- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18]
- 代数に関する話題全般のスレッドです。
宿題の丸投げは止めましょう。
前スレ
代数学総合スレッド
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/09 18:56]
- >>127
でも行列成分の行列ですから、行列式も行列ですよ。
ﾔﾔｺｼｲ
- 129 名前：まおまお mailto:sage [03/05/09 20:37]
- そ・・・そうか(^^;
最後の最後まで、行列式と「行列式」を区別しなくちゃいけないんだ。
じゃあ、>>122は間違いかー、うーんまいったね。
説明thank you >>128
ケーリー・ハミルトンの、立派な拡張になってるってこと？
これって、既知なの？（いや、何かしら既知なんだろうけどさ・・・）
- 130 名前：工学部 mailto:sage [03/05/09 21:28]
- 既知だろうが未知だろうが、何ら価値はありません。
税金の無駄遣いです。
- 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/09 21:37]
- >>121
根本的に、行列環の部分集合で、
和と積とスカラー波で閉じていて、
さらに可換なものというのは
対角行列全体の部分空間にしかならない気が・・・
- 132 名前：121 [03/05/09 23:24]
- >>122
＞>正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていて、
これ、どこかで使ってますか？ 閉じないと、何か困るのでしょうか？
いわれてみれば、確かに。最初から、Ａ，Ｂが可換としたときに、その多項式全体
の集合を考えればいいですね。で、「そういう行列の集合をＳとする」というのが抜けていた。
>>131
ジョルダン標準形にして対角行列にならないものを一つ持ってきて、その多項式の全体とか、
同時に対角化できない互いに可換な複数の行列の多項式全体とか、
- 133 名前：121 [03/05/10 02:14]
- 工学部さんてこの人なんだね。今気づいた。
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052471246/l50
税金の無駄とか、田中康夫か猪瀬見たいなこと言って何かと思った
私は単に趣味で数学やってるだけなんで、税金は関係ないです。
- 134 名前：工学部 mailto:sage [03/05/10 08:30]
- 論文は書いたことがありません。
- 135 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:20]
- 東京大学出版 「線形代数」
の次に読むべき書籍を紹介してください。
- 136 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:25]
- a
- 137 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:26]
- b
- 138 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:38]
- c
- 139 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:40]
- d
- 140 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:44]
- e
- 141 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:52]
- f
- 142 名前：１３２人目の素数さん [03/05/10 23:56]
- g
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 00:10]
- 部分群
- 144 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 00:25]
- 正規部分群
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 00:51]
- >>144
hの代わりに「部分群」ってことなんだろうから、
そこはiの代わりってことで「イデアル」にすべきだったと思われ。
- 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 00:54]
- 素数
- 147 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 00:55]
- ( ﾟДﾟ)ﾊｧ?
