代数学総合スレッド Part4

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/25(土) 09:00:00 ] 代数に関する話題全般のスレッドです。 代数学総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/ 代数学総合スレッド Part2 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/ 代数学総合スレッド part3 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/ 291 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 03:41:25 ] それにしても>>206のいう a、bが代数的数なら、abとa+bも代数的数 の初等的な証明はないのかね。 やはり体論を使うのが１番初等的なのか。 これより初等的な証明はなかったのか。 何か外伝がある気がしてならないんだが。 考えれば考える程難しい。 292 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 07:37:16 ] Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間で その基底が 1, a, ab, a^2・b,..., b, ab, ab^2,... c=a+b(or ab)としてcによる掛け算は Q[a,b]の一次変換だから Q-係数の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。 #警告！２ちゃんねるは有害です。 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 08:29:24 ] Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間 これはどうした？ 294 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 09:19:24 ] aの任意のベキ乗は、最小多項式の次数未満のベキ乗の一次結合で書ける。 bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。 #警告！２ちゃんねるは有害です。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 09:53:23 ] >>294 >bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。 要するに [Q[a] : Q] と [Q[b] : Q] が有限だがら [Q[a,b] : Q] も有限と言ってるわけね。 これは何故？ 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 09:56:10 ] >>292 行列式使わなくてもいいけどね。 c が代数的でないと Q[c] は Q 上無限次になる。 297 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 10:46:27 ] アホすぎｗ 298 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 10:47:54 ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　亠ｧ厂|　　　　　　　　`':,;..:..:.';.　　　　 ;'..:..:.,:' 　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 ‐个 兀　　　　　　　　　　`:;:.::.':.,　　　,':.::.:,:' ｀.:`.:''''..:.‐ :.:-:.:...,,,,　__　　　､‐-、　　　　　　　 __ 　　,.‐z_,-､　　 '':;;:::':, ,...;'::..:,;'　　,,.:': ..:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.｀＿,,ﾉ　└¬､'''.:.:‐:..,,ヾ､__)∠,ｨｸ ／,、　　　';:''..:.:..:..:.:..:.'':;'':.:.,;. .:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.ヾ､_　　　＜^'".:..:..:.:..: ＜`ヾ´~_　 _~´ 〉'''':.::.;':.::...:.:..:..:..:...:.:.';'　,, ..:..:...:..:..:...:...: ,,;,;,;,,;:..:..:.:.:..: /　/＼　`ヽ､..:..:.:..:..:_ブ∧ ‐　‐　/.:.:..:,;,::';..:..:..:.:..:..:..:...:.:.:''´:.: :..:.:..:..,.:-〜' , ､ｍ_）°.:.:.'ｰ-'..:..:..:`ｰ--',,;,;::.:.:ヽ､_i (_,/しﾍﾍ_） ´　　'::;.:.::.:..:..:..:..:.:..,;'｀ '' ,;,,;,;/　　＜て_;:､｡.:° ‐　''''　"　´　´　　　　　　　　　　　　　　　,;:''.:.:,:'' :;,._.:,;.,､:.'':.,,_ 　 /　r'７ｧｯｰヘ､_) 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ab,... a^(m-1)・b^(n-1) の Q-係数の一次結合で書けるから、Q[a,b] は Q-ベクトル空間として有限次元。 c=a+b (or ab) として c による掛け算は Q[a,b] の一次変換だから Q上の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。 #警告！２ちゃんねるは有害です。 303 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 23:08:07 ] モデレータの人に質問です。 煽ってスレを伸ばすといくら貰えますか？ 304 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/19(火) 04:45:48 ] つ�I 305 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/19(火) 20:58:44 ] 代数学を基本(群から)やり直したいんですがお勧めの本ありますか？ 