定理(Hahn-Banach) K を実数体または複素数体とする。 E を K 上の線形空間とする。 p を E 上の半ノルム(過去スレ008の458)とする。 V を E の線形部分空間とし、 f を V 上の線形形式で 任意の y ∈ V に対して |f(y)| ≦ p(y) とする。 このとき E 上の線形形式 h で f の拡張であり 任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ p(x) となるものがある。
証明 K = R のときは >>101 で証明されているから K = C としてよい。 Re(f) を f の実部とする。 任意の y ∈ V に対して |Re(f)(y)| ≦ |f(y)| ≦ p(y) である。 よって、>>101 より E 上の線形形式 g で f の拡張であり |g(x)| ≦ p(x) となるものがある。 >>102 より h(x) = g(x) - ig(ix) は Hom(E, C) の元であり、 f の拡張である。
任意の x ∈ E に対して |h(x)| ≦ p(x) を示せばよい。 h(x) = 0 ならこの不等式は明らかであるから h(x) ≠ 0 とする。
