不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 05:03:00 ] 不等式の埋蔵地 [1]　RGMIA　rgmia.vu.edu.au/ [2]　Crux Mathematicorum Synopses　www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/ [3]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/ [4]　Mathematical Inequalities & Applications　www.ele-math.com/ [5]　American Mathematical Monthly　www.maa.org/pubs/monthly.html [6]　Problems in the points contest of KöMaL　www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml [7]　IMO リンク集　imo.math.ca/ [9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/ [10]　Mathematical Excalibur　www.math.ust.hk/excalibur/ [11]　MathLinks Contest　www.mathlinks.ro/Forum/contest.html [12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録) [13]　Wolfram MathWorld　mathworld.wolfram.com/ 海外不等式ヲタの生息地 [1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　jipam.vu.edu.au/ [2] MIA Journal　www.mia-journal.com/ [3] MathLinks Math Forum　www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 05:38:57 ] 　　　　　　　　 __,,......,,,,___ 　　　　　　 　,.'7'::::::::::::::::!:::::｀ヽ. 　　　　　　 /::::!:::::::::::::::::::!:::::::::::::i 　　　　　　,.!:::::i:::::::o:::::::_」:::_;;:::: ) （ ､ 　　　　　./｀.７-i-ｒ‐ r‐ 'i_!　!ﾊ　⌒　ヽ. 　　　　　i　　!/!,_,ﾊ_ﾊ,.-' -‐'‐ i__!　i. 　', 　　　　　! i 　!.´ __､ 　 　',.-- ､ i i　i 　 ! 　　　　　｀'7ヽ!.'´　｀　　　　　 "ﾉ　/ i ｲ 　　　　　　!.　ﾊ"　　　 '___　　くン ､/'´　　　　　　乙でございます 　　　　　　 ヽ,ﾍ.>..　 ヾ ..ノ ,.ｲ／ 　　　　　　　　　　.｀＞, -=´_,.!-､ 　 r-､　　　　　　 _,く｀' ｰｒr-'":::::〈ヽ､.__ ,,..-ヽ;:｀ヽ.　　,.イ´::::::>-‐-＜-‐'":::::::/ ｀ヽ. -‐::::::i::::::::i　/　!;:::::::! i´￣｀i i::::::::::::;::!　　　i 　　　_　　/　____!___ヽヽ| ヽヽ ──　.____|__ 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 09:34:59 ] Cinco!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 09:38:09 ] sex 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/19(土) 19:39:52 ] >>992 とっとと落せ？ 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 12:22:16 ] 任意の正の実数x、y、zに対して次の不等式が成立する実数wの最大値を求めよ。 √（x／（y＋z））＋√（y／（z＋x））＋√（z／（x＋y））＞w 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/24(木) 21:13:03 ] x=1≦y≦z としてよい y+z=k(≧2)とすると、kが一定ならy=1の時が最小値f(k)をとり、 f(k)は単調減少で、f(k)→2 (k→∞) よってw=2 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/29(火) 14:10:59 ] nを2以上の整数とするとき ((n+1)^(1+(1/n))-n^(1+(1/n)))/((n+1)^(n+1)-n^(n+1))^n)^(1/n)>1/n を示せ 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/29(火) 14:36:46 ] >>10 ちんｽﾚの人？ 答えが必要な訳じゃないんだよね？ 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/29(火) 23:08:13 ] >>10 帰納法でいけるか 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/30(水) 04:10:25 ] 正の数 x、y が x+y+xy=1 をみたすとき、1/x + 1/y + 1/(x+y) のとりうる値の範囲を求めよ。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/30(水) 05:16:12 ] 発掘しますた！ つ www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/old_problems/old_problems.pdf 19 はどうやるんでしょう？ 27 は三角関数ヲタ向け？ 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/30(水) 05:27:16 ] C844、M1764、C846、C847、M1769、C851、C854、C855 に (；´Д｀)'`ｧ'`ｧ www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html たぶん、The American Mathematical Monthly (www.maa.org/) って雑誌の問題だと思う。 うちのDQN底辺大学の図書館、2007年度から購読を止めたので読めなくなった…。 ド田舎だから、県内に他に理系大学ないから、もう読めないぜ… 定期購読するしかないのか？ 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/30(水) 22:56:41 ] >8 　√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ≧ (√x + √y + √z)^2 / [√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}] > 2. (略証) 左側: 　コーシーで簡単。 右側: 　x, y ≦ z としてもよい。 　f(z') = √z' のグラフは上に凸だから、接線の下側にある。 　