- 1 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/21(土) 10:00:00 ]
- むやみに「～の確率は？」という質問をすると、
白痴呼ばわりされて無用の反発を招いてしまいます。
よって新スレ立てたり、他の質問スレに書くよりも、
なるべくこちらにお願いします。
１：science.2ch.net/test/read.cgi/math/984557114/
２：science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1029400897/
３：science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109546954/
４：science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1154790000/
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/30(火) 21:51:31 ]
- >>790
>「くじの数が100個あってそのうち当たりが1個だけあるくじ引き。1回くじをひく」
>実際問題1回目で当たりを引くこともあるし、10回目で引くこともあれば100回で引くこともあれば
「1回くじをひく」がどこに行ったのか不明。
復元抽出なら、ポアソン。
非復元なら、二項分布。
で、良かったと思う。
違ってたら、指摘して再教育しておくれ。
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/30(火) 22:17:57 ]
- >>806
当たりを引くまで引くんだから１回目に当たりを引いた奴は２回目以降は引かないんだよ
単純計算で１回目で100人に１人当たりを引くんだから２回目には99％の人しか残ってない
当たりを引く人は回を追うごとに1％ずつ減っていく
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/30(火) 22:21:07 ]
- >>810
勘違いしてないか？
- 812 名前：809 mailto:sage [2008/12/30(火) 22:24:07 ]
- よく見てなかった。
>極端な話1000回引いても出ないこともあると思います。
だったら、ポアソンか。
平均とかはググればすぐ見つかる。
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 02:41:06 ]
- >>811
そういう時は何をどう勘違いしてると思ったのか書けばいいのに
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 13:13:31 ]
- ただの言いがかりだからそんな物は書けない
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 18:44:47 ]
- >>809
＞「1回くじをひく」がどこに行ったのか不明。
もう少しちゃんと読んでやれよ。
その問題はココ↓で終了してる。
> 当たる確率は1%ですよね。
それ以降の
> 単純に考えて100回に1回の割合で当たりを引くということになるんでしょうが、
などは、その問題からの発展の話で
> ここで知りたいのは、これを当たるまで何度も引けるとしたとき、
> あたりが出た時点でのくじを引いた回数の確率を知りたいのです。
最終的にはこれが問題↑。
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 21:13:53 ]
- くじを引いた回数の確率
くじを引いた回数の確率
くじを引いた回数の確率
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 21:21:49 ]
- いまさら感ありすぎ。
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/31(水) 21:48:20 ]
- >>785
すごいなあ。
ぜひ４×７の確率を教えてくれないか？
あと６＊１０も。
- 819 名前：818 mailto:sage [2009/01/02(金) 04:11:37 ]
- 4×７ 計算してみたけど あってる？
↓
100399/100663296
- 820 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/02(金) 19:46:07 ]
- 私は日本人が鮫に食べられる確率を知りたいんですが、求められる方いますかね？
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/03(土) 00:26:56 ]
- 日本人だって、国内に居るとは限らない。
渡航している日本人の現在の詳細な所在地は、事故が明らかになるまで、外務省も知らない。
過去の数字をどうやらして、未来を予測するなんとかはあるよ。
それが、当たる確率は、わしに訊かんように。
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/04(日) 01:17:43 ]
- 高校の教科書レベルの問題で盛り上がりすぎでしょこのスレ
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/04(日) 16:23:44 ]
- 期間を明示していない場合、100%でよいのでは。
ある人が日本人であってその人が…というなら平均寿命分だろうけど。
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/05(月) 13:41:49 ]
- >>785
で、３×３はいくつだって？
- 825 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/05(月) 20:11:21 ]
- 確率1の事象は存在するんだろうか