306 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/19(火) 21:05:17 ] >>305 洋書ならArtinかDummit-Footが良い。非常に教育的にできてる。 Langはありとあらゆることが載ってるけど理解してる人向けの辞書 みたいなものだから通読には向かない。 和書だと良いものがすべて絶版になってて良いものがないかもしれない。 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:39:47 ] Dummit-Footeね 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:56:16 ] >>305 岩波講座基礎数学の「環と加群」が良い。 読むにあたって必要な予備知識が少ない(集合を知らなくても読める)。 自己完結していて他の本を余り参照しなくても読める(と思う)。 手に入りにくいがまずはこれを通読し精読するのが良いのではないかと。 ちなみにこれには他の本に書かれていない内容がかなり書かれている。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:49:22 ] >>308 ゴタゴタしていて、ちょっとセンスが古かねぇーか。 概要がつかみにくいって印象がする。 ウェルデンの本の方みたいに読み易いといいのにね。 310 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 02:26:22 ] 和書ではArtinやDummit-Footeに当たるようなのがないね。 松坂「代数系入門」は内容が薄いし、森田「代数概論」はレジュメみたいだし、 親切な〜とかゆとりチックなのがいくつかあるけど薦めるのもどうかと思うし。 教室で口伝えで学ぶ学問なのか。 代数学を学ぶ上で良書がないことが初学者にとって障壁になってるんじゃないか と思うほどだ。 311 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 04:27:49 ] オイラー全集が最強 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:29:58 ] 堀田のが、最高。簡潔でいいよ。 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 07:08:25 ] 夜公園の砂場で前方後円墳を作って遊んだ すげえ楽しかったｗｗｗ こういう気持ちを忘れたくない。 314 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 14:58:05 ] ハンガーフォードや六と万もえーでー オレも山崎は好きでない（系が多すぎる）、ラムの方がいい 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 16:41:06 ] 堀田の「代数入門」（裳華房）や「可換環と体」（岩波）はエレガントでいいよね。 ただちょっと例が少ないような気がする。 316 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 17:01:39 ] 初心者には永田先生の可環体 317 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 17:14:56 ] 堀田さんはそんな本を書くよりも 論文を書くべきだったな ここ20年も論文を書いていない 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 19:34:10 ] ホモロジー代数が載ってないからダメ 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 20:08:18 ] そんな一冊で何でもかんでも書いてある本要求してもねえ 320 名前：大嘘つき [2008/02/21(木) 01:22:12 ] なんといっても、岩波の数学辞典に限る。 載っている定理に証明をつけていけば、よい演習になる。 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/26(火) 00:45:11 ] 体Ｋ上代数的な元ｓ，ｔを添加した体Ｋ（s，ｔ）と Ｋ（s＋t）は一致しますか？ 322 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/26(火) 00:50:31 ] s=2^1/2,t=1-2^1/2なら？ 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/26(火) 01:06:16 ] なるほど。では，Ｋに対してＫ（ｓ，ｔ）とＫ（s＋t）が共に同じ拡大次数を持つ場合は　 どうなんでしょう 324 名前：禿げしく一致する [2008/02/26(火) 03:53:11 ] あ あ く だ ら ん 325 名前：有馬 ◆13wx.ARIMA mailto:有馬 [2008/02/26(火) 12:13:02 ] ホモ(*´з｀) 露自慰代数 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/26(火) 14:18:38 ] >>323 マジレスすると、Ｋ(s＋t)⊆ Ｋ(s, t) だからK上の拡大次数が一致するなら （ベクトル空間の次元の一意性より）両者は一致する。 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/27(水) 11:00:58 ] マジレスでなくとも糞レスでも自明 質問者自体が質問して暫くのちに自己解決しているのが普通 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 12:11:17 ] 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　〜⌒ヽ. 　　　　　 　　_.〜⌒ヽ.　 　('A`)〜´ ｀ヽ._.′　　　 ヽ._.〜~ ｷﾀ〜´ ｀ヽ._.′　　　　ヽ._ﾉ 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 21:58:37 ] 代数の教科書でDummit-FooteのかCohnのかで迷ってるんですが、どっちがいいんでしょうか？ 