不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 17:26:12 ] ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが… 〔FKG不等式〕 　f(x),g(x) を[a,b]上の単調増加（減少）な関数とすると 　∫[a,b] f(x)dx・∫[a,b] g(y)dy ≦ (b-a)∫[a,b] f(x)g(x)dx, FKG は C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre の頭文字らしい… elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/18/double-integral2.pdf 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 19:20:50 ] (∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 20:13:19 ] 官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：− 御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。 ハイテク筏かどうかは不明！ 決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！ 語学力（英語で充分）を磨こう！ 目標は、７万語の語彙だ。 "Word Power Made Easy"www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！ 尚、同書がきつい者（読みこなせない）者は「試験に出る英単語」を もう一度とりだして、「完全に」マスターすることから始めよ！ 某スレで恩大は、こうおっしゃっているので引用しる：− Yo(余) ni dekita koto ga soch-tachi ni dekinai wake ga arouka?!!!! Onaji mana kutte doko tsugau(違う)！！！！ 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 10:32:49 ] 任意の実数x,y,z,nに対して不等式 (x-y)(x-z)x^n + (y-z)(y-x)y^n + (z-x)(z-y)z^n ≧ 0 を証明せよ これがわかりません 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 10:50:21 ] あきらか 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 14:07:38 ] >>209 問題設定おかしくね？ 212 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 18:44:40 ] >>206　ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが… それを、普通はチェビシェフの不等式と言う。 積分版も同じ。 FKGかなんかしらんが、チェビシェフの不等式のパクリ。 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:11:46 ] 数学の世界で「パクリ」という言葉を初めて聞いた気がする 214 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 19:40:39 ] 或る人が書いた数学本の中には、 不等式の本といってよいものが存在する。 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:49:52 ] どこの存在定理ですか？ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 20:01:48 ] >>213 でも定理の系や簡単な応用なのに名前をつけるのは、どうかと思う。 最初にやった人の功績は重要だが、それを統一化された現在では、 変てこな名前を言われるより、「チェビシェフの不等式」と言って くれた方が十分通じるし、理解も早い。 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 21:47:55 ] 同時期に独立に出したのなら、パクリではないが、 最近は論文数を増やす為のパクリも多い。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 16:41:27 ] Shapiro's Cyclic Sum Constant mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html Shapiro's Cyclic Inequality is ture for all even n ≦ 12 and odd n ≦ 23 (Mitrinovic et al. 1993). 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 16:46:14 ] Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/journals/jia/contents.html 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 16:53:26 ] P. J. Bushell and J. B. Mcleod "Shapiro’s cyclic inequality for even n", Journal of Inequalities and Applications Volume 7 (2002), Issue 3, Pages 331-348 www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164 Abstract In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables. All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12 and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former result. The remaining case n=23 remains an open problem. 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 23:22:02 ] 〔問題〕 a,b,c は 0≦a,b,c<1 をみたす実数とする．また， 　S = 3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca), 　A = (3+a^2)a/(1+3a^2), 　B = (3+b^2)b/(1+3b^2), 　C = (3+c^2)c/(1+3c^2), と定める。このとき， 　A+B+C ≦ S < 3, を示せ．(MASDA) science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/155 ,168 東大入試作問者スレ１３ 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 23:27:05 ] >221 右側は 　1 - S/3 = 3(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca) >0 より。 左側は 　a = tanhα,　b = tanhβ,　c = tanhγ とおくと、tanhの加法公式より 　S = 3tanh(α+β+γ), 　A = tanh(3α), 　B = tanh(3β), 　C = tanh(3γ), ∴ tanhθy は θ≧0で上に凸だから、 A+B+C ≦ S. ここに tanhθ = {e^θ -e^(-θ)}/{e^θ +e^(-θ)}, 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 03:00:31 ] (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 224 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 09:32:39 ] A(x) = ( a(x)_{ij} ) をn次対称行列で、各成分 a_{ij}(x) は [0,1] 上の連続関数とする。 このとき、次をしめせ。 　det { ∫_[0→1] A(x) dx }^{-1} ≦ ∫_[0→1] { det A(x) }^{-1} dx． ただし，∫_[0→1] A(x) dx = ( ∫_[0→1] a_{ij}(x) dx ) であり、det は行列式を表す。 225 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 09:43:25 ] >>224 訂正：A(x) はｎ次の「正定値」実対称行列です。 「正定値」がぬけていました。 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:54:23 ] x > 2、y > 2、1/x + 1/y ≦ 1/2 のとき、2x+yの最小値を求めよ。 