純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

1 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/19(月) 23:31:09.57 ID:KRlSoN+A.net] クレレ誌： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。 (引用終り) そこで 現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして 新スレを立てる（＾＾； ＜前スレ＞ 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/ ＜関連姉妹スレ＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1 箱入り無数目を語る部屋 Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659142644/1 IUTを読むための用語集資料スレ2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/1 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/1 ＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/1 ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/1 つづく 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/11(水) 20:01:47.69 ID:rXBeetzH.net] >>661-663 糞虫1が悔しさのあまり無理矢理なイチャモンｗｗｗ 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/11(水) 20:26:43.48 ID:rXBeetzH.net] >>660 ＞大きく打てば大きく響き、 ＞小さく打てば小さく響く 　糞虫1の転がす糞玉はどう打ってもベチャッと潰れるだけｗｗｗ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/11(水) 20:29:14.90 ID:rXBeetzH.net] 糞虫について 糞を食う種でも、糞以外の餌に集まる場合もある。 センチコガネは糞を食うが、キノコの腐ったものなどにも集まる。 コブスジコガネ類は糞に集まることもあるが、 真の餌は動物の毛や骨などで、むしろ死体に集まることが多い。 マグソコガネ類は糞に集まる種も多いが、 種によっては朽ち木や植物質を食うものも知られる。 なお、何を食うか判っていない種もある。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/11(水) 20:32:13.39 ID:rXBeetzH.net] ちなみに糞虫は実に美しいものがある・・・ ならまち糞虫館 https://www.hunchukan.jp/japan/ なんか行ってみたいｗ 757 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/11(水) 23:18:20.81 ID:AmYdnay+.net] >>636 >>>634 >君は1を自分より下だと見てない？ ID:ZGG332O2さん、ありがとう！ 必死チェッカーもどき 下記ね なるほど 見る人がみれば、>>634 ID:M0jZf/Bt氏の数学力がショボいと分かるんだろうねｗ 勿論、私も同じだけど、サイコパスのおサル>>5も、同様だってことだなｗ 見る人がみれば、分かるんだねｗ (参考) hissi.org/read.php/math/20230110/WkdHMzMyTzI.html 必死チェッカーもどき トップページ > 数学 > 2023年01月10日 > ZGG332O2 2 位/91 ID中 Total 12 使用した名前一覧 １３２人目の素数さん 書き込んだスレッド一覧 ユークリッド幾何学は中学・高校数学から撤廃すべき 雑誌　「現代数学」 複素解析2 Inter-universal geometry とABC 予想53 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 岡潔と連接性 0.999…と0.888…はどこが違うのか 国際ジャーナルに論文を出版しよう！４本目 現代数学って結局役に立たないじゃん 数学徒はもっとスポーツを見た方がいい 残念だった天才・秀才達を思い出そう 数学の本 第96巻 758 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/12(木) 00:01:38.17 ID:x7NPo+If.net] >>465 より再録 www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf 1 の n 乗根の巾根表示 -n = 11, 13, 7- 2014.12.27 M.Kamei P9 § 10 C に埋め込んでの数値計算 ξ = exp^2πi/55= cos2π/55+ isin2π/55とおく． ζ = ξ^5, η = ξ^11 である． (引用終り) 1）”1の11乗根のべき根表示には、クンマー理論から1の5乗根が必要で 　そのために、1の55乗根（55＝5・11）に埋め込んで 　計算している 　これは、数学ではよく使われる手で、高次元に埋め込む手法”>>465 　までは書いた 2）さらに考えると、>>642 >>649 より 　x^5 - β^5 = 0 の解であり、β^5 ∈ F（β はその元の 5 乗根として巾根表示される） 　これは、クロネッカー・ウェーバーの定理（下記）の実例と見ることもできるね 3）つまり、クロネッカー・ウェーバーの定理は、円分体の表現能力が結構高い！ってことで 　β^5 ∈ F（＝Q(ζ5)）になるし 　β∈Q(ζ55) 　とも できるってことなんだ 1 の 11 乗根の巾根表示 は、クロネッカー・ウェーバーの定理の良い実例だね！ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 アーベル拡大体の埋め込み 詳細は「クロネッカー・ウェーバーの定理」を参照 クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem) K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m＞＝ 3 が存在して、 K⊂ Q(ζm) 。 例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。 クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 06:15:03.35 ID:Cb9y8kOW.net] >>672　ラグランジュ分解式も理解できん糞虫がなんかいっとるｗ 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 06:25:44.94 ID:Cb9y8kOW.net] >>673 >1の11乗根のべき根表示には、クンマー理論から1の5乗根が必要で 　なぜだか説明できるか？　糞虫ｗ >そのために、1の55乗根（55＝5・11）に埋め込んで計算している 　でも問題の解決には全く意味なかった　それが分かるか？　糞虫ｗｗ >これは、数学ではよく使われる手で、高次元に埋め込む手法” 　したがって上記は馬鹿素人の完全な妄想　分かるか　糞虫ｗｗｗ >さらに考えると、 　下手な妄想　休むに似たり　分かるか？　糞虫ｗｗｗｗ　 >x^5 - β^5 = 0 の解であり、 >β^5 ∈ F（β はその元の 5 乗根として巾根表示される） >これは、クロネッカー・ウェーバーの定理の実例と見ることもできるね >つまり、クロネッカー・ウェーバーの定理は、円分体の表現能力が結構高い！ >ってことで >β^5 ∈ F（＝Q(ζ5)）になるし >β∈Q(ζ55) >とも できるってことなんだ 　ギャハハハハハハ!!!　馬鹿丸出しだな　糞虫ｗｗｗｗｗ 　β^5 ∈ Q(ζ5)　から　β∈Q(ζ55)　など言えんよｗ 　だからζ55など持ち出しても何の問題解決にもならん 　それが分からず　相変わらず初歩的間違いを犯して 　クロネッカー・ウェーバーがーとほざく 　さすが大学1年の線型代数の基本である正則行列も理解できん馬鹿だな 　糞虫は　ｗｗｗｗｗｗ >1 の 11 乗根の巾根表示 は、クロネッカー・ウェーバーの定理の良い実例だね！ 　馬鹿・阿呆・戯け・ダラズ・ホンジナシ・タクランケ・ぽってかす 　物理板にでも逝きやがれ　この糞虫がｗｗｗｗｗｗｗ 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 06:31:47.78 ID:Cb9y8kOW.net] そういえば、糞虫は以前 「Gの正規部分群Hがアーベル群で、 　剰余群G/Hもアーベル群なら 　GはHとG/Hの直積だからアーベル群！」 とか馬鹿なことほざいてたなｗｗｗ F20の正規部分群C5は巡回群だからアーベル群 F20/C5であるC4も巡回群だからアーベル群 しかしF20はアーベル群ではない つまりF20はC5とC4の直積ではなーい！ｗ　半直積だ 直積と半直積の違いが分かるか？　わからんだろうな だから C5とC11の「直積」C55が正解 とか馬鹿ぬかすわけだ　糞虫はｗｗｗｗｗｗｗ 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 07:23:42.43 ID:Cb9y8kOW.net] ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem) K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m＞＝ 3 が存在して、 K⊂ Q(ζm) 。 例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、 クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。 クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、 基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、 クロネッカーの青春の夢である。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 糞虫1の恍惚の夢 「基礎体が円分体なら、そのアーベル拡大体は円分体の部分体となる！　 　根拠？俺の直感だ！！！」 もちろんウソ　 反例？　