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:11:15 ] 好みの問題だが、個人的には Dummit-Foote のほうが読みやすいと思う 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:38:59 ] >>330 いまPJCの代数入門で準備運動してるんですけど、 PJCのfurther readingではCohnかLangかな？みたいに書いてあって、 >>306みたいな指摘があってちょっと迷ちゃってるんですよね。 どうしよ、、、、。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:50:38 ] 図書館で両方目を通してみて自分に合いそうなほうを読めばいいじゃん。 誰かにこっちを読めって言われないと安心できない年頃？ 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/17(月) 00:16:56 ] >>332 んー、フィーリングの話じゃないんですけど、まあCohnにしますわ。 334 名前：295 mailto:sage [2008/03/17(月) 07:46:03 ] 群は簡単な概念だと思うけどなあ。 このどこがわからないのかがわからない。 群っていうのは最初は置換群だと思っていればいい。 抽象的な定義から入るからわからないのかもしれんな。 335 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/21(金) 02:42:48 ] 痴漢の群れ(;´Д`)ハァハァハァハァ/lァ/lァ/lァ/lァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ ノ ＼ア ノ ＼アノ ＼ア ノ ＼ア 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/21(金) 09:53:37 ] n×n行列のなす代数(algebra)に対して、 生成元の個数の最小値を評価したいのですが どうすればよいのでしょう？ 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/22(土) 14:43:57 ] >>336 Bruhat-Tits buildings について勉強すればいいよ。 338 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/26(水) 08:15:32 ] >>337 日本語の本でよいものはありますか 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/27(木) 22:13:20 ] >>338 あったら俺が欲しい。 とりあえずブルバキの『リー群とリー環3』。 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 02:55:15 ] >>338 確か、鈴木道夫の群論上に Bruhat-Tits buildings の基になる組合せ論的なことが書かれている。 だから、これを読めば良いんじゃないか？ 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 22:57:35 ] おっぱいの建物って何？ 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 20:43:44 ] 質問です。 環Rに対し、R 以外のイデアル全体の集合は、包含関係による順序が入るため、ツォルンの補題より、任意のイデアルはある極大イデアルに含まれる。 とwikipediaにあるんですが、ツォルンの補題をどう使っているのかわかりません。 一体どの集合が帰納的順序集合なんでしょうか？ また、任意のイデアルを取ったときに、そこからイデアルの無限増加列が取れればこの議論はまずいのでは、とも思ってしまうのですが。 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 21:11:50 ] >>342 自然数の集合に無限大を追加した順序集合は 無限増大列が存在してかつ極大元が存在するだろ。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 21:11:51 ] 鎖（帰納的順序集合）ってのは順序集合の中の全順序な部分集合なんだから 順序が定まったらどの集合が鎖なのかは定まる。 イデアルの増加列に対してはその全体の合併集合を取れば良い。 無限か有限かはあまり関係無い。 345 名前：342 mailto:sage [2008/04/05(土) 22:15:32 ] 回答ありがとうございます。 まだわからないところがあるので重ねて質問します。 任意のイデアルを取り、“それを含むイデアル”の族Aが帰納的順序集合であるという流れだと思いますが、 そのためにはAの中の全順序な部分集合が上界をもたなければならず、 そこで無限大や合併集合を考えるとAに含まれない上界になってしまって帰納的順序集合の定義からはずれることになりませんか？ 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 22:23:25 ] >>345 合併集合はAに属すると思うが。 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/05(土) 22:50:43 ] 考えてみたら属しますね。解決しました。 回答してくださった方々、ありがとうございました。 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/06(日) 06:46:51 ] 何がわからなかったのかがわからん。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/07(月) 18:05:34 ] ｌܷܷܷܵܶܶ 350 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/26(土) 00:19:22 ] 符号理論の理解を補助するために ガロア体の知識を増やしたいんですが、ちょうどいいやつってありませんか？ 群環体の基本事項は一通り勉強したことはあるんですが 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/26(土) 00:20:20 ] Algebra artin注文した 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/28(月) 23:19:41 ] >>351 結構癖が強いぞ。