簡単だからエレガントに頼むぜ、ブラザー！ 227 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 01:19:46 ] >>226 レポート問題を人にやらせるなよｗ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:43:38 ] レポートって…（笑） 高校の問題をレポートに出す大学って、教育学部？ 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 14:23:51 ] >>228 私立の文系（受験科目に数学なし）の選択必修など沢山ある。 文系は高校の微積分も知らないし、私大だと中学の数学（今はゆとり教育で、 以前は中学の数学が今は高校でやるようになった）が怪しい奴が大勢いる。 不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変るのが分からない奴が いるから。ゆとり教育はマジでやばい。 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 14:55:30 ] >>229 分数の計算すらまともにできない大学生が蔓延っている今の日本 不等号の向きがナンチャラカンチャラなんぞ知らない人がいることなんて 別に驚くにあたらないし、今に始まったことでもない これが今の日本の現状 事実だ！これが現状だ！ 目を背けるな！ そして、じゃあはたして僕らはどうしたらいいのだろうと・・・ 日々自問自答を繰り返している 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 16:02:14 ] そんな大学生が居ない大学に行けばいいだけの話だろ 232 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/30(水) 16:47:14 ] そこで 1stVirtue 王国の創設だ。 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 01:23:20 ] じゃぁ数ヲタ達はエリートだな 234 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 02:39:38 ] >>231 私立大の文系ではほとんど入試科目に数学が無いから（最近は推薦やAO入試があるから 理系でもやばいけど）、一部の学生を除いて全然数学を勉強してきていない。 そういう奴らに数学を教えると、まあ易しいのをやれば大丈夫なのだが、そこで必ず 単位を落とすような奴が出てくる。よくよく問い詰めるとそういう奴は>>229や>>230 のように中学レベルの数学で落ちこぼれているんだから、救いようが無い。 私立のトップといわれるW大やKOでもそういう奴がいるそうだから、きついよ。 それにこれからもっとゆとり世代が入ってくるから、ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ。 手っ取り早い改善策は、とにかく入試問題に数学を課すことだ。 センターの数学でもいいからさ。 235 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 08:53:16 ] nを自然数とするとき e-(1+1/n)^n＜e/(2n+1) が成り立つことを示せ。 236 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 11:44:55 ] 平成の時代に不平等は許されません よって与式は成り立たない 237 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/31(木) 18:07:50 ] 不平等を許さないという奴が平成の時代にも居たのか。 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 18:49:06 ] >>235 見かけによらず意外に難しい… 239 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/31(木) 19:03:27 ] 不平等を許さないというやつは、すべての悪人に対しても平等を強いておけ。 Reply:>>235 e*(2*n)/(2*n+1)<(1+1/n)^n. 240 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/31(木) 19:17:06 ] なんとなくレスをつけてみたが、e<(1+1/n)^n*(1+1/(2*n)) をどうやって証明しよう。 241 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 21:01:57 ] >>239 人の脳を読む能力を悪用する奴でも？ 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 21:52:20 ] 自作問題。 nとMは自然数で、1≦n＜Mを満たすとする。Q(n)を次のように定義する。 Q(n)＝Π[k＝0〜n−1](1−k/M)＝(1−0/M)*(1−1/M)*(1−2/M)*…*(1−(n−1)/M) また、非負の実数cに対して、 a＝{−(2c−1)＋√{(2c−1)^2＋8Mc}}/2 , b＝{1＋√{1＋8Mc}}/2 とおく。 (1)次を示せ。 ・n≧bならばQ(n)≦e^(−c)である ・n≦aならばQ(n)≧e^(−c)である ・0≦b−a≦2cである (2)nは自然数で、1≦n＜365とする。n人の人間のうち、誕生日が一致する 2人がいる確率をP(n)とおく。次を示せ。 ・n≧42ならばPn≧1−e^(−2.3) (≒0.9) ・n≦39ならばPn≦1−e^(−2.3) 243 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/02(土) 08:21:34 ] Reply:>>241 思考盗聴で個人の生活に介入する奴を排除するかすべての人が思考盗聴できるようにならないと、平等にはならない。 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/03(日) 05:05:28 ] >>235 0 ≦ d < 1 とする。 log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - …… 　　　　 ≦ -d -(1/2)d^2 -(1/4)d^3 -(1/8)d^4 - ……　(等比級数) 　　　　= -2d/(2-d), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) ≦ -2/(2n+1), 　n･log(1 +1/n) ≧ 2n/(2n+1) = 1 - 1/(2n+1), あとは exp( ) するだけ。 　(1 +1/n)^n ≧ e･exp(-1/(2n+1)) ≧ e{1 - 1/(2n+1)}, 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 12:15:20 ] 〔235の類題〕 nを自然数とするとき 　e･exp(-1/(2n+2)) > (1+1/n)^n > e･exp(-1/(2n+1)), が成り立つことを示せ。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 12:22:50 ] >245 右側は　>244 左側も同様に log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - …… 　　　≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - ……　(等比級数) 　　　= -d -(d^2)/(2(1-d)) 　　　= -d(2-d)/(2(1-d)), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)), 　n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2), あとは exp( ) するだけ。 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 11:50:54 ] 〔235の拡張〕 nを自然数とするとき 　e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1), が成り立つことを示せ。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 12:20:13 ] >247 右側は >244 左側も同様に log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - …… 　　　> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… )　　　(等比級数) 　　　= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1)) 　　> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2), 　　= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)}, 　n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2) 　　≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1))　　　　　　(← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) ) 　　< 1 + log(1 -1/(2n+2)),　　　　　　　　　　　( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入) あとは exp( ) するだけ。 　