- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/06(土) 13:00:48.28 ID:QDHCaaiE.net]
- 【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・
- 62 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/09(火) 13:34:02.87 ID:C2bW8Eo+.net]
- >>51
外心O と 内心I の距離は
OI = √{R(R-2r)} = 3,
（Chapple-Euler の式）
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 14:11:46.42 ID:99Biy/EB.net]
- >6の答は51でいいの？
>48の数値解って>56でいいのか？
東大合格者向けの問題に解答できず
罵倒解のみ投稿するPhimoseが東大合格者だと思う人は
その旨とその根拠を投稿してください。
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 14:18:51.12 ID:99Biy/EB.net]
- >>61
検証
>56で内心の座標は(3,0)
>58での内心の座標は(-3,0)
OI=3は成立している。
- 65 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/09(火) 15:22:18.45 ID:C2bW8Eo+.net]
- ABCが二等辺三角形のとき
AB = 12√2 = 16.970562748 (=c)
BC = 12√2 = 16.970562748 (=a)
CA = 8√2 = 11.31370850 (=b)
h = 16,
p = 4√2,
q = 8√2,
S = 64√2 = 90.5096680
- 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 15:30:27.56 ID:Y8z6QzJr.net]
- 面積最小でも二等辺三角形
- 67 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/09(火) 16:40:41.68 ID:C2bW8Eo+.net]
- 面積最小のとき（>>58）は
AB = 6√5 = 13.416407865 (=c)
BC = 8√5 = 17.88543820 (=a)
CA = 6√5 = 13.416407865 (=b)
h = 10,
p = 2√5,
q = 4√5,
S = 40√5 = 89.4427191
面積最大のとき（>>56）は >>64
- 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 17:46:10.18 ID:CipIjxR/.net]
- 尿瓶ジジイまた懲りずにレス乞食w
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 18:08:52.93 ID:Fv1gSIBK.net]
- >>66
厳密解ありがとうございました。
R言語の数値解とほぼ合致してすっきりしました。
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 18:58:12.24 ID:99Biy/EB.net]
- 演習問題 内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の3辺の和の最大値を求めよ。
- 71 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/09(火) 20:45:34.77 ID:C2bW8Eo+.net]
- r = 4,
S ≦ 64√2,
から
a+b+c = 2S/r ≦ 32√2,
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 21:22:21.48 ID:Y8z6QzJr.net]
- アホすぎて呆れる
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 21:29:17.52 ID:99Biy/EB.net]
- >>61
OI = √{R(R-2r)} = 3を体感
https://i.imgur.com/SFTZ1nc.png
原点が外心、＋が内心
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/09(火) 21:34:53.21 ID:99Biy/EB.net]
- 演習問題
内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の最大長の辺の長さの最大値を求めよ。
内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の内角の最大値を求めよ。
- 75 名前： mailto:sage [2024/04/10(水) 11:20:21.28 ID:r7KlIs1d.net]
- n=n-1を満たすnを「n-1数」と呼ぶ。
「n-1数」であるa,bに対してa+b=0となれることを証明しなさい（証明技能）
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 11:20:47.61 ID:pMIf56PT.net]
- 標準偏差の式は
平均との偏差の二乗の平均の平方根ですが
なぜその公式を採択したんでしょうか
平均との偏差の絶対値の平均のほうが直感的に意味合いが分かりやすいし
二乗して平方根をとる計算コスト
- 77 名前：ごないのでこちらのほうが採択されても良かった気がします
