圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/31(木) 07:21:12 ] ■前スレ 　圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/ 　なんで圏論なんてもんがあんのよ？ 　makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html ■関連スレ 　大好き★代数幾何 Part 3 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/ 　非古典論理について語るスレ 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/ ■関連過去スレ 　層 　makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html 　シット サイト トポス シャン モチーフ 　makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html 403 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 09:10:57 ] >>402 M をマグマとする。 M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n の全体か？ 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 09:39:07 ] >>403 構成した物はMの下部集合構造のみに依るように見えるが。 集合から構成する自由半群ならそれでいいと思う。 405 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 10:05:55 ] C を圏とする。 C において C-group というのが定義される。 en.wikipedia.org/wiki/Group_object 例えば C として位相空間の圏をとれば、そこでの C-group は 位相群のことである。 C-group と同様にして、C において C-category というのも 定義されるはずである。 もっと詳しく言うと、C において対象 O, A と、射 s, t, c s: A → O t: A → O c: (A × A)/O → A があり、これ等と、(A × A × A)/O の間に適当な可換図式が成立つ ものとして定義される。 ここで (A × A)/O はファイバー積を表す。 この概念の有用な例ってあるのか？ 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 10:20:25 ] >>405 enriched category　に似てるね。 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 10:58:54 ] >>405 C-categoryの特別な場合として、C-同値関係,C-groupoidも定義できると思います。 代数幾何学における、スキームの一般化である、代数空間やスタックは (スキーム)-同値関係,　(スキーム)-groupoid の特別な対象と思えます。　 408 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 13:11:10 ] >>387 >>389 >>392 >>393 証明まだ？ 409 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 18:52:36 ] >>404 俺も書いた後でそう思ったｗ M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n と b_1b_2,...,b_m は a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_m のとき同値として、 この同値関係で割った商集合を取ればいいだろう。 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 19:05:42 ] >>409 a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_mはMの中でですか。 a_1a_2,...,a_nをどうやってMの元と見るのですか。 結合法則は仮定していないので 括弧の付け方に依存すると思いますよ。 411 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 19:09:05 ] いけね、そうだなｗ 誰か考えてくれ。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 20:51:21 ] 先に無理やり (ab)c ≡ a(bc) で割っちまうとか？ 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 20:55:47 ] 自分で考えろこの馬鹿 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 20:57:36 ] す、すいません、提案しちゃいけませんでしたか 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 21:23:39 ] よくチェックしてないが、大体次のような感じでいいんじゃないかな。 (1) マグマMの台集合で生成される自由半群をLとする。 (2) L 上の次で定義される関係を 〜 とする。 abc...z 〜 ABC...Z ⇔ abc...z と ABC...Z のそれぞれを、あらゆる方法で括弧を付けて M 内の元 と見なしたときに、それらのうちに M の元として等しいものが存在する。 たとえば M で a(bc) = ((AB)C)D なら L で abc 〜 ABCD (3) 〜を含む、L の算法と両立する最小の同値関係を R とする（関係のグラフ を考えてインターセクションをとればよい）。 (4) L を R で割ったものが M の半群化。 416 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 22:36:47 ] 自己レス。別に自由半群を使わなくても次のようにしてもいいか。 (1) マグマ M 上の次の関係を 〜 とする x 〜 y ⇔ある M の元の有限列 a, b, ..., z が存在して、x と y のそれぞれが 何らかの方法で括弧を付けた a, b, ..., z の積になっている （もちろん括弧の付け方は x と y とで違っていてもよいとする）。 (2) 〜を含む、M の算法と両立する最小の同値関係を R とする。 (3) M を R で割ったものが M の半群化。 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 02:00:44 ] 自分としては、圏の定義から結合性をはずしてもいいと思います。 結合則を満たすような圏をあらためて「結合的な圏」と表現するのも 悪くはないです。ただ、いまさら定義を変えるわけにもいかない 習慣上の事情もありますから、そこがなかなか難しいとこですね。 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 02:03:07 ] 外すことによってなんかメリットあるの？ 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 02:56:12 ] いまのところ不明です。