。次の問いに答えよ。
(1) Xの期待値Eを求めよ。
(2) kを自然数として、X≧kとなる確率をp_k、X≦kとなる確率をq_kとおく。
p_k≧1/2かつq_k≧1/2となるようなkの値をmとするとき、n=100に対するmの値を求めよ。
(3) lim[n→∞]E/mを求めよ。
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/15(月) 04:44:24 ]
- nを自然数とする。2n桁の自然数で、上位n桁の和と下位n桁の和が等しいとき、
この自然数を「均衡数」と呼ぶことにする。
たとえば、1634は1+6=3+4により均衡数であるが、123401は1+2+3≠ 4+0+1により均衡数ではない。
(1) 0, 1, 2, 3, 4の5個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数は70個であることを示せ。
(2) kを9以下の自然数として、0からkまでのk+1個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数をkで表せ。
- 315 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/15(月) 04:50:25 ]
- (1) √2＞1.4を示せ。また、(1+√2)^5＞99を示せ。
(2) ∫[0, π/2](sin 2x)/(1+sin^2 x)dx と ∫[0, π/2](sin x)/(1+sin^2 x)dxの大小を比較せよ。
- 316 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/15(月) 07:14:48 ]
- ひとつの頂点に集まる面は３つ以上ある。
ひとつの頂点に集まる頂角の合計は３６０度未満である。
オイラーの定理Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２が成り立つ。
多面体の以上の性質を利用して、正多面体は正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類しかないことを示せ。
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/15(月) 21:38:14 ]
- sinθとcosθを用いてπを表せ。
- 318 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/17(水) 00:26:56 ]
- >>315 (1)
問題がおかしくありませんか？(1+sqrt{2})^5 = 82.01...くらいだと思いますが。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/17(水) 00:53:24 ]
- >>318
ほんとだorz
書き間違えてました。
(1+√2)^5＜99を示せ。
でした。ごめんなさい。
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/17(水) 10:07:18 ]
- >>317
π + 0sinθ + 0cosθ
π(sin^2θ + cos^2θ)
- 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/17(水) 12:05:06 ]
- >>316何年か前に海城高校で類題が出てたはず
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/17(水) 12:12:15 ]
- >>320
π使ってるやんｗｗｗｗｗｗ
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/17(水) 18:26:38 ]
- 180 （sinθ）’/cosθ
ただし θ は度数法
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/18(木) 02:31:50 ]
- >>315 (1) & >>319
2 > 1.96 = 1.4^2,
a_n = (1+√2)^n + (1-√2)^n,
とおくと
a_n = 2*a_(n-1) + a_(n-2), a_0 = a_1 = 2,
a_n - 1 < (1+√2)^n < a_n + 1,
を満たす。
a_5 = 82 ゆえ、81 < (1+√2)^5 < 83,
>>315 (2)
∫[0,π/2] sin(2x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,π/2] 2sin(x)cos(x)/{1+sin(x)^2} dx
= [ log{1+sin(x)^2} ](x=0,π/2)
= log(2)
= 0.69314718055994530941723212145818
cos(x) = z とおくと、
∫[0,π/2] sin(x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,1] 1/(2-z^2) dz
= (1/√8)∫[0,1] {1/(√2 -z) + 1/(√2 +z)} dz
= (1/√8) [ log{(√2 +z)/(√2 -z)} ](z=0,1)
= (1/√2) log(√2 +1)/(√2 -1)
= 0.62322524014023051339402008025057
>>316
各面は正ｍ角形、
１つの頂点に集まる面の数をｎ≧3,
とすると、
mF = 2E = nV より V-E+F= (2/n -1 +2/m)E,
{(m-2)/m}π*n < 2π より 2/m -1 +2/n > 0.
- 325 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/19(金) 00:56:44 ]
- ｎを２以上の自然数とする。１／ｎと１／(ｎ＋１)が、１０進数表記でともに有限小数になるｎをすべて求めよ。
簡単かな。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 01:48:31 ]
- 受験生によって差が出そうな問題だ。4の倍数全て。
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 02:01:31 ]
- さっそく差が出たな
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 02:18:26 ]
- n=8でもう違ってる。簡単に考え過ぎたな
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 02:26:54 ]
- また頭の中で考えただけだけどn=(5^m-1)/2, (1/2)*(5^m-1)-1 (m: 自然数)
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 02:29:39 ]
- m=1だとn=1(<2)になるけどこういうのってアウトなんだろうな
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 02:46:50 ]
- n=5^j、n+1=2^(4k)の形になるもの（k、jは正整数）
またはn=2^(4k-2)、n+1=5^jの形になるもの（k、jは正整数）
酔った頭じゃこれ以上簡単にできない
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 19:12:24 ]
- kを0または自然数として
n=10k+4
どうだろう
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 20:31:29 ]
- とりあえず1/14を計算してみれば良いと思うよ。
2の冪と5の冪で隣り合うようなものの組を全て求めよっていう問題だよね。
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 20:54:58 ]
- >>324
(1) をつかって、(2) を示すんじゃないの？
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 21:39:10 ]
- 1/n が10進小数で有限小数になる
⇔（ある自然数 N 、 k を用いて） 1/n = N/10^k と表わせる
⇔ nN = 2^k・5^k と表わせる
⇔ n の素因数は 2 か 5 のみ
よって n と n + 1 がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
片方が 2・5 = 10 の倍数ならば不適となることが直ぐに分かるので
2 の冪と 5 の冪で差 1 になるようなものの組 (2^n, 5^m) を求めれば良い。
a^n - b^n は a - b で割り切れ、また n が奇数のとき a^n + b^n は a + b で割り切れることに注意。
2^n = 5^m + 1 かつ m ≧ 1 のとき、
mod. 5 で両辺を比較して n が 4 の倍数となることが分かる。文字をおきなおして
2^(4n) - 1 = 5^m つまり 16^n - 1 = 5^m となれば良いが、左辺は 15 の倍数なので
この式を満たす n, m は存在しない。
2^n = 5^m - 1 のとき、
右辺が 24 = 5^2 - 1 で割り切れてはいけないので m は奇数。(*)
2^n + 1 が 2 + 1 で割り切れてはいけないので n は偶数。
2^(2k) = 4^k = 5^m - 1 = 4(1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1))
つまり 4^(k-1) = 1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1) となる。
mod. 4 で両辺を比較すると k ＞ 1 のとき
0 ≡ m (mod. 4 )となる。従って m は 4 の倍数。
これは(*)に反するので k = 1、m = 1 が分かる。
したがって>>325の解は n = 4、n + 1 = 5 のみ。
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 21:41:37 ]
- あ、訂正
よって n と n + 1 【の素因数】がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
それから 2^n = 5^m + 1 かつ m = 0 の場合忘れてた。
(n , n + 1) = (1, 2)も解で、この二つか。
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/19(金) 23:05:19 ]
- nは2以上の整数す
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/20(土) 00:50:33 ]
- >>334
>>313-315の出題者ですけど、
当然、そういう意図の問題です。
- 339 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/20(土) 13:24:48 ]
- ０
|
 |