- 148 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 01:17]
- >>145
ごめん
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 08:21]
- >>145
では、j の代わりにジャコブソン根基ですか？
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 10:02]
- じゃあ、kからでいい？
素体
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:03]
- 束
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:04]
- 加群
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:11]
- 自然数
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:13]
- 整数環
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:36]
- 放物型部分群
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 12:13]
- 有理数体
- 157 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 13:22]
- 実数体
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 14:13]
- 対称群
- 159 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 14:26]
- ねじれ加群
- 160 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 14:33]
- 開近傍
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 14:36]
- ↑(･A･)ｲｸﾅｲ 単数群
- 162 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 15:04]
- ヴェット群
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 15:04]
- 線型空間
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 18:16]
- 次は W で良いのか？
ワイル群
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 18:32]
- 不定元
- 166 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 23:05]
- マジンガーZ
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/12 15:08]
- Yが飛ばされてるぞ。>>168 Yを頼みます
- 168 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:23]
- 二つ目の不定元
- 169 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:26]
- 小遣い稼いでみる？
accessplus.jp/staff/in.cgi?id=2550
アクセスアップ・売上アップの支援サービス
リンクスタッフになれば小遣い稼ぎができます！！
完全無料！！
- 170 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:31]
- ζ もしくは Z武
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/12 18:48]
- 整数全体のZってなんの略？
- 172 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:49]
- >>171
Zahlen だよ
ヴァカ無教養死ね
- 173 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:51]
- ネット上で自分の分身キャラ「アバター」を作って楽しくコミュニケーション
無料登録で、もれなく商品券とメールアドレスが貰える！！
camellia16.fc2web.com/cafest.html
- 174 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:19]
- >>171
>>172
自作自演・・・ぷ
- 175 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:21]
- >>172
ZはZahlenの略じゃなくてdie Zahlenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）
- 176 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:50]
- >>171-172
今井並（藁
- 177 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:53]
- >>175
は？
- 178 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 21:28]
- dieは定冠詞だから、あってもなくてもいいようなものだが。
- 179 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 21:36]
- >>172
ZはZahlenの略じゃなくてZahmenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）
- 180 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 23:32]
- Cはcomplexじゃなくてcomplex numbersの略だよね
- 181 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 23:36]
- R は real じゃなくて the set of real numbers の略だよね
- 182 名前：１３２人目の素数さん [03/05/13 00:13]
- >>178
定冠詞は必要じゃないの？
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/13 00:16]
- >>181
the set of all real numbers じゃないのか？
- 184 名前：１３２人目の素数さん [03/05/13 00:51]
- >>177
は？
ヴァカ？
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/13 05:10]
- >>183
はじめにtheがついてるからallはいらない
- 186 名前：１３２人目の素数さん [03/05/15 18:33]
- 代数が全然わからないんですけど、買うなら「すぐわかる代数」がいいですかねぇ？
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 18:44]
- 買え
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 18:56]
- >>186
何でもいいから買え。
- 189 名前：186 [03/05/15 20:07]
- わかりやすい本がいいっす。