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 08:09:24 ] Mの半群化　>>416をちょっと変えてみました。 (1)マグマ M 上の次の関係を 〜 とする x〜y ⇔ Mの元、a,b,cが存在してx=(ab)c, y=a(bc) (2)〜を含む、最小の両側イデアル同値関係をRとする。 (3) M を R で割ったものが M の半群化。 RがM上の両側イデアル関係とはxRyなら勝手なmに対してxmRym, mxRmyとなる関係のこと。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 11:07:56 ] >>420 ほとんど変わらんが、それでも結局同じだね。 422 名前：４１７ mailto:sage [2007/04/16(月) 19:49:02 ] 従来の定義は習慣上仕方ないのでそのままにしておいて、 圏の定義から結合則をはずしたものを”非結合的な圏” （”nonassociative category”）と呼ぶことにすると、 群が圏とみなせるようにマグマも”非結合的な圏”と みなせます。もし数学において、マグマの概念が有用な ものならば、”非結合的な圏”の考えも有効と思います。 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 20:18:29 ] >>422 とりあえず有用な理論や有効な手法、なんかの効果的な道具でもいいから 何か朧気にでも用意できてから夢を語れ 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 21:19:46 ] 数学においてマグマの概念は、すくなくともモノイドと比較しても、そんなに有用じゃない。 皆が何回も書いてるが、「非結合な圏」で何がしたいのかとりあえず語ってもらわないと 話にならん。 425 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/17(火) 01:10:33 ] >数学においてマグマの概念は、すくなくともモノイドと比較しても、そんなに有用じゃない。 そんなにどころがまったく全然有用じゃない。 モノイドとは比較にならない。 モノイドを月とすればマグマはスッポン。 426 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/17(火) 06:26:58 ] スッポンは有用だ。 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 10:53:21 ] 筋が悪そうに見えることから立派な数学を作り出す グロモフの様な例もあるよ。 428 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/17(火) 14:16:26 ] そんなもん何の励ましにもならない。 大体、必用にせまられないで概念をいじくり回すのは非生産的。 例えば、ｎ個の集合に何個の位相が定義できるかなんていうスレが あったが、それが典型的。 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 14:58:24 ] >>417 が非結合的圏の理論で数学に革命を起こし、それに伴い マグマがモノイドよりはるかに重要な概念になるかも。 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 15:01:23 ] まあ、非結合的な環（代数）ってのもあるわけだから、 「非結合的な圏」もまったく無用というわけではないだろう。 431 名前：４１７ mailto:sage [2007/04/17(火) 15:21:07 ] >>429 そういう大袈裟なものではないですが、何か名前があっても いいような気がしたんです。代数系の方ですと、群やモノイド に対して制限をゆるめた半群とか擬群、マグマなどいろいろ あるわけです。そういえば、層に対しては前層という概念が ありますよね。前層の層化というのにならって、非結合的圏 （前圏）の圏化というのが考えられれば面白いと思います。 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 15:28:49 ] そんな不便そうなものに名前を付ける必要はないと思うが。 「マグ圏」とかｗ？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 19:11:22 ] >>425,426 月は有用？ 434 名前：４１７ mailto:sage [2007/04/17(火) 21:00:39 ] >>432 いいですね。マグ圏でもマグマ圏でも自分の好きな名前で呼んでやれば いいと思います。大切なのは、名前をつけて概念化することと考えます。 何の役に立つのか分かりませんが、圏論を一般化したいというのがその 動機です。代数幾何のスキーム理論で、可換環を可換とは限らない一般 の環に置き換えたらどうなるか、という発想と似ているかも知れませんね。 よく見てませんでしたが、>>402さんのところにヒントがのっているようです。 なるほど、群のアーベル化とは随伴函手の一種と考えられるわけですか。 それにならって、圏の圏から前圏（非結合的な圏）の圏への関手を考えて その左随伴関手をとってやれば、前圏の圏化を定義してやることができる のではないかと思います。前圏においても米田の補題の類似が成立する のかとか、カン拡張がすべてというのはここでも有効かなどいろいろ考え てみると、数学の世界がより広がってますます楽しくなってくる気がします。 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 21:59:50 ] ぐちゃぐちゃ書いてないで、そこに書いてあること自分でやってみな。 とりあえず「前圏の圏化」から。 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 00:22:14 ] >>434 その口を閉じて、もくもくと論文を書け。 成果が出たらスレに還元してくれればいい。 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/21(土) 09:40:15 ] 前圏の圏化については上に書いた通りです。少し修正すべき箇所がある かも知れませんが、だいたいあんな感じです。どこか重大な誤りがあれば お願いします。詳しく書けませんけど、あれからものすごい発見をすること もできたような気がしています。まだ詳細なチェックが必要ですけども・・・。 ところでマグマについて少し考えていたのですが、マグマにもイデアルとか 素イデアルを定義できます。そして、局所化の概念も形式的に得られます。 そうすると、マグマの素イデアル全体に自明なザリスキ位相を入れたもの としてマグマ上のスペクトラムが定義されます。可換環の場合と同じように して構造層を考え、局所的にマグマのスペクトラムと同相になるように貼り 合わせてやると、マグマ上のスキームが出来上がります。前圏の圏化の 時と同様に、環からマグマへの忘却関手に対してその左随伴関手をとれば マグマ上のスキームから環上のスキームへの関手も自然に定義されます。 マグマ上のスキームＸが有限被覆をもち、それぞれのアフィンスキームが 有限生成である場合、Ｘは有限タイプと呼ばれることになります。つまりは、 マグマの元もある”空間”上の”関数”とみなし得るということです。ただし、 ”関数”どうしの積が可換でなかったり結合律を満たさなかったりするわけ です。いずれにしてもこのマグマ上のスキーム理論の世界には、非可換環 上の非可換代数幾何をほんの小さな一部分として含むような、広大な領域 が広がっていると思われます。数学にはまだまだ前人未到の誰も見たこと のないような世界があるのでしょう。マグマに対する親近感が沸いてきます。 