圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 00:13] 　　　　　　 , 　 ＿ ﾉ） 　　　　 　γ∞γ~　 ＼ 　　とて 　とて　　 |　 /　从从) ） 　 　 　 　ヽ　| |　l　 l |〃 　 　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　 　　　 ｀从ﾊ~ ワノ）　　　＜　圏論についてなんでもどうぞ♪ 　　　　 {| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　 　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　　`,─Y ,└┘_ﾄ─' 　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて ⌒ヽ 　 　,く._ '　　　　　_ > 　　人　　｀ヽ｀二二二´'´ Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒) ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ■前スレ 　なんで圏論なんてもんがあんのよ？ 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1057731708/ ■関連スレ 　大好き★代数幾何 Part 2 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1070510931/ 　集合論なぜなにスレッド 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/ 　非古典論理について語るスレ 　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/ ■関連過去スレ 　層 　science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1003853278/　（dat落ち中） 　シット サイト トポス シャン モチーフ 　science.2ch.net/math/kako/1007/10076/1007625226.html 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 00:49] 「はにゃーん」だなんてロリ漫画の読みすぎだ 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 00:50] おまえもなー>>3 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 03:35] 米田たんヽ(´ー`)ﾉ 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 11:32] 6 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 11:33] 変なAAを>>1に入れんなよ・・・ 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 11:50] 刷れたてに免じて許そう。 9 名前：１３２人目の素数さん [04/07/13 13:26] >>5 米田たんの下の名前おしえて 10 名前：１３２人目の素数さん [04/07/13 13:49] 信夫 だったか？ 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 14:02] 教養の頃、情報基礎論だか何だかいう授業うけたぜ。 何言ってんだかまったく理解できなかったが。 12 名前：１３２人目の素数さん [04/07/13 14:45] お前東大か？ 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/13 18:44] 東江戸川大学とばかだ大学ってもしかして姉妹校でつか？ 14 名前：１３２人目の素数さん [04/07/14 18:08] 圏論演習 (6) （前スレからの続き） Sets を集合の圏、 C を下向きにフィルターづけられた small category, F ： C → Sets を函手とする 。任意の x ∈ Ob(C) に対し、C(x) が空でない有限集合なら、（逆系） F の逆極限（射影的極限）は空でない。 （注）C を下向きにフィルターづけられた ： (1) 任意の x, y ∈ Ob(C) に対して、Hom(z, x), Hom(z, y) が共に空でないような z が存在。 (2) 任意の x, y ∈ Ob(C), a, b ∈ Hom(x, y) に対して、或る z ∈ Ob(C) と、 c ∈ Hom(z, x) で、 a・c= b・c なる物が存在。 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/14 18:24] >>14 〜であることを示せ？ 16 名前：１３２人目の素数さん [04/07/14 18:34] >>15 その通りです。 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/14 19:00] >>14 だいぶはしょったけどこんなもん？ 順序数γについてCγ=[0,γ)にC(i,j)={<j,i>} (if i≧j) φ (otherwise)、<j,k>･<i,j>=<i,k>で 圏の構造をいれる。>>14のCはCγとして一般性を失わない。 Fの部分関手GをG(j)={x∈F(j)|∀i≧j x∈im F(<i,j>)}とさだめる。G(j)≠φは容易に わかる。このときi≧jに対しG(<i,j>)は全射。列(xi)⊂∪Giで (i)xi∈G(i)　(ii)xi=G(<j,i>)(xj) (j≧i)をみたすものを超限帰納法で構成する。 I)x1∈G(1)は好きにとる。 II)xiまでとれたとしてG(<i+1,i>)は全射なのでG(<i+1,i>)(y)=xiなるy∈G(i+1)がとれる。 これをx(i+1)とする。 III)極限数l未満のiについてxiが構成できたとする。