いやになったらdummit-footeもよろしくな 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/28(月) 23:34:30 ] ほかにもLamとかも在るよね。 Zariski-Samuelの一巻とかも代数学の教科書として意外と良いらしい。 これ二巻まで読んだら松村の可換環論に進めるかな？ Atiyah-Macdonald先に読むべきなんだろうか 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/29(火) 12:55:53 ] LamのNon commutativeの方の問題集が手に入らないorz。 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/13(火) 02:39:42 ] 結合律を満たす二項演算の群表上には、何か視覚的な特徴ってあるでしょうか 例えば、可換であるためには主対角線に関して対称になっているような よろしくお願いします 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/13(火) 03:01:02 ] >>355 見やすい条件は、特に知られていない。 言い換えると、ある表があたえられたとき、それが群表であるか （特に、結合率を満たすか）、をチェックするのは、本質的には 全部の３つ組について確かめるくらいしか知られていない。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/13(火) 03:02:05 ] >>356 ありがとうございます 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 23:08:30 ] 細かいことは忘れたが、ある代数系（束と群を融合させたようなの）で、 ある命題の反例を作り出すことに躍起になったことがあった。 その時に最も厄介だったのが、結合律を満たすように万障繰り合わせる 作業だったということだけは鮮明に覚えている。 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/18(日) 09:29:58 ] age 360 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/21(水) 23:16:33 ] 別スレから来ました。全行列環上の加群について教えて下さい。 例えばKを体として、Rを３次全行列環M3(K)とします。このとき３次正方行列M＝ K K 0 K K 0 K K 0 は右R加群だが、３行２列行列N＝ K K K K K K は右R加群ではない。これは正しいでしょうか？ MとNはK加群（６次元Kベクトル空間）としては同型ですよね？ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 08:59:41 ] >>360 （前半） あなたはR加群をどう定義してるの？ ふつうの流儀でふつうに作用を入れると同型になると思うけど。 （後半） Yes 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 09:12:29 ] >>360 どちらも右Ｒ加群にはなりません。 363 名前：360 [2008/05/22(木) 12:15:59 ] >>361 ありがとうございます。 行列の積をRからの作用として右R加群を考えています。 これが間違いなのでしょうか。 >>362 ありがとうございます。 Ｍ，Ｎとも左R加群になるのはわかりますし、Nが右R加群にならないのもわかります。 しかしMが右R加群にならないのがわかりません。 やはりRからの作用の定義に問題があるのでしょうか？ 364 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/22(木) 20:14:38 ] 355の方の関連、というかもっと初歩的な質問なのですが、 代数系の研究で、何より先に結合法則が仮定される理由、 つまり、結合法則がなぜそれほど重要なのかが、どうしても しっくり来ません。 既出かも知れませんが、どなたかご教示ください。 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 21:15:31 ] >>363 右R加群の定義を正確に書いてごらん。 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 21:33:23 ] >>364 結合法則を仮定しない代数系に関する研究もある。 結合法則を満たす代数系を考えることが多いのは、 興味のある代数構造は「（条件を満たす）関数のなす集合」 みたいなところから出てくることが多くて、 関数合成が結合性を満たすからだと、俺は思ってる。 もちろん人によって考え方は違うところだと思うけど。 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 21:49:32 ] >>366と同じ様な意見だが、圏の射が結合法則を満たすことが根本にある と思う。 圏とはモノイドの拡張になっている。 圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) はモノイドになる。 従って、モノイドは数学のあらゆる場所に現れる。 X の自己同型全体 Aut(X) は群になる。 アーベル圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) は環になる。 368 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/22(木) 22:14:09 ] =364です。 366さん、367さんがおっしゃるように、 Hom(X,X)が結合法則を満たすことが、大きな理由で あることはよくわかります。 ただ、基本（？）に戻って、自然数や整数、有理数、実数の 演算としての＋、×を一般化する過程において、なぜ結合法則が、 ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです。 直感的には、交換法則の方がよほど基本的なようにも思われます。 あるいは子供に説明するとき、自然数の加法、乗法の結合法則の 証明（説明）は、それほどやさしくないようにも思えます。 