もう哲学の範囲？
- 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/05(月) 20:42:27 ]
- 確率１の事象が存在しないことのほうがびっくりな気がするんだが
哲学の範囲か？
- 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/05(月) 20:55:28 ]
- 確率公理くらい読め
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/05(月) 21:26:38 ]
- 公理的確率論は世の現実の事象とは対応していない。
- 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/06(火) 15:47:01 ]
- >>824
63/512
- 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/06(火) 20:44:56 ]
- 59か61か63か、どれが正しいんだろ…。
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/07(水) 12:41:12 ]
- >>830
俺もn=3を数えたら63/512になった。
n=4は1234/65536になった。
- 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/07(水) 18:25:29 ]
- >>829
手作業で数えたんですか？
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 01:08:27 ]
- トランプをn回引いた時の組み合わせの数を求めようと思います。
数字は無視してスート(種類)のみに着目します。
基本としては各スートの引かれる確率は常に同じです。
条件１
引かれた順番は考慮しません。
(例えば、スペード→ダイヤとダイヤ→スペードは同じ物として扱います)
条件２
同じスートが連続して引かれる事はありません。
また、スペードの次にハート、ハートの次にダイヤ、ダイヤの次にクラブ、クラブの次にスペード、が引かれる事はありません。
(例えば、スペードが引かれたならば、次に引かれるのはダイヤかクラブのどちらかだけです)
条件が １ のみならば4Hnで求める事ができます。
条件が ２ のみならば2＾(ｎ+1)で求める事ができます。
条件が １かつ２ の場合、一般化できるでしょうか？
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 15:02:30 ]
- ＞ 組み合わせの数を求めようと思います。
スレ違い。
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 15:07:25 ]
- >>831
n=5→55447/2^25
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 15:12:07 ]
- >>833
条件2は何でそんな面倒な事してるんだ
黒の次は赤、赤の次は黒しか出ないじゃだめなのか？
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 18:00:49 ]
- n=2で両方の条件
スペード、ダイヤ
スペード、クラブ
ハート、スペード
ハート、クラブ
ダイヤ、ハート
クラブ、ダイヤ
の6通り
>>836の条件だとすると
スペード、ハート
スペード、ダイヤ
クラブ、ハート
クラブ、ダイヤ
の4通りになる
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 18:13:59 ]
- >>836
ダメ
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/08(木) 19:46:19 ]
- n×2の場合
n×2の塗りかたをp[n]通り
n×2から右上の１マスを除いた時の塗りかたをq[n]通りとする。
例
□□□
□□□□
↑の塗りかたはq[4]通り
p[n+1]を考えると、一番右の列が両方白の時はp[n]通り。片方だけ黒の時はq[n]通り(×2)。両方黒の時は不適。
よって、p[n+1]=p[n]+2q[n]
q[n+1]を考えると、一番右のマスが白の時p[n]通り。黒の時はq[n]通り。
よって、q[n+1]=p[n]+q[n]
また、p[1]=3,q[1]=2
あとはまかせた。
この考え方じゃ×3,×4…としたとき大変だけどな。
- 840 名前：オッサン [2009/01/09(金) 09:22:14 ]
- 数学の得意な方々にお聞きします
１～３４番
34種類のカードが各4枚ずつあります
計136枚
順番にそのカードを引きます
一旦引いたカードは戻しません
例えば
10回目に引いたカードが１である確率は？
答えは
『136分の4』
に決まっていると思いますが
その証明がうまく出来ません
素人にもわかりやすい説明(証明)の仕方がありましたら
ぜひ教えて下さい
また、
『10回目に引いたカードと12回目に引いたカードが
同一になる確率』
と
『12回目に引いたカードと14回目に引いたカードが同一になる確率』
は一緒ですよね
確率的な説明してくれる方がいましたら
よろしくお願いします
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/09(金) 10:22:38 ]
- >>840
１番のカードを引いた人があたりと考えると136人中4人があたるということである。
くじの公平性を考えると、何番目に引こうと当たる確率は同じ
つまり、くじの当たったひとが10番目に引いた確率は4/136。
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/09(金) 10:25:42 ]
- >>840
下も同じように、何番目に引こうが当たりを引く確率は同じなのだから
10番目のひとと12番目のひとが同時に当たる確率と
