不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 322 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:02:03 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 03:46:36 ] ん？タン虫は４連で終わり？ つまらん！ １０００までやりゃいいのに 324 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 21:44:03 ] 宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。 不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。 っていう問題です。 3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　 を求めればよい。となっていますが、 5/3≦a＜13/6 となり a＝２　と答はなりますが。。 解き方として 2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが 2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。 機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は 　　　整数値をBとした場合 　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。 また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は 　　　　整数値をCとした場合 　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。 　　　　 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 22:20:06 ] >>324 2a-1/3＜4　は成り立つが 2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値） 326 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/20(火) 20:20:39 ] a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式 　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1]) 　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])} 　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])} が成立することを証明せよ. （出典；数学セミナー） 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/21(水) 00:48:10 ] ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`) 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 15:21:27 ] >>327 低脳は書き込まないように。 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 00:15:18 ] >>328 330 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/24(土) 14:15:32 ] >>328 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 14:16:56 ] >>328 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 21:01:37 ] >>314 蛇足だが… その変更操作によって調和平均は 　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-��) > 2ab/(a+b), により増加する。 　…… しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終) 333 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/28(水) 17:29:13 ] science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79 から転載 nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ ただしnPkは順列の個数を意味する 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/31(土) 20:35:13 ] >>333 nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n, 　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。 ∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]), 〔補題〕 　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2), 　等号成立は n=2 のとき。 (略証) nについての帰納法による。 n=1,2 のとき成立。 nが偶数のとき、n=2m, 　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1), 　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。 　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2), nが奇数のとき、 　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終) ※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 02:51:52 ] >>334 の補足 　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), 　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)}, (略証) 　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0, 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/08(日) 22:07:04 ] 〔問題83〕(改作) a,b,c>0 とする. 　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3), を示せ。 東大入試作問者スレ１５ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83 --------------------------------------------------------- (略証) 左端 　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2, 　巡回的にたす。 中央左 　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc, 　巡回的にたす。 中央右 　(1/2)(b+c) ≧ √(bc), 　巡回的にたす。 右端 　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3), 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/08(日) 23:13:45 ] ﾊｧﾊｧ… 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/14(土) 19:02:42 ] >>326 a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。 　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2]) 　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1]) 　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1) ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から 　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1) 　　= Σ_{k=1,n} b[k] 　　= (左辺). ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。 ぬるぽ mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html 339 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/23(月) 23:58:44 ] a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ． |a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} } 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/24(火) 01:01:32 ] >>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:30:00 ] 543 www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2008/prob_apr.pdf B4101 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en A.447 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200802&t=mat&l=en B.4043 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en B.4049 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en A.439、B.4040 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en A.435、A436、B.4029 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en A.433、B4019、B4021 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200709&t=mat&l=en B.4101（懐かしい） www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:31:02 ] 【f(x)】 A.450 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en B.4060 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en 【nCr】 B.4091 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en 【other】 B.4046 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en B.4035 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en B.4031 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en B.4097 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en 雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 14:55:09 ] 【問題148】(改作) 　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148 --------------------------------------------------- (略解) ・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より 　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ), ・cosθ ≦0 のとき 　-1 ≦ cosθ ≦0, 　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ), 344 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/28(土) 21:48:06 ] >>341 A.435ムズイな… 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 21:58:18 ] >>341 やさしいのは･･･ B.4019. 　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)), 　より 　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4. 　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･ B.4035. 積和公式 　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x), を使うと 　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2), 　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.) B.4043. 　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17) B.4046. 　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同 　|a-b|=3, 346 名前：345 mailto:sage [2008/06/28(土) 22:07:34 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4019. Prove that 　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4, 　for every positive integer n. B.4035. Solve the following equation: 　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0. B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of 　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or 　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ? B.4046. Solve the following simultaneous equations: 　　　a√a + b√b = 183, 　　　a√b + b√a = 182, 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/29(日) 00:50:11 ] 私のコレクションの中にも無いなぁ… 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/30(月) 22:51:51 ] A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。 349 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/02(水) 01:21:20 ] 中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。 ↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ とするとき ↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ の取りうる値の範囲を求めよ。 