そのあたりの、納得できる説明を、どなたかお願いいたします。 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 22:31:05 ] >>368 あんたは、何か大きな勘違いをしてるようだな。 このスレを見てるとそういう勘違いをしてる者が多いが。 代数系というのは人間が自由に決めていいように思ってるようだが、 数学というのはそういうものではない。 370 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/22(木) 22:36:11 ] =368(=364)です。 369さん、私も、単に形式的なルールを決めただけの 代数系には、多くの場合には意味がないと思います。 「自由に決めていいものではない」からこそ、 「結合法則を満たしていなくてはいけない」理由があると 思いますので、それを教えていただきたく存じます。 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 22:53:40 ] >>368 > ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです 神格化されたというソースはどこにあるの？ たとえば八元数は結合法則を満たさないけれど研究があるし、 Jordan代数は非結合的だけど、交換的な代数で、近年も研究されてる。 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:08:58 ] >>363 お前の考え方がオカシイのは ある作用のいれかたが存在したら それ以外のいれ方を考えないというか それ以外の存在を忘れ去ってしまっている ということ。 373 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/22(木) 23:09:54 ] >>370 だから>>367で説明してある。 ねばならない理由って、事実は事実なんだから 素直に認めればいいじゃん。 数学の出来ないやつは難しく考えすぎるからだめなんだよ。 何故、１足す１は２なのかとかな。 −１と−１を掛けると何故プラスになるかとかな。 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:12:04 ] >>368 東屋-中山の代数学I・IIなんかみると 分配系のほうが当たり前の構造だと思ってる という感じがするんだが。 お前が何を神格化しようと、 お前の神は俺の神ではないということでは。 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:14:35 ] >>368 納得したければ身をすり減らしてでも自分で調べて 死ぬまで考え続けろ それ以外の何物もお前の納得の役に立ちはしない 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:16:42 ] 非結合代数系なんてさ、まず計算順序を いつもいつも気にし続けなきゃならんでしょ、 ひたすらめんどくさいじゃん。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:19:59 ] 多分、面倒くさい上に面白くないからだろうな。 378 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/22(木) 23:36:52 ] しつこいようですが、＝370です。 それでは、355さんの質問に戻って、たとえば実数R上に 二項演算・が定義されているとき、それをあえて関数記号ｆを使って ｆ：A×A→A 表します。 当然ですが、交換法則 f(a,b)=f(b,a) は、ｆのグラフ z=f(x,y) が、面x=yに関して対称であるということで 特徴づけられます。 それでは、この演算が結合法則を満たすこと、すなわち、 f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)) が成立することを、ｆのグラフの形状の特徴として、 簡単に述べることはできるでしょうか？ これが何か直感的な特徴づけを持つようなら、 ある種の「納得」が得られるような気もします。 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:40:08 ] >>378 >>356 が既にその解答を与えている 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:43:53 ] 結合法則が成り立つ場合は f(a,x) を a が x に左から作用しているとみたほうが良いんじゃないかな 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:44:21 ] だから数学ってのはゲームじゃないんだって。 ゲームは人間が作ったルールで遊ぶ。 数学ってのは数学的世界の探求なんだよ。 数学的世界ってのは大昔から不変なわけ。 人間がどうこう出来るものじゃない。 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/22(木) 23:52:56 ] 別に「結合法則を満たしていなくてはいけない」ってことはなくて 実際、Lie代数とかは満たしてないでしょ。 ただそれ以外にあまり面白い例が知られていないってだけだと思う。 これから千年後の数学はどうなっているか分からないのだから あまり人為的な理由をこじつけて「納得」しようとしちゃダメだと思う。 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 00:05:14 ] >>378 世の中お前のような単純でおめでたいものだけでできあがって居ないということだ。 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 07:22:25 ] >>366とか>>367とか>>380が書いてるように、重要な代数系は 作用の集合なんだよ。圏論で言うと射の集合だ。 整数環もｎ倍するという作用の集合なわけ。 だから>>368が可換性のほうが基本的に思えるというのは勘違い。 むしろ非可換が普通。 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/23(金) 19:13:27 ] 378です。有意義な多数のご意見に感謝します。 384さんがまとめてくださって、８０％くらいまで すっきりしました。 