- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/20 20:17]
- またマルチか
- 31 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 21:53]
- 東大が好んだ、複数動点が登場する問題。
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）
点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）
点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/20 22:23]
- 凸四角形ABCDがある。 AC、BDが対角線を成し、その交点をEとする。
∠CAD=40°∠ACD=80°∠CAB=55°∠ACB=25°であるとき、
∠CEDを求めよ。
- 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/21 00:37]
- >>28
プレの問題出すな。
>>29
問題の意図が掴みにくい。ただa_k・k!をそう表しているだけなら、ずらせば済む話だし
- 34 名前：6 [03/11/21 08:01]
- >>24 ブラボー＆漏れの解答↓。
任意のｘ（>０）及びｎに対し、ある負でない整数ｋが定まって
2πｋ/ｎ≦ｘ< 2π（ｋ＋１）/ｎ
が成立する。すなわち、０≦α＜2π/ｎであるような実数αがあって、
ｘ＝2πｋ/ｎ＋α
とかける。
ｘ_ｎ:＝3π/2ｎ＋2πｋ/ｎ
↓ ↓
（ ０ ｘ ）
と定義してやれば、 ｘ_ｎ→ｘ （ｎ→∞）であり、
かつ全てのｎで f_n(x_n)=－１ である。
この問題のポイントは、ｆ_ｎ（ｘ）が周期関数なので、
どんなｘを取っても幅が2π/ｎのある区間に入るというところ。
ｎを大きくすればそれに応じて幅も小さくなることを上手く使ってやる。
- 35 名前：6@本物 mailto:ｓage [03/11/21 08:10]
- 成りすましクンが居ますね。
- 36 名前：１３２人目の素数さん [03/11/21 08:15]
- >>21 も正解ではないか？何を凹んでいるのだ？
・・・この問題、結構簡単だったみたいだな。ゴメンよ。
ゼミのテキストのExampleから思いついたのだが、
いまいち底が浅かったかな。
- 37 名前：6&36 [03/11/21 08:24]
- 相手が悪かったな、>>35よ。
この問題はsin(nx)がΓ-収束していることを
checkする例から取ったものなのだ。
よってオマエが成りすまし。
ちなみにΓ-収束に関しては、
Gianni Dal Maso
『An Introduction to Γ-Convergence』を参照。
- 38 名前：１３２人目の素数さん [03/11/21 08:35]
- 厨房相手にムキってんじゃねーよダサ坊が
- 39 名前：１３２人目の素数さん [03/11/21 08:45]
- >>646
超ワラタ
- 40 名前：pig [03/11/21 09:16]
- 東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
①与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
②1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
③平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
- 41 名前：pig [03/11/21 09:20]
- 東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
①与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
②1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
③平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
- 42 名前：pig [03/11/21 09:21]
- >>40,>>41誤爆ｽﾏｿ!
- 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/21 22:24]
- むしろ京大の論文っぽい問題だけど・・・（ｽﾏｿ
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
- 44 名前：１３２人目の素数さん [03/11/21 22:26]
- 出してばっかじゃつまらんから解けよお前ら
- 45 名前：１３２人目の素数さん [03/11/22 00:27]
- 解答専用の別スレがあれば解くかもしれないけどな。遠慮しておくよ。
- 46 名前：１３２人目の素数さん [03/11/22 06:05]
- じゃはりきって解こうぜ！
- 47 名前：１３２人目の素数さん [03/11/22 06:19]
- とりあえず>>40と>>43にでもとりかかってみるか
- 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/22 06:35]
- 俺は上から順番に・・・
>>10と>>25が残ってる。
- 49 名前：１３２人目の素数さん(10)(25) mailto:sage [03/11/22 21:45]
- >>48
両方、俺の出題ｗ
>>10は京大の過去問とは知らずに出してしまいスマソ。
三角関数関連の問題を作成しているところ、思いついた問題のうちの一つだったから
それと>>10は何年くらいの京大の過去問か情報キボンヌ。
- 50 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 00:54]
- >>49
９１年・京大前期。
このスレに出入りするんなら、東大・京大の過去問くらいチェックしとけ。
ちなみに左側の不等式は難問と評判だな。
- 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/23 01:24]
- 受験って凸不等式つかえないんだっけ？つかえるなら>>10は一撃だけど
だめなんだろうなやっぱ。まあ２変数だったら凸不等式自体その場で凸不等式証明すれば
問題ないんだろうけど。
- 52 名前：１３２人目の素数さん(10)(25) mailto:sage [03/11/23 01:30]
- >>50
情報サンクス。問題演習量の少なさを痛感ｗ
左側の方は難問か？標準的だと思うのだが・・・
a+bを固定して解く、加法定理で半ごり押し、エレガントに対数、等いろいろ解法を出せるから面白いと思うけどね。
>>51
証明さえすれば、オッケーだとは思うが。
- 53 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 02:35]
- ★センター試験の数学の得点の７割は「１××」 センター試験、数学の得点に偏り