ばらつきの度合いを表すのに絶対値ではうまくなかった理由があるんでしょうか [] - [ここ壊れてます]
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 11:38:23.26 ID:gUJM5wxO.net]
- そりゃ標準正規分布に持ち込むときの分母だからやろ
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 13:55:37.85 ID:r7KlIs1d.net]
- n=n-1を満たすnを「n-1数」と呼ぶ。
「n-1数」であるa,bに対して、a-bの値は一通りに定まるか。
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 13:59:12.51 ID:IkSXJvM8.net]
- 実験して楽しむ問題
偏差値は平均５０、標準偏差１０の正規分布を前提としている。
平均５０、標準偏差sdの標準偏差の正規分布に従う変数を100万個作り、
(計測値-平均)の絶対値の平均を非標準偏差nsdとする。
sdを1から50まで変化させてsdとnsdの関係をグラフ化せよ。
Rが使えるなら下記のコードで体感できる。
他の分布でどうなるかやってみると面白そう。
sd2nsd=\(sd,m=50,k=1e6){
x=m+sd*scale(rnorm(k))
m=mean(x)
nsd=mean(abs(x-m))
nsd
}
sd=seq(1,50)
nsd=sapply(sd,sd2nsd)
cbind(sd,nsd)
plot(sd,nsd)
# 線形回帰
lm=lm(nsd~sd)
summary(lm)
abline(lm)
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 13:59:32.75 ID:3J50m0Av.net]
- 二乗した方が都合が良いから一番良く使われてるだけ。
ベクトルの絶対値で成分二乗する理由とかと同じ。
- 82 名前：イナ mailto:sage [2024/04/10(水) 15:57:04.70 ID:FwRU7N5f.net]
- >>48
三角形の底辺をt,高さをhとすると面積Sは、
S=th/2
ピタゴラスの定理より(h-9)^2+(t/2)^2=9^2
h^2-18h+t^2/4=0
t^2=72h-4h^2
直角三角形の相似より、
h-4：4=√｛h^2+(t/2)^2｝：t/2
t(h-4)/2=4√｛h^2+t^2/4｝
th-4t=8√｛h^2+t^2/4｝
th-4t=4√(4h^2+t^2)
t^2h^2-8ht^2+16t^2=16(4h^2+t^2)
t^2h^2-8ht^2-64h^2=0
t^2h-8t^2-64h=0
t^2=72h-4h^2を代入すると、
(72h-4h^2)h-8(72h-4h^2)^2-64h=0
72h-4h^2-576+32h-64=0
4h^2-104h+640=0
h^2-26h+160=0
(h-10)(h-16)=0
h=16
t=8√2
∴S=th/2=64√2=90.5096679919……
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 18:03:39.55 ID:ID5XJR/P.net]
- 絶対値＝二乗の正の平方根だからなんとなく納得。
平方和の最小値での最小二乗法の代わりに絶対値の総和最小値で
数値計算しても似たような値がでてくる。
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 19:31:06.26 ID:MkFUrfVY.net]
- 『心に愛が無ければ
スーパーヒーローじゃない』
の対偶は？
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 20:16:11.53 ID:1dF1+7/f.net]
- 聖パウロはヒーローではない
- 86 名前：イナ mailto:sage [2024/04/10(水) 22:27:27.34 ID:FwRU7N5f.net]
- 前>>80
スーパーヒーローなら
心に愛がある
- 87 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/10(水) 22:31:38.40 ID:ydnKBiJD.net]
- 外接円の半径が9で内接円の半径が4である三角形ABCがある。
角A=2α, 角B－角C=2θとするとき
cosθ を sinα の式で表せ。
これはどう考えればいいですか。
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/10(水) 22:39:43.51 ID:IdAGS3wT.net]
- r/R + 1
= cos(A) + cos(B) + cos(C)
= cos(A) + 2cos((B+C)/2)cos((B-C)/2)
= 1-2sin²(α) + 2sin(α)cos(θ)
- 89 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 00:09:57.07 ID:1Px+il29.net]
- おおおすごいかっこいい
ありがとうございます
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 01:13:58.54 ID:WXD0r9/7.net]
- 大先生「
R,r,S > 0 について次は同値
(1) (外接円の半径,内接円の半径,面積) = (R,r,S)
となる三角形が存在
(2) -r^3 (r + 4 R)^3 + 2 S^2 (-r^2 + 10 r R + 2 R^2) - S^4/r^2 ≧ 0
」