12番目のひとと14番目のひとが同時に当たる確率とは同じ。
- 843 名前：オッサン [2009/01/09(金) 10:57:27 ]
- >>840です
>>841
>>842
ありがとうございます
やはり、
引いたカードを
戻さない場合も
戻す場合(136面のｻｲｺﾛを振るようなケース)
も同じ136分の4ですよね
>>840
12回目に引いたカードと
14回目に引いたカードが
同一である確率は
(1/136)×(3/135)
×34(種類)
でしょうか？
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/09(金) 20:14:23 ]
- >>843
> 同じ136分の4ですよね
確率としては同じ4/136であるが
計算過程は異なるので気をつけて。
両者の最大の違いは、戻さないほうは、136人が引いたときには、必ず４人が当たるが
戻すほうは、0人のときも136人の時もある。 その平均が４人ということ。
> 同一である確率は
> (1/136)×(3/135)
> ×34(種類)
> でしょうか？
違う。
その考え方でいくのなら
(4/136)×(3/135) ×34(種類)
ひとり目は同一のカード４枚中どれでもいいので分子が４
ふたり目はのこりの3枚のどれでもいいので分子が３
もっとも、ひとり目は、どんな種類のカードを引いてもいいのだから
(136/136) × (3/135)
としてもよい。
- 845 名前：おっさん [2009/01/10(土) 05:20:23 ]
- >>844
ありがとうございます
{(1/136)×4枚}
×{(4－1)×(136-1)}
×34種類
になるわけですね
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/10(土) 05:37:51 ]
- >>845
そう
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 10:35:51 ]
- >>831
プログラム組んで調べたらn=4までそれで正しいことが確認された。
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 14:54:16 ]
- n=5は？
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 19:14:01 ]
- 一部推測が入るが、一応n×nで答が出た。n=1,2,3で一致したから多分あってると思う。でもすごく説明しづらい。わかりづらくてもよければ書こうか？
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 21:58:46 ]
- >>849
nの式として陽に書けるんじゃないの？
- 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 23:39:29 ]
- >>850
結論だけ言うとこうなった。
次のように行列の列｛A_n｝｛B_n｝｛C_n｝を定める。
B_1=1
C_1=1
B_(n+1)=[[B_n,C_n],[B_n,Ｏ]]
C_(n+1)=[[B_n,C_n],[Ｏ,Ｏ]]
A_n=[B_n,C_n]
(Ｏは零行列)
このとき、n×nでの塗りかたをp_n通りとすると、
p_n=A_1×A_2×…×A_n×tA_n×…×tA_2×tA_1
(tA_iはA_iの転置行列)
であり、求める確率は、
p_n/(2^(n^2))
である。
B_nとC_nに関する漸化式のところが推測。
俺にはこれが限界。
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/14(水) 00:45:26 ]
- A_ｎは行列なのにp_nはスカラーになるのか？
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/14(水) 02:19:46 ]
- >>851
すまん、行列の計算のところの意味がわからん。
３×３を具体的に計算してみてはくれまいか。
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/14(水) 07:26:02 ]
- >>848
プログラムを高次でもできるように直して計算したらn=5も>>835と一致した。
（n=4の計算は数秒なのにn=5は2.5時間もかかった。これ以上は無理だ。）
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/14(水) 07:54:10 ]
- >>852>>853
やっぱりわかりづらいな。三次だと、
A_1=[1,1]
A_2=
１１１１
１０００
A_3=
１１１１１１１１
１０００１０００
１１００００００
１０００００００
となって、これから
p_3=A_1×A_2×A_3×tA_3×tA_2×tA_1=63
になるはず。
行列ちゃんと書かなくてスマソ
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/14(水) 09:21:54 ]
- 訂正
×三次○３×３
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/14(水) 22:42:17 ]
- すげー、n=4,5も正しい答えが出るよ。
たぶん間違ってないんだろうな。
しかし、なんでこんな計算なんだろ？
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/15(木) 17:50:15 ]
- ちょっとクジやりたいんだけど教えてー
・１から１００までの数字を書いたボールを１００個用意する
・箱の中にボールを入れ、無作為に私が５個取り出す。書いてある番号が当たり。
この時、私が引いた５つの当たりボールの中に、「１」と書いてあるボールが含まれている確率が知りたいの。
１００分の１+９９分の１+９８分の１+９７分の１+９６分の１＝…でいいのかな？