確かに歴史的に考えても、群や環は、決して整数や実数の 加法、乗法を一般化して生まれたものではなく、（どの時点を もって「生まれた」とするかは議論があるでしょうが） ガロアによる根の置換という「作用」の研究から生まれた わけですもんね。 ということは、むしろ、整数や実数の加法や乗法が 結合法則を満たすことは、大げさに言えば「たまたま」「まぐれ」 という位に考えた方がいいのでしょうか。 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 19:41:09 ] きもちわるい 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 22:08:00 ] 定義 I を有限閉区間 [a, b] とする。 I の二つの分割 Δ = (x_i) と Δ' = (y_i) に対して Δ の各分点 x_i は Δ' の分点になているとき Δ' は Δ の細分と言い、 Δ ≦ Δ' と書く。 関係 ≦ は明らかに順序関係である。 Δ_1 と Δ_2 を I の二つの分割とする。 Δ_1 と Δ_2 の分点の合併から重複するものを除いたものを Δ_3 とする。 明らかに Δ_1 ≦ Δ_3, Δ_2 ≦ Δ_3 である。 従って、I の分割全体は上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 22:50:35 ] リーマン積分？誤爆？ 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 23:10:55 ] クマースレからのコピペ荒らしだろうｊｋ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 23:31:31 ] そんなスレ知らんわｊｋ 391 名前：390 mailto:sage [2008/05/23(金) 23:35:55 ] 上から順に見てったらすぐわかったwww あのスレでリーマン積分が出てきてるとは思わなんだ。 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 00:57:25 ] >>385 きっと数学的には、整数や実数が結合則を満たすのは 「たまたま」でも「まぐれ」でもなく、ほぼ定義。 君が考えるべきは、人間の数に関する直感が 抽象的な整数や実数と対応していることじゃないかな。 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 07:03:08 ] やべーーーーーーーすげーーーーーーー 発見した 今から論文にまとめる 楽しみにしとけ 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/10(火) 00:43:52 ] 零因子を持たない非可換環の例がありましたら、教えて頂きたいです。 そもそも、そのような環は存在可能でしょうか？ 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/10(火) 01:04:25 ] >>394 四元数を知らんのかたわけ者。 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/10(火) 01:21:54 ] >>395 すみません。超初心者です。勉強します。 397 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/04(金) 23:03:00 ] age 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 12:36:39 ] ここで聞くべきか分からないけど 集合･位相から群論に進むのにいい教科書ありませんか 「現代数学概説�T」を読んでるのですが 分かりにくくて挫折しそうですorz 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 13:12:31 ] 横田一郎「群と位相」 ポントリャーギン「連続群論」 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 14:15:35 ] 現代数学概説�Tは分かりにくい割に読んでも苦労が報われない本なので。。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 14:22:31 ] Algebra Artin 小さな誤植多すぎ　まとめたら100個以上あるなこれ。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 15:01:51 ] LangとArtinのAlgebraどっちがおすすめ？ 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 15:07:10 ] Artinは具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。 純粋な数学好きにはあまり向いてないという印象 Langの方は読んだことないからわからんが。 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 16:33:02 ] Langは大学院用のかなり高度なテキストで 圏論を意識して書いてる。 アメリカだから大学院とかそういうことじゃなくて、 実際にかなりレベルが高い。 学部生がゆっくりしっかり勉強するためのArtinと比較してもしかたない。 ＞具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。 代数学とは何か、とかそこまで読み物じゃないだろうけどね。 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 04:53:49 ] 体に埋めこむことのできない、零因子を持たない環ってありますか？ 406 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 15:59:45 ] 代数学のおもしろさってどんなとこですか？ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 19:22:08 ] >>405 整域は商体に埋め込める 408 名前：405 mailto:sage [2008/07/17(木) 01:01:53 ] レスありがとうございます。 