素数pの場合の、x^p-2=0のクンマー拡大ｗ 糞虫１の主張だと、Q(ζp(p-1))の部分体になるらしいが…んなこたぁないｗ 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 07:29:38.27 ID:Cb9y8kOW.net] 糞虫の（嘘）定理 「いかなる可解群もアーベル群である」 （嘘）証明 いかなる可解群も、定義より正規部分群を反復して取り続けることにより 自身と単位群以外正規部分群を持たないアーベル群にいきつく また、定義より剰余群もアーベル群である Ｇの正規部分群がアーベル群で剰余群がアーベル群ならばＧもアーベル群である� 764 名前：I したがって、可解群はアーベル群にしかなり得ない！ は~い、上記の（嘘）証明のどこが嘘でしょうか？あててごらんｗ [] [ここ壊れてます] 765 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/12(木) 10:48:40.97 ID:x9Rqr1y2.net] >>678 　>>672 >君は1を自分より下だと見てない？ なるほど 見る人がみれば、>>634 ID:M0jZf/Bt氏の数学力がショボいと分かるんだろうねｗ 勿論、私も同じだけど、サイコパスのおサル>>5も、同様だってことだなｗ 見る人がみれば、分かるんだねｗ 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 11:14:00.75 ID:BPvFtgzq.net] >>679 >>673を見れば、数学力がないのは1だとわかるw 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 12:13:12.54 ID:phap4r4P.net] >>502 流石は安定の『世間知らずの高枕』バカ。そういうの同意って言わないから。「部分的同意」でさえねぇ｡ お前の言葉選び、やっぱり自己流なのな。小泉進次郎型バカ（何がセクシーだバカ坊が、スマートだろ）のバカ特性も持ち合わせてる事になるな｡ （↑病院勤務で医師免許は持っていないレントゲン技師を医師と公言してるレベルのバカ) お前みたいな多様性の意味を拡大解釈過剰するバカや、言葉を世界唯一無二自己流で使い回すバカは、仕事を無くす｡ 過去の収入有りますアピールに支障を来す言葉遣いや解釈披露をよくもまぁそんな連発できたもんだな｡ 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 12:33:47.52 ID:phap4r4P.net] >>502 流石は安定の『世間知らずの高枕』バカ。そういうの同意って言わないから。「部分的同意」でさえねぇ｡ お前の言葉選び、やっぱり自己流なのな。小泉進次郎型バカ（何がセクシーだバカ坊が、スマートだろ）のバカ特性も持ち合わせてる事になるな｡ （↑病院勤務で医師免許は持っていないレントゲン技師を医師と公言してるレベルのバカ) お前みたいな多様性の意味を拡大解釈過剰するバカや、言葉を世界唯一無二自己流で使い回すバカは、仕事を無くす｡ 過去の収入有りますアピールに支障を来す言葉遣いや解釈披露をよくもまぁそんな連発できたもんだな｡ 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 12:40:47.41 ID:phap4r4P.net] 全きメクラ資料選びは全き無駄 チョウセンメクラゴミムシなる学名が実在するが このスレの焦れったい>>1投稿者の集合A爺SetAの学名は クラベラレタチョウセンニモウンコショクブンカジンニモシツレイナメクラコピペバラマキゴミイカクソクイドクムシ とすべきだな 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 12:49:40.23 ID:k79e4fJG.net] >>683 1はセンチコガネでしょ 見た目はキレイ　でもエサは💩w 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 13:31:47.77 ID:Q4GcTARz.net] >>683 > クソイカ クソイカに失礼、クソミマンにも失礼 クソノアシモトニモオヨバヌとすべき × クソ≧SetA △ クソ＞SetA ○ クソ≫SetA ◎ 糞毒≫SetA SetAは輪廻転生させるな、不老不死にして高レベル放射性燃料廃棄物と一緒に固めて沈めろ、永久に 772 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/12(木) 17:15:17.20 ID:eujZ92Wl.net] 演習問題 　ｍを正の整数とするとき、位数が2＾ｍである群は可解群であるか？（配点5点）。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 19:19:22.46 ID:Cb9y8kOW.net] Wikipediaより p-群（ピーぐん、英: p-group）とは、 任意の元の位数が p の冪になっているようなねじれ群をいう。 すなわち p-群において、各元 g は非負整数 n を適当に選べば g の p^n-乗が単位元に一致する。 有限群の場合には、それが p-群であることと、 その群の位数 (つまり元の個数) が p の冪であることとは 同値になる（コーシーの定理 (群論)より）。 「ほとんどすべての有限群が 2-群である」という都市伝説的な予想がある。 その意味は、位数が高々 n の群の同型類の中に占める 2-群の同型類の個数の割合は n を無限大に飛ばす極限で 1 になるということである。 たとえば位数高々 2000 の群は 49 910 529 484 種類存在するが、 そのうちの実に 99% 以上が位数 1024 の 2-群で占められている。 Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2002), “A millennium project: constructing small groups”, International Journal of Algebra and Computation 12 (5): 623–644, 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 20:33:03.04 ID:rZBdR0ez.net] >p-群の中心は自明でないこと >類等式からすぐに分かる事実のひとつが、非自明な有限 p -群の中心は自明でないことである を引用しないと。 群Gの中心=Gの任意の元と可換な元の全体のなす部分群 したがって、当然正規部分群。 よって剰余群が作れて、単位群でないならこれもまたp群。 これを繰り返せば、Gの中心=G自体　つまり可換群で終わる。 つまり可解群。 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 20:41:26.26 ID:rZBdR0ez.net] Gの位数p^nとして、n≦NならGは可解群が成立するとして 数学的帰納法を使った方が明解かな。 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/12(木) 20:46:05.80 ID:rZBdR0ez.net] バーンサイドの定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 によると、有限群Gの位数の素因数の個数が2個でも可解群。 これによれば、S_5まで非可解群が現れなかったのは必然だったわけですね。 素因数3個が生じる最小だから。 777 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/12(木) 23:47:49.17 ID:x7NPo+If.net] >>685 フーリエ変換やDFTで 代数方程式のべき根表示が得られる話は どうなりましたか？ ガハハｗｗｗ 778 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/12(木) 23:48:44.70 ID:x7NPo+If.net] >>673 追加 　>>465 より再録 www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf 1 の n 乗根の巾根表示 -n = 11, 13, 7- 2014.12.27 M.Kamei (引用終り) １）まず、記号を準備しよう（ほぼKamei氏の通り） 　1 の 11 乗根 ζ11、1 の 5 乗根 ζ5、1 の 55 乗根 ζ55 　ζ11＝e^2πi/11 ＝cos 2π/11 + i sin 2π/11 など 　2cos 2π/11＝ζ11 + 1/ζ11 　α＝α1=cos 2π/11,α2=cos 2π2/11,α3=cos 2π3/11,α4=cos 2π4/11,α5=cos 2π5/11 で、これは(ζ11)^k k=1,2・・,5の実数部分 ２）また、Kamei氏のβをβkameとする。βkame^5∈Q(ζ5) である 　βkame∈Q(ζ55)である ３）体の拡大 　Q(α)=Q(α1,α2,α3,α4,α5) ⊂R（つまり実数内）｜Q(α)=Q(α1,α2,α3,α4,α5) は、方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0の最小分解体>>436 　Q(α)⊂Q(α,βkame^5)⊂Q(α,ζ5)⊂Q(βkame,ζ5)⊂Q(ζ55) （Q(βkame,ζ5)≠Q(ζ55)かな） ４）さて、sin 2π/11 のべき根表示はどうなるか？ 　sin 2π/11＝√(1-(cos 2π/11)^2) 、つまり平方根を開く必要がある 　なので、βkame∈Q(ζ55) を思い出すと 　sin 2π/11のべき根表示に使うβkame相当のものをγkameとして 　γkame∈ Q(ζ110) | 110＝2x55 　だろう 　そもそも、1 の 11 乗根のガロア群は位数10の巡回群だった 　cos 2π/11の系統のみを取り出して、位数5の巡回群として、Q(ζ55)でべき根表示を得た 　だから、sin 2π/11のべき根表示は、γkame∈ Q(ζ110)で、辻褄はあっているだろう (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 779 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/12(木) 23:50:44.93 ID:x7NPo+If.net] >>690 ありがとうございます/ それ、面白そうだね 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 00:13:55.09 ID:WX8tL/5u.net] >>692 Q(ζ55)⊂Q(ζ110)だと思ってる考え無しのバカ発見！ ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 00:17:25.32 ID:WX8tL/5u.net] >>693 >>688のロジックではなく、ただのコピペ知識である>>690 に感心するのがコピペバカらしい... 782 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/13(金) 03:31:28.59 ID:C3eRYlyK.net] 任意に有限置換群Gが与えられたときに、 それをガロア群とする代数方程式、 たとえば係数体がQであるものは どうやって作成すればよいだろうか？ 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 06:07:02.78 ID:FpegOxNI.net] >>692 β∈Q(ζ55)は、定義� 784 名前：ｩら明らかなのであって β^5∈Q(ζ5)から導かれるわけではないがな >>694 >Q(ζ55)⊂Q(ζ110)だと思ってる考え無しのバカ発見！ >ζ110=-ζ55 なんですが ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110 と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな　 なにしろ自分勝手な思い込みに固執する馬鹿だから [] [ここ壊れてます] 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 06:14:16.60 ID:FpegOxNI.net] (cos 2π/11) は (ζ11+1/ζ11)/2 なので、もちろんQ(ζ11) (sin 2π/11)*i は (ζ11-1/ζ11)/2 なので、もちろんQ(ζ11) ζ5はもちろんQ(ζ11) Q(ζ55)はζ5とζ11を含む円分体 だから β∈Q(ζ55) だというだけ こんなことでクロネッカー・ウェーバーとかいう1が馬鹿 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 06:16:24.31 ID:FpegOxNI.net] >>695 1は考えないから、完成した知識にしか関心できない 数学でもなんでも知識の集積としかとらえられない また知識だけあれば数学でもなんでも最前線にいけると わけもわからず盲信する正真正銘の馬鹿 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 06:24:55.65 ID:FpegOxNI.net] 1は β^5∈Q(ζ5) となる理由が解ってない 5根　cos(2πn/11)　(n=1~5) をいかなる順序で並べても、 そこから出来るβ*は その定義式からQ(ζ55)に属する し・か・し、それだけでは いかなるβ*^5もQ(ζ5)に属する つまり、β*を5乗することによって cos(2πn/11)　(n=1~5)が消える、 とは言えない 788 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/13(金) 08:04:51.82 ID:YywdYBMk.net] >>692 補足 > ２）また、Kamei氏のβをβkameとする。βkame^5∈Q(ζ5) である >　βkame∈Q(ζ55)である 追加（自明だが） 1)βkame^5 not∈R |実数ではない 2)βkame not∈R 　|実数ではない さて βkame^5 not∈R のところ βkame^5の選び方を工夫して 実数にできないか という問題だが 出来ない気がする（不還元類似かな＊）） （ ＊）注：あるa∈Qで、x^5 -a=0 の根全てを表示するにはζ5を必要とするが、それとは別に、a自身をQ(ζ5)中の実数に選べないかだが） (参考) mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/ Akinari Hoshi Chair, Department of Mathematics Professor of Niigata University mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/teaching2012-j.html [非常勤講師] 前期 早稲田大学教育学部数学科 代数序論B (木2)代数序論A (木3) mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/2012/algint14.pdf 代数序論（第 14 回・2012/07/19） P3 例2 をよく見ると，解は 3 つとも実数解なのにも関わらず，カルダノの公式では，3 つの解を 表示するのに，複素数が必要になっている． 3 つの実数解を持つ場合は「不還元」(casus irreducibilis) とも呼ばれる．これは，3 つの実数 解を表す解の公式は，実数の中の世界だけで生きていては作れない，それまでは不合理なも のと考えられていた「複素数」の世界にまで数の世界を拡張して，初めて解の公式が作れる ことを表している．「複素数」がいかに自然なものかが明らかになったのである． 789 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/13(金) 08:32:24.25 ID:YywdYBMk.net] >>696 >任意に有限置換群Gが与えられたときに、 >それをガロア群とする代数方程式、 >たとえば係数体がQであるものは >どうやって作成すればよいだろうか？ 良い質問ですね ガロアの逆問題です（下記） かなり解決されているが、未解決だという 大きな進展を作れば、フィールズ賞も可能性ありでしょうね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C ガロアの逆問題 ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての有限群が有理数体 790 名前：Q のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された[1]未解決問題である。 いくつかの置換群については、その置換群がガロア群となるような有理数体 {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb{Q} の代数拡大を全て与える生成的多項式（英語版）が知られている。 [] [ここ壊れてます] 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 08:47:53.95 ID:FpegOxNI.net] >>701 >βkame^5 not∈R のところ >βkame^5の選び方を工夫して >実数にできないかという問題だが >出来ない気がする（不還元類似かな＊）） 「気がする」で終わる（死ぬ）のが1 さて700で述べたことだが 5根の120通りの並び全てについて ラグランジュ分解式β*がつくれるが このうちβ*^5∈Q(ζ5)となるのは20通り Q.　β*^5がQ(ζ5)に属さないようなβ*を示せ できるかな？1 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 09:11:02.08 ID:FpegOxNI.net] >>704 >>任意に有限置換群Gが与えられたときに、 >>それをガロア群とする代数方程式、 >>たとえば係数体がQであるものは >>どうやって作成すればよいだろうか？ >良い質問ですね で終わる（死ぬ）のが1 ガロアの逆問題 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 楕円モジュラー関数を使った構成 n > 1 を任意の整数とする。 複素平面上の格子 Λ の周期の比を τ とすると、 この格子は周期の比が nτ であるような部分格子 Λ′ を持つ。 そのような部分格子の集合は有限集合であり、 Λ の基底変換によりモジュラー群 PSL(2, Z) が作用している。 j をフェリックス・クラインの楕円モジュラー関数 とする。 多項式 φn を、共役な部分格子にわたって (X − j(Λi)) の積をとったものとして定義する。 X の多項式として、φn は Q 係数のj(τ)の多項式を係数としている。 互いに共役な格子の集合に、 モジュラー群は PGL(2, Z/nZ) として作用している。 これから、φn の Q(j(τ)) 上のガロア群は PGL(2, Z/nZ) と同型であることがわかる。 ヒルベルトの既約性定理を使うことにより、多項式 φn を特殊化したときの Q 上のガロア群が PGL(2, Z/nZ) となるような有理数が 無限（更に、稠密）に多く存在する。 群の族 PGL(2, Z/nZ) には無限に多くの非可解群が含まれている。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 09:29:06.29 ID:FpegOxNI.net] 1に捧ぐ https://www.youtube.com/watch?v=dawrQnvwMTY&ab_channel=FujiiKaze 794 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/13(金) 14:29:18.55 ID:FpegOxNI.net] ♪三度の飯よりマウントが好き 　無能をみとめて土下座をするより 　死ぬのがいいわ　 　死ぬのがいいわ 795 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/13(金) 19:13:12.29 ID:FpegOxNI.net] この人がおっちゃんに対してやってることを 自分はナニワのジコチュウヤンキー1に対してやる hissi.org/read.php/math/20230113/MjJoMTVROEg.html 796 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/13(金) 19:59:38.36 ID:YywdYBMk.net] >>702 補足 由井典子氏 Noriko Yui 津田塾大か 寡聞にしてご存じ無かったな！ 彼女の本 ”Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem” 2002 のPDFが落ちていたので貼る（最後から2行目ね） https://en.wikipedia.org/wiki/Noriko_Yui Noriko Yui Noriko Yui is a professor of mathematics at Queen's University in Kingston, Ontario. Career A native of Japan, Yui obtained her B.S. from Tsuda College, and her Ph.D. in Mathematics from Rutgers University in 1974 under the supervision of Richard Bumby.