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/15(木) 18:22:07 ]
- >>858
ダメ。
1/100 + 99/100*1/99 + 99/100*98/99*1/98 + 99/100*98/99*97/98*1/97 + 99/100*98/99*97/98*96/97*1/96
=1/20
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 04:58:46 ]
- 電算屋のあたくしが ７×７ までと ｎ×m のいくつかを。
1x1:2 2x2:7 3x3:63 4x4:1234
5x5:55447 6x6:5598861 7x7:1280128950
1x2:3 1x3:5 1x4:8 1x5:13 1x6:21 1x7:34 1x8:55 1x9:89 1x10:144 1x11:233 1x12:377
2x3:17 2x4:41 2x5:99 2x6:239 2x7:577 2x8:1393 2x9:3363 2x10:8119 2x11:19601 2x12:47321
3x4:227 3x5:827 3x6:2999 3x7:10897 3x8:39561 3x9:143677 3x10:521721 3x11:1894607 3x12:6879979
4x5:6743 4x6:36787 4x7:200798 4x8:1095851 4x9:5980913 4x10:32641916 4x11:178150221 4x12:972290957
5x6:454385 5x7:3729091 5x8:30584687 5x9:250916131 5x10:2058249165 5x11:16884649135
800MHzのP3ノートで、6x6は２秒程度、7x7なら数分で。
最新機ならもっと早いと思うけど、試してない。
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 05:51:08 ]
- 参考までにプログラムソースも提供。
n×m≦64のパターンをカウントします。 戻り値は64bit符号なし整数。
unsigned long long check(int n,int m)
{
unsigned long long count=0,last=2,mask=1,tmp=1,tile;
if(n*m>64) return 0;
while(tmp) mask|=tmp<<=n;
mask=~mask;
if(n*m>1){ last<<=n*m-2; last|=last>>1; }
for(tile=0; tile<last; tile++){
tile+=1&tile&(tile>>1);
if(tmp=(tile&((tile>>n)|((tile&mask)>>1)))) tile|=tmp-1;
else count++;
}
return count;
}
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/16(金) 19:28:03 ]
- ５×５の100倍以上ある６×６が秒殺かよ…
- 863 名前：849 mailto:sage [2009/01/17(土) 00:11:14 ]
- >>857
サンクス！A_5とか１６×３２行列なんだが…よく計算したな。
ところで、皆>>851の証明って興味ある？推測だった部分も証明出来たんだが、ちゃんと書いたら全部で６レス分ほどの長さになった。投下すべきだろうか？
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 00:11:39 ]
- texでくれ
- 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 08:36:52 ]
- >>863
そりゃあプログラムを組んだ。ｗ
証明は興味あるが確かにtexでないと読みにくいな。
それでPDFにしてどこかにアップしてもらえるといいが。
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 10:39:17 ]
- >>863
>>851の証明には大変興味があります。
ぜひとも知りたいです。
あなたの好きな方法で結構ですから、
証明を書いてみてください。
- 867 名前：860 mailto:sage [2009/01/17(土) 19:35:36 ]
- 横レスですまんが少し違うアプローチで
先にあった2×nのやり方を元に、3×n以上のものに拡張してみた。
まず3×1の場合タイルの置きかたは以下の５とおりがある。
□□□ (a)
□□■ (b)
□■□ (c)
■□□ (d)
■□■ (e)
3×nのタイル配置は、上の５とおりのタイルの列がn行並んだものと考えられる。
それぞれの列が隣り合う行に配置できるときとできないときを考る。
aの列はa～e全ての隣に並べられる。
bの列はa,c,dの隣行には配置できるがb,eには並べられない。
eの列はa,c隣行には配置できるがb,d,eには並べられない。
A~Eの５つの数列を用意する。
A_1=1,B_1=1,C_1=1,D_1=1,E_1=1
n>1のとき
A_n = A_[n-1] + B_[n-1] + C_[n-1] + D_[n-1] + E_[n-1]
B_n = A_[n-1] + C_[n-1] + D_[n-1]
C_n = A_[n-1] + B_[n-1] + D_[n-1] + E_[n-1]
D_n = A_[n-1] + C_[n-1] + D_[n-1]
E_n = A_[n-1] + C_[n-1]
**隣り合える列の[n-1]項目を加算している
3×n場合のタイルの並びの組み合わせ数T_n = A_n + B_n + C_n + D_n + E_n
同じ方法で、3×n以上の場合にも適応できる
（たとえば4×nなら8つの、5×nなら13の数列を用意する)
一般のm×nにはまだ対応できていない。
- 868 名前：訂正 mailto:sage [2009/01/17(土) 19:40:07 ]