√(z+y) < √{z+y+(y^2)/(4z)} = √z + y/(2√z) < √z + (√y)/2, 　√(z+x) < √{z+x+(x^2)/(4z)} = √z + x/(2√z) < √z + (√x)/2, 　√{z(x+y)} < {(x+y)+z}/2,　　(← 相加･相乗平均) これらに √x, √y, 1 を掛けてたすと、 　√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √z(x+y)} < √(zx) + √(zy) + √(xy) + (x+y+z)/2 = (1/2)(√x + √y + √z)^2, よって上式を得る。　(終) ハｧハｧ　ゼｪゼｪ… 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/31(木) 00:56:20 ] >13 x+y=s, xy=t とおく(基本対称式), 　題意より s+t=1, s>0, t>0, 　絶対不等式　s^2 -4t = (x-y)^2 ≧0, より 　0.828427… = 2(√2 -1) ≦ s < 1, 　(与式) = s/t + 1/s = s/(1-s) + 1/s = 1/{s(1-s)} -1 ≧ 5(1+√2)/2 = 6.0355339… 　等号は x = y = s/2 = √2 -1 のとき。 18 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/31(木) 10:48:17 ] 実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。 (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 00:29:33 ] >>18 (右辺)-(左辺)=(xy+yz+zx)^2(x^2 + y^2 + z^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)≧0 より不等式は成立。 この表式より，等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z=0 だが，まとめると xy+yz+zx=0 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 01:03:57 ] >14 [19.] Series involving e. Find the sum of the following series: Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^n} n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +O(1/n^3)} = 1 -1/(2n) +O(1/n^2), (1 +1/n)^n = e*{1 -1/(2n) +O(1/n^2)}, e -(1 +1/n)^n = e/(2n) + O(1/n^2).　 (e/2)Σ 1/n 〜 (e/2)log(n)　より対数発散… 蛇足だが、↓ならば収束すると思われ… 　Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^(n +1/2)} 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 21:58:36 ] >>16 > 左側: > 　コーシーで簡単。 シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？ 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 21:59:37 ] >>16 > 左側: > 　コーシーで簡単。 シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？ 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 23:29:44 ] >19 には負領域がない。 ゼロ面(node)は↓ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179324003/921-922 さくらスレ２１７ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180169999/64, 109 さくらスレ２１８ >21-22 　ま〜たまた… 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/01(金) 23:36:54 ] >>23 解説してね。 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 00:00:26 ] >>23 解説してよん 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:18:27 ] ｷﾓ 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 04:24:38 ] >>24-26 荒らしは自重しましょう 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 06:38:36 ] >>16 左側の証明が分からないのでお願いします。 29 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/02(土) 11:43:22 ] 知恵遅れはこのスレに来るなよ。目障り 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 12:16:19 ] >29 荒らすなよ．このスレでは仲良くしろ． >23 性格変わった？意地悪せずに答えてやれよ．俺が分かるなら答えてやるんだけど． 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 12:55:10 ] つ Cauchy-Schwarzの不等式 (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) ≧ (ax+by+cz)^2 [√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ]・[√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}] 　≧ (√x + √y + √z)^2 不等式ヲタは仲良くしよう ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 13:11:00 ] a_1,a_2,a_3,・・・・a_n のk次基本対称式をe_k (k=1,2,...n) F(k)≡(e_k/nCk)^(1/k)　とするとき F(k)≧F(k+1) 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 13:27:45 ] >>32 まとめwikiの過去スレミラーから探せ。 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 15:13:37 ] >32 　a_1,a_2,…,a_n >0 のとき、… * nに関する帰納法 　Part1 の 257, 263(1), 269, 271 　数セミ増刊「数学の問題 = 第�@集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(本文) * 対称式, Muirhead 　第２章の 800, 810-818 　www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html * 微分法 　Part.1 の 480-481 　数セミ増刊「数学の問題 = 第�@集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(追補) 　E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete", Band 30, Springer-Verlag, Berlin (1961) p.11 35 名前：23 mailto:sage [2007/06/02(土) 15:27:17 ] >24-25 　亀レスだが… Q.　