- 91 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 01:28:03.17 ID:pC/q9iVA.net]
- r = 2S/(a+b+c),
R = abc/(4S),
より
r/R + 1 = 8SS/{(a+b+c)abc} + 1
= (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)/(2abc) + 1 …… ヘロンの公式
= ……
= (bb+cc-aa)/(2bc) + (cc+aa-bb)/(2ca) + (aa+bb-cc)/(2ab)
= cos(A) + cos(B) + cos(C), …… 第二余弦定理
(参考書）
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
§2.5 補題2.5.1 p.91
演習問題2.56 p.94
- 92 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2024/04/11(木) 06:09:55.83 ID:f6sF8BmQ.net]
- 前>>84
>>85
底角2α(∠A=∠B)の直角二等辺三角形(高さh)を描いてみた。
内接円の中心と頂点Aの距離は4/sinα
直角三角形の相似より4cosα/sinα：4=BC：h-4
ピタゴラスの定理より(4cosα/sinα)^2+h^2=BC^2
sin(α-θ)=sinαcosθ-cosαsinθ
=4(1-2sin^2α)/｛8-8sin^2α-4(1-2sin^2α)｝
=4(1-2sin^2α)/4
=1-2sin^2α
ちょっとここまでしかわからない。
直角二等辺三角形の頂角をAにするとθ=0になって意味わからない。
sin(α-θ)=cosθだとしたら、
cosθ=2cos^2α-1=1-2sin^2α
かもしれない。勘で。
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 06:46:44.78 ID:wuL27qV5.net]
- １０００個Rに描画してみる。
https://i.imgur.com/qUdVuxs.png
- 94 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 11:23:24.96 ID:aNUh4/Pv.net]
- 「X＝x＋ 1/x
を満たすxが実数となるような実数Xの値の範囲を求めよ」
という問題で質問です
この問題、両辺にxを掛けて分母払ってxの二次方程式に変えて、xの二次方程式の解の判別式で
X≦-2、２≦Xが答えですが
分母に未知数xがあるので、x=0のケースも考えてx=０だけ別扱いで場合分けしなくてもいいの？
と思ってしまいました
しなくて良いのは何故なのでしょうか？
- 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 11:26:58.20 ID:AC7D69W9.net]
- 関連問題
外接円の半径が9で内接円の半径が4である三角形ABCがある。
内角の最大値は何度か？有効数字３桁でよい。
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 11:35:29.76 ID:6QTdjmYD.net]
- >>92
x＋ 1/xを満たす という文言で x≠0が暗黙の了解になっているから。
- 97 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 11:47:43.28 ID:1Px+il29.net]
- 四角形ABCDで
対角線ACが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線BDが角Aと角Cをどちらも二等分しているとき、
この四角系はひし形といえますか。
- 98 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 12:34:37.67 ID:aNUh4/Pv.net]
- >>94
ありがとうございます
暗黙の了解なのですね。今まで見た参考書にはそういうことが載っていなかったので分かりませんでしたが、しっかり頭に入れておきます
あと、「x＋ 1/xを満たす という文言」は「X＝」は含まなくてOKですか？
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 13:25:15.34 ID:wuL27qV5.net]
- >>96
xが実数のとき x＋ 1/x とりうる範囲を求めよ、という文章の方が誤解を招かないと思う。
- 100 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 13:50:52.65 ID:aNUh4/Pv.net]
- >>97
ありがとうございます
「誤解を招かない」というのは、元の問題分のことでしょうか？私が書いたレスのことでしょうか？
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 14:08:57.30 ID:wuL27qV5.net]
- >>98
問題文の話
- 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 14:09:53.59 ID:wuL27qV5.net]
- >>95
ACとBDは逆では？
- 103 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 14:21:08.73 ID:1Px+il29.net]
- 仰せの通りACとBDが逆でしたすみません。
四角形ABCDで
対角線BDが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線ACが角Aと角Cをどちらも二等分しているとき、