438 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/24(火) 00:14:12 ] >>437 >いずれにしてもこのマグマ上のスキーム理論の世界には、非可換環 >上の非可換代数幾何をほんの小さな一部分として含むような、広大な領域 >が広がっていると思われます。 何を言ってんだか。 夢を語るのは誰でもできる。 成果を出しなさいよ。 どんな成果があるの？ 439 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/24(火) 00:18:44 ] あんたは概念先行なわけ。 こういうのは一般的に言って非生産的なのよ。 数学の発展というのは特殊から一般に行くわけ、その逆じゃない。 まあ、例外もなきしもあらずだろうけど。 440 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/24(火) 00:33:18 ] 哲厨風味なスレはここですか？ 441 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/25(水) 20:57:52 ] >>387 >>389 >>392 >>393 証明まだかよ、おい。 いい加減、待ちくたびれたぞ。 大きな口をたたいたんだから、証明出来ないとは言わせない。 簡単すぎるんだろ？ 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/25(水) 23:25:22 ] ﾌﾟ 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/27(金) 20:29:46 ] もっと夢を語ってくらさい。 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 07:22:28 ] >>443 例えば？ 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 10:46:50 ] ここは夢さえ語れない奴が多いからなぁ。オレも含めてｗ 446 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/29(日) 14:41:41 ] site上で代数幾何考えて何か新しい発見があるのですかグロタンさん 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 18:15:28 ] >>438 それなら今度はお前が夢を語ってみろよ。 誰でもできるんだろ？ 偉そうに結果を出せなんて誰でも言える。 448 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/29(日) 20:07:02 ] >>447 夢なんて簡単だよ。 例えば圏論でリーマン予想を解決とかなｗ 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 20:39:46 ] 矢印ぐるぐる書いてて楽しい？ 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 20:50:08 ] >>448 なんだそれ。その程度なのかよ？ 語るってレベルじゃねぇーぞｗｗ 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 21:53:31 ] じゃあ僕は圏論でアメリカ大統領になる！ 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 21:55:06 ] 圏論＝数学 453 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/29(日) 23:46:02 ] 圏論でフィールズ賞を取るぞとかなｗ 夢なんていくらでも言えるって。 質を問わなければ 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 00:14:32 ] 437の夢はまだマシ、 と言ってるようにもとれる言葉だな 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 00:21:59 ] 夢にマシも何も無い 456 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 00:33:37 ] >>437のは幼稚すぎて話しにならない。 発想が幼稚なわけ。 条件を一般にするというのは最もお手軽な発想。 非可換環のスキームを考えるとかな。 ただし、一般化を考えるのが常に幼稚だって言ってるわけじゃない。 そこに切実な問題意識があれば別。 457 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 00:42:47 ] Kroneckerの青春の夢なんていう格調の高いのもあるけどな。 ただしこれは夢というより予想、しかも正しい予想だが。 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 00:43:56 ] >>455 「質」は問えるんだそうだぜｗ 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 02:17:12 ] もう予想 460 名前：445 mailto:sage [2007/04/30(月) 09:23:01 ] それはどうだろうな。 何をもって切実というかは人によって違うから。 お手軽とか幼稚とか人の批判ばかりしてるが、 一般化ってそういうもんじゃないのか？ オレ自身は>>437の話もなかなか面白いと思う。 あんたもあれこれ他人の批判ばかりしてないで 何かもっと高尚なこと書いてみろよ。 オレにはあんたがいちばん幼稚に見えるんだが。 461 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 09:41:08 ] >>480 >何をもって切実というかは人によって違うから。 そういうところを突っ込むっていうことは俺の話が分かってないということ。 または分かってないふりをしてるかもしれないが。 要するに問題意識をもって一般化するってことだ。 または、ある問題にぶつかったときそれを解決するために一般化するってこと。 462 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 09:42:34 ] >あんたもあれこれ他人の批判ばかりしてないで >何かもっと高尚なこと書いてみろよ。 上でアーベル圏の問題を出しただろ。 証明してみろよ。 463 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 09:43:23 ] 煽りは無視 464 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 09:54:25 ] >>463 どのレスを煽りと言ってる？ 465 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 12:29:04 ] >>445のこと 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 12:43:17 ] >>462 その程度かよｗ 467 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 13:07:35 ] >>466 だからまず証明してみろよ。話はそれからだ。 1 + 1 = 2 もわからないやつに整数論を語っても無意味だろ。 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 13:20:35 ] exact couple って何の事なの？ 