- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/04(日) 05:00:00 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 321 名前：296 mailto:sage [2007/12/11(火) 01:14:52 ]
- >>300 念のため…
【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
a[m+n+1] = Σ[i,j=1～3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],
(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i ]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1～3, m=-1～1)
また、C = A^(-1) とおくと
Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j), (j=1～3, m=-1～1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 11:49:13 ]
- >>321
あとで演算子法に繋がる。
- 323 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/11(火) 13:02:27 ]
- (1) a,bは正の実数とする．xyz座標空間に3点
P(a,0,p)，Q(0,0,q)，R(0,b,r)
がある．△PQRが鈍角三角形となるためのp,q,rのみたすべき必要十分条件を求めよ．
(2) 立方体を平面でどのように切断しても，その切断面は正５角形にならないことを示せ．
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/11(火) 13:24:35 ]
- >>323
(2) 立方体の断面となる 5 角形は 2 組の辺が平行だが、
正 5 角形の辺で平行なものはない。
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 09:20:25 ]
- >>308
eの無理数性と同様にテイラー展開を使うと見た
ここの問題って実際の入試に出されるとクレームがつきそうだよね
- 326 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 10:15:12 ]
- 綺麗な誘導問題がついてこそ東大だよな
- 327 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/12(水) 11:02:52 ]
- iを虚数単位√(-1)，a,bを正の整数とする．
(1+i)^a*(1+i√3)^b
が実数であるときの値をf(a,b)とする．
(1) (1+i)^4，(1+i√3)^3の値を求めよ．
(2) |f(a,b)|の最小値を求めよ．
(3) 2log[2]|f(a,b)|がとりえない正の整数の個数を求めよ．
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 11:09:25 ]
- 6173
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 12:44:46 ]
- >>328
どう考えてもそんなにないだろwww
- 330 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 15:08:48 ]
- ∫[0→π]{(sin(nx))/sinx}^2 dx nは自然数
- 331 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 15:18:35 ]
- ∫[0→π/2]{(sin(2008x))/sinx}^2 dx=1004π
- 332 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 16:00:27 ]
- Σ[k=0~n]C[3n,3k]を簡単にせよ。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 16:51:15 ]
- (2^{3n}+((1+√3i)/2)^{3n}+((1-√3i)/2)^{3n})/3 は簡単ですか？
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 17:02:04 ]
- >>329
ばかます
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 18:40:55 ]
- >>327
無限にあると思うが
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 18:54:37 ]
- 6173はどっからでてきたかわかんないけど
|f(a,b)|=|(-4)^n*(-8)^m|=2^(2n+3m)
となるから無数だね
益田さん、対数の前の2は何ですか？これなかったら5個と求まりますが
- 337 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 21:19:47 ]
- 馬鹿が釣れたｗ
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 21:20:49 ]
- >>337
ばかます
- 339 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/12(水) 21:48:00 ]
- >>336
確かに2はいらなかったですね．
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:02:01 ]
- 99^100と100^99の大小を比較せよ。
文理共通問題を想定して作ってみたんだけど、どうかな？
難しすぎる？
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:07:41 ]
- おもしろくない。
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:12:08 ]
- >>341
解いてみてよ
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:30:35 ]
- >>340
ありふれた問題。 x^(1/x) の増減を調べればよい。
（０．９９）99，（１．０１）-101 の大小を比較せよ。
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:37:13 ]
- (0.99)99=98.01>(1.01)-101=-99.99
- 345 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 00:40:39 ]
- (logx)/xからすぐだせるよな
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 01:14:34 ]
- >>344
失礼！コピペしたので修正し忘れた。
（０．９９）^99，（１．０１）^-101 の大小を比較せよ。
でした。
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 08:40:23 ]
- tan(π/p) = √q - r
を満たす正の整数 ｐ、ｑ、ｒ を求めよ。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:17:00 ]
- >>347
本当に全部分かってて出題してるの？
- 349 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/13(木) 12:29:21 ]
