命題 K を可換とは限らない位相体(過去スレ006の190)とする。 E を K 上の左位相線形空間(過去スレ006の583)とし E は部分線形空間 M_1. ... , M_n の直和であるとする。 E から各 M_i への射影を p_i とする。 E が M_i の位相直和(>>115)であるためには各 p_i が連続であることが 必要十分である。
命題 K を可換とは限らない位相体(過去スレ006の190)とする。 E を K 上の左位相線形空間(過去スレ006の583)とし M を E の部分線形空間とする。 f : E → M を連続な線形写像で任意の x ∈ M に対して f(x) = x とする。 このとき M は位相補空間(>>117)を持つ。
証明 N = f^(-1)(0) とおく。 E は M と N の直和である。 1 - f はこの直和分解に関して E から N への射影であり連続である。 >>116 より E は M と N の位相直和(>>115)である。 証明終
命題(>>104 の系４) K を実数体または複素数体とする。 E を K 上の分離的な局所凸線形空間とする。 M を E の有限次元の線形部分空間とする。 M は位相補空間を持つ。
証明 e_1, . . . , e_n を M の任意の基底とする。 過去スレ006の651より 写像 f : Σ(ξ_i)(e_i) → (ξ_i) は M から K^n への位相同型である。 f_i : M → K を f(Σ(ξ_i)(e_i)) = ξ_i により定義する。 >>112より f_i は E 上の連続な線形形式 g_i に拡張される。 g(x) = (g_1(x), ... , g_n(x)) により g : E → K^n を定義する。 h = f^(-1)g とおく。h : E → M は連続な線形写像であり、 x ∈ M のとき h(x) = x である。 >>118 より M は位相補空間を持つ。 証明終
K を可換とは限らない体とする。 V を K 上の左線形空間とし、 E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。
V は E に推移的に作用するから、E の任意の点の安定化部分群は 0 である。
E の点 p と V の元 x に対して x の p に対する作用を p + x または x + p と書く。
V は E に推移的に作用するから、 E の２元 p, q に対して q = p + x となる x ∈ V が有る。 y ∈ V に対して p + x = p + y なら p + (x - y) = p である。 p の安定化部分群は 0 だから x - y = 0 である。 即ち q = p + x となる x ∈ V は一意に定まる。 このとき x = q - p と書く。
命題 K を可換とは限らない体とする。 V を K 上の左線形空間とし、E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。
E の部分集合 F が E のアフィン部分空間(>>124)であるためには、 次の条件が成り立つことが必要十分である。
F の任意の有限点列 x_1, ... , x_n と K の元の有限列 λ_1, ... , λ_n で Σλ_i = 1 となるものに対して、 x_i の質量 λ_i の重心(>>127)が常に F に属す。
証明 必要性： F = p + W とする。ここで、 p ∈ E で W は V の線形部分空間である。 x_1, ... , x_n を F の元の有限列、 λ_1, ... , λ_n を K の元の有限列で Σλ_i = 1 とする。 x_i - p ∈ W であるから、 x_i の質量 λ_i の重心 p + Σλ_i(x_i - p) は F に属す。
十分性： F は空でないと仮定してよい。 a ∈ F をとる。 W = { x - a | x ∈ F } は 0 = a - a を含むから空ではない。
x, y を W の元とし、λ ∈ K, μ ∈ K とする。 a + λ(x - a) + μ(y - a) = (1 - λ - μ)(a - a) + λ(x - a) + μ(y - a) これは a, x, y の質量がそれぞれ 1 - λ - μ, λ, μ の重心である。 よって、仮定から a + λ(x - a) + μ(y - a) ∈ F である。 よって、 λ(x - a) + μ(y - a) ∈ W である。 即ち W は V の線形部分空間である。 証明終
命題 K を可換とは限らない体とする。 V を K 上の左線形空間とし、 E を V に付随するアフィン空間(>>121)とする。
(x_i), i ∈ I を E の元の族とする。 (x_i) の質量 (λ_i) の重心(>>127)全体は E のアフィン部分空間である。
ここで、(λ_i), i ∈ I は K の元の族で有限個の i ∈ I を除いて λ_i = 0 で Σλ_i = 1 である。
証明 I が空集合のときは明らかだから I は空集合でないとする。 i ∈ I を固定する。 (λ_i), i ∈ I を K の元の族で有限個の i ∈ I を除いて λ_i = 0 で Σλ_i = 1 とする。 (x_i) の質量 (λ_i) の重心は、x_i + Σλ_j(x_j - x_i), i ≠ j と 書ける。 これから命題の主張は明らかである。 証明終