もし任意のy∈G(l)についてある i(y)=i<lが存在してxi≠G(<l,i>)(y)とするとi=max{i(y)}に対しxiはimG(<c,i>)の元で なくなるのでG(<l,i>)の全射性に矛盾。よってy∈G(l)をxi=G(<c,i>)(y) (∀i<l) ととれる。このyをxにする。 んな感じ。 18 名前：１３２人目の素数さん [04/07/14 19:39] >>17 ＞CはCγとして一般性を失わない。 が少しはしょりすぎで、 フィルター付けの仮定を何処で使っているか良く分からんが、 まあ良しとしておこう。 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/14 20:01] >>18 たしかに･･･ちとはしょりスギですた･･･大目にみてもろえてよかたよ。 20 名前：１３２人目の素数さん [04/07/14 21:11] C (= Htp) を、位相空間と連続写像のホモトピー類のなす圏とする。 この圏では push out, pull back は一般に存在しないことを示せ。 今日のネタはここまでにしておくが、ここまで全部解いた人は 圏論の通だな。 21 名前：１３２人目の素数さん [04/07/14 21:15] ↑ 圏論演習 (7) 22 名前：１３２人目の素数さん [04/07/15 07:32] algebraic set theory のサイトができてます。 ttp://www.phil.cmu.edu/projects/ast/ 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/15 15:29] >>22 哲学科のページですか。 24 名前：１３２人目の素数さん [04/07/15 16:10] 圏 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/15 16:18] 前スレ973に対する解答978の、どの辺りが987言うところの 米田の補助定理と関係してくるのですか。 26 名前：１３２人目の素数さん [04/07/15 16:31] 論 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/15 23:17] >>20 答えおながいします。 28 名前：１３２人目の素数さん [04/07/16 18:48] >>20 答えおしえろage 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/16 21:01] >>20は有限集合に適当に位相を入れて作ればできるんでは（ホンマに適当 30 名前：１３２人目の素数さん [04/07/17 21:05] って何。 31 名前：683 mailto:sage [04/07/17 21:22] 成層圏 32 名前：１３２人目の素数さん [04/07/18 01:01] >>20 圏論演習 (7) の解答。 これらは少々位相幾何の知識を要する。簡単のため pull back が存在しない事のみ示す。 K(π, n) をEilenberg-MacLane とする。圏 Htp において A =K(Z, 64), B = K(Z, 32), C = K(Z, 16), D = K(Z, 8) とし、 f ： B → A, g ： C → A をそれぞれ基本コホモロジー類の自乗、四乗から導かれる写像とする。 もしこれらの pull back Ａ←Ｂ ↑　↑ Ｃ←Ｘ が有ったとすると、 X のホモトピー群は 16, 32次元を残して消滅するが、 一方 h ： D → B, k ： D → C をそれぞれ基本コホモロジー類の 四乗、自乗から導かれる写像とする と、 X からの射は、 Ａ←Ｂ ↑　↑ Ｃ←Ｄ となる自明でない可換図式を経由する事になり、Hopf invariant 1 に関する定理に矛盾。 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/18 01:14] そういう例を持ち出す必然性（存在のための有効な十分条件）はあるの？ 34 名前：１３２人目の素数さん [04/07/18 01:21] >>33 必然性（存在のための有効な十分条件）という意味は？ もっと簡単な（反）例がないかと言う事？ 35 名前：１３２人目の素数さん [04/07/18 01:40] >>33 A が終対称の時、即ち直積は常に存在する。一般に任意個数の直出来・直和は常に存在する。 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/18 01:49] >>34 pull backなんか無いのが普通なんじゃ？ 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/18 01:52] それとも特別な例で証明したということは、 ありきたりな例では存在するわけですか？ 38 名前：１３２人目の素数さん [04/07/18 02:15] >>36>>37 確かに多くの場合 pull back は存在しない。 しかし証明するには或る程度のトポロジーの知識は必要だろうと思う。 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/19 02:53] >>32 ＞四乗、自乗から導かれる写像とする と、 X からの射は、 ＞ ＞Ａ←Ｂ ＞↑　↑ ＞Ｃ←Ｄ ＞ ＞となる自明でない可換図式を経由する事になり、Hopf invariant 1 に関する定理に矛盾。 　 ↑これ逆じゃないの？D→BとD→CがそれぞれX→？を通過するんじゃないの？ 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/19 04:36] ＞Hopf invariant 1 に関する定理に矛盾。 これは何?具体的にどうゆうステートメントに矛盾するの？ 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/19 20:34] 原生計算と存在論的観測って本に圏論の解説が出てるね。 42 名前：１３２人目の素数さん [04/07/20 18:10] >>39 失礼 ! 逆でした。 X が pull back だから、D → X → B → A と D → X → C → A >>40 X がこの次元では、 X → B → A の表すコホモロジー類の自乗が X → C → A の表すコホモロジー類の偶数倍となり、 D → X → B → A と D → X → C → A が可換となることに （共にコホモロジー類の生成元となることに）矛盾する。 