[1] Her research is based in arithmetic geometry with applications to mathematical physics and notably mirror symmetry.[2] Currently, much of her work is focused upon the modularity of Calabi-Yau threefolds. Notably, she and Fernando Q. Gouvea have shown that for X, a projective rigid Calabi-Yau threefold defined over Q , the L-function of X is the L-function of a certain modular form.[3] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C ガロアの逆問題 参考文献 Christian U. Jensen, Arne Ledet, and 由井典子（英語版）, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem, Cambridge University Press, 2002. https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem Inverse Galois problem Notes 1．library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf Christian U. Jensen, Arne Ledet, and Noriko Yui, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem Cambridge University Press 2002 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 20:32:35.07 ID:FpegOxNI.net] >>708 ラグランジュ分解式の初歩も分からん馬鹿が 利口ぶってトンチンカンコピペ貼るな 数学板が💩塗れになる 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 20:46:05.98 ID:FpegOxNI.net] 馬鹿１は 「全ての有限群が有理数体Qのガロア拡大のガロア群として現れるかどうか」 を問うガロアの逆問題を 「全ての有限群が体Kをガロア拡大とするガロア群として現れるかどうか」 という自明な問題と取り違えた 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/13(金) 21:00:42.20 ID:FpegOxNI.net] １．いかなる有限群も対称群の部分群である ２．また一般にｎ次方程式で、 　　そのＱ上のガロア群がｎ次対称群となるもの 　　が存在する ３．ガロア群がGとなるF上のガロア拡大体Kがあるとして 　　Gの任意の部分群Hについて、以下の性質を満たす 　　FとKの中間体Ｍが存在する 　　「KがＭ上のガロア拡大体となり、そのガロア群がHとなる」 　　（ガロア理論の基本定理！） ４．１，２，３により、任意の有限群Ｇについて、 　　ＱとＫの中間体Ｆで、ＫがＦ上のガロア拡大体となり 　　Ｇがそのガロア群になるようなものが存在する！ ５．なお、３でHがGの正規部分群である必要はない 　　HがGの正規部分群である場合にさらに言えることは以下の通り 　　「MがFのガロア拡大体となり、そのガロア群がG/Hとなる」 800 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/13(金) 23:39:34.56 ID:YywdYBMk.net] >>694 >>697 >>Q(ζ55)⊂Q(ζ110)だと思ってる考え無しのバカ発見！ >>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ >ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は >ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 >だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は >ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110 >と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな　 ふふっ １）「ζ110=-ζ55」だってね 　これ間違いだと、気付きましたかね？ｗ （まさか気づいてない？　ありえんだろうがねｗ） ２）で、必死の取り繕いが>>697かな？ｗ 　「ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110」 　だって？ 　これ、恥の上塗りですよね？ｗｗ ３）「ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOK」？ 　なにそれ？ 　これも、意味不明！ｗ なんだかね 上記の短い書込み中に、どれだけの間違いがあるのか？ｗ 良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違いが、多いな 些末な話でなく、根本の理解が出来てない だから、間違うのだし、間違いに気づかないんだねｗ なんだかね これ、工学屋ならば、致命傷だな こんなデタラメ見逃したら ビルは傾くし、橋は落ちるだろうｗ 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 00:30:00.16 ID:yEN98pXx.net] １の原始５５乗根の－１倍は１の原始１１０乗根。 １の原始１１０乗根の－１倍は１の原始５５乗根。 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 05:41:35.41 ID:pTLy1rYf.net] >良質の工学技術者 ハハハハハ！　これ笑うとこ？ あんた只のコピペバカやし、会社でも仕事してないやんｗｗｗ 803 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 06:14:16.85 ID:AEfDxZC9.net] >>712 >「ζ110=-ζ55」だってね >これ間違いだと、気付きましたかね？ 　 おやおや、1クンは、1の原始n乗根の定義、知らないんだね 1の冪根 https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、 n乗して 804 名前：初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。 全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、 1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、 または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 上記を読めばわかるとおり、1の原始n乗根は、1つとは限らない >(ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　として) >「ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110」だって？ >これ、恥の上塗りですよね？ いや　高校2年でも、正しいと分かるよｗ ζ55=cos(2π/55)+sin(2π/55)i　として 　ζ55^28 ＝(cos(2π/55)+sin(2π/55)i)^28 =cos(2π*28/55)+sin(2π*28/55)i =cos(2π*56/110)+sin(2π*56/110)i =cos(2π*(55+1)/110)+sin(2π*(55+1)/110)i =(cos(2π*55/110)+sin(2π*55/110)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =(cos(2π*1/2)+sin(2π*1/2)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =(cos(π)+sin(π)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =(-1)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =-(cos(2π/110)+sin(2π/110)i) =-ζ110 ですが? 何か質問はあるかい？ （つづく） [] [ここ壊れてます] 805 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 06:15:25.87 ID:AEfDxZC9.net] >>715のつづき >良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違いが、多いな >根本の理解が出来てない >これ、工学屋ならば、致命傷だな 1クンが、 工学技術者として極めて悪質であり、 工学屋失格であることが完全に露見したな だって、 ・三角関数の加法定理が分かってない ・そもそもcos(π)=-1、sin(π)＝0が分かってない んだもん　 そりゃ工業高校１年中退って言われるわ 三角関数出てくるの高校2年だし >こんなデタラメ見逃したら、ビルは傾くし、橋は落ちるだろう 確実にいえるのは、1クンは電気技術者ではない、ってことだな これじゃモーター回らんよ　マジで 806 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 06:21:49.51 ID:AEfDxZC9.net] かねがね、1クンは 「大学1年の数学が全然分かってない」 といわれてましたが、実は 「高校2年の数学から分かってない」 と露見しました！ いやいや、三角関数の加法定理が分かってないとは・・・ おそらく、１は 「うっかり、複素数の乗法の公式を忘れていたよ」 とシレっといいわけするでしょうが・・・ありえんわ 忘れていたのではなく、そもそも知らなかったんでしょう 三角関数や複素数が分かってないのに、 現代数学の理解なんて、ありえんわ 1クンは、高校数学からやり直したほうがいいでしょう（ビシッ） 807 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 06:53:33.74 ID:AEfDxZC9.net] 大学の理系学部を受験したことがある人なら 知らない人はいないといわれる鉄板ネタですが 「三角関数の加法定理の式は、複素数の乗法の式から導ける」 　 　cos(θ+φ)+sin(θ+φ)i =(cos(θ)+sin(θ)i)*(cos(φ)+sin(φ)i) =cos(θ)cos(φ)+(cos(θ)sin(φ)+sin(θ)cos(φ))i+(sin(θ)sin(φ))i^2 =(cos(θ)cos(φ)-sin(θ)sin(φ))+(cos(θ)sin(φ)+sin(θ)cos(φ))i いやー、加法定理の証明忘れても、これ忘れる奴はいない ってくらいのもんですがねー 808 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 06:57:09.35 ID:AEfDxZC9.net] 伝統ある大阪市立の工業高校がピンチ。 https://news.yahoo.co.jp/byline/koudaizumi/20191012-00146449 あぁ・・・ 809 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 07:11:44.11 ID:AEfDxZC9.net] >>714 >>良質の工学技術者 > ハハハハハ！　これ笑うとこ？ 　嘆くところでしょうな 　仮に1が自ら述べるように 　「某国立大学工学部卒の工学博士様」 　だとして、それが事もあろうに 　「高校２年生で習う三角関数と複素数の基本が分かってない」 　とするといったい大学の入試でなに問うてんだ講義で何教えてんだ 　ってことになりますねぇ 　ところで工学博士って数学抜きでなれちゃうもんなんですか？ 810 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/14(土) 07:12:13.31 ID:ck+Y+SyD.net] 含むガロア理論スレ立てた人って1の原始n乗根知らなかったんですか？ どんなギャグですか？ 811 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 07:15:39.65 ID:AEfDxZC9.net] 本日からこのスレは 　基礎数学（特に三角関数・複素数）12 とタイトル変更しました ま、１が三角関数も複素数も根本から分かってなかったら 円分体の計算全く出来んのムリないわ･･･ 812 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 07:20:14.22 ID:AEfDxZC9.net] >>721 「1の原始n乗根」どころか、 そもそも三角関数も複素数も分かってなかった って感じですね　いやはや やっぱり国立大学卒はフカシで 工業高校１年中退が真実のようです というか、仮に万が一国立大学卒なら 日本の大学教育の空洞化がここまで進んだかと 嘆かざるをえないほど致命的です これじゃ韓国・中国どころかラオス・ミャンマーにも負けるわ 813 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 07:27:13.38 ID:AEfDxZC9.net] まあ、三角関数や複素数を知らん1程度でも 経済学者にはなれるかもしれませんね とある人に言わせると、経済学はlog知ってればOKらしいですから ホントかどうか知りませんが　まんざらウソでもなさそうです 814 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/14(土) 07:30:33.43 ID:RimGxEMT.net] ガンマ関数を知らないとまずくない？ 815 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 07:37:46.52 ID:AEfDxZC9.net] >>725 複素関数は知らなくても大丈夫じゃないか、ということらしいです 816 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 07:42:57.72 ID:AEfDxZC9.net] ちなみに、とある人にいわせると 「経済学者はロトカ・ヴォルテラの方程式も知らん 　あいつらいったいなにやってんだかわからんな」 ということでした どうも、サイクルが陽に現れない経済学はウソっぱちだといいたいようです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%88%E3%82%AB%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%86%E3%83%A9%E3%81%AE%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F 817 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 11:06:30.79 ID:AEfDxZC9.net] 1の原始2乗根は-1 1の原始3乗根は(-1+√-3)/2と(-1-√-3)/2 さて Q1.　1の原始4乗根は？ Q2.　1の原始6乗根は？ cosとかsinとか使わずに書いてね 818 名前：わかるすうがく 近谷蒙 ◇nSGM2Czuyoqf mailto:sage [2023/01/14(土) 11:09:23.92 ID:AEfDxZC9.net] nを奇数とする 1の原始n乗根をζnとし、 これをQに添加した体をQ(ζn)とする Q3．さて、1の原始2n乗根ζ2nは、Q(ζn)に含まれるか？ 　　Yes/Noと、その理由を答えよ 819 名前：わかるすうがく 近谷蒙 [2023/01/14(土) 11:22:12.48 ID:AEfDxZC9.net] nを5以上の奇数とする cos(2π/n)＝ζn+1/ζnは、Q(ζn)の要素である さて Q4.sin(2π/n)=(ζn-1/ζn)*iが含まれるQ(ζm)で、最小のmはいくつか？ 820 名前：１３２人目の素数さん [2023/01/14(土) 12:45:15.74 ID:8do4RO6e.net] χ２乗分布の特性関数は複素関数 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 14:22:03.45 ID:pTLy1rYf.net] 1は「総実数体上の総虚2次拡大」なんて言葉は知らないだろうし 円分体（1のべき根の体）がそうだということも知らない。 Q(exp(2πi/11))であれば、その実数部分はQ(cos(2π/11))． つまり、Q(exp(2πi/11))/Q(cos(2π/11))が虚の2次拡大。 では、sin(2π/11)はどこに入るか？ 実は、Q(sin(2π/11))⊃Q(cos(2π/11))という 包含関係があり、Q(sin(2π/11))/Q(cos(2π/11)) は実の2次拡大であることが分かるので sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。 Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の 「地図」が頭の中になくて>>692のような誤りを 平気で書くひとが、工学分野では秀でているなんて ことは考えられない。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 14:26:08.95 ID:pTLy1rYf.net] >>730 >Q4.sin(2π/n)=(ζn-1/ζn)*iが含まれるQ(ζm)で、最小のmはいくつか？ m=4nですね。このとき Q(ζm)=Q(ζn,i)=Q(ζn,sin(2π/n))が成立する。 いずれにしてもQ(ζm)/Q(ζn) は2次拡大で、それが最小。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 14:32:04.25 ID:pTLy1rYf.net] 一般の場合を考えてみよう。 m,nを互いに素な正整数（ただし、n≠1,2）とする。 Q(exp(mπi/n))の実数部分はQ(cos(mπ/n))で与えらえる。 つまり、Q(exp(mπi/n))は総実数体Q(cos(mπ/n))の総虚2次拡大。 これはいいだろう。問題は Q(cos(mπ/n))とQ(sin(mπ/n))の関係。 これはnｂﾌみによって決ｂﾜり Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき） Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき） Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れるとき） が成立する。 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 14:34:24.32 ID:pTLy1rYf.net] >これはnｂﾌみによって決ｂﾜり ん？文字化け。 これはnのみによって決まり 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 14:50:13.18 ID:pTLy1rYf.net] 大分前に書いたことがあるが、この事実から θ=mπ/n のとき √(1-(sinθ)^2), √(1-(cosθ)^2) の少なくとも一つのルートが外れるという 著しいことが言える。しかも αを無理数として θ=απのときは、「ほとんどすべて」の αに対しては上記のルートが両方とも外れないことも 別系統の簡単な議論から分かる。 826 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 15:01:20.65 ID:AEfDxZC9.net] >>732-736　こんにちは >>730を出題したとき、あなたが以前書いてたことを思い出しました やっぱり4nでいいんですね　 sin(2π/n)*iだったら、もちろんQ(ζn)ですが、 iで割るには、iがないといけませんからねえ ま、n=3なら、1/2だからQに入っちゃってますけど （だからnが5以上だとした） 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 15:22:55.68 ID:pTLy1rYf.net] >>737 どうもです。