- × D_n = A_[n-1] + C_[n-1] + D_[n-1]
○ D_n = A_[n-1] + B_[n-1] + C_[n-1]
- 869 名前：393 mailto:sage [2009/01/17(土) 19:56:31 ]
- １×nの場合
A_n = A_[n-1] + B_[n-1]
B_n = A_[n-1]
２×nの場合
A_n = A_[n-1] + B_[n-1] + C_[n-1]
B_n = A_[n-1] + C_[n-1]
C_n = A_[n-1] + B_[n-1]
３×nの場合
A_n = A_[n-1] + B_[n-1] + C_[n-1] + D_[n-1] +E_[n-1]
B_n = A_[n-1] + C_[n-1] + D_[n-1]
C_n = A_[n-1] + B_[n-1] + D_[n-1] + E_[n-1]
D_n = A_[n-1] + B_[n-1] + C_[n-1]
E_n = A_[n-1] + C_[n-1]
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 19:58:55 ]
- あれ？ 869の名前欄は無視してください。
ここで、各数列のn項にn-1の項が現れれば□現れなければ■に対応させると
以下のような自己相似の図形が現れる。
1×n
□□
□■
2×n
□□□
□■□
□□■
3×n
□□□□□
□■□□■
□□■□□
□□□■■
□■□■■
4×n
□□□□□□□□
□■□□■□■□
□□■□□□□■
□□□■■□□□
□■□■■□■□
□□□□□■■■
□■□□■■■■
□□■□□■■■
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 20:02:35 ]
- 5×n
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- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 20:03:23 ]
- 6×n
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m×nに拡張するのに、このあたりがヒントになるような予感はしてるんだけど…
- 873 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/17(土) 23:30:59 ]
- >>872
綺麗な絵だなｗ
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/17(土) 23:41:54 ]
- シェルピンスキーのガスケットみたいだ。
- 875 名前：849 mailto:sage [2009/01/17(土) 23:49:58 ]
- texでやってみようと思う。
かなり時間かかると思う。
>>856->>872
俺も同じようなことやったｗｗｗｗｗ
実は俺の証明も似たような考えを使ってるんだが、この方向だとどうしても行列が出てくるんだよな。
ちなみに、２×ｎを書いたのも俺だったりする。
- 876 名前：849 mailto:sage [2009/01/18(日) 01:30:41 ]
- またミスったorz
>>856→>>867
- 877 名前：860 mailto:sage [2009/01/18(日) 03:47:13 ]
- > 俺も同じようなことやったｗｗｗｗｗ
そうかやっぱり似たようなやり方になるんだな‥
ｎ×mの組み合わせ数は>>867の手順で必ず得られるのはわかったんだけど
なんかうまい方法でn,mの式にできないかなと思って。
自分はどうも行列が苦手でいかん…
↓他の方法を考える人の検証用に、その後計算した他のn×mをいくつか
8×8：660647962955
5×12：138508056265
6×7：69050253
6×8：851302029
6×9：10496827403
6×10：129422885699
7×8：23720149995
7×9：439621976195
あと、>>861のソースの以下の行は、削除してください。ゴミが残ってた。
tile+=1&tile&(tile>>1);
あっても計算結果には影響はないけど、たいていの機械では遅くなると思う。
- 878 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/18(日) 03:52:25 ]
- みんな大学生じゃないよな？
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 03:55:51 ]
- 大学生だが
高校生は3年あたり今頃必死になってるんじゃないのか？
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 03:57:32 ]
- 俺は大学生だよ。数学科じゃないけど。
- 881 名前：860 mailto:sage [2009/01/18(日) 04:06:22 ]
- 社会科学系の学生です。
数学は教養で少しやっただけ。
高校もいわゆる文系コースなので数２まで.。
数学が専門の人から見るとアホみたいなことで
喜んでるんだろうなぁというのは承知。
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 04:11:28 ]
- ただの煽りにレスしなくてもよろしい
- 883 名前：860 mailto:sage [2009/01/18(日) 06:57:49 ]
- 行列の勉強をちょっとしてみた。
>>870-872 の □を1 ■を0にした行列を作ってｎ乗して
1行目の合計出せば、*×nの組み合わせ数になるんだな、こりゃ便利。
- 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 12:56:04 ]
- すごろくであるnマス離れたマスにちょうど止まる確率を求めたい。
