高校数学の質問スレ Part422

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/10/07(金) 19:12:54.70 ID:8I8oJNqD.net] 【質問者必読！！】 まず>>1-4をよく読んでね 数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例 mathmathmath.dotera.net/ ・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など） ・問題の写し間違いには気をつけましょう。 ・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。 　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ） ・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。 　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。 　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。 ・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ) ・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。 　でないと放置されることがあります。 　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように） ・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。 　それがない場合、放置されることがあります。 　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように） ・回答者も節度ある回答を心がけてください。 ・970くらいになったら次スレを立ててください。 ※前スレ 高校数学の質問スレ Part420 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1658820329/ 高校数学の質問スレ Part421 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1662638587/ 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 00:19:26.99 ID:Y93qxGAj.net] 連立方程式 y=2x^2 (x-1)^2+(y-1)^2=1 は実数解を2つと、互いに共役な複素数解を1つずつの、計4つの相異なる解を持つことを示せ。 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 01:08:13.39 ID:WiN4kRCj.net] (x-1)²+(x²-1)-1=0 はy=x²と(x-1)²+(y-1)²=1が公差している２つの共有点をもつから重解でない異なる実数解をちょうど2個持つ よって(x-1)²+(x²-1)-1は異なる一次の因子２つと実係数の２次の因子をひとつ持つ 二次の実係数の因子は解の公式により共役な複素数解を持つ 986 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/21(水) 01:21:55.06 ID:snXX9IZR.net] (y-1)^2-1=(2x^2-1)^2-1=2x^2(2x^2-2)=4x^2(x+1)(x-1)　だから 0=(x-1)^2+(y-1)^2-1=(x-1)^2+(2x^2-1)^2-1 =(x-1)(x-1+4x^2(x+1))=(x-1)(4x^3+4x^2+x-1) 4x^3+4x^2+x-1について　 x=-1/2のとき-1でx=1のとき8だから中間に零点がある x=-1/2のとき極大だがそれは負だから実根は-1/2と1の間に一つだから示された 987 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/21(水) 01:21:55.06 ID:snXX9IZR.net] (y-1)^2-1=(2x^2-1)^2-1=2x^2(2x^2-2)=4x^2(x+1)(x-1)　だから 0=(x-1)^2+(y-1)^2-1=(x-1)^2+(2x^2-1)^2-1 =(x-1)(x-1+4x^2(x+1))=(x-1)(4x^3+4x^2+x-1) 4x^3+4x^2+x-1について　 x=-1/2のとき-1でx=1のとき8だから中間に零点がある x=-1/2のとき極大だがそれは負だから実根は-1/2と1の間に一つだから示された 988 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/21(水) 12:21:03.68 ID:wirhZZwk.net] 実数a,b,c,d,eに対して a/(1+a^2) + b/(1+a^2+b^2) + c/(1+a^2+b^2+c^2) +d/(1+a^2+b^2+c^2+d^2) + e/(1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)＜ √5 を示せ お年玉問題なのですがこれは高校3年生でも解ける問題ですか 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 12:22:17.88 ID:0FcFd57X.net] なんのお年玉問題？ 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 12:37:54.97 ID:Y93qxGAj.net] xy平面上の単位円C:x^2+y^2=1に内接する正三角形Tがある。 Tの1つの頂点の座標が(a,b)、b=√(1-a^2)であるとき、残りの頂点の座標をaで表せ。 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 14:04:41.10 ID:Y93qxGAj.net] nを正整数の定数とする。 