覚えて下さっていて光栄ですｗ 数学的には決して難しい議論ではないはず （体論の初歩程度）ですが 1は前スレで >例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる とアホなこと書いていたくらいなので 正確に理解することは無理でしょうｗ 828 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 16:42:17.05 ID:AEfDxZC9.net] >>738 ＞数学的には決して難しい議論ではないはず ＞（体論の初歩程度）ですが 　アハハハハ💦 　・・・すみません、以前も質問したかもしれませんが ＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき） 　は倍角の公式を使えばいいとわかったんですが ＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき） 　がどうもわかりませんでした 　n→2nのときには、左辺と右辺に変化ありましたっけ？ 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 17:15:28.59 ID:pTLy1rYf.net] >>739 m/n+1/2=(2m+n)/2n でsinとcosが入れ替わるということから分かります。 >Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)) を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。 大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。 Q(cos(mπ/n))=Kとおくと Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。 2が素数であることから中間体が存在しない、従って i∈Q(exp(mπi/n))とsin(mπ/n)∈K が同値になる。 nが奇数のとき、i\not∈Q(exp(mπi/n)) は円分体の知識があれば分かるが、その証明は 正確には円分多項式の既約性のようなことに帰する。 これはわたしが悪いのですが、前のときは わたしは最後まで証明を書きませんでした。 貴方様は問題を出された場合、最後まで解答は書かれますね。 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/01/14(土) 17:21:58.76 ID:pTLy1rYf.net] nが奇数のとき、倍角公式で行けるのは （つまり高校レベル） cos(mπ/n)∈Q(sin(mπ/n))で sin(mπ/n)\not∈Q(cos(mπ/n)) の証明（大学レベル）は 上記の通りやや難しいという話。 831 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 17:29:46.75 ID:AEfDxZC9.net] >>740 >>Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)) >を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。 >大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。 　ああ、やっぱり難しいんですね （簡単だったらどうしようかと思ってたｗ） >Q(cos(mπ/n))=Kとおくと >Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。 　そこはわかりました >2が素数であることから中間体が存在しない、 >従ってi∈Q(exp(mπi/n))とsin(mπ/n)∈K が同値になる。 　・・・なるほど、そうですね >nが奇数のとき、i\not∈Q(exp(mπi/n)) >は円分体の知識があれば分かるが、 　まあ、直感的にはわかりますね 　ん？もしかして、私、カン違いしてたかな？ 　>>734で 　ｎが奇数のときって、もしかして円の２ｎ分割ですかね？ 　じゃ２ｎは、円の４ｎ分割か　だったら 　Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)) 　というのは、分かります（ほんとかｗ） 　で、４ｎが、円の８ｎ分割だとして、 　Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)) 　そういうことなら、２ｎと４ｎの違いはもうちょっと考えますわ 　んー、そういえば、前はそういうことで理解したような気が・・・ｗ 832 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 18:04:49.55 ID:AEfDxZC9.net] >>742 やっぱり私がカン違いしてましたね >>734 ＞m,nを互いに素な正整数（ただし、n≠1,2）とする。 ＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき） ＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき） ＞Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れるとき） 2が掛かってないので半円 で、m,nは互いに素という条件で、 EXCELで計算すると確かにそうなってますね 833 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 19 ] [ここ壊れてます] 834 名前：:27:09.68 ID:p/slNf5Z.net mailto: >>713 > １の原始５５乗根の－１倍は１の原始１１０乗根。 > １の原始１１０乗根の－１倍は１の原始５５乗根。 ありがとう 下記Cyclotomic field ”Small examples n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3)” に類似だね 例えば ζ3 ＝cos 2π/3 +isin 2π/3 ζ6 ＝cos 2π/6 +isin 2π/6 -ζ6 ＝-cos 2π/6 -isin 2π/6 ＝cos (2π/6+π) +isin (2π/6+π) ＝cos (2π2/3) +isin (2π2/3) ＝ζ3^2 -ζ110 ＝cos 2π/110 -isin 2π/110 ＝cos (2π/110+π)+isin (2π/110+π) ＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＝ζ110^28 一般に、偶数2k に対して -ζ2k ＝-cos 2π/2k -isin 2π/2k ＝cos (2π/2k+π) +isin (2π/2k+π) ＝cos (2π(1+2k)/2k) +isin (2π(1+2k)/2k) （ここで、kが奇数k=2k'+1のとき） ＝cos (2π(1+2k)/2k)+isin (2π(1+2k)/2k) ＝cos (2π(1+k')/k) +isin (2π(1+k')/k) ＝ζk^(1+k') となる つづく [] [ここ壊れてます] 835 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 19:27:37.98 ID:p/slNf5Z.net] >>744 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9 1の冪根 1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。 全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 1の原始冪根 複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n >= 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、 ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つであることが分かる。 この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始n乗根である。 n と互いに素な自然数 m に対して ξn^m は 1 の原始n乗根であり、逆に 1 の原始n乗根はこの形に表せる。 すなわち、1 の原始n乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。 方程式 x^n = 1 を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、 ζn =cos 2πk/n +isin 2πk/n (k=1,2,・・,n) であるが、1 の原始n乗根 ξn を一つ選べば、 x=ξn^k (k=1,2,・・,n) と書くことができる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field Cyclotomic field In number theory, a cyclotomic field is a number field obtained by adjoining a complex root of unity to Q, the field of rational numbers. Definition For n >= 1, let ζn = e^2πi/n ∈ C; this is a primitive nth root of unity. Then the nth cyclotomic field is the extension Q(ζn) of Q generated by ζn. Small examples n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3), which is a quadratic extension of Q. Correspondingly, a regular 3-gon and a regular 6-gon are constructible. https://univ-juken.com/tagaini-so 受験辞典 互いに素とは？意味や証明問題を簡単にわかりやすく解説！ 2022年4月14日 互いに素とは、2 つの整数の最大公約数が 1 であることです。 以上 836 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 19:46:58.75 ID:p/slNf5Z.net] >>436 >フーリエ解析の序章 >https://www.sugakushobo.co.jp/903342_49_mae.html >杉山健一 著 本来ました いま手元にあります これを見ても とても 代数方程式のべき根解法の 役に立つとは思えないね 837 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 20:54:04.53 ID:AEfDxZC9.net] >>744 ＞ありがとう 　違う　そうじゃない 　１　君が真っ先にやることは 　「私が間違ってましたぁぁぁぁぁ！」 　