- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:12:43 ]
- A+B+C=π π＞A≧B≧C＞0 として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:15:39 ]
- >>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/07(日) 13:37:35 ]
- 半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 13:46:11 ]
- >>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 01:06:12 ]
- >>494
それ、ハイ理にあったような
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 01:15:31 ]
- >>496
ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
- 498 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 02:04:14 ]
- >>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 02:31:50 ]
- >>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 03:12:31 ]
- >>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか
>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 07:55:04 ]
- >>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 18:39:01 ]
- >>501
それ、チャップル・オイラー
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:33:32 ]
- ヴィルティンガーの不等式
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:38:27 ]
- 有名どころでヘルダーの不等式。
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:53:30 ]
- >>503
聞いたことないのは不勉強？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 03:09:02 ]
- ディルレヴァンガーの方程式
>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 17:32:26 ]
- ぐぐったら聞いたことがあることになる？
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:01:53 ]
- 聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:12:16 ]
- >>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
- 510 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/11(木) 21:54:23 ]
- >>509
死ねｗ
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:57:09 ]
- 独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ
- 512 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/11(木) 21:58:30 ]
- >>508
KY1級
- 513 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/13(土) 16:23:44 ]
- 不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 16:49:42 ]
- なぜスレチとわかってて．．．
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 17:38:47 ]
- マルチと見た
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 18:31:11 ]
- >>513
ヒント：2倍して1を足せ
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/14(日) 07:01:32 ]
- >>513
次の恒等式を考える。 (11倍角公式)
cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴ cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴ 1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
(与式) = -6.
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 11:17:09 ]
- >498
>>121-122
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 12:15:13 ]
- >>497
左辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.
(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),
ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S) を使った。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 12:43:00 ]
- >>487
中辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
- 521 名前：519 mailto:sage [2008/09/15(月) 21:24:35 ]
- >>497
ヘロンの公式も使った。
s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/15(月) 22:19:32 ]
- ∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)
x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3
△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 22:49:30 ]
- >>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/16(火) 15:30:46 ]
- For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]
\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.
Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/16(火) 21:58:34 ]
- >>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 00:56:06 ]
- >>522
(上) コーシーの不等式より
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,
(中)
f(x) = x･log(x) とおく。
f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
- 527 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 22:00:51 ]
- f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
- 528 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 22:34:51 ]
- 質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 07:08:59 ]
- >>522 (下)
(Toth の証明)
Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,
一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。
文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 09:25:58 ]
- www.thehcmr.org/issue2_1/problems.pdf
S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:03:27 ]
- というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:04:08 ]
- >>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
(右辺) < 3/5.
>>528
XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0, ････ (1)
Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0, ････ (2)
X+Y+Z -a -2b = 0, ････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:29:42 ]
- そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:58:03 ]
- 今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗
- 535 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 01:11:37 ]
- >>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。
- 536 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 02:50:44 ]
- n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
- 537 名前：５３６ mailto:sage [2008/09/19(金) 02:55:48 ]
- n> 2です
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:19:16 ]
- king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:20:41 ]
- 荒らそうと必死ですね わかります
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:42:06 ]
- >>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:45:52 ]
- ↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:46:41 ]
- なんか²
- 543 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 12:30:28 ]
- Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
- 544 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 14:54:59 ]
- >>540
＞ =(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 16:20:24 ]
- >>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
- 546 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 17:52:03 ]
- king ≤ うんこ
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 18:29:25 ]
- 荒らそうと必死ですね わかります
- 548 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 21:06:37 ]
- Reply:>>546 何をしている。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 03:45:57 ]
- >>536
x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 08:07:35 ]
- 本質的に>>540=>>549
- 551 名前：551蓬莱 mailto:sage [2008/09/20(土) 23:51:56 ]
- www.551horai.co.jp/
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/21(日) 07:57:45 ]
- >>533
3段の方が4段より難しかったな。
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 20:27:12 ]
- 〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 23:57:11 ]
- 不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/03(金) 03:31:17 ]
- 俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:08:48 ]
- >>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:37:22 ]
- πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 07:12:07 ]
- >>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 09:38:47 ]
- >>557
なめんなよ！
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 14:07:15 ]
- >>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:39:17 ]
- 〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/096, 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
- 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:41:28 ]
- >>561 スレ違いっぽいが･････
(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 23:49:07 ]
- >>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 00:26:53 ]
- >>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:42:02 ]
- e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:43:19 ]
- arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/
en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms
en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:38:02 ]
- 全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 17:33:57 ]
- 綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:00:03 ]
- >>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 20:05:15 ]
- >>410 のもとの問題文は↓(>>430)
円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
- 571 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/10/06(月) 20:54:56 ]
- Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 23:59:10 ]
- >>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 00:09:55 ]
- >>570
いかにもエレ解な問題だな
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 01:17:05 ]
- これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 01:17:31 ]
- >>534
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/09(木) 21:33:02 ]
- >373-374 , 394
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/121
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
- 577 名前：576 mailto:sage [2008/10/09(木) 21:47:21 ]
- ・境界上の極大
6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/10(金) 00:57:08 ]
- 後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/11(土) 00:16:10 ]
- ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
- 580 名前：576 mailto:sage [2008/10/13(月) 04:25:00 ]
- >> f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 06:28:12 ]
- >>341
A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 08:19:15 ]
- >>341
B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/19(日) 00:12:38 ]
- >>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．
t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
- 584 名前：583 mailto:sage [2008/10/19(日) 00:45:17 ]
- 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
- 585 名前：584 mailto:sage [2008/10/19(日) 00:46:41 ]
- × 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
- 586 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/19(日) 07:23:26 ]
- 〆切過ぎたから今月の大数の宿題
a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}
a_n<5を示せ
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/19(日) 11:54:01 ]
- >586
a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴ a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
a_(n+6) = -1/a_n.
∴ はじめの6項を求めれば分かる。
- 588 名前：583-585 mailto:sage [2008/10/19(日) 15:08:21 ]
- 多投スマ祖。
q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。
- 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 04:57:18 ]
- >>583
t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,
・3つの実根をもつから
Q <0, R^2 < 4(-Q/3)^3,
・解が t≧1 だから
(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
r-5 ≧0, q-2r+7 ≧0, q-2r+3 ≦0,
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 05:37:48 ]
- >>341
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
for every positive integer n.
(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと (← ガウスの記号)
t = {n√2} - {n√3}
= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
= k - (√3 -√2)n (k∈N)
= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
分母は0でない整数。
・ n≧20 のとき
|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
辺々掛けて
|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
より成立。
・n≦20 のとき、
(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 23:06:03 ]
- >590
分子は0でない整数。
>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 01:28:31 ]
- >>341
B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),
(略証)
a+b+c =s, abc =u とおく。
(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s} ････(*)
= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
≧ 0,
ここで Schur の不等式 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。
(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
S = A + B + C = s^2 -3t,
T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
U = ABC = us^3 - t^3,
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
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