ゼロ面(node) xy+yz+zx =0 はどんな形? A.　座標軸を回して Z=(x+y+z)/√3 とし、(X,Y,Z)で直交系をなすようにすれば 　xy+yz+zx = {(x+y+z)^2 -x^2 -y^2 -z^2}/2 = {3Z^2 -X^2 -Y^2 -Z^2}/2 = Z^2 -(X^2 +Y^2)/2, 　よって、円錐面で、主軸はZ軸 すなわち x+y+z の方向。 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/02(土) 18:31:58 ] >>35 ﾅﾙﾎﾄﾞﾅｰ 37 名前：16 mailto:sage [2007/06/02(土) 21:30:14 ] >21-22,28 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/ シュワちゃんスレ 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/03(日) 11:25:41 ] >8 　√{z/(x+y)} = z/√{z(x+y)} > 2z/{(x+y)+z},　　　(← 相乗･調和平均) 循環的にたす. 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/03(日) 12:20:48 ] >>8 見事。 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/03(日) 19:53:07 ] >>38 (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 03:02:02 ] >15 [C.851] 　b^2 +c^2 +bc = (3/4)(b+c)^2 + (1/4)(b-c)^2 ≧ (3/4)(b+c)^2, 　a√(b^2 +c^2 +bc) ≧ {(√3)/2}(ab+ca), 循環的にたす。 [C.844] Σ[k=1,n] 1/k -γ -log(n) = ε(n) とおくと, Σ[n=1,N] ε(n)/n = log(N)ε(N) + (1/2)ε(N)^2 - (1/2)γ^2 + (1/2)Σ[n=1,N] (1/n^2) + {(1/2)log(N)^2 - Σ[k=1,N] log(k)/k } 　→　-(1/2)γ^2 + (1/2)ζ(2) - L　(N→∞). 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 15:02:00 ] 何者だ一体？ すげー実力ｗ 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 17:59:41 ] 照れるぜ・・・ 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 18:26:30 ] >>42 不等式マニア 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 18:37:23 ] >>42 不等式ヲタは共同体で連続体で群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだYO！ 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 18:46:09 ] 恒等式ヲタ出現きぼん 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/04(月) 21:51:55 ] 実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。 　(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (xy+yz+zx)^3 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3. 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 01:12:09 ] >15 [C.846] 　(1/n)Σ[k=1,n] {C[n,k]}^(-k) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2). (略解) ・n=1,2 は直接確かめる。 ・n≧3 のとき、k=n の項だけ残す。 　n^2 ≦ 2^(n+1), 　n+1 ≦ 2^(n-1), 　(左辺) ≧ 1/n ≧ (1/2)^((n+1)/2) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2) = (右辺). 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 01:52:56 ] >>47 (右辺)-(左辺)=(3/2)(xy+yz+zx)^2((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2) より不等式は成立。 等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 02:32:32 ] >>15　 [C854] H_k=∫[0,1]Σ[j=0,k-1]t^j dt=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt n!/Π[j=0,n](k+j)=Γ(n+1)Γ(k)/Γ(n+k+1)=Β(k,n+1)=∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt これらから H_k*n!/Π[j=0,n](k+j) =∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt =[∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dt]_[x=0,1] 部分積分を使うことで H_k*n!/Π[j=0,n](k+j) =∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx 　+∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx を得る。 kについてこれらの和を取る。(極限の順序交換の大雑把さは大目に見てください) Σ[k=1,∞]∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx =∫[0,1]∫[0,x] Σ[k=1,∞] {t^k-(tx)^k}/{t(1-x)}*(1-t)^n dtdx =∫[0,1]∫[0,x](1-t)^(n-1)/(1-tx) dtdx =∫[0,1]∫[t,1](1-t)^(n-1)/(1-tx) dxdt (積分の順序交換) =∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt 同様に Σ[k=1,∞]∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx =-∫[0,1]log(1-x^2)*(1-x)^(n-1)/x dx =-∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt (変数をtに書き換えた) 以上から Σ[k=1,∞]H_k*n!