- f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(r)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 12:59:21 ]
- また出題ミスか？
- 351 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/13(木) 14:13:22 ]
- 打ち込みミスですな．訂正．
f(x)=-2x(x-2)とする．実数p,q,rが
0≦p≦1
0≦q≦f(p)
0≦r≦f(q)
をみたすとき，p+q+rの最大値を求めよ．
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 15:25:24 ]
- 33/8
- 353 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/13(木) 15:28:07 ]
- >>352
御名答
- 354 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/13(木) 15:36:37 ]
- C[n,k]は二項係数とする．
(1) nは0以上の整数とする．0≦k≦nをみたす整数kに対して，C[2008+k,k]が奇数となる確率をp[n]とする．
lim[n→∞]p[n]を求めよ．
(2) mは正の整数とする．0≦k≦n≦mをみたす整数n,kに対して，C[n,k]が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[m→∞]q[m]=0を示せ．
- 355 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 16:20:42 ]
- >>305
k=1
k≧2のとき
p^m＞kならば
「C[p^m，k]とC[(p^m)+1，k]がpで割り切れることをいう。」･･･※
「C[p^m，k]がpで割り切れること」･･･○
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
k=(p^u)*v(vはpで割り切れない)と書ける。
このとき、p^m＞(p^u)*v≧p^uよりm＞u
v*C[p^m，k]=p^(m-u)*C[(p^m)-1，k]
よってv*C[p^m，k]はpで割り切れる。
vとpは互いに素だからC[p^m，k]がpで割り切れる。
「C[(p^m)+1，k]がpで割り切れること」･･･●
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]
○よりC[p^m，k]とC[p^m，k-1]はpで割り切れるので
C[(p^m)+1，k]=C[p^m，k]+C[p^m，k-1]よりC[(p^m)+1，k]もpで割り切れる。
○と●より※はいえた。
※より、k≧2のときA[p，k]の要素が等差数列ならば、交差は1である。
よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
k=1ならばC[n,1]=nだから、A[p,1]={n|nはpで割り切れる}となるので明らかに正しい。
- 356 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 18:17:20 ]
- >>343 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 18:26:59 ]
- >>355
>>k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k]
は C(n,k) = (n/k)C(n-1,k-1) = (n/n-k)C(n-1,k) では？
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 18:59:07 ]
- >>356
名大にはそんな訳の分からんルールがあるのか。
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 21:39:44 ]
- >>357
k*C[p^m，k]=(p^m)C[(p^m)-1，k-1]
だった。スマソ
- 360 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/13(木) 23:01:02 ]
- >>355，>>359
>よってC[k,k]=1もpで割り切れなければならなくなって不合理
↑この部分がちょっとまずいですが…．初項がC[p^m,k]の可能性もありますから，別の例外を探す必要があります．
- 361 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/13(木) 23:22:04 ]
- θは0＜θ＜πをみたす実数とする．半径1の円に内接する△ABCがあり∠A=θであるとき，△ABCの面積の最大値をθを用いて表せ．
- 362 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/14(金) 00:40:20 ]
- >>360
>>355のC[k，k]をC[p^m+k，k]に訂正します
C[p^m+k，k]={(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}
1≦h≦kとなるhを任意にとる
h=(p^t)s(sはpで割り切れない)とかける。
p^t≦h≦k＜p^mよりm＞k
p^m+h=(p^t){p^(m-t)+s}でp^(m-t)+sはpで割り切れないからp^m+hはp^tで割り切れるがp^(t+1)で割り切れない。
したがって、{(p^m+ｋ)(p^m+k-1)･･･(p^m+1)}/{k*(k-1)*･･･1}の
分子のp^m+hと分母のhでうまくpが約分され、C[p^m+k，k]はpで割り切れないことがわかる
- 363 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/14(金) 01:08:26 ]
- >>361 これは, 名古屋大/文理共通問題です。
数３使えないじゃん。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 01:13:25 ]
- 数Ⅲ使わなくてもいいじゃん
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 01:16:27 ]
- >361
2点 B,C を円周上に ∠BOC=2θ を満たすように固定する。
題意より、点Aは 円周上であって直線BCに関してOと同じ側にある。
底辺の長さは BC=2sinθ,
△ABCの面積は S=(1/2)h*BC, hは底辺からのAの高さ。
面積Sが最大となるのは高さhが最大のときだから、2等辺3角形のとき。
h = 1 + cosθ,
S = (1+cosθ)sinθ,
- 366 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/14(金) 02:14:36 ]
- 2つのグラフ y=cx^2+cx+1/24, x=cy^2+cy+1/24 が接するとき, cの値を求めよ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 02:26:13 ]
- >366
y=xに対して対称だから、微分したのが１になって、さらに接するならばx=yになることから必要条件が導けて、それが十分性も満たすことが言えればおしまいな気がする。
計算してないけど、計算に何かテクニックが必要なの？
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 03:27:19 ]
- >>330
sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/sin(x) = cos(-(n-1)x) + cos(-(n-3)x) + …… + cos((n-3)x) + cos((n-1)x),
{sin(nx)/sin(x)}^2 = n + 2Σ[k=1,n-1] (n-k)cos(2kx),
右辺を積分すれば第1項はnπ、第2項は0.
