- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 482 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 00:54:44 ]
- >>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます
「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。
それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?
- 483 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 00:56:27 ]
- うわwww 偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
- 484 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 01:12:12 ]
- ちょっと長めに引用しておきます
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 06:57:59 ]
- >>456,476
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
〔補題〕 a<1, j>0 ならば
(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j, 等号成立は x=j/(1-a) のとき。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 15:45:53 ]
- >>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
- 487 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 18:52:13 ]
- 1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
- 488 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 18:56:09 ]
- >>487
成り立たないだろ
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 20:16:27 ]
- 記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 20:47:20 ]
- (0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
- 491 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 21:03:58 ]
- それはウマい方法じゃないだろｗ
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:12:43 ]
- A+B+C=π π＞A≧B≧C＞0 として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:15:39 ]
- >>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/07(日) 13:37:35 ]
- 半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 13:46:11 ]
- >>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 01:06:12 ]
- >>494
それ、ハイ理にあったような
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 01:15:31 ]
- >>496
ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
- 498 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 02:04:14 ]
- >>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 02:31:50 ]
- >>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 03:12:31 ]
- >>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか
>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 07:55:04 ]
- >>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 18:39:01 ]
- >>501
それ、チャップル・オイラー
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:33:32 ]
- ヴィルティンガーの不等式
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:38:27 ]
- 有名どころでヘルダーの不等式。
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:53:30 ]
- >>503
聞いたことないのは不勉強？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 03:09:02 ]
- ディルレヴァンガーの方程式
>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 17:32:26 ]
- ぐぐったら聞いたことがあることになる？
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:01:53 ]
- 聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:12:16 ]
- >>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
- 510 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/11(木) 21:54:23 ]
- >>509
死ねｗ
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/11(木) 21:57:09 ]
- 独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ
- 512 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/11(木) 21:58:30 ]
- >>508
KY1級
- 513 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/13(土) 16:23:44 ]
- 不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 16:49:42 ]
- なぜスレチとわかってて．．．
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 17:38:47 ]
- マルチと見た
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/13(土) 18:31:11 ]
- >>513
ヒント：2倍して1を足せ
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/14(日) 07:01:32 ]
- >>513
次の恒等式を考える。 (11倍角公式)
cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴ cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴ 1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
(与式) = -6.
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 11:17:09 ]
- >498
>>121-122
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 12:15:13 ]
- >>497
左辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.
(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),
ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S) を使った。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 12:43:00 ]
- >>487
中辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
- 521 名前：519 mailto:sage [2008/09/15(月) 21:24:35 ]
- >>497
ヘロンの公式も使った。
s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/15(月) 22:19:32 ]
- ∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)
x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3
△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/15(月) 22:49:30 ]
- >>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/16(火) 15:30:46 ]
- For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]
\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.
Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/16(火) 21:58:34 ]
- >>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/17(水) 00:56:06 ]
- >>522
(上) コーシーの不等式より
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,
(中)
f(x) = x･log(x) とおく。
f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
- 527 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 22:00:51 ]
- f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
- 528 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/17(水) 22:34:51 ]
- 質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 07:08:59 ]
- >>522 (下)
(Toth の証明)
Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,
一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。
文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 09:25:58 ]
- www.thehcmr.org/issue2_1/problems.pdf
S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:03:27 ]
- というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:04:08 ]
- >>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
(右辺) < 3/5.
>>528
XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0, ････ (1)
Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0, ････ (2)
X+Y+Z -a -2b = 0, ････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:29:42 ]
- そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/18(木) 22:58:03 ]
- 今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗
- 535 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 01:11:37 ]
- >>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。
- 536 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 02:50:44 ]
- n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
- 537 名前：５３６ mailto:sage [2008/09/19(金) 02:55:48 ]
- n> 2です
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:19:16 ]
- king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:20:41 ]
- 荒らそうと必死ですね わかります
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:42:06 ]
- >>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:45:52 ]
- ↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 11:46:41 ]
- なんか²
- 543 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 12:30:28 ]
- Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
- 544 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 14:54:59 ]
- >>540
＞ =(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 16:20:24 ]
- >>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
- 546 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/19(金) 17:52:03 ]
- king ≤ うんこ
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/19(金) 18:29:25 ]
- 荒らそうと必死ですね わかります
- 548 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/09/19(金) 21:06:37 ]
- Reply:>>546 何をしている。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 03:45:57 ]
- >>536
x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/20(土) 08:07:35 ]
- 本質的に>>540=>>549
- 551 名前：551蓬莱 mailto:sage [2008/09/20(土) 23:51:56 ]
- www.551horai.co.jp/
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/21(日) 07:57:45 ]
- >>533
3段の方が4段より難しかったな。
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 20:27:12 ]
- 〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/25(木) 23:57:11 ]
- 不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/03(金) 03:31:17 ]
- 俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:08:48 ]
- >>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 01:37:22 ]
- πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 07:12:07 ]
- >>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 09:38:47 ]
- >>557
なめんなよ！
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 14:07:15 ]
- >>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:39:17 ]
- 〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/096, 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
- 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 20:41:28 ]
- >>561 スレ違いっぽいが･････
(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 23:49:07 ]
- >>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 00:26:53 ]
- >>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:42:02 ]
- e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 04:43:19 ]
- arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/
en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms
en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:38:02 ]
- 全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 17:33:57 ]
- 綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:00:03 ]
- >>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 20:05:15 ]
- >>410 のもとの問題文は↓(>>430)
円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
- 571 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/10/06(月) 20:54:56 ]
- Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 23:59:10 ]
- >>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 00:09:55 ]
- >>570
いかにもエレ解な問題だな
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 01:17:05 ]
- これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 01:17:31 ]
- >>534
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/09(木) 21:33:02 ]
- >373-374 , 394
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/121
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
- 577 名前：576 mailto:sage [2008/10/09(木) 21:47:21 ]
- ・境界上の極大
6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/10(金) 00:57:08 ]
- 後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/11(土) 00:16:10 ]
- ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
- 580 名前：576 mailto:sage [2008/10/13(月) 04:25:00 ]
- >> f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 06:28:12 ]
- >>341
A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 08:19:15 ]
- >>341
B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
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