- 441 名前：厳密な定義を見てみましょう。
定義（二項関係）
R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
(x,y)∈R のことを，xRy ともかく。
R という記号を持ちましたが，実際は ∼,≤ をはじめ，さまざまな記号が用いられます。
ちょっと定義に戸惑ったかもしれません。数学的に「2つの関係」の有無を定義しようと思うと，関係があれば属するような集合を考えるというわけです。
(x,y)∈R なら xRy という関係があると考え，(x,y) not∈R なら，そのよう関係がないと考えるわけですね。
たとえば，R 上の順序関係（大小関係） R は，集合でかけばR={(x,y)∈R^2 ∣x≤y}
とかけます。
mathlandscape.com/ordered-set-2/
数学の風景
半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺
2023.08.16
定義（前順序集合・半順序集合・全順序集合）
X 上の4つの二項関係 ≤ について，
1.任意の x∈X に対して，x≤x (反射律)
2.x,y,z∈X に対して，x≤y,y≤z ならば x≤z (推移律)
3.x,y∈X に対して，x≤y,y≤x ならば x=y (反対称律)
4.任意の x,y∈X に対して，x≤y または y≤x (完全律)
のうち，
1,2 をみたすものを前順序集合 (preorderd set)，
1,2,3 をみたすものを半順序集合 (順序集合; partially ordered set; poset)，
1,2,3,4をみたすものを全順序集合 (totally ordered set)という
つづく [] - [ここ壊れてます]
|
 |