- 369 名前：368 mailto:sage [2007/12/14(金) 03:29:45 ]
- >>330
sin(nx)/sin(x) = {sin(nx)-sin(-nx)}/{2sin(x)} = ……
だった……
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/14(金) 10:15:01 ]
- >>367 答え出してみて、以外に難しい。
- 371 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/14(金) 10:46:05 ]
- C[n,k]は二項係数とする．
(1) i,mは0≦i≦mをみたす整数とする．二項係数C[2008+i,2008]が奇数となる確率をp[m]とするとき，
lim[m→∞]p[m]を求めよ．
(2) 二項係数C[n,k](0≦k≦n≦m)が奇数となる確率をq[m]とする．
lim[n→∞]q[m]を求めよ．
- 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 12:15:47 ]
- >>371
何が同様に確からしいか仮定されていないから答は
不定
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 12:24:54 ]
- >>347
(p,q,r) = (1, n^2, n) , (4, (n+1)^2, n) , (8, 2, 1)
高校の範囲外。
一桁の自然数に限定すればぎりぎりｾｰﾌか？
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 12:30:39 ]
- >>371
(1)
2008を2進数で表したときの1の個数は6個だから
1/2^6=1/64
(2)
0
- 375 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/14(金) 17:12:46 ]
- n,pは正の整数，a[n],b[n]は以下の条件をみたす整数とする．
a[n]/2^n＜√(p^2+p+1/2)-p＜(a[n]+1)/2^n
b[1]=a[1]
b[n+1]=a[n+1]-2a[n]
(1) {b[n]}のとりうる値をすべて求めよ．
(2) b[2008]=1をみたすpは有限個であることを示せ．
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 19:04:46 ]
- √(p^2+p+1/2)-p-1/2 < 1/4p
なので p > 2^2006 ならば b[2008]=0
- 377 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/14(金) 20:48:51 ]
- m，nは正の整数とする．f(n)，g(n)を
f(n)=n^n*(n-1)^(n-1)*(n-2)*…*2^2*1^1
g(n)=(n!)^n
と定めるとき，
(mn)!f(m+n)g(m)g(n)/{f(n)f(m)g(m+n)}
は整数であることを示せ．
- 378 名前：受験勉強中 [2007/12/14(金) 21:26:58 ]
- はじめまして。塾の問題がとけなくて困っています・・・。
私でもわかるように説明をお願いします。
＋と－の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と－の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または－－で終わる列の個数をAn、
最後が＋－まはた－＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。
パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)
- 379 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/14(金) 21:41:40 ]
- >>378
答え：質問スレに行きなさい。
スレ違いだ。それともマルチか？
- 380 名前：受験勉強中 [2007/12/14(金) 21:57:17 ]
- すみません。初投稿でどこに質問を書いたらいいのかわからず・・・。
質問のほうに書いてみます。
- 381 名前：受験勉強中 [2007/12/14(金) 22:00:42 ]
- すみません。初投稿でどこに書いたらいいかわからず・・・。
とりあえず回答のもらえそうなところに書き込んでしまいました。
- 382 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/14(金) 23:50:53 ]
- ｎ、ｋを正の整数とする。
正四面体ＯＡＢＣに対し、ある頂点にいる動点Ｐは、同じ頂点にとどまることなく、
１秒ごとに他の３つの頂点に同じ確率で移動する。はじめ点Ｐは頂点Ａに存在する。
ｎ秒後に点Ｐが、頂点Ｏをｋ回通って、頂点Ａに戻る確率を求めよ。
ただし、２ｋ≦ｎとする。
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/15(土) 00:16:16 ]
- >>378 東北大の問題ですね.1994,5,611あたりでしょうか。類問は、これより難易度が下がりますが、横国, 早稲田で出てます。
参考書の例題にあるのではないでしょうか。
- 384 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/15(土) 00:48:21 ]
- はじめまして。塾の問題がとけなくて困っています・・・。
私でもわかるように説明をお願いします。
＋と－の記号を重複を許して一列に並べる列のうち、
同じ記号は3つ以上連続して並ばないものとする。
＋と－の記号を全部でｎ個（ｎ≧2）使って作られる列のうち、