ただしマス目は全て無地で、さいころはそのマスを過ぎるまで何度でも振れるとする。
n=1ならW=1/6
n=2ならW=1/6+1/36でW=7/36である。
この時nマス離れたマスに止まる確率をnで表せれるか。
因みにn=∞の時、W=2/7である。
- 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 14:52:54 ]
- ｎが無限大なのにそこにコマが到達できると考えていいのだろうか？
サイコロを無限回ふれば到達できると考えてよいのか？
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/18(日) 19:40:19 ]
- 書き方が悪いだけだろう。
nが十分大きなとき、どのコマもほとんど2/7の確率で止まるということだ。
- 887 名前：860 mailto:sage [2009/01/18(日) 20:46:35 ]
- 行列便利だな。 ｎ×mだとこんな感じでどうだろう？
A_0 = [1] , B_0 = [1] , C_0 = [1] , D_0 = [0]
A_[n+1] = [ [A_n.B_n] , [C_n.D_n] ]
B_[n+1] = [ [A_n.D_n] , [C_n.D_n] ]
C_[n+1] = [ [A_n.B_n] , [D_n.D_n] ]
D_[n+1] = [ [D_n.D_n] , [D_n.D_n] ]
A_n は 2^n×2^n の行列になる。
たとえば
A_1 = [ [1,1] , [1,0] ]
B_1 = [ [1,0] , [1,0] ]
C_1 = [ [1,1] , [0,0] ]
D_1 = [ [0,0] , [0,0] ]
A_2 = [ [1,1,1,0],[1,0,1,0｣,[1,1,0,0],[0,0,0,0,] ]
：
：
こうしてできたA_n を m乗したものの１行目の合計
または、A_n^(m+1) の１行１列が
ｎ×mのタイルの並べ方の組み合わせ数。
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/19(月) 04:28:35 ]
- >>887
MuPadに計算させてみたけど、合ってるみたいだな。
ｎ×mを、n m共に1から6までやってみた。
>>861のカウントプログラムより遅かったのにワロス
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/19(月) 21:30:51 ]
- >>887
なるほど、>>867の方法を、許される(黒の並ばない)１行の並びだけでなく、
全ての白黒の組み合わせに拡張したのだな。うまいことやったな。
これとりあえず一段落した感があるな。
あとはn,mの多項式で表せないか？ という問題と
>>849の証明を待つくらいか？
- 890 名前：849 mailto:sage [2009/01/20(火) 01:35:27 ]
- くそっ！やられたっ！
こっちが終わったらｎ×ｍにも口出ししようと思ってたのに…結論までいっちゃったか。
とにかく>>860乙！
あと証明遅くてサーセン。水、木あたりに時間あるからそれくらいになると思う。
>>887補足(負け惜しみ)
この漸化式だと、正しい答えは出るが、余分な0が大量にでてきてしまう。
>>870-872の図形と完全に一致させるには、次のようにすればよい。
A_0=1
B_0=1
A_(n+1)=[[A_n,tB_n][B_n,Ｏ]]
B_(n+1)=[A_n,tB_n]
(tは転置、Ｏは零行列)
- 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 01:47:52 ]
- 高1でまだ行列習ってないので不勉強なのですが
こういうのって nとmとの多項式にはできないものなの？
- 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/20(火) 01:54:01 ]
- 掛け算を全て足し算で表すようにできなくはないけどやりたくもない
- 893 名前：891 mailto:sage [2009/01/20(火) 02:29:29 ]
- なるほど、そういうものなのですか。 ありがとうございます。
ちょっと質問の方向を変えます。
1×nの場合では、フィボナッチ数列と呼ばれるものが現れるようですが
（漸化式で書くと f(n+2) = f(n+1) + f(n) となるもの）
これの２項間の比は(1+√5)/2に収束するのは著名なことです。
2×nの場合、少し先まで計算してみると
これの２項間の比はどうやら1+√2に収束するように見えます。
3×nの場合も何らかの値に収束して行くようにみえるのですが
その値がどのようなものなのかはよくわかりません。
そういった値を出すのに、それらの項をnによる多項式で表すことなく
行列のままでそれを知ることができるものなのでしょうか？
先の１×んの例で言えば、［［１，１，］，［１，０］]をn乗していくと
その一行一項目の比が(1+√5)/2に収束していくことが
［［１，１，］，［１，０］]という行列から計算しえるものなのでしょうか？
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/21(水) 00:28:34 ]
- >>884
仮にサイコロが1か2の目しか出ないとする。
この時ｎマス離れた場所に止まる確率は
n=1だと(1)で 1/2
n=2だと(2),(1,1)で 3/4
n=3だと(2,1),(1,2),(1,1,1)で 5/8
n=4だと(2,2),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2),(1,1,1,1)で1/4+3/8+1/16=11/16
以下
n=5で 21/32
n=6で 43/64
n=7で 87/128
nが奇数の場合と偶数の場合を分けて考えると分子はnが2変わるごとに4倍と±1されてるから
n=2m-1 の場合をA[m]
n=2m の場合をB[m]とすれば
A[1]=1/2, B[1]=3/4