とジャンピング土下座で額を地面に叩きつけて謝罪することｗ 　さ、やってみ　工業高校１年中退のナニワのヤンキー 　全身根性焼きされたくないだろ？ｗ 838 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/14(土) 21:01:01.83 ID:AEfDxZC9.net] >>744 ＞-ζ110 ＝cos 2π/110 -isin 2π/110 ＞＝cos (2π/110+π)+isin (2π/110+π) ＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＞＝ζ110^28 はい、最終行間違いｗ　正解はζ55^28ね 良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違い 根本の理解が出来てない これ、工学屋ならば、致命傷 ま、死ななくていいよ ここに書き込まなければ 今すぐ実践しろな　工業高校１年中退のナニワのヤンキー 839 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 23:21:13.95 ID:p/slNf5Z.net] >>712 再録 >>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ >ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は >ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 >だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は (引用終り) １）代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する ２）一つは、下記の”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” 　こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる” 　（石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」は こちら） ３）もう一つは、先の>>745のように ”1の原始冪根”に関して、”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという” 　こちらは、”ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つである” 　この場合、普通に ζn =cos 2π/n +isin 2π/n を原始n乗根として採用する ４）この二つを混同する人がいるようだね 　「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0_(%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96) 指数 (初等整数論) 定義 n を法とする原始根とは、n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元のことである。 原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる。 つづく 840 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 23:21:41.66 ID:p/slNf5Z.net] >>749 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n Primitive root modulo n Definition If n is a positive integer, the integers from 0 to n - 1 that are coprime to n (or equivalently, the congruence classes coprime to n) form a group, with multiplication modulo n as the operation; it is denoted by Z^×n, and is called the group of units modulo n, or the group of primitive classes modulo n. As explained in the article multiplicative group of integers modulo n, this multiplicative group (Z^×n) is cyclic if and only if n is equal to 2, 4, p^k, or 2p^k where p^k is a power of an odd prime number.[2][3][4] When (and only when) this group Z^×n is cyclic, a generator of this cyclic group is called a primitive root modulo n[5] (or in fuller language primitive root of unity modulo n, emphasizing its role as a fundamental solution of the roots of unity polynomial equations X^m - 1 in the ring Zn), or simply a primitive element of Z^×n. When Z^×n is non-cyclic, such primitive elements mod n do not exist. Instead, each prime component of n has its own sub-primitive roots (see 15 in the examples below). (引用終り) 以上 841 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 23:32:04.71 ID:p/slNf5Z.net] >>712 >>ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110 >>と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな　 さて、次はこれね ”ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110” 最初と最後をつなぐと ζ110=-1*ζ110 これで、右辺を左辺に移項して 2*ζ110=0 よって ζ110=0 これは、ζ110≠0と矛盾（x^110=1の根だから） なにやってるんだろ？ｗ 842 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/14(土) 23:39:08.44 ID:p/slNf5Z.net] >>748 >＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) >＞＝ζ110^28 >はい、最終行間違いｗ　正解はζ55^28ね おお、ありがとうね >>744を 早速修正 ＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＝ζ110^28 　↓ ＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＝ζ55^28 です 843 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/15(日) 07:12:05.45 ID:KCopoF1R.net] >>749 >代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い >一つは、”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” >こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる” 　上記がベキ乗()^aで巡回する場合の(指数の)乗法群の生成元a（指数は×a) 　たとえばmod 5のときの　 　1→2→4→3→1　の2 　1→3→4→2→1　の3 >もう一つは、 ”1の原始冪根”に関して、 >”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、 >n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという” 　上記は、x^a*()で巡回する場合の(指数の)加法群の生成元x^a（指数は+a) 　この場合、どのnでも生成元は存在する 　0→1→2→…→n-1→0 　ただし、x^aが生成元となるには、aがnと互いに素であるのが必要十分 　例えば、n=6の場合は、x^1,x^5が生成元 　n=55の場合は、aが5の倍数もしくは11の倍数以外なら、生成元 　したがって28ならOK 　1はいまだに(Z/nZ)×と(Z/nZ)が群として異なることが分かってないみたい 844 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/15(日) 07:14:47.33 ID:KCopoF1R.net] >>751 はっはっは　よく見つけたね、エライエライ（真上から見下ろす） >ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110 正しくは ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-(-1*ζ110) 1クン、直すならここまでやらないと高校の数学の試験でペケだよ じゃあね~~~ 845 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/15(日) 07:28:40.01 ID:KCopoF1R.net] >>749 >「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ 　その発言が、嘆かわしいね 　上記の場合、加法群（Z/110Z）および（Z/55Z）でしか考えていない （ここでいう加法は指数における加法 　巡回の操作が「原始根を掛ける」から乗法群 　とかいうのは初歩的誤解） 　nが奇数の場合、 　1のn乗根ζn^m(m=0~n-1)の、どれをとっても 　ζn^l=-ζn^m　となるl,mは存在しない 　で、ζ110,ζ55を、1の原始110乗根、原始55乗根（１つとは限らない）とするなら、 　ζ110=-ζ55　となるようにとれるというのは、数学として正しい 846 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/15(日) 10:47:26.10 ID:fdSQKtbP.net] >>753 >>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する >それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い 違うよ 原始根の一つは、乗法群(Z/nZ)×関連で 石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」にあるけど さらに、11節「既約剰余類群を解剖する-(Z/pZ)×の構造」につながって 11節の最後に”この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します”とある つまり、ガロア理論の群論側で活躍するのだが、円分体でも活躍するってことだね （石井本では、第4章 3～6節、第6章 1、6節） もう一つは、体の拡大K/k（下記）を考えると K の元 αを一つ添加すると、k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる αが、超越数のとき、上記は無限に続いてすべて代数的独立だね 一方、αが代数的数で、k 係数多項式 f(X) でｎ次式の根とする α^(n+1)は、ｎ次以下に落とせる つまり、トリビアだけど f(X) ＝anx^n+an-1x^(n-1)+・・a0として anx^n＝-{an-1x^(n-1)+・・a0}+f(X) x=αを代入して anα^n＝-{an-1α^(n-1)+・・a0} （f(α)＝0だから） α^(n+1)＝-{α(an-1α^(n-1)+・・a0}/an となるよね だから、体の拡大では、α,α^2,α^3・・,α^n,・・とあるときには まずk(α)を考えろというのが、普通だろ？ 勿論、円分体のように特殊な場合は、α^2とかα^3とかが原始根になっているときもあるだろうが 一般的には、α^2とかα^3とかは、原始根で無い可能性が高いよ だから 　>>712より 再録 >>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ >ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は >ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 >だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は (引用終り) って、”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) を、考えるべし だから、「ζ110=-ζ55」ってｗ つづく 847 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/15(日) 10:48:10.71 ID:fdSQKtbP.net] >>756 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 代数性・超越性 K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的（だいすうてき、algebraic over k）であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう[6]。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minim 848 名前：al polynomial）とよび[7]、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい[8]、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的（ちょうえつてき、transcendencial）であるという[8]。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。 (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 849 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/15(日) 11:21:01.55 ID:KCopoF1R.net] >>756 >>それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い >違うよ 　すぐ、考えなしに脊髄反射で「違うよ」というから間違うんだよ　1は >もう一つは、 >K の元 αを一つ添加すると、 >k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる 　だからそれが円分体の場合、(Z/nZ) 　1のn乗根で、mがnの約数だったら、 　aをcos(2π/m)+sin(2π/m)iとした場合 　a^mのベキだけでは根の全てを生成しない 　つまり、原始根でないっていうこと >だから”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ 　あいかわらずトンチンカン 　無関係に大袈裟な話をするのは 　ペテン師の常套手段だよ >ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) >ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) >を、考えるべし 　それは君が高校数学レベルだからそれしか思いつかないだけ 　上記に限っちゃうのが高校数学レベル　大学数学ではそれ以外がある 850 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/15(日) 11:25:21.44 ID:KCopoF1R.net] 1は論理がないから、他人をペテンで誑かそうとする 話を無闇に大袈裟に広げるのはその手段の一つ でも数学屋には通用しない 無関係な話は容赦なく枝刈りするから その結果1の云ってることは 「俺は 　ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) 　ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) 　だと決めつけた　それしか知らんから」 しかなくなる 工学屋の勘なんて結局乏しい知識に基づく 印旛沼のごとく浅い推論でしかない 851 名前：わかるすうがく 近谷蒙 mailto:sage [2023/01/15(日) 11:52:15.92 ID:KCopoF1R.net] 1の12乗根の場合 ζ12_m=cos(2πm/12)+i sin(2πm/12) として、m=1,5,7,11の４つが原始根 (これが(Z/12Z)の生成元) 0→1→2→3→4→5→6→7→8→9→10→11→0 0→5→10→3→8→1→6→11→4→9→2→7→0 0→7→2→9→4→11→6→1→8→3→10→5→0 0→11→10→9→8→7→6→5→4→3→2→1→0 852 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/15(日) 12:35:39.38 ID:fdSQKtbP.net] >>732 >sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。 >Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の なるほど それ面白いね 下記Cyclotomic fieldで n=2については、トリビアすぎで記載がないが、 x^2=1 では、x=1,-1 で、Q(-1) = Qにしかならない ・>>744に書いたけど、n=k (k奇数)では、k→2kを考えても、意味が無い ・一方、下記n = 4で、ζ4 = i,Q(ζ4) = Q(i)だから 　n＝4k になる場合、i∈Q(ζ4k)かな？ ・この場合、i∈Q(exp(2πi/44))か 　そうすると、Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44))で 　ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)で 　下記 Q(ζm)∩R=Q(ζm+1/ζm) より 　Q(cos(2π/11))⊂ Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44)) 　念のために書くと 　Q(cos(2π/11))=Q(ζm + 1/ζm)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44) 　そして 　cos(2π/11),i∈Q(ζ44)で、 　sin(2π/11)=(ζ11 - cos(2π/11))/i ∈Q(ζ44)となる ・Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれないかな？ (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field Cyclotomic field Small examples n = 4: Similarly, ζ4 = i, so Q(ζ4) = Q(i), and a regular 4-gon is constructible. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 性質 Q(ζm)∩R=Q(ζm + 1/ζm) である。このQ(ζm + 1/ζm) を、最大実部分体または実円分体という。 853 名前：現代数学の系譜 雑談 [2023/01/15(日) 12:41:34.92 ID:fdSQKtbP.net] >>756 補足 そもそも 「ζ110=-ζ55」がアホ Q(ζ110)=Q(-ζ55)とでも書けば 格好はついたろう こういう粗雑な書き方をすると 体論や体の拡大が、分かってないと 判断されてもしかたない 院試なら、首が飛ぶかもね

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