この四角系はひし形といえますか。
でした。
- 104 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 15:12:44.26 ID:aNUh4/Pv.net]
- >>99
ありがとうございます
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 16:09:13.35 ID:wYt1kYFf.net]
- >>101
R言語のネタにしてプログラムの練習。
AB=1、∠Aが鋭角�
- 106 名前：ﾈ凸四角形として等角条件に合致するように
立式して最小二乗法で数値解を出して作図。
https://i.imgur.com/qAJgpQ9.png
成立しそうなことが体感できた。 [] - [ここ壊れてます]
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 16:35:39.38 ID:BqEXCLLV.net]
- ∫[0,π/2] sinx/(1+√sin2x) dx
を求めよ。
- 108 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/11(木) 17:07:26.49 ID:pC/q9iVA.net]
- >>101
対角線BDが∠B、∠Dを二等分している。
二角挟辺相等により △BAD ≡ △BCD,
AB=BC → ∠BAC=∠BCA，
AD=DC → ∠DAC=∠DCA,
辺々たして ∠A = ∠C,
対角線ACが∠A、∠Cを二等分している。
二角挟辺相等により △ABC ≡ △ADC,
BA=AD → ∠ABD=∠ADB,
BC=CD → ∠CBD=∠CDB,
辺々たして ∠B = ∠D,
∴ 対辺が平行である。(平行4辺形)
また 4辺が等しいから、菱形。
- 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 17:46:43.38 ID:/O2TM3Ga.net]
- >>103
対角線AC＝１にして作図する方が立式が楽なことに気付いたので
再度作成。
∠DACを０～９０°で乱数発生させて、角度の条件を満たすように作図。
https://i.imgur.com/12dBBhp.png
B,Dのｘ座標=0.5をプログラムが返してくる。
- 110 名前：105 [2024/04/11(木) 20:05:51.97 ID:pC/q9iVA.net]
- >>101
△BAD ≡ △BCD → ∠A = ∠C,
△ABC ≡ △ADC → ∠B = ∠D,
は明らかだけど、辺長の式も必要なので…
- 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 20:45:17.98 ID:BqEXCLLV.net]
- x,y,zは、
0<x≦y≦z
x+y+z=π
を満たす。このとき、
(sinx/siny)+(siny/sinz)+(sinz/sinx)
の最小値が存在するならば、それを求めよ。
- 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 20:48:03.93 ID:pxF2DG7s.net]
- AM ≧ GM
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 21:00:15.83 ID:/O2TM3Ga.net]
- >>106
乱数発生させる必要性はないので０°から９０°まで変化させて作図。
https://i.imgur.com/6jXtzvO.gif
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 21:38:53.36 ID:/O2TM3Ga.net]
- >>108
最小値なし
(sinx/siny)+(siny/sinz)+(sinz/sinx) > 3
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 21:41:41.73 ID:pxF2DG7s.net]
- ホントに頭悪いんだな
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 22:49:18.99 ID:NAF46hQ9.net]
- > f=Vectorize(\(x,y){
+ z=pi-x-y
+ if(x<=y & y<=(pi-x-y)){
+ w=sin(x)/sin(y)+sin(y)/sin(x+y)+sin(x+y)/sin(x)
+ return(w)
+ }else{
+ return(1e16)
+ }
+ })
>
> opt=optim(runif(2,0,pi),\(x) f(x[1],x[2]),)
> while(opt$value>f(1,1)){
+ opt=optim(runif(2,0,pi),\(x) f(x[1],x[2]))
+ }
> opt
$par
[1] 1.046743 1.047364
$value
[1] 3
- 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 22:49:54.75 ID:NAF46hQ9.net]
- 東大を目指す高校生は罵倒しかレスしないクズ人間になっちゃだめだぞ
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 22:53:31.87 ID:/O2TM3Ga.net]
- >>111
x=y=z=pi/3
のとき最小値3
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 22:56:14.20 ID:2e3xyuht.net]
- >>114