・大学入試センター試験の数学の得点では、得点の数字の最上位が「１」の
場合が圧倒的に多い――東京理科大の芳沢光雄教授（数学）、大学院生の
穂積悠樹さんらが過去の得点分布を調べてわかった。３けたの得点では、
６割以上は百の位が１だった。自己採点を間違えた人でも頭を１にすれば
正しい得点になる率は上がる。芳沢さんは、青天井配点のようなどんぶり
勘定方式を採用するなど改善すべきだという。
穂積さんは、昨年までの１３年間にわたるセンター試験の「数学１・Ａ」と
「数学２・Ｂ」について、本試験と追試験の全得点分布を調べた。
企業会計や人口、住所番地などの数字の最上位は「１」に偏り、２～９と
ふえるほど出現率が減る。３０年代に米物理学者がこの傾向を見つけ、
「ベンフォードの法則」と名付けられた。法則では「３割程度が１に偏る」が、
数学の得点はそれよりも偏りが激し過ぎる。
センター試験では、頭が1の得点が多くなりすぎないように、満点を
200点にするなどの工夫をしている。それが裏目に出たと芳沢さんはみる。
センター試験に限らず、大学入試全般で120点満点や150点満点などの
頭が1になりやすい方式が多くなっている。芳沢さんは「集計が楽だから
と安易な方式に頼らず、512点満点など、受験生の本当の力をみる努力
をすべきだ」と話す。
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/23 03:12]
- >>53
コピペにマジレスすまんのだが、
それのどこが得点の偏りになっているのか誰か説明してくれ。
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/23 14:23]
- >>43
「妥当」っていうのは、期待値的に、確率的にってことだよね。
むずいなぁ・・・
- 56 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 16:12]
- >>40やってる人いる？
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/23 16:39]
- 43は妥当の意味のとり方によって答えは変わるよなぁ。
いや、変わらないかもしれないけど。
計算の仕方は大体分かるけど、面倒そう。
- 58 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 04:54]
- age
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 16:36]
- それで>>29 >>31の結論 つきました？
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 16:52]
- 正方形の各点ABCDがあり、AからCに引いた直線とBからDに引いた直線の交点をEとします。
その交点Eを通る直線を辺DC上から引いたとし、その辺DC上との交点をFとします。
ただし、このときの∠CFEは40°以下であること。
この直線FEの延長上にある点Gを、AF＝EGとなる位置におきます。
この△AGE上をA君が歩くと3分40秒かかるそうです。
しかしA君の靴紐は1分間に一度必ずほどけてしまい、その度に20秒間のロスがあります。
その条件でA君の速さを50分間測定し、その平均をだすと時速2200Mとなりました。
同じように△FEC上をB君が歩くと2分30秒かかりました。
B君の歩く速さは常に一定で、時速0，00000000000000003光年となります。
ただし、1光年は9兆5千億kmと考えます。
このとき、A君の好きな人は誰でしょう？
- 61 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 16:59]
- >>60
この話は本当ですか？
ペトロナスタワー
www.kajima.co.jp/gallery/const_museum/kousou/main/honbun/img_p/18.jpg
まず左のタワーをハザマが建てた。
それをパクりながら三星が右のタワーを建てたが傾いた。
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 17:10]
- >>60
>>60
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 17:30]
- >>60>>62
おまいらなかなかやるな。
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/25 16:30]
- <<60
三行目ですでにダメなわけだがな。
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/28 17:57]
- >>64
出だしですでにダメなわけだがな。
- 66 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 22:34]
- 放物線y=x^2 をCとおく。いま、y>x^2を満たす領域にある点P(p,q)が
次の条件を満たすとき、p,qの満たすべき必要十分条件を求めよ。
(条件) Pを通るCの任意の弦を直径とする円が
常にある定点を通る。
- 67 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 22:43]
- >>66
昔、だいすうの学コンで、似たようなのが出てた気がする。
- 68 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 00:03]
- >>66
q=p^2 +1
- 69 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 13:44]
- フィボナッチ数列A_n+2=A_n+1 + A_n（n=1,2,3・・・）において、
13の倍数をとる項はnが7の倍数のもののみであり、nが7の倍数の項は全て13の倍数であることを証明せよ。
D＊＊＊＊
- 70 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 15:38]
- >>69
A_1=A_2=1が抜けてるがまあいいとしよう。
とりあえず簡単だろ。C***くらいじゃね？ 以下解答。
数列A_nを13で割った余りをR_nとする。すると数列{R_n}は以下のように循環数列になる。
1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,
1,1,2,3,…
1行目の28個の項において第7項、第14項、第21項、第28項はいずれも0であるから。
第7n項（n=1,2,…）はいずれも0である。すなわちR_7n=0であるからA_7nは13の倍数。
また、それ以外の項はR_nが0でないから13の倍数でない。
これが13じゃなくて37とかだったら書き出す気も失せるが、
高々169項での循環ならこっちの方が早いかと。
そういえば、このようにひたすら1の位だけを計算させる試験みたいのがあったな。