ttp://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei_m.htm#Mal'tsev に ＞1937年に環の体への埋め込み可能性についての論文を書く． ＞元は，ファン・デル・ヴェルデンの ＞「体に埋めこむことのできない，零因子を持たない環があるか」という問題だった． という記述があるのですが、これは、商体を考えれば良いのだから無い、 という結論になるのですか？もう少し複雑な問題だと思っていました。 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:17:36 ] >>405 易しいことを難しく質問するのがw 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 02:10:09 ] >>408 ああ，非可換でいいのか．だったら簡単に作れる． S を {a, b, c, d, x, y, u, v} が生成する(単位的な)半群で， 各元が a x = b y, c x = d y, a u = b v なる条件を満たすものとし， R = k S (k は可換体) として得られる環 R が例になる． （S上では c u ≠ d v だが，埋め込めたとすると c u = d v になる） 411 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 13:58:50 ] 素数たち とか外国語の複数形を意識して「〜たち」とか使うやつがいるけど、 気持ち悪いんですが。 それをかっこいいと思っているやつもいるみたいで。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 14:41:19 ] >>411 酒井とかいうジジイ数学者がそれだ 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 19:03:14 ] >>411 俺も使うよ。 正直なんか擬人化っぽくてカッコ悪いとは思うんだが 複数と単数の違いは、日常生活ならいざ知らず、 数学では結構効いて来るので。 その点のみに関しては日本語は英語より不利だと思う。 擬人化っつっても 　　　　　　　 　∧＿∧　　　┌──────────── 　　　　　　 ◯（ ´∀｀ ）◯ ＜ 743ﾀﾝは132人目の素数ちゃん！ 　　　　　　　 ＼　　　 ／　　└──────────── 　　　　　　　_／ ＿＿ ＼_ 　　　　　　（＿／　　 ＼＿） 　　　　　　　　 　　ｌｌｌ とかは流石に言いませんが。 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 20:21:56 ] たしかに嫌だが くどい書き方になるのとどっちがいいか 昔の本ではあまり見ないかな 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 20:51:42 ] そんな変な言い回しを使わずに、高木貞治などは立派な数学書 を書いているのだが。「素数の皆さん」とか「特異点たち」が 必要不可欠な表現とは思えん。 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 21:07:30 ] なんにせよこのスレでは一回しか使われてない。 代数学に限った話ではないし、そろそろスレ違いだな。 俺もかなり問題あると思うが 昨今の学生の読解力を考えると案外必要不可欠なのかもしれん 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 21:24:54 ] >>412 酒井って、ディリクレ＆デデキントの整数論の教科書を訳した人？ あんまり訳の完成度が高くなかったような。 本自体は分かりやすい高木の本よりさらに分かりやすいけど。 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 21:34:00 ] >>417 そうです。日本語に冠詞を「添加」しようなんて提案も どこかでしていましたっけ。 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 21:39:07 ] チンコのたちが悪いので、たちが必要じゃ。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 06:31:01 ] 単数と複数の区別がほんとに必要なときってあまり思い浮かばない。 逆に英語では point(s) なんて書かなきゃならない場合もある。 要するに日本語で「たち」とか冠詞を使いたいと思うのは西洋かぶれ。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/25(金) 16:22:29 ] アラビア語かぶれかもしれんよ 422 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 19:32:46 ] 対称群S_nとその単位元1に対し S[n,m]={x∈S_n | x^m=1 x^i≠1(i=1,...,m-1)} として S[n,m]を x〜y ⇔ ∃g∈S_n xg=gy という同値類で割った商集合をA[n,m]としたとき A[n,m]の元の個数って一般に幾つになるんでしょうか 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 12:55:38 ] >>422 A[n,m]は、 n = a_1 + a_2 + ... + a_r、a_iは正の整数、a_1≦a_2≦ ... ≦a_r a_1, a_2, ... a_rの最小公倍数がm を満たす有限数列の個数、ということになるな。 個別のn,mについて組み合わせ論的に計算することは可能だろうけど、 一般的に式で表すのは難しいんじゃね？ 424 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 13:03:10 ] K を体、SをKのある拡大体の有限部分集合としたとき、 K[S] = K(S) ⇒ S の元はすべてK上代数的 っていう命題を簡単に（ネーターの正規化定理とか使わずに） 示すことってできる? 425 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 16:55:25 ] >>423 式で表すのが難しくても、423のようには表せるのですね。ありがとうございました 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 19:47:27 ] 現在、松坂和夫の代数系入門で学習しているのですが、この本の内容なら大学の数学科ではどの程度の学年で習得するのが普通でしょうか？ 