- 61 名前：現代数学の系譜 雑談 [2022/12/02(金) 07:45:31.15 ID:fZZ7hap7.net]
- >>52 追加
いま、有限の決定番号Mが、確率的零事象であることの簡単な証明を思いついたので書く
命題：有限の決定番号Mは、確率的零事象である
証明：可算無限個の箱がある。Nは自然数の集合。決定番号の定義は下記です
１）決定番号Mとは、可算無限長の２つの数列で、Mから先の数が一致すること
２）つまり、Mから先の可算無限長の数のペアが一致すること
３）いま、一つのペアが一致する確率をp<1とする
４）可算無限長の数のペアが一致するならば、その確率はp^N→0
５）よって、有限の決定番号Mは、確率的零事象である
補足1：一律に「確率をp<1」としたが、pが変わることもある
しかし、いまの場合、そこまでの厳密な証明の必要はないだろう（気になる人は、考えて下さい。pが変わるときは、上記は厳密には不成立ｗ）
補足2：いま、場合の数を考えてみよう。コイントスで、表1、裏0の数の組合わせで、可算無限長の数列を作る
１）全体の場合の数は、2^N （非可算）
２）一方、決定番号Mの場合の数は、自由になる箱はM-1個（最初の箱を1番として）
よって、場合の数 2^(M-1)→有限
３）あたかも、無限集合中に有限2^(M-1)個の当りくじがあるが如し
４）場合の数で考えても、決定番号Mは確率的零事象である
つづく
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