それってアンタのこと？
- 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 23:04:26.01 ID:xK64JHhj.net]
- ∫[0,π/2] sinx/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/2] cosx/(1+√sin(2x)) dx
= (1/2)∫[0,π/2] (sinx+cosx)/(1+√sin(2x)) dx
= (1/2)∫[0,π/2] (√2)sin(x+π/4)/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/4] (√2)cosx/(1+√cos(2x)) dx
= ∫[0,π/4] √(1+cos(2x))/(1+√cos(2x)) dx
置換 cos(2x)=(cost)^2, sin(2x)dx=cost sint dt
= ∫[0,π/2] √(1+(cost)^2)/(1+cost) cost sint dt/√(1-(cost)^4)
= ∫[0,π/2] cost/(1+cost) dt
= ∫[0,π/2] (1 - 1/(1+cost)) dt
= ∫[0,π/2] (1 - (1/2)/cos(t/2)^2) dt
= t - tan(t/2)|_(t=0,π/2)
= (π/2) - 1
- 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 23:10:03.54 ID:/O2TM3Ga.net]
- >>104
π/2 - 1
数値積分して検証
> integrate(\(x) sin(x)/(1+sqrt(sin(2*x))),0,pi/2,rel.tol = 1e-12)
0.5707963 with absolute error < 6.8e-13
> pi/2 - 1
[1] 0.5707963
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/11(木) 23:29:13.12 ID:5/nt4Nos.net]
- 一目AM≧GMが見えない時点でポンコツ確定だけど普通にグラフ描かせても内点で最小値とるの見える
計算機がなんにも使えてない
- 123 名前：イナ mailto:sage [2024/04/12(金) 04:01:10.90 ID:GsVVSMTi.net]
- 前>>90
>>93
最大の角を2φとする二等辺三角形の底角を2θとすると、
底辺の1/2はピタゴラスの定理より√(9^2-4^2)=√65=8.0……
sinθ=4/9だからcos^2θ=1-16/81=65/81=(1+cos2θ)/2
cos2θ=2cos^2θ-1=130/81-1=49/81
とくになし。
余弦定理よりcos2φ=[2｛(81√65)/49｝^2-(2√65)^2]/[2｛(81√65)/49｝^2]
=(2・81^2・65-4・65・49^2)/(2・81^2・65)
=(81^2-2・49^2)/81^2
=(6561-2・2401)/6561
=1759/6561
=0.26809937509……
cos74.45°=0.26807920042……
cos74.44°=0.26824734081……
74.44°＜2φ＜74.45°
∴△ABCの内角の最大値の有効数字3桁は74.4°
- 124 名前：イナ mailto:sage [2024/04/12(金) 04:03:18.86 ID:GsVVSMTi.net]
- 前>>120
>>73
2√65
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 06:21:33.16 ID:tOkrCPMl.net]
- 応用問題 (二等分の条件を緩和)
四角形ABCDで 対角線BDが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線ACが角Aを二等分しているとき、 この四角形は菱形といえますか。
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 06:32:39.34 ID:drdB+PmN.net]
- >>120
レスありがとうございます。
プログラムで算出した想定解は
> B2maxA(opt$maximum,TRUE)*180/pi
[1] 83.62063
で83.6°
作図すると
https://i.imgur.com/1HkumXt.png
- 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 07:29:39.28 ID:EJkwA63Z.net]
- 頭悪いなぁ
- 128 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 09:15:45.16 ID:+aIJZesR.net]
- 今気づいたんだが、132番目の素数＝743でナナシサンって読ませるのね。
上手いなぁ。
- 129 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 09:37:36.61 ID:+aIJZesR.net]
- >>122
ACとBDの交点をPとして、
ΔABP ≡ ΔCBP ≡ ΔCDP ≡ ΔADP
になるのがわかる。
(なぜなら、角ABP＝角CBP、、、で、
角APB＝角CPD、角BPC＝角DPA、
三角形の内角の和＝180° ( π )
なのを使うと、角ABP＋角BAP ＝ 角CDP＋角DCP、角ADP＋角DAP ＝ 角CBP＋角BCP がわかる。
だから、これを使って合同になることも分かる。)
簡単だけど、念のためやってみると案外頭の体操になるね。