- 71 名前：３流大学さん [03/12/05 15:58]
- 計算方法の基本である、カッコ内を優先して行わなければならない理由を、例に挙げて計算し、矛盾を示したうえで説明せよ。
- 72 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 16:07]
- >>71
おまいは何を考えているのかと小一時間（ry
- 73 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 16:24]
- あぁ・・・最初の２項について書き忘れていた・・・
>>70
正解。ただ試験中ここまで実験しきれる受験生はそこまで多くないだろうということでＤ。
また、小問二つに分けて、（１）でA_n+2=(A_k+3)・(A_n-k)+(A_k+2)・(A_n-k-1)を示させる問題にして（２）を>>69にしてはどうだろう。
まぁ、受験生を攪乱しているのか！と言われそうだが
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 16:25]
- 馬鹿か
- 75 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 16:26]
- >>66
エクストラ数学にあったな、それ。
円をベクトル表示して解いていくって作業が特徴的だが、そこまで難しくない。
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 16:43]
- 係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の解が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）
と書けることを示せ。
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 16:57]
- >>76
「f(x)=0の根が全て有理数ならば」にしとく
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 19:10]
- 代数学の基本定理と、ガウスの定理ですか。
難しくないですか？
- 79 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 19:14]
- >>71
なるほどね、簡単だが気づかない奴には気づかないかもな。
ようするに、虚数の問題だな。
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 21:57]
- >>75
エクストラ数学って何？
- 81 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 22:22]
- >>79
ﾌﾟﾌﾟｯﾌﾟﾌﾟｸﾌﾟﾌﾟ
- 82 名前：１３２人目の素数さん [03/12/06 10:22]
- 1=√1 … (1)
=√(-1×-1) … (2)
=√(-1)×√(-1) … (3)
=i×i … (4)
=-1 … (5)
このような矛盾が起きるため、(2)から(3)に移るところカッコ内の計算を先にしなければならない。
よって、題意なり。
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/06 12:53]
- 括弧内の計算と言うよりも、
√ab = √a√b は高校まででは、a, b > 0 のときしか
成り立たない公式であると言うことが、いろいろとアレだと思う。
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/06 15:40]
- 本質的に非結合的な二項代数の例を挙げれば十分だしょ。
実数a,bに対し実数a§bをab-1かなんかで定義。この時
a§(b§c)≠(a§b)§c
例a=1,b=2,c=3
1§(2§3)=1§5=4
(1§2)§3=1§3=2
()内を先に計算すると約束してある。約束どおり計算しなければ結果が異なって
しまう。
- 85 名前：１３２番目の素数さん [03/12/06 20:10]
- 正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 01:23]
- 2/3＜sin2であることを証明せよ。
- 87 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 06:16]
- 数値近似系は飽きた。
もっと違うの出すれよ
- 88 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 07:00]
- >>87
まぁ待て、出題したからにはエレガントな解答があるに違いないッ！
この前の tan2005°では、凸不等式をさりげなく使ってたしなぁ…
>>86
模範解答をキボンにゅ！
- 89 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 07:44]
- ｒ;;;;;ノヾ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ﾋ‐=r=;' ∬ ／
'ヽ ▽/ っ━~~ ＜ 見せてもらおうか>>86、エレガントな解答とやらを・・・
＿と~,, ~,,,ﾉ_. ∀ ＼
ﾐ,,,,/~), │ ┷┳━ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
- 90 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 11:20]
- ﾁﾝ ☆ ﾁﾝ ☆
ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾁﾝ ♪
♪
♪ ☆ﾁﾝ .☆ ｼﾞｬｰﾝ！ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
☆ ﾁﾝ 〃 ∧＿∧ ヽ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（・∀・ #） ／＼＿／ ＜ >>86の解答 まだー？
ﾁﾝ ＼＿／⊂ つ ∥ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣￣／| ∥ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
| ￣ ￣￣￣￣￣￣:| :| ／|＼
| |／
- 91 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 11:21]
- ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺ ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
从 `ヾ/゛／' "＼' /". | |
〝 ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜ まだぁー？ |
. '=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡ |＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿＿ ＿|
... 《゛=!|l|》ﾘl⌒! Ｉ⌒I I⌒I I⌒I从=≡|l≫,
《 l|!|!l!((つT(つ) ((つT(つ)) !|l!|l;》;
《 l|!|￣|￣γ ⌒ ヽ γ ⌒ ヽ三ll≡|l》;
.. 《l|!| | （（TAMA））（（TAMA））||l|||l 》;
〝 ≡丿-へ/人 ＿ 人 人 ＿ 人//へヾ
ﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞ
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 15:10]
- >>88
エレガントな解答がなくてスマン。
sinx＜x（0≦x≦1）より両辺2乗して整理すると1-x^2＜(cosx)^2=(1+cos2x)/2
∴1-2x^2＜cos2x ∴∫[0,1](1-2x^2)dx＜∫[0,1]cos2xdx ∴2/3＜sin2
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 15:11]
- sinx≦xだった。すまん。最後の積分の前まで＜→≦でよろ。
- 94 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 16:02]
- >>86
=sin(2*180/3.14)=sin(114.64)=sin(65.35)>sin(60)=3^.5/2=.866
>2/3=.666
- 95 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 16:20]
- 「１＋１」がなぜ「２」となるのかを記述しなさい。
- 96 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 17:59]
- >>95
定義の意味わかってないだろ。だってそれは定理じゃないっしょ。
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 18:39]
- n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 04:18]
- >>25の模範解答まだー？
- 99 名前：25 [03/12/08 17:17]
- もう流されたかと思っていたよ（汗
ってか、すまん（ぇ）0<a<π/4じゃなくて全てπ/2だよ（氏
答えには支障ないだろうけど、考えてくれた人がいるかどうかはわからんが、すまん・・・
－解法例１－
0<a<π/2、0<b<π/2、0<c<π/2より0<a+b+c<3π/2
そこでa+b+cがπ/2以下だと仮定すると、
cos(a+b+c)=cos(a)・cos(b+c)-sin(a)・sin(b+c)≧0
即ち、cos(a)・cos(b+c)≧sin(a)・sin(b+c)・・・（１）
0<a<π/2、0<b+c<πだから、sin(a)とsin(b+c)は正なので、両辺二乗しても符号は変化しない。
ここで条件式を使って、（１）の両辺を二乗したものを整理すると、（sinのみの式にして加法定理のみなので略ｗ）
cos(b+c)≦0、つまりb+c≧π/2
しかし、これは最初の仮定と矛盾するので、以上より、π/2<a+b+c<3π/2
∴cos(a+b+c)<0 である。
－解法例２－
方針「0<a+b+c≦π/2におけるa,b,cについて考えていく」
sinθは0<θ<π/2において単調増加・・・（１）
よって、A+b+c=π/2となる時、(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2≦(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2・・・（２）
また、（２）の右辺を整理すると、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=3/2-1/2(cos2A+cos2b+cos2c)
=3/2-1/2(2cos(A+b)・cos(A-b)-cos2(A+b))
=1-cos(A+b)(cos(A-b)-cos(A+b))
=1-2cos(A+b)・sinA・sinb・・・（※）
ここで、sinA>0、sinb>0、そしてA+b<π/2より、cos(A+b)>0であるので、（※）より、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2＜１
よって、A+b+c=π/2、（１）より(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1となるのは、π/2<a+b+c<3π/2
従って、cos(a+b+c)<0 である。
こんな感じ。
- 100 名前：１３２人目の素数さん [03/12/08 21:52]
- >>97
www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennNecklaceEJC.html
mathworld.wolfram.com/Necklace.html
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 22:28]
- >>100
ちがうよ。>>97は回転しておなじになるやつを同一視するとはひとこともかいてないでしょ？
- 102 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:03]
- >>97
k^(n-2k-1)
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:04]
- >>102
不正解
- 104 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:07]
- >>101
K^(n-2k)
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:07]
- >>104
不正解
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:12]
- すくなくともn>6個の円状の座席のなかからとなりあわない３席をえらぶくみあわせは
(1)条件がなければ(1/6)n(n-1)(n-2)
(2)うち一組がとなりあうくみあわせの数はn(n-4)
(3)うち２組がとなりあうくみあわせの数はn
∴その数は(1/6)n(n-1)(n-2)-n(n-4)-n=(1/6)n(n-4)(n-5)
k=3のときこれに一致しないのは正解ではない。
- 107 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:23]
- >>106
7*3*2/6=7
ababab^2=1
?