/Π[j=0,n](k+j) =∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt -∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt =-∫[0,1]log(1-t)*(1-t)^(n-1)/t dt =∫[0,∞]y*e^(-ny)/{1-e^(-y)} dy ( y=-log(1-t) と変数変換) =∫[0,∞]Σ[j=n,∞]y*e^(-jy) dy =Σ[j=n,∞]1/j^2=π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2 ゆえ Σ[k=1,∞]H_k/Π[j=0,n](k+j)=1/(n!)*{π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2} 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 04:11:21 ] 凄い！ こんなにガンガン解ければ楽しいだろうな… A.422、B.3987、B.3989、C.892 （C.892は昔、入試問題で解いたような…） www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en A.425、B.3997、B.4000 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200704&t=mat&l=en 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/05(火) 23:57:18 ] 三角関数の問題 △ABCが sin2A/5 = sin2B/4 = sin2C/3 をみたすとき、 Aの値を求めよ。 問54_3 www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai06-07.html 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/06(水) 01:32:46 ] >52 　A,B,C は同時に鋭角、直角または鈍角。 　3つとも鈍角、直角は不合理なので、鋭角3角形。 　A=arctan(1)=45ﾟ, B=arctan(2),　C=arctan(3). 54 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/06(水) 13:40:18 ] 何所が不等式や 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/06(水) 16:42:24 ] >54 ﾊｧﾊｧできればいいのさ >53 過程がよくワカリマセン 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 01:28:47 ] >>15　 [C.854]　別法 　S_n = (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)……(k+n)]　とおき、 　S_1 = (π^2)/6 と S_n - S_(n+1) = 1/(n^2)　から 　S_n = (π^2)/6 -1 -1/(2^2) - … - 1/{(n-1)^2} を示す。 S_1 = Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)] 　　= Σ[k=1,∞) (H_k){1/k - 1/(k+1)} 　　= Σ[k=1,∞) {(H_k)/k - H_(k-1)/k}　　　　　　　　(← H_0 = 0 ) 　　= Σ[k=1,∞) 1/(k^2) 　　= ζ(2) 　　= (π^2)/6. S_n - S_(n+1) = Σ[k=1,∞) (H_k){ (n!)/[k(k+1)…(k+n)] - (n+1)!/[k(k+1)…(k+n+1)] } 　　= (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[(k+1)……(k+n+1)] 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (H_k){1/[(k+1)…(k+n)] - 1/[(k+2)…(k+n+1)] } 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) { (H_k)/[(k+1)…(k+n)] - H_(k-1)/[(k+1)…(k+n)] }　　(← H_0 =0) 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) 1/[k(k+1)…(k+n)] 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (1/n){ 1/[k(k+1)…(k+n-1)] - 1/[(k+1)…(k+n)] } 　　= (n-1)!(1/n)(1/n!) 　　= 1/(n^2). 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 21:52:14 ] >51 上 [A.422] Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1). Prove that 　Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]}, (略解) (左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)}　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積) 　　≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}　　　　　　　(← コーシー) 　　= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)} 　　= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]} 　　= (右辺). [B.3989] 　a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4. 　Prove that a+b+c ≦ 3. (略解) 　1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。 　3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4) 　= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c) 　= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c) 　≧ a(1-b)(1-c). [C.892] Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions 　 1/(1+x+xy),　y/(1+y+yz),　xz/(1+z+xz) cannot all be greater than 1/3. (略解) 　 1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) =　z/(1+z+xz), 　xy/(1+x+xy) =　y/(1+y+yz) =　1/(1+z+xz), 　 x/(1+x+xy) =　1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz), 辺々たす. 