43 名前：１３２人目の素数さん [04/07/20 19:55] 圏論演習 (8) 今度は標準的な問題にしよう。 X を位相空間、 その上の環層 O_X の上の加群層の圏を C とする。 (i) C には十分多くの injective object が存在する。（これは易しいから答えなくとも良い） (ii) C の対象は injective hull を持つ。 (iii) C は十分多くの projective object を持つ。 44 名前：１３２人目の素数さん [04/07/26 23:46] >>43 私の勘違いだった (iii) C は十分多くの projective object を持たない。 が正しい 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/27 09:27] カキゴリー 46 名前：１３２人目の素数さん [04/07/27 19:31] 圏論演習も、段々と加群の圏、層の圏、アーベル圏、局所化圏、導来圏などに シフトしようと思っていたが、最初で躓いてしまった。 又一般論：順序集合と順序写像(広義単調増加写像)の圏など良くある圏に話を戻して、 随伴関手・極限等の問題にしようか？ 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/27 20:52] もし可能なら、ステップアップする際に定義やなんかの説明をして 頂けないでしょうか。 スペース的&手間的に、無理っすかねー？ 48 名前：１３２人目の素数さん [04/07/28 04:47] >>47 定義がやたら長いのが abstract nonsense の特徴 49 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 12:21] FeaturesOfTheGod はつくづくアホだなと感じ 50 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 12:22] FeaturesOfTheGod はつくづくアホだなと感じ 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 18:37] と言うことで夏休みに入りました（＾＾；；； 52 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 19:03] >>51 あなた誰 私は圏論演習の出題者だが、近々易しい問題を出す予定。 その前に Tor の問題を1題だけ出してみたいのだが、 皆さん Tor はご存知かな? 説明しろといわれても長くなり杉 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 19:13] 出して味噌。興味が湧けば、考えよう。 54 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 20:20] それでは。 圏論演習 (9) 有限アーベル群の圏 C において、 F (X) = X (恒等函手）、G (X) = Tor(Q/Z, X) は、各 X に付いて F (X) と G (X) は同形であるが、 函手として同値(同形)出ないことを示せ。 (日本語入力が急にバカになったので暇がかかった.) 55 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 23:23] >>54失礼、又、ボケていた。 ｢同値｣でした。 書こうとしたのは、 有限アーベル郡の圏において、A と B のテンソル籍は、Tor(A, B) の、同形であるが、函手として同形でない、でした失礼。 56 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 15:41] 問題がぐちゃぐちゃでわけがわかんねーよ 57 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 23:45] 失礼 又書き直します 58 名前：１３２人目の素数さん [04/08/12 15:12] 255 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/12 15:38] Z/4 ->> Z/2 で考えるよし 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/12 16:07] >>59 相方はZ/2 61 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 09:27] >>59>>60 ご明察 62 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 16:16] 次からは自作の演習問題を考えるから待って炉。 考えた末に既出という場合もあるがな。 63 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 01:24] 971 64 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 18:35] 9月になったら作るから待って炉 65 名前：１３２人目の素数さん [04/08/31 23:30] 400 66 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 18:54] ９月になったので約束通り圏論演習の続きを始めよう。 第(10)題目になるな。 久々だからごく易しい問題から始める。 圏 C で次の三条件を満たす物を具体的に一つ構成せよ。 (i) C は small category に圏同値でない。 (ii) C は任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じている、 (iii) C は その双対圏 C^op と圏同値である。 67 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 19:23] Sets \times Sets^op 68 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 19:37] >>67 ご明察。 