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 14:00:21 ] >>467 何を証明するんだよ。 最近ここ来たばっかで分からんのよ。 アーベル圏の問題って何のことよ？ なんで俺が証明しないとあかんの？ 470 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 14:39:30 ] >>469 >なんで俺が証明しないとあかんの？ >>466 はあんただろ。 >その程度かよｗ っていうことは問題も答えも分かってるんだろ 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 14:42:39 ] >>470 いや、分からないで書いてるだけだからｗ 472 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 14:45:57 ] >>471 心でいいよ 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 15:00:16 ] 上のほうでも証明してみろ証明してみろさんざん ほざいてるようだけど自分自身で証明してみりゃいいじゃん。 どうせだれにも興味もたれないような問題なんだろ？ キチガイみたいなことばかりいっても煽られるだけだよ。 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 15:52:37 ] exact couple って何の事なの？ 475 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 00:01:08 ] >>473 >どうせだれにも興味もたれないような問題なんだろ？ あんたは何もわかってないんだから黙ってろよ。 アーベル圏を少しかじったものにとっては興味がもてる問題だ。 簡単だとほざいてるやつが数名いるから解いて見ろといってる。 476 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 00:16:13 ] 煽りは無視で 477 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 00:22:39 ] 煽りは無視で 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 00:49:46 ] 深谷圏ってどんな圏？ 良い参考書プリーズ。 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 04:49:34 ] 今日からお休みだ。ところで、マグマの話はどうなったの？ 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 09:07:57 ] 導来圏について説明プリーズ 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 10:11:05 ] 何でもプリーズ 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 10:36:40 ] 煽りは無視で 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 10:40:41 ] 煽りは無視で 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 11:39:45 ] アーベル圏について説明ｋｗｓｋ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 13:39:17 ] いつもここに張り付いてる主はどうしたんだ？ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 15:53:35 ] どうでもいいが、ここは夢すら語れないような奴ばっかだな。 487 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 17:23:49 ] 目指すべきはグロタンのDerivateursですな。 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 17:26:06 ] Derivateursって何ですか？ 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 17:33:01 ] >>488 ttp://www.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/Derivateurs.html 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 17:48:33 ] 要は、ｎ-圏のことですね？ 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 20:18:32 ] グロタンなどどうでも良い。 グロタンは終わった。 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 20:48:35 ] グロタンの人生って何だったんだろう？ 493 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 21:18:58 ] >>492 くだらねえな。 あなたにとって人生とは？ とか。 青いにもほどがある 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 21:22:55 ] 青表紙 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 21:32:36 ] グロタンは僕らに夢見ることの楽しさを教えてくれたのさ！ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/05/01(火) 21:38:26 ] グロタンは山奥で畑作って生活してんでしょ？ グロタンは仙人になったのさ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 21:55:26 ] Grothendieckは山奥で霞とスキームを食って生きているよ。 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/02(水) 05:15:12 ] 死んでも2年ぐらい情報が出なさそう・・・ 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/02(水) 08:59:25 ] exact couple って何の事なの？ 500 名前：５００ mailto:sage [2007/05/02(水) 09:25:00 ] 完全対のこと 501 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/02(水) 09:45:30 ] >>499 そのくらい分かっとるがなこの馬鹿 翻訳厨不要 それ以上の事を聞いて居るんだよ 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/02(水) 11:14:12 ] （日本では）圏論が専門というのもあまり聞かんですね。 503 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/02(水) 11:26:00 ] 圏論に詳しい研究者は沢山居る。

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