- 130 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 09:47:09.81 ID:+aIJZesR.net]
- 高校生の諸君へ。
フェルマーの小定理、つまり以下を示せるかやってみて欲しい。
素数 p に対し、自然数 n をpで割り切れないとする。
この時、n^(p-1) ≡ 1 (mod p) となる。
赤チャートなんかには、問題としてしれっと載っていたと思う。
自分が高一の時だったかな、初見では出来なかったけど…。
- 131 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 11:17:22.54 ID:W3OozUMf.net]
- >>73
面積最小のとき >>58 >>66
BC ≦ 8√5 = 17.88854382
∠A ≦ arccos(1/9) = 2arcsin(2/3) = 83.62062979°
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 13:08:53.80 ID:AAEWs28S.net]
- >>122
R言語で検証
https://i.imgur.com/7T8fpXN.png
対角線ACの長さを１としてAを原点とする。
直線DAの傾きをpとする。
Dのx座標をxdとすると
DCを結んで∠ADCの二等分線と直線y = -pxの交点をBとする。
∠ABD-∠CBD=0となるようにxdを決定する。
するとpの値によらずxd=0.5となる。
これをプログラムで確認。
calc=\(deg,verbose=FALSE){
theta=deg*pi/180
A=0i
C=1+0i
p=tan(theta)
f=\(xd){
D=xd+1i*p*xd
IC=incircle(A,C,D)
I=IC[1]
B=intsect(D,I,A,1-p*1i)
angle(D,B,A)-angle(D,B,C)
}
f=Vectorize(f)
xd=uniroot
- 133 名前：(f,c(1e-12,1),tol=1e-16)$root
if(verbose){
D=xd+1i*p*xd
IC=incircle(A,C,D)
I=IC[1]
B=intsect(D,I,A,1-p*1i)
print(c(AB=abs(A-B),BC=abs(B-C),CD=abs(C-D),DA=abs(D-A)))
}
xd
}
calc=Vectorize(calc)
∠DACを1°から89°までで実行
calc(1:89)
> calc(1:89)
[1] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
[24] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
[47] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
[70] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 [] - [ここ壊れてます]
- 134 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 13:27:11.31 ID:W3OozUMf.net]
- >>127
1≦k≦p-1 かつ (k,p)=1 である k が φ(p) 個あったとする。
このとき φ(p)個の k･n はいずれも pと互いに素で、また
どの2つも (pを法として) 合同ではない。
k (pと互いに素) に対して、k'･n≡k となる k' (pと互いに素) が1個ずつある。
それらをすべて掛けると
n^φ(n) Π k' ≡ Πk (mod p)
n^φ(n) ≡ 1 (mod p)
https://mathlandscape,com/fermat-little/
- 135 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 13:30:14.96 ID:W3OozUMf.net]
- 訂正
n^φ(p) Π k' ≡ Πk (mod p)
n^φ(p) ≡ 1 (mod p)
φ( ) は オイラの totient函数
- 136 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 14:09:09.69 ID:W3OozUMf.net]
- ↑
pが素数であることは使いませんでした。
本質的なことではないので…
- 137 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 15:07:12.90 ID:u6is2KPU.net]
- https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13764454.html 永遠の中２帰国子（女）
- 138 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 16:17:05.05 ID:W3OozUMf.net]
- ↑
整数問題
(1) 3^n = k^3 + 1 を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ。
(2) 3^n = k^2－40 を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ。
千葉大学医学部の過去問らしい。
https://imgur,com/a/Z1D69MG
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 17:27:39.67 ID:EkJkC1be.net]
- >>114
ただの自己紹介で草
