>>404 戻る (引用開始) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice Let the set we are trying to well-order be A, (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 冒頭 ”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A . と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている） 最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている （enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう） (引用終り)
さて、 1）冒頭 ”of order type sup{α∣aα is defined}.”の部分は、平たくいえば 整列させようとする集合Aについて、集合Aは濃度を持つので、その濃度から 対応する 順序数の列長さが決まる それを、”of order type sup{α∣aα is defined}.”と書いたり、 ” it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A”、最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.” としているのでしょう 2）なお、トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）さん、基礎論の世界では有名らしい で、”大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている” とあります。en.wikipediaの証明は、そこに依拠している
1978年に出版された大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている。 Thomas J. Jech, Set Theory, Academic Press, 1978. 2nd ed., Springer, 1997. 3rd ed., Springer, 2002 (ISBN 9783540440857).
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jech Thomas J. Jech (Czech: Tomáš Jech, pronounced [ˈtomaːʃ ˈjɛx]; born 29 January 1944 in Prague) is a mathematician specializing in set theory who was at Penn State for more than 25 years.
External links https://web.archive.org/web/20120504114504/www.math.cas.cz/~jech/ Home page Archived 2012-05-04 at the Wayback Machine, with a copy at Penn state.
>>422 (引用開始) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice Let the set we are trying to well-order be A, (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) 冒頭 ”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A . と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている） 最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている （enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう） (引用終り)
それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ 頑張れぇ～！ｗｗ ；ｐ） P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■ 以上
>>464 > おサルか サルは大学１年の４月で数学落ちこぼれた阪大工学部卒の凡人君だろ > 自分が書いた証明を、他人になりすまして評論か？ ばれて居るぞ！ 誰でも彼でも皆同一人物と思い込むのは妄想性人格障害 > それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくから 頑張れぇ〜！ 頑張るのは阪大工学部卒の君だよ、キミ この文章読める？ ”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.” ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。 「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
Aのすべての空でない部分集合の族S（family S of all nonempty subsets of A）って書いてあるの読める？
さて >>465 より (引用開始) ”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.” ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。 「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 (引用終り)
一方 >>464 より それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
５）また、上記 Jech ”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”は 下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ 溺れる者は藁をもつかむだろうｗ ；ｐ） さらに、Jech ”Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.” が、下記 en.wikipedia の Well-ordering theoremの証明の ”of order type sup{α∣aα is defined}.”に対応している
(参考)>>310より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. (引用終り) 以上
>Jech ”That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.”は >下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ 省けると思ってる？ どうやって？ 論理が分からんサルは「ウィキにそう書いてあるから正しい」とかいうのかい？ そもそも並べる前から集合族A-{aξ：ξ<α}だけ取り出せるわけないだろ 脳味噌真空の白●か？
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 整序しようとする集合をAとし、fをAの空でない部分集合の族に対する選択関数とする。
>>478に対する阪大工学部卒の凡人の返し（予想） 「a choice function for the family of non-empty subsets of A. であって a choice function f for the family S of ”all” nonempty subsets of A. ではない！」
>>472 追加 >>385より再録 要するに ・選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限) ・従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*) ・可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *) ・有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限) 追加の注） *) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず） なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent 例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” ∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと (引用終り)