冒頭のはしがきにはこの本の内容は基礎的なものであって専門的なものではないというようなことが書いてありましたので1回か2回生くらいかと思うのですが 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 20:19:44 ] >>426 2年生くらい。 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 21:36:15 ] >>427 ありがとうございます がんばります 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 01:00:23 ] >>424 松村「可換環論」定理5.2 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 19:18:13 ] >>429 サンクス！ 松村の本で証明をチェックしました。 それなりに長い証明だけど、正規化定理の証明よりはだいぶ簡単ですね。 ちなみに、今読んでる岩波の堀田「環と体2」で>>424の命題の証明が なんか変で（たった3行しかなく、たぶん証明になってない）、正しい簡単な 証明を探してました。 ありがとうございました。 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 19:21:25 ] ご参考までに、堀田「環と体2」（岩波）の問題の箇所を以下に書いておきます。 命題1.11（p.9）の (ii) K[a_1, ..., a_n] = K(a_1, ..., a_n) ⇒ (iii) [K(a_1, ..., a_n):K] < ∞ の証明が変。帰納法の仮定は「n-1 まで (i)(ii)(iii)が同値であること」のはず なのに、「a_1, ..., a_(n-1) が代数的」を仮定してしまっているようにみえる。 なお、実は別分冊「環と体1」のほうの補題4.10（p.71）で、これと実質的に 同等な命題が（ネーターの正規化定理を使って）示されています。 432 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 19:40:13 ] ついでに、堀田「環と体2」（岩波）でもう一個見つけたおかしな箇所を書いておきます。 定理 2.25（p.50）（1の原始n乗根を含む体K上の巡回拡大はK(a^(1/n)]） の「(ii)⇒(i)」の証明で、 「σの位置はnゆえ、これは位数nの巡回群であり..」 というところにギャップがあると思われます。 他の本のように、Lagrangeの分解式かHilbertの定理90を使わないとこれは言えないはず。 433 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 19:44:47 ] 匿名で書くな阿呆 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 19:56:17 ] 全員匿名なんですがｗ 435 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 20:35:14 ] だから２ちゃんねるは便所の壁^H^Hクソなんだ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 21:27:31 ] 今学期に群を学んだんですが次は普通は環や体について学ぶんですかね？ 437 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 22:08:28 ] つぎは反軍だ 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 23:54:45 ] 群論ｷﾓｲ 環のようにきれいな群論の本無いですか？ 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 07:22:31 ] 何だよ環のようにきれいなって。 その時点で意味不明だよ。 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 09:30:36 ] おそらく環のごく基本的なことしか知らないから 「きれい」だと思ってるんでない？ 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 21:18:07 ] 　環の英訳はringであってringの和訳の1つに「指輪」がある ⇒環と指輪の英訳は同じ ⇒指輪はきれいだから冗談交じりに環はきれいと判断した つまり、環と指輪の英訳を考えて「環のようにきれい」という表現が出て来たのだろう。 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 03:23:32 ] 有限群論の恐ろしくテクニカルなのが嫌いなんだろう。 環については４４０の言う通りだろうけど。 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 18:07:54 ] 友愛数、婚約数、社交数、拡大友愛数 完全数 これって素数みたいに代数的な特性あるの？ ただの暇人の数字遊び？ 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 21:24:25 ] 最後の行 445 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 11:30:47 ] >>443 「代数的な特性」ってのは具体的に何のこと？ 446 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 11:33:24 ] www.technobahn.com/news/2008/200803271347.html arxiv.org/abs/0803.3435 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 12:29:32 ] 有限群論って組合せ論やグラフ理論と似た考え方がモロに出て来るから これらに慣れていてば余り難しく感じられなくなるんないんじゃないか？ 無限群論だと話は別かも知れないが。 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 13:08:22 ] 訂正: >>447の「慣れていてば」は「慣れていれば」の間違い。

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