最後が＋＋または－－で終わる列の個数をAn、
最後が＋－まはた－＋で終わる列の個数をBnとする。
1)An+1とBn+1をAnとBnであらわせ
2){An+rBn}が公比rの等比数列となるようなrを求めよ
3)長さがnのこのような列の個数An+Bnを求めよ。
パソコンで数学を打つのって難しいですね・・・。
突然の登場ですみません。
よろしくお願いします(><)
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 01:05:03 ]
- コピペうざいよ
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 01:27:43 ]
- >>366 ,370
y = f(x) = cx(x+1) + 1/24 と y=x の接点を (a,a) とすると、
a = f(a) = ca(a+1) + 1/24,
1 = f '(a) = c(2a+1),
よって a = (1-c)/(2c) により aを消すと,
0 = (1-c)^2 - c/6 = (2-3c)(3-2c)/6,
より
c=2/3, 接点(1/4,1/4)
c=3/2, 接点(-1/6,-1/6)
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 02:10:50 ]
- >>386
接点がｘ＝ｙ上にあるとは限らない。
ｘ＝ｙ上にあるときでも傾きが１になるとは限らない。
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 02:33:07 ]
- >387
そのときは、x軸とy軸を入れ替えてみる。
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 06:55:10 ]
-
（１）x,y平面の格子点上を確率1/4で東西南北に移動する酔歩をするとき
最初に原点にいるときに２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
（２）同様にx,yz空間の格子点上を確率1/6で東西南北上下に移動するとき
２ｎ回目に再び原点に戻って来る確率を求めよ。
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 09:00:14 ]
- 387が必死な件
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 09:08:14 ]
- どこが？
- 392 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/15(土) 09:20:09 ]
- 間違いが指摘されると指摘した人をアンチだとか必死だとかいう人が必死なのでは
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 09:23:54 ]
- 秋山仁化
- 394 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/15(土) 09:26:45 ]
- 「あれは、ナンシーですか？」
「いいえ、あれは、バスです」
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 09:34:02 ]
- 中学の頃習ったな、その英語の例文
- 396 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/15(土) 09:54:41 ]
- >>387
ここ2ch
厳密な論証までやってる答案書く必要もない
明らかなことは省くのが普通
- 397 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/15(土) 10:13:32 ]
- それにしても携帯からはうちこみにくい…てわけで出題です．
xy平面上でx^2/4+y^2≦1をみたす領域Aがあり，原点Oを中心としてAを反時計まわりにπ/3だけ回転させた領域をBとする．AとBが共有する領域の面積をSとしたとき，S＞4π/3を示せ．
- 398 名前：Σ（０Д０） [2007/12/15(土) 10:43:29 ]
- >>394
相当な間違えですな
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 10:44:16 ]
- >>396は名前消し忘れと見たｗｗ
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:y [2007/12/15(土) 10:56:49 ]
- sin２乗θ＋sin２乗θtan２乗θ＝tan２乗θ を解きなさい。
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/15(土) 12:56:49 ]
- >>400
学校の宿題か？
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 13:37:07 ]
- 「乗」って火星人みたいだな。
- 403 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/15(土) 14:30:47 ]
- その感想も独特だな
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 16:24:29 ]
- >>397
最終行の不等号の向きあってる？
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 18:04:05 ]
- >397
楕円形領域Aを回す角を 2α とする。
Aの周とBの周の交点P,Qは直線 y=mx または y=-(1/m)x の上にある。ここに m=tanα.