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 17:28:43.70 ID:sZbW4DJq.net]
- >>127
二項定理の拡張
(x1+x2+..+xn)^p = Σ[k1+k2+...+kn=p] (p!/(k1!k2!...kn!)) x1^k1 x2^k2 ...xn^kn
においてpを素数、x1=x2=...=xn=1とすると、p!/(k1!k2!...kn!)はki=pのときを除きpで割り切れるから
n^p ≡ 1^p+1^p+...+1^p ≡ n (mod p)
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 18:59:50.07 ID:drdB+PmN.net]
- >>134
(1) (2 2)
(2) (2 7) (4 11)
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 19:15:18.14 ID:tOkrCPMl.net]
- >101の条件は過剰だったようだな。
対角線で３つの内角が二等分されていれば十分だった。
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/12(金) 19:29:37.17 ID:i4jnL7Jd.net]
- △ABCのABの中点をL、BCの中点をM、CAの中点をNとする。
△ABCの周および内部を動く点Pがあり、T=(PL+PM+PN)/(PA+PB+PC)とする。
Tの取りうる値の範囲を求めよ。
- 144 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/12(金) 21:22:50.96 ID:W3OozUMf.net]
- >>133,134
(1)
3^n = k^3 + 1
= (k+1)(kk－k+1)
= (k+1){(k+1)^2－3(k+1) + 3},
∴ k+1 = 3^{p+1}, (p≧0)
(右辺) = 3^{p+1} (3^{p+2}(3^p－1) + 3) … (A)
(A) が3の累乗で表わせるためには
3^p－1 = 0,
p = 0,
k = 2,
n = 2.
(2)
(-1)^n ≡ 3^n = kk－40 ≠ -1 (mod 4)
∴ n = 2m, (偶数)
∴ －40 = 3^n－kk = (3^m +k)(3^m -k),
3^m ≦ 40－k < 40 より
m = 1, 2, 3,
n = 2. 4. 6,
k = 7, 11, なし.
- 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 06:48:04.33 ID:QTt1vO79.net]
- >>135
罵倒 ＞ 助言 （Phimose草の不等式)
東大入試にでるかもしれんｗ
- 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 07:23:38.36 ID:OrZY0B6w.net]
- 朝飯前の練習問題
n,k,mを100以下の正整数とする
3^n=k^2-mが複数の解を持つようなmの値を述べよ。
- 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 07:31:31.98 ID:OrZY0B6w.net]
- 応用問題
n,k,mを100以下の正整数とする
3^n=k^3+mが複数の解を持つようなmの値を述べよ
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 07:48:40.14 ID:OrZY0B6w.net]
- >>141
東大入試予想問題ｗ
以下を和訳せよ。
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 08:46:13.09 ID:npT+CEhB.net]
- >>141
phimoseも罵倒もアンタの自己紹介なんでしょ？
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 09:05:27.04 ID:OrZY0B6w.net]
- >>145
草 ＝ foreskinいじりでくさくなった Phimoseくんの常套句。
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 09:57:34.75 ID:A7e6sXLw.net]
- 相変わらず日本語通じてないね尿瓶ジジイ
アンタみたいなチンパン笑わずにはいられないからw
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 10:09:08.51 ID:QNaR07Rc.net]
- ◆当選確率1/10000000 の宝くじ
10枚を1日で購入するのと
1枚づつ10日に分けて購入するのとで
当選確率に差はありますか？
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 11:53:24.26 ID:THFrSUq1.net]
- >>139
三角形の形に依存するのでは？
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 12:08:59.07 ID:THFrSUq1.net]
- WolframのIntegerDigits関数をRに実装。
10進数 n をb進法表示の数列に変換する
IntegerDigits=\(n,b) n%/%b^(floor(log(n)/log(b)):0) %% b
IntegerDigits(2024,10)
IntegerDigits(2024,2)
IntegerDigits(2025,8)
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/13(土) 20:09:15.94 ID:K9Qs0Ux5.net]