また、下記 Horst Herrlich にあるように ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” と ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” とが、Equivalent A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列ωの構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと>>385 (”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”ぼ正確な定義が不明だが、最弱の可算選択公理(可算無限ωに制限) を、 さらに ”for countable collections of subsets of R.”に制限している ) なので ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,” ↓↑ ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” 証明は、文献 [15], [29], [30]にあるらしい ；ｐ）
>>154より alg-d.com/math/ac/countable_union.html 可算和定理 壱大整域 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない． 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略
>>84より archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a
517 名前：Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). (引用終り) 以上 []
>>477-478 >Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. >（訳）整序しようとする集合をAとし、fをAの空でない部分集合の族に対する選択関数とする。
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Statement A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated: Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
有名な ケネス・キューネンの海賊版を覗いてみた 下記 1)2)と4)を見たが、本件の記述はあまりなかった （ 3)は、期待できそうになかったので、海賊版検索はしなかった） 記 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%B3 ケネス・キューネン 主な著作 1)Set Theory. College Publications, 2011. ISBN 978-1848900509. 2)The Foundations of Mathematics. College Publications, 2009. ISBN 978-1904987147. 翻訳『キューネン数学基礎論講義』藤田博司 訳 日本評論社 2016年 ISBN 978-4-535-78748-3 3)Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980. ISBN 0-444-85401-0. 翻訳『集合論―独立性証明への案内』藤田博司 訳 日本評論社 2008年 ISBN 4535783829 4)(co-edited with Jerry E. Vaughan). Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland, 1984. ISBN 0-444-86580-2. (引用終り)
再度転記しよう T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
おサルは、『並べる前から集合族 A∖{aξ∣ξ<α}だけ取り出せるか？ 答えは否』というけれど おサルは、Jech氏の証明について ”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.” を、集合Xに対して、任意の部分集合に対して、順序数との対応が 付けられて それを使って”induction”が可能だと 読んだ
>>486 >『並べる前から集合族 A∖{aξ∣ξ<α}だけ取り出せるか？ 答えは否』というけれど >Jech氏の証明 >”That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.” >を、集合Xに対して、任意の部分集合に対して、順序数との対応が 付けられて それを使って”induction”が可能だと読んだ
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.” ↓ ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.” ↓ ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
>>486より 再度転記しよう T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof： Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
対比で(参考)>>310より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り)
さて 1）前段のT Jech 著 では ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”とあるが 後段の それによる en.wikipedia では、この1行は 省かれている 2）また、en.wikipediaから、他国のwikipedia 記載ぶりを見てみると 中国：en.wikipediaと同じ （仏、伊などは Zornの補題使用） 3）思うに、T Jech 著 ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.” は、単なるイクスキューズ（excuse）で A-{aξ：ξ<α}（＝A∖{aξ∣ξ<α}）は、全部”the family S of all nonempty subsets of A”の中にあって 単に その部分集合を 使っていますと 言い訳と補強をしているだけのこと と言いたいんじゃね？ （無くても良いと多くの人は 判断している）
>T Jech 著 >”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.” >は、単なるイクスキューズ（excuse）で >A-{aξ：ξ<α}（＝A∖{aξ∣ξ<α}）は、全部”the family S of all nonempty subsets of A”の中にあって >単に その部分集合を 使っていますと 言い訳と補強をしているだけのこと と言いたいんじゃね？ >>（無くても良いと多くの人は 判断している）
自称阪大工学部卒の大学数学オチコボレ「六甲山のサル」は文字は読めるが文章は読めない
Q1.aαの定義は？ A1. Aからα未満の順序数ξに対応するaξすべてを取り除いた集合に関数fを適用したもの We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) Q2.A1のaαの定義の中の関数fの定義は？ A2.Aの任意の空でない集合に対してその要素を取りだす選択関数 …we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. Q3.fの定義域は？ A3.Aの任意の空でない集合 all nonempty subsets of A. non-empty subsets of A.
>>498 (再掲)>>497より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 注）＊ For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. 注）＊ That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
という具合に、後付けで、簡単に ”注）＊” とでも やっておけば、それで済む話では？ 要するに、 ”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので the family S＝P(A)＼Φ と書ける 分出公理を使うと、Sの部分集合として {A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・} これから 集合族 が出来て A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・ 集合族は、順序数で添え字付けられている と考えることができる この集合族に、選択関数を適用すれば良い
”Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.” で大概の人は分かる
初学者向けに（君のために ；ｐ） ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.” と書けば、多少親切ってことかな ；ｐ）