簡単すぎたな。 69 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 20:00] 圏論演習 (11) ではひと味変えて、 圏 C で次の三条件を満たす物を具体的に一つ構成せよ。 (i) C は small category に圏同値でない。 (ii) C は その双対圏 C^op と圏同値である。 (iii) C は、D×D^op の形の圏に圏同値でない。 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 20:22] Sets x Sets^op に更に object A 及び A^op を付け加えたものは。 ・当然smallってこたあないやね ・自分の双対圏と同値だあね ・で、D×D^op の形の圏に圏同値でないように思うのだが 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 20:26] A 及び A^opって言い方、変だな。スマソ。 72 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 22:37] >>70>>71 もう少し整理してから書き込んでください。 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 23:37] えーと、object A及びarrowとしてid_Aのみを加えたとして。 もしあるD×D^op の形と圏同値だったとすると、Aに対応するある (a1, a2) （a1, a2はDのobject）が存在する。 x≠a1, y≠a2とする。(a1, y)≠(x, y)かつ(x, a2)≠(a1, a2) なので、Sets×Sets^opのobject P, Q（≠A）がそれぞれ (a1, y)及び(x, a2)に対応する。 Sets×Sets^opのarrow f: P→Q及びg: Q→Pが存在するので、 Dのarrow a1→x, a2→y及びx→a1, y→a2が存在する。つまり D×D^op のarrow h: (a1, a2)→(x, y)が存在する。 これはarrowとしてid_Aのみを加えたことに反するので、 そもそもD×D^op の形と圏同値ではない。 74 名前：１３２人目の素数さん [04/09/03 00:03] >>73 ご明察 次はもう少し難しくしよう。 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/03 08:53] すんません、4行目の「(a1, y)≠(x, y)」は「(a1, y)≠(a1, a2)」の 間違いです。 はじめは>>69の「ひと味変えて」の意味がよく分からなかったのだが、 >>73の構成だといわゆる帰納的極限・射影的極限を持たないのだから、 確かにひと味変わってるんだな・・・。 76 名前：１３２人目の素数さん [04/09/03 19:09] 圏論演習 (12) R を環、圏 C を左 R - 加群の圏とする。 C の充満部分圏 D で、 (i) 包含関手 C ⊂ D は左随伴関手を持つ。 (ii) Ob(D) に属する加群の剰余加群（に同型な加群）も Ob(D) に属する。 なる二性質を満たす物全体は集合になる事を示せ。 77 名前：１３２人目の素数さん [04/09/03 20:39] >>76 訂正 （誤）(i) 包含関手 C ⊂ D は左随伴関手を持つ。 （正）(i) 包含関手 D ⊂ C は左随伴関手を持つ。 78 名前：１３２人目の素数さん [04/09/05 17:51] ちょっと難しかったかな。 回答は別の機会にして、 次は又易しめのにしよう。 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 22:46] >>76 ならないだろ？ Vをヴァーサスクラスとして各x∈Vにたいし R加群Mx=(S,A,B) (Sは底集合、Aは加法を定義するグラフS×S→S、BはR倍を定義する グラフS×R→S)をS={x}、A(x,x)=x、B(x,r)=xと定義すればMxはR加群。 さらにCの充満部分圏Dxを{Mx}だけで構成されるものとすれば条件をみたす。 Dxの全体は集合にならない。 80 名前：１３２人目の素数さん [04/09/06 23:39] >>79 ＞Vをヴァーサスクラス って何? その後の意味も良く解らないんだけど (出題者) 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 23:44] >>80 ＞＞Vをヴァーサスクラス ＞って何? ヴァーサスクラス＝全ての集合を含むクラス。当然集合でない。 　 ＞その後の意味も良く解らないんだけど ＞(出題者) 　 つまり条件(i)(ii)をみたす充満部分圏のなすクラスと一対一に対応する集合は 存在しないということ。 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 23:51] >>80 あ、すまん。同型な加群もいれるのか。よく読んでなかった。吊ってくる。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 00:07] 死ぬな、イキロ。 ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。 英語は「versus」なの？　それは、proper class全部を指すの？ 84 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:10] >>出題者 ネタ本かお勧めの書籍教えて 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 00:14] >>83 ＞ところでヴァーサスクラスって言い方、初めて聞くけど。 　 そう？すくなくとも２つの教科書でよんだとおもう。岩波の公理論的集合論と AlgebraIって本。 　 ＞英語は「versus」なの？ 　 だったかな？自信ないからカタカナで書いた。 　 ＞proper class全部を指すの？ 　 ∀x(∃y x∈y⇒x∈V) を満足する唯一のクラスと定義していたはず。 