A[m+1]=（2^n*4*A[m]+1]）/2^(n+2)
B[m+1]=（2^n*4*B[m]-1]）/2^(n+2)
から
A[m+1]=A[m]+1/2^(n+2) ：初項1/2公比 1/4の数列の和
B[m+1]=B[m]-1/2^(n+2) ：1-（初項1/4公比 1/4の数列の和)
A[m]=｛2*（1-（1/4）^n）｝/3
B[m]=1-｛1-（1/4）^n｝/3
多分サイコロが１～６出る時も似たような感じになるんじゃないかと…
- 895 名前：894 mailto:sage [2009/01/21(水) 18:11:34 ]
- よく考えたらわざわざ場合分けしなくても
C[n]=[2+{(-1/2)＾n｝]/3 でいいのか。
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/22(木) 00:39:37 ]
- >>884
求める確率は、
(６マス手前に止まり、かつ次に６がでる確率)
+(５マス手前に止まり、かつ次に５がでる確率)
+(４マス手前に止まり、かつ次に４がでる確率)
+(３マス手前に止まり、かつ次に３がでる確率)
+(２マス手前に止まり、かつ次に２がでる確率)
+(１マス手前に止まり、かつ次に１がでる確率)
だから、
a[n]=(a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]+a[n-4]+a[n-5]+a[n-6])/6
ってのは分かったんだけど、これって解けるんだろうか…？
ちなみに、エクセルでやってみたら確かに2/7に収束しそうだった。
- 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/22(木) 02:36:27 ]
- >>893
大学で習う固有値ってのがそれにあたると思う。
高校の知識だと、漸化式に直して求める方法があるかな。固有値に比べると計算は大変だが。
まあ、いずれにしても３以上×ｎのときは高次方程式がでてくるから、計算は難しいな。
- 898 名前：849 mailto:sage [2009/01/23(金) 01:00:05 ]
- >>851の証明
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org24241.pdf
こういうの初めてだから、ちゃんとできてるかどうか分からん。
前にも言ったが、かなり分かりづらい。しかも長い。
どれだけの人が最後まで読んでくれるんだろう？
質問、改善点などあったらよろしく。
>>894
n=7のときは85/128かと
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 02:29:27 ]
- >>898
よく分かった。
式(4)は場合分けで定義が必要という修正や添え字に四角囲みの数字を使う
のはどうかという問題はあるが、証明としては十分と思う。
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 02:44:48 ]
- 分からない問題スレ(>>288-289,323)から移動してきました。
確率専門スレのようなのでこちらでお聞きします。
事象Ａが起きる確率をa,事象Ｂが起こる確率をbとする。(a+b≦1)
事象Ａが1回起きるまで試行を繰り返すとき、事象Ｂが起きる回数の期待値Ｘは？
（事象Ａと事象Ｂは互いに排反です）
答えはＸ＝b/aになるらしいのですが、計算過程がわかりません。
途中まで計算して、Bがm回起こる確率P(m)が
P(m)=∑_[n=1,∞] * C[n-1,m] * b^m * (1-(a+b))^(n-1-m) * a
と出たのですが、計算の手順としてここまであってますか？
期待値を求めるためにmをかけて無限等比級数の公式を適用しようとしたのですがいまいちうまくいきません。
あっているとしたらここからの方針、あっていないとしたら最初の方針を教えてください。
- 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 04:47:05 ]
- >>900
P(m)=∑_[n=1,∞] * C[n-1,m] * b^m * (1-(a+b))^(n-1-m) * a
Cの直前にある最初の* は何？
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 05:25:49 ]
- >>900
先ずは １回の試行につき確率xで起こることが
n回の試行で何回起こるかの期待値を考えてみる。
これは１回ならx , ２回なら 2x^2+C[2,1](1-x)x = 2x
n回ならΣ_[k=1→n](C[n,k]*k*x^k*(1-x)^(n-k)) = nx になる。
このことは n回目にはじめて事象Aが起きたときに
それまでに事象Bが起こった回数の期待値が
(n-1)(b/(1-a)) であることを示している。
さてn回目にはじめて事象Aが起こる確率はa(1-a)^(n-1)なので
その積の (n-1)ab(1-a)^(n-2) の １～∞の合計である
Σ_[n=1→∞]((n-1)ab(1-a)^(n-2))が
事象Aが起こるまでに事象Bの起こる回数の期待値となる。
0≦(1-a)≦1なので これは b/a になる。
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 05:31:12 ]
- 直感的にも、その値はaとbが等しいなら1
bがaに対し倍起こりやすければ倍に
半分しか起こらないなら半分になりそうに見える。
（つまりb/aに正比例しa=bの時1）
- 904 名前：902 mailto:sage [2009/01/24(土) 05:35:07 ]
- >>902訂正
× 0≦(1-a)≦1なので
○ 0≦(1-a)＜1 ならば
a=0の時は、0<bならば∞ 、b=0ならば0
- 905 名前：849 mailto:sage [2009/01/24(土) 08:00:37 ]
- >>899
ホントだ。n≦iのときは違うな。
記号も迷ったんだが、良いのが思い付かなかった。