ビギナー向けの。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 20:07]
- >>189
万人にとって判りやすいものなど無い。とっとと買え。
- 191 名前：186 [03/05/15 20:29]
- じゃあ「すぐわかる代数」にしときます。
おすすめの本の話を聞きたかったけど、代数に慣れてからまた聞きます。
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 20:30]
- だってそれでいいもの
- 193 名前：186 [03/05/15 20:32]
- そうなんすか。
じゃあその本でがんがりやす。
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 21:27]
- 分かりやすいけど深くつっこまない
とりあえず理解した気分に浸りたいなら「すぐわかる代数」
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/19 04:26]
- 疲れた。
もういいよ。
呆れたからこのスレにももう来ないわ。
ずーっとそうやって負のイメージを吐き出し続けてください、さようなら。
- 196 名前：次世代のワイルズ [03/05/19 05:43]
- >>195
おまえなんか二度ど来んな！ ヴァカが
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/19 10:40]
- >>196
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/19 13:02]
- >>196
(・∀・)ﾆﾄﾞﾄﾞ
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/20 23:55]
- 「２ｃｈは5，6人以上逮捕された犯罪者が居るので
２ｃｈは全員、犯罪者だと思っていいと思います。
私の友達と私が被害を受けたのは本当の事実なので。」
（ＨＰより抜粋）
members.tripod.co.jp/nichkirai/index.htm
この２ちゃんねるを罵倒しているサイトである
☆反２ｃｈまゆタンスレ2☆
ex.2ch.net/test/read.cgi/net/1053411931/
- 200 名前：１３２人目の素数さん [03/05/20 23:55]
-
- 201 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/21 21:58]
- ━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
- 202 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/22 00:08]
- ━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
- 203 名前：121 [03/05/23 15:53]
- >>121の証明で穴を指摘されました。
＞Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）
この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。
Ｐ，ＱがＡ，Ｂと可換とは限らないので、Ｑ＊Ｑ、Ｐ＊Ｐは、Ｓの元を「成分」とする行列とは言えない、つまり、可換環を成分としているとは限らないので、「積の行列式」＝「行列式の積」が使えないとの指摘です。
- 204 名前：121 [03/05/23 16:00]
- よって以下のように訂正します。
Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
Ａ，Ｂが可換なら、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
証明）
（Ｗ＊Ｘ）・（Ｙ＊Ｚ）＝（ＷＹ）＊（ＸＺ）となることがわかる。
Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ＝Ｃ，ＰＢＱ＝Ｄをともに三角行列とすることができる。
Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝ＱＣＰ＊ＢーＱＤＣ＊Ａ＝（Ｑ＊Ｉ）（Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ）（Ｐ＊Ｉ）
※ Ｉは単位行列。だから、Ｓの元。
この「行列式」は通常の行列式同様に、Ｑ＊Ｉ、Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ、Ｐ＊Ｉ、それぞれの「行列式」の積になる。
Ｃ、Ｄが三角行列だからＣ＊Ｂ−Ｄ＊Ａも「三角行列」。よってその「行列式」は「対角成分」の積
Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）＝ＱＰ｛Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）｝ＱＰ＝Ｑ｛ΠＰ（ｃiiＢ−ｄiiＡ）Ｑ｝Ｐ＝Ｑ｛Π（ｃiiＤ−ｄiiＣ）｝Ｐ
各（ｃiiＤ−ｄiiＣ）は、三角行列で、ｉｉ成分が０、これらの積が０行列となることは計算でわかる。
- 205 名前：１３２人目の素数さん [03/05/25 19:22]
- f,g,h∈R, Rは環(PIDとかUFDとかの仮定はない）
このとき
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
を示したい。
いまのところ、
1∈(f,g) ⇒ 1∈(f^n,g^n)
と
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
とはなんとか言えてますが
もうちょいがうまくいきません。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/25 19:38]
- R=K[X, Y]のときを考えるとX+Y∈(X, Y)だけど、
(X+Y)^2∈(X^2, Y^2)は成立する？
もしそうならXY∈(X^2, Y^2)なのだが・・・
- 207 名前：205 [03/05/25 20:22]
- >>206さまレスありがとうございます。
たしかにそのとおりですね。
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
の「証明」をみなおしてみると
実際に言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^3∈(f^2,g^2)
でした。
ということは、
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
はなりたたないということで・・・
でもすこし弱めるとなにか言えそうな気がするのですが。
- 208 名前：205 [03/05/25 20:26]
- ちなみにすぐに言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g)
です。
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/25 20:43]
- n≧k+l なら h^n∈(f^k, g^l)
ぐらいならいえるけど・・・
- 210 名前：１３２人目の素数さん [03/05/25 21:10]
- >>206
それは簡単すぎかな。
h=Af+Bgをn乗すれば一発。
- 211 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/25 22:55]
- （＾＾）
- 212 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 00:13]
- A;単位元をもつ可換環 A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/26 02:28]
- >>211