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/02(水) 20:57:26 ] >>341 B.4040. 　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π) とおく。附帯条件から 　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0, 　A+B+C = π, 　ABCは三角形をなす。 (1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき 　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸) 　　　　= 3cos(π/3) = 3/2. (2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。 　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸) 　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2 　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2) 351 名前：350 mailto:sage [2008/07/02(水) 21:18:08 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4040. 　a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that 　(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2. 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/03(木) 01:31:20 ] >>351 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、 　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4 を示せばよい。 s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、 　 （右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0 等号成立条件は a=b=c． なぜならばっ！ なぜならばっ！ 　 s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係） 蛇足、t=1 より 　 s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0 　 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0 　　　　　　　　　　＿＿＿　　 　　　　|┃三　.／　　≧　＼ 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　久々の出番だね！ 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 353 名前：350-351 mailto:sage [2008/07/03(木) 23:28:16 ] >>352 　成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz. >>349 　(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2 　= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2, ここに 　0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3, 　-3/2 ≦ (与式) ≦ 3, 等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき,　右側 : A=B=C のとき） ハｧ ハｧ >>350 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/03(木) 23:58:49 ] >>353 牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… なぜならばっ！ なぜならばっ！ 不等式ヲタだからです！ 別解が多いほど興奮するからです！ 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/04(金) 23:51:52 ] B.4101. Assume xyz=8. Prove that 1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1, 不等式スレッド　143-157 IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。 imo.wolfram.com/problemset/index.html 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 04:38:10 ] >>355 解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/06(日) 10:42:24 ] >>341 , >>355 念のため･･･ B.4101. 　a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)),　(k>0) とおくと x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2, 　(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab) 　　　≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均) 　　　> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c) 　　　= 1. 358 名前：357 mailto:sage [2008/07/06(日) 10:49:06 ] >357 の訂正、ｽﾏｿ 　a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)),　(k>0) とおくと 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 17:25:53 ] 誰かA.435解いて〜 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 17:27:45 ] ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/231 nは自然数とする {Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n を示せ 361 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/10(木) 00:11:21 ] バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:42:46 ] A435 s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)} 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:45:10 ] a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)} 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:50:42 ] a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b) =(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc =S1^3-S1*S2-3*S3 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:53:15 ] >>362-364 証明になっとらん 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:53:25 ] a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b) =(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc =S1^3-2*S1*S2+3*S3 (s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc =S1*S2-S3 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:57:14 ] >>366 続き教えてください 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:58:19 ] S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3} S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 22:02:04 ] -6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 22:08:15 ] >>369 それが常に成り立つことの証明は？ 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 23:05:37 ] >>360 　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n), 　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n], より 　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n] とおく。 　b[1] = 2 = √(2n), 　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2) 　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)} 　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]} 　　< √{n/(n-1)}. ∴　b[n]/√(2n) は単調減少。 なお、 　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞) science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239 372 名前：371 mailto:sage [2008/07/10(木) 23:08:51 ] 　b[1] = 2 = 2√n, 　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2) 　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)} 　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]} 　　< √{n/(n-1)}. ∴　b[n]/(2√n) は単調減少。 なお、 　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞) 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 10:14:37 ] a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき (7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 10:15:47 ] >>373 0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/13(日) 11:09:47 ] ∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2 を示せ 376 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/13(日) 18:12:00 ] 今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/13(日) 20:49:27 ] >376 シュワルツの不等式 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 21:51:14 ] >>375 (ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は 　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。 (イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！ 　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx 　　　= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)} 　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3) 　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.) 　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2 　　　≧ 1/2. 等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終) いくら何でもマンドクセ？ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:40:32 ] >>342 B.4097. 　(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42). >>377 　さようなら。 　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/ >>378　　　　(← 注釈無用) 380 名前：379 mailto:sage [2008/07/14(月) 22:44:37 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4097. Solve the following equation on the set of integers: 　　　2^((x-y)/y) − (3/2)y = 1. 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:29:34 ] >>380 そういや、まだ考えてなかった… 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 13:27:24 ] Jensenの不等式で f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n) が証明されて、特に t_1=…=t_=1/n とおけば f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n ですが、 t_1+…+t_n=1 の場合を示さないで、直接 f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n を示すことは可能なんですかね？ 383 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:32:04 ] 入試問題でも貼ろうか？ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 23:36:21 ] 不等式ならドンと来い 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:59:00 ] 2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:05:11 ] >>380 x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1 あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1) が求める整数解となる 不等式とか関係ない気がするが 387 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 02:16:55 ] ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ ｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ） （５３群馬大，５９中部工大） ２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき， ｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２ を証明せよ （５２茨城大） ３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式 ｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５ が成り立つことを示せ （５８東京女大・数理） ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき ｛１−（ｘ／ｎ）｝｛１−（ｙ／ｎ）｝｛１−（ｚ＋ｎ）｝ の最大値を求めよ （５８東京理科大） 暇潰しにもならないと思うがどうぞ 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 02:20:48 ] 訂正 ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき ｛１−（ｘ／ｎ）｝｛１−（ｙ／ｎ）｝｛１−（ｚ／ｎ）｝ の最大値を求めよ （５８東京理科大） 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 03:40:53 ] フハハハハ…、解ける、解けるぞ！ 390 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 07:02:42 ] (1-25/3n)^3 2*2.5^2=2*5^2/2>25/2 2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1) 　2^((x-y)/y) − (3/2)y = 1 2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2 2^(x/y)=2+3y (x/y)log2=log(2+3y) xlog2=ylog(2+3y) x=ylog(2+3y)/log2 log(2+3y)=klog2 2+3y=2^k y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3 2^(k-1)-1=3m k-1=log(3m+1)/log2 k=log(3m+1)/log2+1 y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 22:10:13 ] 私にも解けますた… >>387 (1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加} 　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0. (2)　a+b=s, b-a=d とおくと 　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2 　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4 　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4 　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4 これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値 　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2. 　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから 　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2. (3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。 　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s), 　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2, 　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3, 　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz) 　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz) 　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3 　　= {2 + (3/s)}^3 >>388 (4) 相乗相加平均より 　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3. 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/18(金) 19:46:07 ] とりあえずIMO '08 2 (1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。 (2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 00:09:16 ] >>392 (1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。 　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2 = (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5), 　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1) 　≧ 0, これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。 (2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･ 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/20(日) 08:47:38 ] とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/20(日) 15:21:54 ] そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？ 表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で 一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。 そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。 そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。 ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには 格好の話題になると思う。 別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、 そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/21(月) 00:10:03 ] >>395 さあ！ 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 01:01:13 ] a,b,c≧1のとき、次の不等式を証明せよ。 4(a+b+c)≧(1+a)(1+b)(1+c) ・・・なんか間違ってるような気がするんだが、 どのようなものと間違えたか心当たりある人いる？ 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/23(水) 01:38:49 ] >>397 a = b = c = 2 のとき左辺 = 24、右辺 = 27 にて不成立 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 23:12:44 ] 頭悪いので次の式が成り立つのが分かりません。 C>1、nが正の整数であるとき、C<=(1+((C-1)/n))^n 教えてください。引き算と割り算のどちらからも 数学的帰納法をうまく使えませんでした。 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 23:21:20 ] 数式部分を書き直すと、 Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、 C≦(1+((C-1)/n))^n 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/24(木) 23:31:57 ] >>399 x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので x = (C - 1)/n を代入するだけ。 402 名前：399 mailto:sage [2008/07/25(金) 11:47:10 ] 早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。 なるほど。ありがとう。 403 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/26(土) 18:28:48 ] 図書館に [2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版） あったから借りてきた 受験参考書っぽくてよさげ 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:38:37 ] >>403 すばらしい！ くれ！ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:42:40 ] どこの大学にもあるんじゃね？ うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/27(日) 18:03:41 ] うちの大学って言われても…… 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/28(月) 03:43:15 ] 復刊希望ンヌ！ 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:03:59 ] 他スレから１題･･･ 〔問題396〕実数 a,b,c が条件 　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60, を満たすとき、 　S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/396 ,442 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:07:48 ] >>408 (略解) 　b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0, ∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。 題意より　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0, {x,y,z} の2つは正、1つが負である。 x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。 　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y), (最小値) 軸を45ﾟ回して 　S/(√8) = (x+y)/√2,　 　d = (x-y)/√2, とおくと、 　3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S, 題意より、 　0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S),　　　（F は単調増加函数） 　S ≧ 4･10^(1/3), 　等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。 (最大値) なし 　x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0,　S=2(x+y) →∞. 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 12:58:58 ] π^4+π^5<e^6を示せ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 13:39:34 ] グーグルで計算したら殆ど同じだった。 でも少しだけe^6が大きかった。 これはただの偶然か？ 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 14:24:28 ] これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな なんかうまい方法があるのかな 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 23:05:28 ] π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ 414 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 02:29:53 ] スゲーΣ(0д０`ノ)ノ 誰がこんな近似思いついたんだ！ 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:49:01 ] 持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな 「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫） のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、 文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、 ――――もっとおもしろいのは π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934… であろう。 最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、 現地の年配の女性教員から教えられた。 と書いてあった 他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 04:36:00 ] 別にすごくないでしょ。 eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 05:33:41 ] >>416 じゃあ、eとπだけを使って π^4+π^5≒e^6 みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな どうせ作れないから 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:39:02 ] >>417 　20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･ 　e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･ 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 12:07:27 ] >>418 「e π 整数」 とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。 それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。 そろそろ不等式に戻ろうか。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:32:46 ] 近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？ 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:39:08 ] よく見つけるなーとは思う 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:53:21 ] 係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね これにて終了

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