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 21:58:46 ] >51 下 [B.3997] 　x,y,z are real numbers.　Prove that if xyz=u, then 　x^4 + y^4 + z^4 + x^2･y^2 + y^2･z^2 + z^2･x^2 ≧ 2u(x+y+z). (略解) 　(左辺) - (右辺) = (1/2)(x^2 -y^2)^2 + (1/2)(y^2 -z^2)^2 + (1/2)(z^2 -x^2)^2 　　　　　　　　　+ (x^2)(y-z)^2 + (y^2)(z-x)^2 + (z^2)(x-y)^2. ハァハァ 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 22:47:53 ] >>57 [C.892]の解答みて思い出した。 俺は この問題を解いて（いや解けずに答えを見て）、 不等式の世界に入ったんだ（いや囚われの身になったんだ）！ ﾊｧﾊｧ・・・ 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 15:06:36 ] 以前あった問題 a,b,c>0 ab+bc+ca=1で (1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2a^2)/(c+a)^2≧5/2 を誰か解決してくれ。もうノート２冊分くらいぐるぐるしてる。 ちなみにいじってるうちに (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(a-b)^2/(a+b)^2+(b-c)^2/(b+c)^2+(c-a)^2/(c+a)^2 と同値とか、わきにそれてばかりいる。 大体、２文字対称不等式だと、大抵そんなむずかしくはないし、使う式も大体 決まってるんだが、どうも、３文字対称不等式はめんどくさい。誰か解いてくれ。 それから、不等式もそろそろ分類してもいい頃あいだと思うんだが、、、。 むずかしそうで、ルーチンで解ける物、それ以外（これが多いから収集したりする 訳だが、、、）。 結局、相加相乗平均を使うだけの問題も多いと思う。 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 16:44:59 ] 対称不等式だから (1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2　＋　a^2)/(c+a)^2≧5/2 でいいんだよな a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて (t^2+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t^2+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t^2+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4 を示す t^2+a^2+b^2=t^2-2ab+(a+b)^2等を使えば (t^2-2ab)/(a+b)^2+(t^2-2bc)/(b+c)^2+(t^2-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値 左辺=f/(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2とすれば、根性で対称式で書いて 4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 =4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su) st-u≧0は容易、 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は ３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件 s^2-3t≧0はその解がすべて０以上の条件で、終り 間違ってるかもしれん。正しい／いい解法は実力者を待て 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 16:55:22 ] 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0と s^2-3t≧0 合わせて実数解条件だったかもしれん 正の解の条件ではないな、 まあなんか本を見ておくれ 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 17:07:40 ] 手許にあった論文 a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う） によると 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} は理くつ不要だった スレ汚しすまん 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 17:13:51 ] 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s　＾３　u なんかボロボロorz 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 19:30:22 ] またt^2とか間違いを見つけたので直したの貼り直しときます a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて (t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4 を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば (t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。 左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、 4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 =4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u) と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた） ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、 st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc ≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、 D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は ３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている 等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 21:44:08 ] >>60 あまり考えてないけど、x=b+c, y=c+a, z=a+b と置き換えて (ab+bc+ca+a^2+b^2)/(a+b)^2 をx,y,zで表したらどうなる？ 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 22:49:39 ] >>63 これでおじゃるかな？ ( ﾟ∀ﾟ)つ www.emis.de/journals/JIPAM/article111.html?sid=111 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 04:33:02 ] >>67 そうです、ありがと やってみたらたまたまできた？だけなんで 素人の力づく解法でみっともないかもしれない このスレすごい人がいるから期待してる 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 06:09:48 ] >>66 それでうまく行きますね、俺何やってんだか・・・やっぱりみっともなかったｗ 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 14:26:36 ] >15 [M.1769] Determine a formula for the coefficient of x^i･y^j in P_n(x,y) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] x^(n-k)･(x+y)^k. (略解) 　{(1+u)^(2n+1) - (1-u)^(2n+1)}/(2u) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] (u^2)^k = Q(u^2) とおくと, 　P_n(x,y) = (x^n)Q({x+y}/x) = Σ[i=0,n] C[n+i,n-i] (4x)^i･y^(n-i) = Σ[j=0,n] C[2n-j,j] (4x)^(n-j)･(y^j). ﾃﾍｯ 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 19:52:22 ] >>70 ｷﾀｯ！ｗﾍ√ﾚｖ-(ﾟ∀ﾟ)-ﾍ√ﾚ- !! ｽﾝﾊﾞﾗｽｨ！ 72 名前：訂正>>60 mailto:sage [2007/06/10(日) 16:03:35 ] (1+a^2*b^2)/(a+b)^2+(1+b^2*c^2)/(b+c)^2+(1+c^2*a^2)/(c+a)^2≧5/2 ごめんなさい。 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/10(日) 19:28:51 ] >>72 ( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/10(日) 20:28:38 ] >>51 下 [A.425] 　Let n≧2 and let a_1,a_2,…,a_n, x_1,x_2,…,x_n be positive real numbers such that a_1+a_2+ … +a_n =A,　x_1+x_2+ … + x_n =X. Prove that 　2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j ≦ {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {a_i/(A-a_i)}(x_i)^2. (略解) コーシーより 　Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)} (x_i)^2　≧{Σ[k=1,n] x_k}^2 /{Σ[j=1,n] (A-a_j)/A } = {1/(n-1)}X^2, よって 　(右辺) = {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)}(x_i)^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2 　　≧ {(n-2)/(n-1)}X^2 + {1/(n-1)}X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2 　　= X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2 　　= 2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j 　　= (左辺). [B.3997]　>>58 [B.4000] 　Find the smallest possible value of x^2 +y^2, given that x and y are real numbers, x≠0 and xy(x^2 -y^2) = x^2 +y^2. (略解) 　(1/4)(x^2 +y^2)^2 = (1/4){(2xy)^2 + (x^2 -y^2)^2} ≧ (1/2)(2xy)(x^2 -y^2) = xy(x^2 -y^2) と与式から 　x^2 +y^2 ≧ 4, 等号成立は　2xy = x^2 -y^2, 　(x,y) = (±√(2+√2), ±√(2-√2)),　(±√(2-√2), 干√(2+√2))　〔複号同順〕 ハｧハｧ 75 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/15(金) 09:35:26 ] △ABCが鋭角三角形のとき， tanA tanB tanC ≧ 3√3 を示せ。 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 10:23:38 ] >>75 tanA=x　tanB=y　tanC=zとおく。 △ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。 また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy)　ゆえ z-xyz=-x-y　すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。 x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0 について、相加相乗平均から (x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3 x+y+z=xyzから　(xyz)^(2/3)≧3　ゆえxyz≧3√3 等号成立はx=y=zのとき、それは 0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。 77 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/15(金) 11:19:19 ] >>75 tanA=x　tanB=y　tanC=zとおく。 △ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。 また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy)　ゆえ z-xyz=-x-y　すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。 …までは>>76と同じで，ここからはtan xの凸不等式でおしまい。 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 11:51:32 ] >>77 コピペの上に「〜でおしまい。」って。 人の事馬鹿にしてるのじゃなければ もう少し書き様って物があるんじゃないですか? 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 12:28:50 ] >>75 解析的な証明。 tanA=x　tanB=yとおく。 まず，A,B<π/2よりx,yは正の数。 また，C<π/2 なので，tan(π-(A+B))=-(x+y)/(1-xy)>0 だから xy>1 つまり，x,y>0, xy>1 の条件下において，xy(x+y)/(xy-1)≧3√3 を示すことになる。 