(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)}, 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 18:15:11 ] >>245>>247 同じ問題はいいよ。つまんねえ 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 03:28:54 ] つまんなくて申し訳ねぇ… nが大きいとき、マクローリン展開して 　n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + …} 　　= 1 -1/(2n) +1/(3n^2) -1/(4n^3) +1/(5n^4) - …, 　(1 +1/n)^n = e{1 -1/(2n) +11/(24n^2) -21/(48n^3) +2447/(5760n^4) - …}, 　{e - (1 +1/n)^n}/e = 1/(2n) -11/(24n^2) +21/(48n^3) -2447/(5760n^4) + …, 　e/{e - (1+1/n)^n} -2n = 2n/{1 -11/(12n) + 21/(24n^2) -2447/(2880n^3) + …} -2n 　　　= 2n{1 +11/(12n) -5/(144n^2) +17/(1080n^3) -… } -2n 　　　= 11/6 -5/(72n) + 17/(540n^2) - … → 11/6,　(n→∞) 　e - (1+1/n)^n ≒ e/(2n +11/6).　　　(n>> 1) 251 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/06(水) 09:31:57 ] 数学科の微積分での証明だったら、これらは全部不合格だよ。 まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。 指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的 であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。 ここの「証明」は全部循環論法。 e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 12:27:04 ] 最初からTaylor展開でe^xを定義する事だってよくあるけど。 君が知らないだけで。定義も書かないで251みたいな事を書くのはナンセンス。 まあ>>249には大体同意。 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 23:24:48 ] >>251 それ、数学科の微積分じゃなくて、高校の微積分って言った方が正しいと思うよｗ 254 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/08(金) 17:59:08 ] 【問題】 f を開区間 (a,b) の C^2 級関数とするとき，次の不等式を示せ． ∫^b_a |f ' (x)|^2 dx ≦ 54 [ 1/(b-a)^2 ∫^b_a |f(x)|^2 dx + (b-a)^2 ∫^b_a |f ' ' (x)|^2 dx ] 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/02/08(金) 20:12:14 ] >251 小平の解析入門なんかでは 無限級数の極限で定義してる。 いろんな定義が可能なことを知らないなんて 数学科ではないなｗ 256 名前：251 mailto:sage [2008/02/09(土) 11:19:43 ] 数学科の微積分をナメるなよ！！！！！！！！１１１１１ 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 11:40:03 ] ってか、king氏にも分からないことがあるんだと かつ、このスレの優秀さを改めて見直した 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 11:42:33 ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,.-‐"':"￣~ﾞ'ヽ、　　　　　　　＿＿ 　　　　　 _,---‐"￣＼　　 　　　　　　／　　　　 　　 　　｀`ｰ‐-、　　 ノ　　 ＼ 　　　　／　　　　　　 　ヽ　　　　　　;"　　　　　 　　　　 　　　　　）　/　　 　 　＼ 　　　/　　　ぐ　わ　　　｜ 　 　 　/　　　　　　　　　　　　　　　　|ﾉ/　　 　　 　　＼ 　　/　　　　ら　か　 　 　|　　　 　|　　　　　　　　　　 　　　　　 )/.| 　 ・　　オ　　 | 　　|　　　　.い　ら　　　　| 　　　　|　　　　　　　　　 ,;';;,,　　　　/ﾉ | 　 ・ 　　レ 　　| 　　|　　　 　・　 な　　　　|　　　　|::::.................:::::::::;;,'^;､::::::'''..,,_;､丿 | 　 ・ 　　に　 　| 　　|　　　 　・　 い　　　　|　　 　/:::::::::::::::::::::::::::;"ﾞ, /ﾞ~ﾞ`''::;'ﾞ; 　 　 |　　・　 　だ.　　| 　　|　　　　あ 　こ　 　　｜　 　 `､;;::::::::::::::::;／　),;'　　　:.'.,、 　　｜ 　・ 　　っ　　｜ 　　|　　　　る 　と　　　　|　 ,へﾉ 　 `'''''"´　 　.:;　　　　 .:::_ヽ　　｜　 ・ 　　て　 　| 　　|　　　　・　　　　　　　 Ｙ　　 ＼　　　　 　　.::;　 　　 ::::ゝ　　 　.|　　・ 　 　 　 　 | 　　|　　　　・　　　　　　　∧　　　　＼　　　 　::::::､　　 .:;`　　　　 ｜　　　　　　　　 | 　　|　　　　・　　　　　　　|ヽ丶　　　　＼;;　　:::;;;;::..,,､. ::i　 　　　 　|　　　 　 　　　　| 　　|　　　　・　　　　　　　|　`　　　　　 　＼;;;;/　 　 `ﾞ"　　　　　 　＼ 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:24:21 ] >>255 ふ〜ん じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則 e^{x+y} = e^x e^y や、三角関数の加法定理 sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y を証明してみせてよ。 数学科なんだからこのくらいは出来るよね。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:32:33 ] >>259 どの定義からも他の定義のものが得られることが知られている その証明はいい練習になるだろうが、本質的でない 本質でないことに拘ることの意味が分からないのですが 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:38:52 ] >>260 へ〜、どの定義から始めるかは大事なことだと思うけどね。 それは個人のスタイルだから、義務ではないけど、その時々に都合良く定義 を変えることは、何も証明をしていないことだね。 どの定義から始めても同等であることの事実は非常に重要なことですけど。 それは、実数の完備性をどの公理を採用するかの問題と似ていますね。 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:39:29 ] >>255 ふ〜ん じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則 e^{x+y} = e^x e^y や、三角関数の加法定理 sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y を証明してみせてよ。 数学科なんだからこのくらいは出来るよね。 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:42:47 ] e^xをどの定義で始めるかは一長一短がある。 お前はそれを知っていて、>>259のようなことを書きやがったな。 その通りだよ、この証明はベキ級数の収束の議論が入るから、非常に面倒だよ。 微分を使ってもいいけど、それには項別微分の可能性を示さなくてはならない。 