- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:42:06 ]
- >>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:45:52 ]
- ↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:46:41 ]
- なんか²
- 543 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 12:30:28 ]
- Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
- 544 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 14:54:59 ]
- >>540
＞ =(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 16:20:24 ]
- >>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
- 546 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 17:52:03 ]
- king ≤ うんこ
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 18:29:25 ]
- 荒らそうと必死ですね わかります
- 548 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 21:06:37 ]
- Reply:>>546 何をしている。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 03:45:57 ]
- >>536
x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 08:07:35 ]
- 本質的に>>540=>>549
- 551 名前：551蓬莱 mailto:sage [2008/09/20(土) 23:51:56 ]
- www.551horai.co.jp/
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/21(日) 07:57:45 ]
- >>533
3段の方が4段より難しかったな。
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 20:27:12 ]
- 〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 23:57:11 ]
- 不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/03(金) 03:31:17 ]
- 俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:08:48 ]
- >>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:37:22 ]
- πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 07:12:07 ]
- >>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 09:38:47 ]
- >>557
なめんなよ！
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 14:07:15 ]
- >>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:39:17 ]
- 〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/096, 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
- 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:41:28 ]
- >>561 スレ違いっぽいが･････
(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 23:49:07 ]
- >>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 00:26:53 ]
- >>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:42:02 ]
- e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:43:19 ]
- arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/
en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms
en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:38:02 ]
- 全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 17:33:57 ]
- 綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:00:03 ]
- >>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 20:05:15 ]
- >>410 のもとの問題文は↓(>>430)
円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
- 571 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/10/06(月) 20:54:56 ]
- Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 23:59:10 ]
- >>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 00:09:55 ]
- >>570
いかにもエレ解な問題だな
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 01:17:05 ]
- これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 01:17:31 ]
- >>534
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/09(木) 21:33:02 ]
- >373-374 , 394
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/121
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
- 577 名前：576 mailto:sage [2008/10/09(木) 21:47:21 ]
- ・境界上の極大
6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/10(金) 00:57:08 ]
- 後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/11(土) 00:16:10 ]
- ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
- 580 名前：576 mailto:sage [2008/10/13(月) 04:25:00 ]
- >> f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 06:28:12 ]
- >>341
A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 08:19:15 ]
- >>341
B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/19(日) 00:12:38 ]
- >>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．
t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
- 584 名前：583 mailto:sage [2008/10/19(日) 00:45:17 ]
- 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
- 585 名前：584 mailto:sage [2008/10/19(日) 00:46:41 ]
- × 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
- 586 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/19(日) 07:23:26 ]
- 〆切過ぎたから今月の大数の宿題
a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}
a_n<5を示せ
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/19(日) 11:54:01 ]
- >586
a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴ a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
a_(n+6) = -1/a_n.
∴ はじめの6項を求めれば分かる。
- 588 名前：583-585 mailto:sage [2008/10/19(日) 15:08:21 ]
- 多投スマ祖。
q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。
- 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 04:57:18 ]
- >>583
t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,
・3つの実根をもつから
Q <0, R^2 < 4(-Q/3)^3,
・解が t≧1 だから
(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
r-5 ≧0, q-2r+7 ≧0, q-2r+3 ≦0,
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 05:37:48 ]
- >>341
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
for every positive integer n.
(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと (← ガウスの記号)
t = {n√2} - {n√3}
= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
= k - (√3 -√2)n (k∈N)
= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
分母は0でない整数。
・ n≧20 のとき
|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
辺々掛けて
|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
より成立。
・n≦20 のとき、
(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 23:06:03 ]
- >590
分子は0でない整数。
>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 01:28:31 ]
- >>341
B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),
(略証)
a+b+c =s, abc =u とおく。
(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s} ････(*)
= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
≧ 0,
ここで Schur の不等式 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。
(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
S = A + B + C = s^2 -3t,
T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
U = ABC = us^3 - t^3,
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 02:43:50 ]
- 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。
[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 08:44:05 ]
- >>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
新手の釣り師か？
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:34:46 ]
- 計算機で解けば？
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:45:21 ]
- 釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:55:56 ]
- それのどこが不等式？
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 16:59:40 ]
- >597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 23:10:30 ]
- >>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？
- 600 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/29(水) 03:55:59 ]
- Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ
a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 04:24:00 ]
- Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83
- 602 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/29(水) 19:49:32 ]
- Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ
これだと高校生でも何とかできるか
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 21:34:14 ]
- それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。
これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 21:40:55 ]
- >603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 23:24:13 ]
- >>600
S_82 = 5 - 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,
>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,
S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,
S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,
- 606 名前：592 mailto:sage [2008/10/29(水) 23:35:18 ]
- >>592 の訂正, ｽﾏｿ.
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 21:53:26 ]
- >>600
↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,
〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0, (ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。
ハｧハｧ
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 22:19:48 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 04:23:18 ]
- 正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 06:46:30 ]
- >>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 10:20:43 ]
- >>593>>598の変形し損ね？
- 612 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/04(火) 04:11:04 ]
- >>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦ 1/3
を示せ。 （２００７ 阪大）
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 10:21:31 ]
- >>612
誘導なしだったら、いい感じだね
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 20:40:08 ]
- test
- 615 名前：不等式だけの学会があるらしい mailto:sage [2008/11/04(火) 21:07:44 ]
- lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1
TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)
≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）
=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
よってTH2が成立。
TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。
という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 21:11:03 ]
- >>615
>>437
- 617 名前：不等式だけの学会があるらしい mailto:sage [2008/11/04(火) 21:19:36 ]
- 日本の高校の教師によって示された。
俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。
次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」
シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。
「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:00:11 ]
- >>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？
最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:27:11 ]
- >>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:31:41 ]
- アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明
のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:47:21 ]
- >>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
- 622 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 05:24:54 ]
- x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ
ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
- 623 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 07:24:12 ]
- >>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。
a^2-4b≦0
- 624 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 07:32:47 ]
- すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
- 625 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/06(木) 20:53:25 ]
- 基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/06(木) 23:19:08 ]
-
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>625
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 00:08:42 ]
- >>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。
このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）
--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 19:37:45 ]
- >>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
- 629 名前：>>615訂正 mailto:sage [2008/11/07(金) 19:53:16 ]
- 「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 20:07:16 ]
- 反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 20:09:40 ]
- 単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 23:55:05 ]
- >>630-631
少し黙ってろ！
- 633 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 03:26:54 ]
- a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 03:32:44 ]
- >>633
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 09:53:36 ]
- >>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 20:04:09 ]
- >>633 (上)
1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 22:43:41 ]
- >>636
それf(a)求めただけやん(笑)
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 23:55:39 ]
- >>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 01:17:19 ]
- >>638
おまいはテレパスか！
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 02:10:10 ]
- >>636
上教えてちょ
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