でた。。。
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/26 17:56]
- >>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・
- 215 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/26 18:56]
- // //TTT////////
//////JK&&NNNN&&SJT////
/TJKK&MMMMM$#################%MSJ//
TTS###################################MST
/TKKN%%#####%$MMMMM$$$$%############%%###$RJ//
J&$#########%M#&?#RMMM%%#%####################&J
S#########MMNR?&&&&&&&?#RN$$####################MJ
JJN#######$MNNRR&&&&KKKKKKKKKK&&&RNM$$%#############$&TT
TM%%#######%#NNNRR&&&&KKKSSSSS&&&&&?#MM%#################&
T###########$MNRRRR&&&&KKSKSS&&&&&&SSSK&&?M#%%#############&/
/&%#########$$MNRR&&&&KKKSSSJJJJJJJJJTTTJJJK&RNNM%%####%##%%%MJ
?##########MMMNRR#&&&KKKKSS&&JJJTJJJTTTTTJ&S?#N#%####%#%%%###J
SS##########%%MMMNNN##&&KKKSSSJJJJJJJJJTTTJJTTJ&KK&RN####%%%%%####//
MM##########$$MMMNNNR&&KKKSSJJJJTJTTTTTTTTTTTTTTJJK&&M%%#%%%%%#%%%JJ
T%%#########%$$MM####%%##%%&SJ&JJJTTTJJTJ/JJJJJ&&JJS&&M########%#%###
#############MMM$%%######%%#%%KJJJJTTTTKKMMMM%##%&&SKS?########%##MM/
$###########%MM$M$MNNRRNRRRRRMRKKSJJJSS&NNNRRR&KSSSKJSSNN########%%NN/
T%###########%%%#%#MMMMM$#&&%%#M##%$&%####RR&&&%$MKKSJ&S###########%MMJ
?##########%####MMNMMMM#$##KK&M##%N##&&K#NMMM#&&JKK#M%MNN%#########MMT
N###########MMMMMRRNNNR&&KJJJSKNNNKSN&TTJ&&NNNJJKSJJJ&N&&&M#########MM/
M###########MMMMMNMR###KKKSSJSKMMM&T&&SS&&KS&&JT&JJJJ?JJJN#########MM/
- 216 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/26 18:58]
- /######%###%MNNNN##&KKK&KSSSS&RNKKJ//KKKK&&JJJJJTKTTJKJTJJ?#######%KK/
NN###$$$%$NNNNNR&KKKKSSJSS&NNRKKJ//TKKKSTJTTTT//TTSKTTTTKMMNNN$#NJ
TT%##$%%%#MNNNMMN#&&&KKKRRM##&&&&JJJKKK&$&KK&&SKSS&JTJJJ?#?#%%K
S#MMMMNNMNNNR#KSSJJ&KNNN%#M##K&K&&&TSKK&&KJJ////J/JJJKJ&KSST
J$MMMMNNNNRR&KSSJJSK&&N&&R&&SSTJSSTTTJJJT/////////TT//T/
/N%%###MNNNR#&SS?##NNNR&K&&JSTTTTTJJTJJJTJT////JJSSK///
/%######MMMR&KSS&RRNNNN##%KK&&KKJJTJTJJJJTTJTTTTJ&%%&T
TTR%##$$NNRKSSSKKRMM$$MNNNRR&&KKSSJJTTTTT////TTRSS
//?##%%MNN#KKSSS?#NNR&KK&S&&&&KKKJTTT/TTJJT?M//
/K%#####MR##%#&K&&&&&&&&&SKJTTJ/JTTTTJJJKK#$M/
JMM%%$MNNNNR&&&&&SSJJJTT/////TTTTTTTJ&&M&
/##%%%$###MMNRRR&&S&&JJJJJJTTJJ&&&&&KKKK//
J######$MM$$#MMMMN#&&&KK&&&&&&K&&&KJTJ###$S/
TN######$MMMMMMMMMNNNNNRR&&&&&&KJTTTTTT&?#$/
S########%MMMMMMMMMMMMNN#%#%$$&&JTTTJJJJRR##$J//
T&&M#########%%#MMMMMNR##&&&S&&JJTJTTTTTT?###%%MTT
J&MM$#########%%$MNRRR&&KKSSJJJTTTTTTTTTJKN%###%%%NNJ
T#M################%MR##&&KSSS&&JJJJJTJK%%%###########%$NJ//
/NN$###################$R&&&KKSJJJJ&&&&&%######################$NS/
K$######################%M&&&KKKKKSSKRMM%###################%%####%NKK/
/MM###############################K&&KK###########################%##########N&//
- 217 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 20:45]
- 212 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/05/26 00:13
A;単位元をもつ可換環 A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
214 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/05/26 17:56
>>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・
そんだね。なんなんだろね。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 21:07]
- 単項イデアル環は整域とは限らない、って点を気にしているのだろう。
ちなみに、ぱっと見
A[X]が単項イデアル環である必要十分条件は、Aが体であることっぽい。
Aが体で無いと、その0でないイデアルIに対して、
A[X]のイデアルI+(X)は単項ではないのでね。
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 01:17]
- p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，Aは体ではない．
- 220 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 02:29]
- >>219
212です。ありがとうございました。
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 02:33]
- >p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，
A[X] のイデアル ( p , X ) の生成元は?