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:51:59 ] 指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる で、こんなの常識でしかないのだが 265 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 19:16:06 ] > 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる それは複素変数の場合 一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね 266 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 23:45:00 ] 何言ってるの？ 基地外？ 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 00:21:54 ] exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 01:07:41 ] 弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも それはそれで面倒だと思うけどな。 e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が 結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。 （本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然） 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 08:46:25 ] >>268 >>三角函数 か・・・漢字が読めねぇ・・・orz 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:12:25 ] 歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 14:04:52 ] >>269 ゆとり世代乙 >>270 収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう だけど、函数は時々見かける。 あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。 線型代数だろうよと，，， 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:07:04 ] 函はハコと読みます。 サンカクハコカズです。 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:30:28 ] >>271 >>収斂 俺も読めない・・・orz 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:32:59 ] >>269 北海道の函館（はこだて）って知らないのか？ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:34:01 ] ゆとり・・・ 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 21:42:47 ] >>273 釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。 覚えておけ！ 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 15:28:17 ] 〔問題〕 絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を 　a = x+y+z 　b = x^2 +y^2 +z^2 　c = x^3 +y^3 +z^3 と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA) 　|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|, science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/350 ,359 東大入試作問者スレ１３ 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 15:43:06 ] >277 示すべき不等式を整理すると 　| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1, を示せばよいことがわかる。 問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで >>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より 　(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ), 　| tanh(……) | < 1, よって、問題の不等式も示される。 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 17:24:24 ] >278 の補足 　(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1, より 　1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0, よって 　|tanhθ| < 1, 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 22:53:50 ] >>269-276 読めない漢字＠数学板 三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数 収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと 帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 23:01:39 ] 数学板、誤変換 ○確率 ×確立 ○置換 ×痴漢 ○偏微分 ×変微分 ○整式 ×正式 ○小数 ×少数 ○対数 ×大数 （ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・） ○シミュレーション ×シュミレーション （日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい） ○キチ（既知） ×ガイチ （またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。） 既知の既の字に「木」へんが付くと 高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。 282 名前：パトリシア=マーティン （らき☆すた） mailto:sage [2008/02/11(月) 23:07:30 ] 　　　　　　　､＿＿__,,　-―――- ､ヽ 、 　　　　　　　_＞　　　　　　　　　　　ヽ} ） 　　　　　 ／　 ／　　 '　/　　　　　　　 ⌒ヽ 　　　　∠（ 　/　　^ﾒ､ //　 　 }　　 　 　 　 ', 　　　　 　 ヽ/　　　{　/ {{　　　ﾊ　　}　ヽ.　　| .　　 　 　 ／　 　 ,ﾉx=ﾐ从　　/ |⌒/　　 Ｖ　| 　　　　∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧　 　 {　ﾘ 　　　　　　厶‐'´! } V辷j　　　≠弌 〉､ 　 ∨ 　　　　　　　V{. ヽゝ　 　 '＿_　 　 /　 ＼　＼ 　　　　　 　 　 ＼个　.　 V　_）　_厶　人ﾉ￣ 　　　　　　　　　　＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ 　　ニホンゴのカンジってムズカシイネ 　　　　　　　　　　xr＜了　 （｀ヽ{　/｀ヽ 　　　　　　 　 　 / ｛.　 {YY´￣　}７　　 } 　 　 　 　 　 　 /〃} 　 } 人_, 　 j　 　 / 　　　　　　　　/　{{ { 　 {{　　ヽ.　＼　/ 283 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/11(月) 23:33:13 ] 1stVirtue教では応用数学の習得もする。 284 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/12(火) 00:49:18 ] >>283 お前誰だ？　馬鹿じゃねーの？ 285 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/12(火) 07:26:02 ] Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。 286 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/12(火) 16:30:11 ] >>285 は気違いだから相手にするな。 「1stVirtue教」だとさｗｗｗ 287 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/12(火) 16:56:38 ] Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。 