P ( 2/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
Q ( -2m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
このままでは面積を出し難いので、x軸方向に(1/2)倍に圧縮してみる。
Aは半径1の円板になる。交点P,Qは
P' ( 1/√(1+4m^2), 2m/√(1+4m^2) ),
Q' ( -m/√(4+m^2), 2/√(4+m^2) ),
に移り OP'Q'は扇形になる。
S(OP'Q') = (1/2){arctan(-2/m) - arctan(2m)} = (1/2)arctan((2/3)(m + 1/m)),
S(OPQ) = arctan((2/3)(m + 1/m)),
S(A∩B) = 4arctan((2/3)(m + 1/m)),
さて 本題では α=π/6, m=1/√3 だから,
(2/3)(m + 1/m) = 8/(3√3) = 1.5396007178… < 1.5574077246… = tan(1),
S(OPQ) = arctan(8/(3√3)) < 1,
S(A∩B) < 4,
>404
逆向きかとｵﾓﾀ.
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/15(土) 23:20:56 ]
- x, y, z が実数のとき
x^2 + y^2 + z^2 + 2axy + 2byz + 2czx ≧ 0
が常に成立するための a, b, c の満たすべき必要十分条件を求めよ。
- 407 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/16(日) 00:11:57 ]
- 傾きが-1で接するcが存在することさえ気づかずに
>ここ2ch
>厳密な論証までやってる答案書く必要もない
>明らかなことは省くのが普通
なんて書いているということは
>>367=>>386=>>388=>>390=>>396=MASUDA ◆5cS5qOgH3M
ということだな
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 00:14:35 ]
- 「あれは、名無しさんですか？」
「いいえ、あれは、MASUDAです」
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 00:28:19 ]
- >>406
z=0でも成り立つから
x^2+y^2+2axy≧0
x^2+y^2+2axy=(x+ay)^2+(1-a^2)y^2であり、
y^2≧0だから、1-a^2≧0 よって、-1≦a≦1
同様にして、-1≦a,b,c≦1
逆に-1≦a,b,c≦1であるとき、
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx≧x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|
≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx|
≧0
よって、-1≦a,b,c≦1が求める必要十分条件
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 00:31:36 ]
- 出題者の>>407が必死な件
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 00:54:16 ]
- >>377
0がm個並んでいる状態から、一つを選んでプラス1するという操作を繰り返してnがm個並んでいる状態にする。
ただしm個の要素が常に小さい順(同じもあり)に並んでいなければならない。
以上のような操作の方法の場合の数が問題の関数なので、整数となるのは明らか。
- 412 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/16(日) 00:55:54 ]
- また名無しMASUDAか
>>409
x=y=z=a=b=c=-1のとき
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx=-3だから明らかに間違い
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 01:08:26 ]
- ＞ x^2+y^2+z^2-2|a||xy|-2|b||yz|-2|c||zx|≧x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|zx
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恐れ入りました。
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 01:08:41 ]
- >>412
それで何が間違いだよwww
問題嫁www
- 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 01:12:52 ]
- -1/2≦a,b,c≦1/2 だろな。
- 416 名前：414 mailto:sage [2007/12/16(日) 01:14:07 ]
- >>406じゃなくて>>409への指摘か
スマソ、読み違えた
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 01:18:53 ]
- >>415
a=b=0,c=1でも成り立つからその条件だと不十分じゃね？
- 418 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/16(日) 01:36:23 ]
- n，mは正の整数とする．2^nの各桁の和をa[n]と表す．n＞4^mならばa[n]≧mが成り立つことを示せ．
- 419 名前：409 mailto:sage [2007/12/16(日) 01:49:42 ]
- >>406
ごめん
巣で間違った
こんな感じ？
x^2+y^2+z^2+2axy+2byz+2czx
≧3(x^2*y^2*z^2)^(1/3)+2axy+2byz+2czx
x^2=y^2=z^2のときに最小値をとることが必要十分なのでこれが≧0であればよい
これを求めると
a+b+c≧-3/2 かつ a-b-c≧-3/2 かつ -a+b-c≧-3/2 かつ -a-b+c≧-3/2
これでおｋ？
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 01:50:23 ]
- a^2 + b^2 + c^2 ≦ 1 + 2abc だね。
数Ｉ・Ａ の範囲か。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/16(日) 01:52:38 ]
- >>420
あれ？また俺間違ってる？
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