- 121 名前：１３２人目の素数さん [03/05/09 10:55]
- 質問スレにも書いたのですが、よくわかりませんでした。
以下の私の考えは正しいのでしょうか？
正方行列の集合Ｓがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていてい、
これらはお互いに交換可能なら、可換環だから、これらを成分に持つ
「行列」やその「行列式」を考えることが出きる。
Ｓの成分Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
すると、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
証明）
ア）Ａ，Ｂが三角行列の場合、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ も「三角行列」となるので、「行列式」は「対角成分」の積となる。
つまり、Π（ａiiＢ−ｂiiＡ）
各（ａiiＢ−ｂiiＡ）は、三角行列でii成分が０。この積が０になることは計算することでわかる。
イ）一般の場合。
（Ａ＊Ｂ）・（Ｃ＊Ｄ）＝（ＡＣ）＊（ＢＤ）となることがわかる。
Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ，ＰＢＱをともに三角行列とすることができる。
Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）
この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。
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