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:27]
- n=7のときは
○×○×○××
○×○××○×
○××○×○×
××○×○×○
×○××○×○
×○×○××○
×○×○×○×
の７通り。
- 109 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:33]
- >>106
nk^(n-2k-1)
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:41]
- >>109
ちがう。k=3のとき(1/6)n(n-4)(n-5)にならんといかんっちゅうに。
- 111 名前：１３２人目の素数さん [03/12/11 05:23]
- A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
- 112 名前：１１１ [03/12/11 05:23]
- ｎは３以上の整数、kは自然数とします。
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 10:06]
- >>111
ドモアブルと二項定理を用いてゴリゴリやる。
某スレでイヤというほどやったテク。
超既出。
- 114 名前：１３２人目の素数さん [03/12/11 13:58]
- >>113
具体的にはどうするん？
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 14:03]
- 某スレを隅々まで読んで考えろ！
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 14:08]
- ちなみに某スレはこちら
pink.bbspink.com/test/read.cgi/avideo/1061400369/
- 117 名前：１３２人目の素数さん [03/12/11 14:16]
- >>116
ありがとう・・・
(ノ｀m´)ノ ~┻━┻ (/o＼) お父さんやめてー
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 20:56]
- 実数a,b,cはある自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/12 17:54]
- >>118
１しか解けませんでした！
- 120 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 18:04]
- age
- 121 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 18:29]
- >>118
(1)
2式よりa=0⇒b=c
2式よりb=0⇒a=c
2式よりc=0,k≡0mod2⇒a=b=0
1式よりc=0,k≡1mod2⇒a=b=0
abc=0⇒a=0,b=c , b=0,a=c
ゆえに
- 122 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 21:59]
- >2式よりa=0⇒b=c
>2式よりb=0⇒a=c
嘘だ。やはりkの奇遇で場合わけが必要。
（2）は？
- 123 名前：１３２人目の素数さん [03/12/14 00:33]
- q
- 124 名前：118 mailto:sage [03/12/14 23:36]
- >>118の訂正。
（条件追加）ただし、0^0は0または1いずれかの好きなほうを選択して解答せよ。
（問題訂正）
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
↓
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(-ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
- 125 名前：118 mailto:sage [03/12/14 23:41]
- すいません。やっぱり
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
にしてください。>>124を変形しただけですが。
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/15 00:20]
- >>125
>>118の設問なら0^0=1と考えるのが自然っぽいけど(∵実数^整数の形なので)
いづれにしても微妙だから受験問題のつもりならどちらかキチンと指定しておくか
k≧2にしておく方が試験問題としては安全だと思う。
- 127 名前：118 mailto:sage [03/12/15 00:59]
- >>126
確かに曖昧すぎたかもしれなかったですね。
k≧2の方が混乱が少なくていいのかな。
そんなわけで以下>>118の訂正版（+α）。
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/15 18:13]
- a_1 = p, a_n+1 = a_n(a_n - 2)となる数列{a_n}の一般項を求めよ。
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/17 02:41]
- >>128
回答例ヨロシクネ。
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/17 14:16]
- a_n=2cos(t_n)+1
|
 |