s=x+y, t=xy とおくと，s,t の変域は s>0，t>1，s^2-4t≧0. この条件下で，st/(t-1)≧3√3 を示せばよい。 言い換えれば，t>1, s≧2√t ⇒ s≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。 つまり，t>1 ⇒ 2√t≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。 f(t)=2√t - 3√3 (1-1/t) とおけば，f'(t)=0 となるのは t=3 のときで，このとき最小値をとる。 よって f(t)≧f(3)=0 なので示された。 80 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/15(金) 12:39:16 ] ごめん，怒られてる理由がいまいちわかんない。 だってほんとにtan xの凸不等式でおしまいじゃん。ｗ 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 12:49:29 ] >>78 凸不等式を知っているかね？ オービーくんッ！ 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 18:07:05 ] >>80 見通しの悪い駄解答を書き込んですまんかったな。 わざわざコピペ引用までして晒し上げたうえに あてつけの一言まで頂いたけるとは思わなかったよ。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 23:55:34 ] 仲良くしようぜ ('A`) 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/16(土) 07:16:19 ] 　　　　　　　★★小泉純一郎と安部は朝鮮人★★ コピペして各板に貼り付けよう　知人にも話そう 政治板もたまには覗こう 小泉純一郎　 ・戦前大臣を務めた祖父小泉又次郎は純粋な日本人とされる。だが、純一郎の帰化朝鮮人である父が鮫島姓を買い取り 　又次郎の娘をたぶらかして婿として小泉家に入る　そこで小泉家は帰化朝鮮人である純一郎の父に乗っ取られた 　参照ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%B3%89%E7%B4%94%E4%B9%9F ・父親の純也は、鹿児島加世田の朝鮮部落の出身者といわれる　日大卒業名簿には、純也の日本名はなく、 　見知らぬ朝鮮名が書かれているという 　 　純也は朝鮮人の帰国事業、地上の楽園計画の初代会長であった ・結婚後、子供をもうけ即離婚した宮本佳代子は在日企業エスエス製薬創業者の孫 ・小泉の元秘書官の名前は飯島勲←注目　帰化朝鮮人 ・派閥のドン森喜朗も生粋の朝鮮人 ←森も帰化人がよく使う通名 ・小泉は、横須賀のヤクザ、稲川会と関係が深い 安倍晋三 ・岸家 毛利元就が陶晴賢と厳島沖で戦い大勝を収めた際、寝返って毛利方についた船の 　調達人が「ガン」と称する帰化人であったという　毛利はその功績によって「ガン」を 　田布施周辺の代官に召したてた　このガンを岸家の先祖とする説がある ・祖父岸信介が文鮮明と共に 反共団体　国際勝共連合（統一教会）を設立 ・官房長官時代統一教会「合同結婚式」に祝電を送り、話題に ・安倍のスポンサーは、下関の朝鮮人パチンコ業者である ・グリコ森永事件時、明らかになった帰化朝鮮人企業森永のご令嬢と結婚 ・そのわが国のファーストレディーは電通（会長成田豊、半島生まれの帰化人）勤務という分かりやすい 　経歴の持ち主の朝鮮の血筋 ・韓国、中国の留学生に日本の企業に入ってもらうために住居費分、学費免除分、生活費など月計２０万〜３０万円相当の支給 　日本人のワーキングプア層を全く省みない　また帰化系在日系朝鮮人が日本の企業で技術を盗み、半島の現代などの企業に 　伝授していることが深刻な問題になっている　 ・多くの朝鮮人が差別を主張し、警察、原発、自衛隊で職を得ている 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/18(月) 00:26:37 ] >15 [C.847] 　面積を �� とおくと、 　r=��/s, 4R = 2a/sin(A) =abc/��,　 　(�竸2)/s = (s-a)(s-b)(s-c)　　　(← ヘロン) より 　(左辺) = (r^2･s)^(1/3) = {(�竸2)/s}^(1/3) = {(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3), 　(中辺) = √{(4R+r)r /3} = √{[abc + (�竸2)/s] /(3s)} = √{[(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a)] /3}, 　(右辺) = s /3 = {(s-a) + (s-b) + (s-c)} /3. 以下ry) まとめ 　[C.844] >>41 [C.846] >>48 [C.847] ↑ [C.851] >>41 [C.854] >>50, >>56 [M.1769] >>70 ﾊｧﾊｧ 86 名前：57 mailto:sage [2007/06/18(月) 00:46:37 ] >51 上 [B.3987] 　Let n≧4 be an integer, and let a_1,a_2,…,a_n denote non-negative real numbers. Prove that 　Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1} + a_{k+2})^2 ≧ (2^n)Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1})^2, where a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2. ｛略解(in Hungarian)｝ (a+t)(t+d) = t(a+t+d) + ad ≧ t(a+t+d), に t=b+c を入れて (a+b+c)(b+c+d) ≧ (b+c){(a+b)+(c+d)} ≧ (b+c)・2√{(a+b)(c+d)}.　　(←相加･相乗平均) 循環的に掛ける。 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B3987&l=en ｺﾞﾎｺﾞﾎ 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/21(木) 01:36:20 ] ( ﾟ∀ﾟ)つ問題投下 a,b,c>0 のとき， 　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ √((a^2+b^2+c^2)/3) が成立することを示せ。 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/21(木) 14:06:45 ] まず(b+c)/2≦√((b^2+c^2)/2)等だから、 (2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧(√2/3)(a^2/√(b^2+c^2)+...) よってa^2=x等とおいて、 (√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))≧√((x+y+z)/3) を示せばよい。 