- >>150
関連問題
n!を2進法で表したときの桁数をm[n]とする。
例
5! = 120 = 1 1 1 1 0 0 0(2進法)なので7桁。
即ち m[5]=7
数列 m[1],m[2],...,m[2023],m[2024]
で先頭の数字として最も多く現れる数字は1～9のいずれかを述べよ。
現れる頻度順に1～9の数字を並べよ。
あらゆるリソースを用いてよい。
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 01:43:39.13 ID:qwERWQ
]
- [ここ壊れてます]
- 157 名前：Hx.net mailto: >>151
スレチかもしれないけど最小限の環境(小型マイコン)で計算してみた
言語はC
$ cat fact.c
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main() {
long N,n,i[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
double lfac=0,mn;
scanf("%ld",&N);
for(n=1;n<=N;n++){
lfac+=log(n);
for(mn=floor(lfac/log(2)+1+1e-12);mn>=10;mn/=10);
i[(int)mn]++;
}
for(n=1;n<=9;n++)printf("%ld %ld\n",i[n],n);
return 0;
}
$ gcc -O2 -Wall fact.c -lm -o fact
$ echo 2024 | ./fact | sort -g
115 9
117 8
119 7
120 6
124 5
128 4
131 3
140 2
1030 1
さらに1から1000000までの結果
$ echo 1000000 | ./fact | sort -g
59655 9
60133 8
60685 7
61325 6
62090 5
63037 4
64260 3
65987 2
502828 1 [] - [ここ壊れてます]
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 03:54:29.80 ID:T4z17oY+.net]
- >>152
>>152
力作のレスありがとうございます。
Wolfram言語での結果
m=Table[Length[IntegerDigits[n!,2]],{n,2024}]
b=Table[First[IntegerDigits[a]],{a,m}]
Table[Count[b,c],{c,1,9}]
In[3]:= Table[Count[b,c],{c,1,9}]
Out[3]= {1030, 140, 131, 128, 124, 120, 119, 117, 115}
と合致しました。
Benfordの法則が成り立っています。
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 04:14:14.25 ID:T4z17oY+.net]
- 順位はみてのとおり
In[9]:= d=Table[Count[b,c],{c,1,9}]
Out[9]= {1030, 140, 131, 128, 124, 120, 119, 117, 115}
In[10]:= d
Out[10]= {1030, 140, 131, 128, 124, 120, 119, 117, 115}
In[11]:= Ordering[d]
Out[11]= {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 05:15:47.10 ID:T4z17oY+.net]
- 飲酒や喫煙は高校生には禁じられているが、プログラムは禁じられていない。
LGBTが叫ばれる昨今では不純異性交際は微妙ｗ
朝飯前の問題
素数を小さい順に100万個集める。
先頭の数字として現れる数字を頻度の多い順に並べなさい。
あらゆるリソースを用いてよい。
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 05:37:39.50 ID:T4z17oY+.net]
- Rでの算出
> tbl
1 2 3 4 5 6 7 8 9
415441 77025 75290 74114 72951 72257 71564 71038 70320
> order(tbl,decreasing = TRUE)
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Wolframscriptでの算出
In[30]:= a=Table[Count[Table[First[IntegerDigits[n]], {n, Prime[Range[10^6]]}],m],{m,9}]
Out[30]= {415441, 77025, 75290, 74114, 72951, 72257, 71564, 71038, 70320}
In[31]:= Reverse[Table[Range[9][[i]],{i,Ordering[a]}]]
Out[31]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Benfordの法則が成立している。
東大合格者による他言語での検証を希望します。
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/04/14(日) 06:26:34.13 ID:KAPnCPO9.net]
- >>151-153
明らかにスレチだし明らかに自演だよね
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