288 名前：1stVirtue mailto:sage [2008/02/12(火) 19:01:31 ] >>287 お前が出て行け！偽者。 289 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/12(火) 19:32:57 ] Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/13(水) 21:21:30 ] >>289 当たり前だろ それより俺の心を読むのをやめてくれないか 291 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/13(水) 23:38:37 ] Reply:>>290 どうしろという。 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/14(木) 01:19:01 ] 数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル） 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/14(木) 11:34:35 ] 1stVirtue ◆.NHnubyYck お前邪魔やからさっさと消えろや！ 294 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/14(木) 11:48:43 ] Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 22:15:57 ] >>277 示すべき不等式を整理すると 　| N | < D, を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z),　D = (xy+yz+zx) +1, 問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって 　D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0, 　D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0, 辺々掛けて 　D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0, 　| N | < D, 296 名前：KBumDUXdQj mailto:zpwgbs@osgcqr.com [2008/02/28(木) 11:50:58 ] pUNSrO <a href="khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], yllgcklstqui.com/ 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/08(土) 20:45:38 ] 自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。 a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2} を示せ。 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69 （補注） n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 00:29:56 ] 同スレからもう一題。 82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30 【補題】 x,y>0 のとき 　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0, 　等号成立は x=y のとき。 (略証) 　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。 　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より} science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82 ------------------------------------------------------- (別証) 　(左辺) = (x-y)S, ここに 　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k, とおいた。 x>y>0 のとき S >0, 　(左辺) = (x-y)S >0. y>x>0 のとき S <0, 　(左辺) = (x-y)S >0.　(終) 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/12(水) 04:31:35 ] 入試レベルの不等式キボンヌ 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/12(水) 04:34:48 ] ヘルダーの不等式を証明汁 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 08:50:42 ] >>300 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:15:52 ] 同スレからもう一題。 【問題】(改作) n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。 半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。 半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:23:59 ] >302 (略解) 各点の座標を 　O = (0,0,…,0),　　原点 　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r), 　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r), 　P = (x_1,x_2,…,x_n) とおく。題意より 　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'. Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。 　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i) 　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2, i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。 　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4, 等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。 題意より OP≦r', n≧2 だから、 　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2), とくに r'=r のとき 　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n), (例) 　n=2, r'=r のとき 2r^4, 　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6. 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:25:16 ] 半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を 単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。 (距離の積の２乗) =Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2} ≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗） ={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n ={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n よって右辺はr=1で最大となるから 距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n) のとき最大値(4-4/n)^(n/2) 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:26:15 ] ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 01:59:51 ] 同スレからもう一題… 〔問題244〕(改作) 三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。 　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

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