読んでくれてありがとう。
- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 11:30:56 ]
- >>901
表記ミスです。すみません。
>>902,904
計算の流れがよくわかりました。ありがとうございます。
しかしながら、４行目の
＞ n回ならΣ_[k=1→n](C[n,k]*k*x^k*(1-x)^(n-k)) = nx になる。
がすぐには導出できませんでした。
帰納法でしばらく考えてみます。むしろ二項定理でしょうか・・・。
>>903
確かにそうですね。ありがとうございます。
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 11:43:32 ]
- >>900
この問題では、試行により i) 事象Aが起こる ii)事象Bが起こる iii) A
もBも起こらない の 3とおりがある。しかし iii) のときは除外して
統計をとっても、Bの期待値等はかわらない。あらためて A かBしかない、
として問題を解いてよい。p = a/(a+b), q = b/(a+b) に確率を修正
すれば、p+q=1 だ。普通の問題 (ベルヌーイ試行)で扱える。
期待値 X = ∑[k=1,∞]kpq^k = pq∑kq^(k-1) = pq∑(∂/∂q)q^k
= pq(∂/∂q)∑q^k = pq(∂/∂q)(1/(1-q)) = pq/(1-q)^2
ここであらためて分母の1-q を pと書き換えれば、X = q/p を得る。
p,q の表記を a,b に戻せば、これは X = b/a だ。
分からないスレから出張回答。
- 908 名前：900 mailto:sage [2009/01/24(土) 12:47:57 ]
- >>907
出張回答ありがとうございます。
微分を使う形は考えもしませんでした。参考になります。
結果的に複数のスレにまたがってしまって申し訳ありませんでした。
みなさんのおかげで解答に至ることができました。本当にありがとうございました。
- 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/24(土) 17:08:14 ]
- >>900
Aが1回起こるまでの回数の期待値=1/a
1回の試行でAが起こらないという条件下でのBが起こる確率=b/(1-a)
よって、Aが1回起こるまでにBが起こる回数の期待値
= (1/a - 1) * b/(1-a) = b/a
- 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/25(日) 13:14:01 ]
- タイルの問題に関しての予想。
nやmが十分大きいときに、あるタイルが黒である確率pは約20％
(1-p)^4 = 2p
- 911 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/26(月) 07:51:20 ]
- age
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/26(月) 10:49:24 ]
- >>910
流行語「20％くらいじゃないの？」を思い出した
- 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/27(火) 18:04:31 ]
- もちろん>>910の予想の名称は「仲居予想」だ。
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/27(火) 18:34:32 ]
- >>912
流行に疎いんで知らないけど、どこで流行った言葉？
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/27(火) 19:35:59 ]
- 数学板と投票所だよ
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 02:01:07 ]
- ７×７の中央あたりのタイルを幾つか調べると
0.23125303
0.223350687
0.229520554
てなかんじなので、そんなもんかも。
端のほうのマスでは、領域外のマスの影響を受けることはない
（隣接に黒が来る可能性が低くなる）自身のマスが黒である確率が高くなる
のではないか？
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 05:48:15 ]
- わしもそ
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 05:55:37 ]
- あるタイルが黒である確率は
上が1×1の時の1/2で
下が∞×∞の時の20％くらいということなのかな？
(1-p)^4 = 2p って、ぴったり20％じゃないんだな。
0.202376.... 20％強か。
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 12:38:01 ]
- くらいじゃないの？
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 20:38:32 ]
- >>914
投票所だよ
懐かしいなぁ
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 21:35:25 ]
- 懐かしいですよ、カテジナさん！
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 09:03:30 ]
- 隣接4マスがすべて白(1-p)^4かつ自分自身が黒1/2である確率がpだから
(1-p)^4 * (1/2) = p
ってことか。
- 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 13:46:26 ]
- そういうこと
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