k>0に対し、f(x)=x/√(k-x)は0<x<kで凸であるから、k=x+y+zとしておけば、 (√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))=√2・(f(x)+f(y)+f(z))/3 ≧√2f((x+y+z)/3)=√((x+y+z)/3) 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/22(金) 00:19:04 ] >87 　(2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}. (略証) 左側 　(左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2,　　(←コーシー) 　(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2),　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積) 　辺々割る。 右側 　(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2), 　∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}. ﾊｧﾊｧ 90 名前：88 mailto:sage [2007/06/22(金) 00:25:00 ] >>89 すげーな、プロの味がするｗ 91 名前：89 mailto:sage [2007/06/22(金) 00:39:29 ] >89 の左側の別解 　(左辺) ≧ (2/9)(a^2 +b^2 +c^2){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)}　(← 同順序積 ≧ 乱順序積) 　　　　 ≧ 2(a^2 +b^2 +c^2) / {(b+c) + (c+a) + (a+b)}　　　　　(← 相加･調和平均) 　　　　 = (a^2 +b^2 +c^2) / (a+b+c). 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/24(日) 01:39:02 ] >87 〔系〕 a,b,c>0 のとき 　(2/3){a^2/(b+c) +b^2/(c+a) +c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3} ≧ (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3). 2. (IMO 1995 Canada) 　Let a,b,c be positive real numbers such that abc=u.　Prove that 　1/{a^3･(b+c)} + 1/{b^3･(c+a)} + 1/{c^3･(a+b)} ≧ (3/2)u^(-4/3). (略証)　上式の a→1/a,　b→1/b,　c→1/c,　u→1/u とおく。 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/25(月) 00:14:52 ] 並べ替えの不等式について質問です。 ｎ！個の式のうち一番大きくなるは正順で、一番小さくなるのが逆順ですが 残りの中間の不等式で大小関係がはっきりつくグループは何個なんでしょうか？ ｎ＝３　のときは中間の３！−２＝４個の式が２個のグループに分けられるみたいですが。 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 13:14:08 ] >>93 面白いね、これって論文１本書ける問題じゃないのかな 専門家のコメント希望 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 13:31:10 ] >>93 n=4　のときにやってみたらハッセ図？みたいのが出来たけど、、 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 13:56:25 ] (*ﾟ∀ﾟ)=3 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 14:54:06 ] 〔問題〕 a>0 とする。 関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。 また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。 このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。 　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx. * f(x)の微分可能性は保証されていません。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/58-61 東大入試作問者スレ９ 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 15:02:42 ] >97 　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx. (略解) max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと 　(右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma, 題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))−(h,M)−(a,0) より上側にある。 　(左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma. 99 名前：98 mailto:sage [2007/07/01(日) 15:13:30 ] >98の訂正, ｽﾏｿ >97 (略解) max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと 　(左辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma, 題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、y=f(x)+x のグラフは 折れ線 (0,f(0))−(h,M)−(a,a) より上側にある。 　(右辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma. 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 00:26:28 ] messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=744 より。 n≧1, m≧2とするとき、 Σ{k=1,n}( (1/k)^((m-1)/m) ) ＜ m n^(1/m) 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 04:27:54 ] >100 左辺に 　(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx を代入するらしいお… 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/12(木) 11:14:54 ] x,y,z is possible. Prove {(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/13(金) 03:23:30 ] >>102 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_4 に３通りの解答を載せておきました。

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