- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41]
- Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。
- 993 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 02:51]
- 補題
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
証明
m の生成元 x_1, ..., x_n で 各 x_i が 0 でないものをとる。
Hartshorne I Th. 6.1A より K の付値環 R で A を支配する
ものが存在する。v を R に付随する付値で G をその値群と
する。g_i = v(x_i/x_1) と置く。g_k = min{g_1,...,g_n} と
する。各 i に対して v(x_i/x_k) = g_i - g_k >= 0 である。
よって、x_i/x_k ∈ R であり、
A[x_1/x_k, ..., x_n/x_k] ⊆ R となる。
必要なら x_1, ..., x_n の番号を付け替えて x_k = x_1 と
仮定してよい。よって B ⊆ R である。R は A を支配するから
R の極大イデアルは mB を含む。よって mB ≠ B である。
i ≧ 2 のとき、x_i ∈ (x_1)B だから
mB = (x_1, x_2, ..., x_n)B ⊆ (x_1)B である。
逆の包含関係は明らかだから、mB = (x_1)B である。
- 994 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:05]
- 補題(Krull-Akizuki)
A を１次元のネーター整域、K をその商体とする。
L を K の有限次拡大体とする。A の L における整閉包は
Dedekind整域である。
証明は例えば、Bourbaki VII §2.5 を参照。
- 995 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:38]
- Hartshorne Ex.4.11 (a) の解答
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。L を K の有限生成拡大体とする。
補題(>>993)よりm の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
(x_1)B の極小素イデアルを p とする。
Harsthorne I Th.1.11A(Krullの単項イデアル定理)より B_p の
次元は１である。m ⊆ p であるから B_p は A を支配する。
補題(>>994)より B_p の K における整閉包 B~ は
Dedekind整域である。B~ の任意の極大イデアルを M とする。
B~_M は離散付値環である。B_p ∩ M は B_p の極大イデアル
である(Cohen-Seidenberg)から B~_M は B_p を支配する。
補題(>>992)より L の離散付値環で B~_M を支配、即ち A
を支配するものが存在する。
- 996 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:44]
- Hartshorne Ex.4.11 (b) の解答
Ex.4.11 (a) と本文の Th.4.3 と Th.4.7 の証明から
明らか。
- 997 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:51]
- これでこのスレでのHartshorneの問題の解答は終わりだな。
後で参照したい人はこのスレを保存しておいたほうがいいよ。
因みに私のやり方は、｢全部読む｣をクリックしてから
編集メニューの｢すべて選択｣を選び、コピーしてから
空のテキストファイルに貼り付ける。
- 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/02 04:06]
- 埋め
- 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/02 04:08]
- 生め
- 1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/02 04:08]
- 1000GET!
- 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]
- このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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