- 222 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 03:27]
- >>221
pq=6だと
(2X+3)(3X+2)=X
4(3X+2)=2
3(2X+3)=3になるから
(X,2)=(3X+2) (X,3)=(2X+3)になるけどねぇ・・。
んで、またA=Z/6ZはA[X]は単項イデアル環だけどAは体でない
例になってるとおもう。一般のpqはどうなんでしょうかね？
ap+bq=1になるa,bがあってもうま〜い元がとれるのかなぁ・・・。
- 223 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 03:43]
- 222です。やっぱいけそうです。A=Z/(pq)Zとして
(px+q)(qx+p)=(p^2+q^2)x
で、p^2+q^2はpでもqでもわりきれないからAの単元
だから、さらに逆元でもかけてやるとXはつくれる。
んで、p,qは互いに異なる素数だからap+bq=1になる整数a,bが
あるから(1-ap)(pX+q)=q となってぇ〜(X,q)=(pX+q)になる。
- 224 名前：219 mailto:sage [03/05/27 06:31]
- A=\Z/(pq), B=A[X]とおく．
J≠0をBの任意のイデアルとする．
今，f(≠0)∈Jでn=deg fが最小であるものを取り，a=LC(f)∈A（主係数）とおく．
(1) a∈A^*のとき，J=fB.
(2) a∈pAのとき，（必要ならばfにB^*=A^*の元を掛けて）a=pとしてよい．
このとき，qf∈J, deg qf<nより，qf=0だから，モニックなf'∈Bが存在してf=pf'.
さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
[主張1] ∀h∈Jに対して，deg h<m ⇒ h∈fB.
∵) ∃h∈J, d=deg h<m, h/∈fBと仮定し，dが最小のものを取る．
b=LC(h)/∈pAと仮定すると，up+vb=1 (∃u, v∈\Z)より，
k=uX^(d-n)*f+v*h∈Jとおくと，deg k=d<m, LC(k)=up+vb=1となり矛盾．
よって，b=b'p, h'=h-b'X^(d-n)*f∈Jとおくと，deg h'<dだから，h'∈fBよりh∈fBとなり矛盾．
[主張2] J=fB+gB.
∵) ∀h∈Jに対して，h=q'g+r (q',r∈B), deg r<mとすると，r∈Jより，r∈fBだから，h∈fB+gB.
[主張3] J=(f+qg)B.
∵) J'=(f+qg)Bとおく．J'⊂Jは明らか．
一方，up+vq=1 (∃u, v∈\Z)より，J'∋up(f+qg)=up^2*f'=pf'=f, qg=(f+qg)-f∈J'.
このとき，h=uX^(m-n)*f+v*qg∈J'⊂Jとおくと，deg h=m, LC(h)=up+vq=1.
よって，k=g-h∈Jとおくと，deg k<mより，k∈fB⊂J'だから，g=h+k∈J'.
(3) a∈qAのときも同様．
以上より，Bは単項イデアル環．
- 225 名前：219 mailto:sage [03/05/27 07:05]
- [訂正]
>さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
∀h∈Jに対してLC(h)∈pAならば，J=fB.
∃h∈J, LC(h)/∈pAのとき，∃g∈J, LC(g)=1だから，m=deg gが最小であるものを取る．
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 09:18]
- 単項イデアル環の直積は単項イデアル環
- 227 名前：219 mailto:sage [03/05/27 21:17]
- pが素数のとき，A=\Z/(p^2)はArtin単項イデアル環だが，A[X]は単項イデアル環ではない．
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 22:29]
- それで？
|
 |