86 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:23] >>84 ＞ネタ本かお勧めの書籍教えて ヴァーサスクラスも知らなかった私が余り大きな事は言えないな。 87 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:27] 教えたくないのですか？ 88 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 00:47] >>87 別に教えたくないわけではないが、 純粋な圏論関係はずいぶん昔に読んだ (著者、書名も正確には覚えていないが) Pareigis, Categories ang Functors, Freyd, Abelian Categories などで、 最新知識は代数やトポロジーの本から得ている。 www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0691086850/qid=1094485536/sr=1-9/ref=sr_1_10_9/249-4472161-4287522 など。 89 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 10:19] >>87 つまりネタ本は今手にはいるかどうか分らないような古い本で、 最新のお薦め本は知らないと言う事。 ではもう少しやさしくして 圏論演習 (13) 任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category を特徴付けよ。 90 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 13:06] >>88-89 ありがとう。結構定番だね。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 13:33] 射影的極限を持つならば、 ・終対象 ・Ob(C)の任意の部分集合の直積 ・equalizer を持っている。逆にこの３つを持てば、射影的極限を持つ。 ……くらいでどや？ 92 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 13:58] >>91 特徴づけだからもっと簡単な言葉で述べてくれ。 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 14:04] >>85 普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。 岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。 94 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 14:39] >>91 ＞終対象 終対象は 0 個の直積だから、任意の直積に付いて閉じていれば 終対象も存在する。 ＞Ob(C)の任意の部分集合の直積 では重複が許されないから、 射影的極限を持つとはすぐには結論できない。 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 17:40] ・・・あ、そうか。部分集合つったら、確かにそうなってしまうな。 96 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 19:55] >>89 それより>>76の証明は？ 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 20:00] >>93 ＞岩波の公理論的集合論などという本は存在しないし。 　 あれ？そうだっけかな？たしか岩波だったとおもったが。日本語でBG集合論の解説してる 数すくない本の一冊だったんだけど。 　 ＞普通はそれを universal class とか universe と呼ぶのだが。 　 universeともいうかもしれないけどuniverseというと本来のヴァーサスクラスのもつ 性質のいくつかを公理化してそれを満足するクラスのことをさす場合もあるんじゃ なかったっけ？すくなくともAlgebraIではそのような解説がしてあったとおもうけど。 98 名前：97 mailto:sage [04/09/07 22:12] どうも岩波じゃなくて共立のようだ。大学いって図書館いかないと確認できないけど。 99 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:10] >>96 兎に角 >>89 を次の>>100で解いてくれ。 ヒント: small category が任意の直積に付いて閉じているか 或いは、任意の直和に付いて閉じているか、いずれかならば Hom (A, B) は常に高々一個の元からなる。 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:13] >>99 ｢特徴づけよ｣なんて設問に答えようがあるか。こんな設問なら 　 Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category であるための必要十分条件は Cが任意のタイプの帰納的極限・射影的極限について閉じた small category であることである。 　 だってこたえだろが？ 101 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:15] そこらへんは多めに見てあげたら？ 彼の出題、独善的なものも多いけど、なかなか面白いよ。 個人的に>>100はハズレ。 102 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 23:16] >>100じゃなくて>>89な。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:18] 多めにみるったって答えようないじゃん。 たとえばpullback、pushout、帰納的極限、射影的極限について閉じてるちいさい圏 とかも答えになるだろうがこれだって唯一のこたえじゃないし。受験数学じゃあるまいし こんな設問答えようがない。

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