n*e^(x)-(n^2)*(1+x)<0 をみたす実数xが存在するかどうか調べよ。 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 14:48:10.43 ID:UCC10Nv/.net] y=sin(x)の0≦x≦πの部分の長さと、2πの大小を比較せよ。 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 15:01:00.90 ID:UCC10Nv/.net] a[1]=1,a[2]=1 a[n+2]=a[n+1]a[n]+1 で与えられる数列{a[n]}を考える。 k=1,2,...n-1に対し、a[n]をa[k]で割った余りをnとkで表せ。 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 21:10:48.33 ID:Y93qxGAj.net] I[n]=∫(x^n){e^(-x)}dx とおく。 （1）I[0],I[1]を求めよ。 （2）I[n+1]をI[n],I[n-1],...I[0]のうち必要なものを用いて表せ。 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 22:58:41.16 ID:Y93qxGAj.net] 0≦x≦y≦z 0≦xy+yz+zx≦1 のとき、 (1+x)(1+y)(1+z) の取りうる値の範囲を求めよ。 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 23:32:27.99 ID:EjpaxeiL.net] 実数xの写像f(x)、g(x)ってのがあったとして f(x)をg(x)で微分することって必ずできる？ それともf(x)=h(g(x))とか表すことができなければ無理？ 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/21(水) 23:52:31.37 ID:EjpaxeiL.net] 例えば f(x)=x^2、g(x)=x^3 とかなら f(x)=(x^3)^(2/3)とかすれば微分できそうだけど f(x)=exp(x),g(x)=tan(x) (-π/2<x<π/2) みたいにぱっと見相互に表せなさそうなのって f(x)をg(x)で微分ってできるのかなって 998 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 00:36:53.95 ID:vn3oSyKA.net] >>960 >f(x)をg(x)で微分する 定義して 999 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 01:33:15.45 ID:MICg4CkD.net] df(x)/dg(x)={df(x)/dx}/{dg(x)/dx} =exp(x)/(1/(cosx)^2)＝exp(arctan(g(x)))/(1+(g(x))^2) 1000 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 01:48:37.51 ID:MICg4CkD.net] >>954 複素平面でe^(it))、e^(i(t+3/2*π))、e^(i(t-3/2*π))　の三つが頂点だから a=cost、b=sint　のとき残りは　(a+ib)(-1±i√3)/2=-a/2-±ｂ√3/2±i(a√3/2-b/2) だからxy平面で　(-a/2-b√3/2,a√3/2-b/2),(-a/2+b√3/2,-a√3/2+b/2) 1001 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 01:51:22.94 ID:MICg4CkD.net] ∫[0,π]√(1+ 1002 名前：(cosx)^2)dx<∫[0,π]√(1+(cos(0))^2)dx=√2π<2π [] [ここ壊れてます] 1003 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 02:00:49.03 ID:MICg4CkD.net] >>955 n*e^(x)-(n^2)*(1+x)<0　両辺nで割って　e^(x)-n*(1+x)<0 n=1のとき　e^xは下に凸でその接線が1+xだから成り立たないので存在しない n>1のとき　x=0のとき1-n<0だから成り立つので存在する 1004 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 04:32:52.60 ID:U6EOTzV/.net] 速度vがある 時間t=e^sとする vをtではなくsの関数で表せ お願いします 1005 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 04:53:41.29 ID:MICg4CkD.net] >>957 nを0以上、a[0]=0とし　a[n]をa[k]で割った余りはa[nをkで割った余り]　を示す n<kのとき明らか　n=k,k+1,k+2のときも成り立つ n≦k+m+1のとき成り立つと仮定する a[k+m+2]=a[k+m+1]a[k+m]+1　この右辺をa[k]で割った余りは a[m+1をkで割った余り]a[mをkで割った余り]+1 =a[mをkで割った余り+1]+a[mをkで割った余り]+1 =a[mをkで割った余り+2]=a[k+m+2をkで割った余り]　だから成り立つ 1006 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 04:56:10.69 ID:MICg4CkD.net] V=V(t)=V(e^s) 1007 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:00:58.37 ID:U6EOTzV/.net] >>969 V(s)をV(t)で表したいのです 1008 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:01:33.62 ID:MICg4CkD.net] I[0]=-e^(-x)　 I[n]=-e^(-x)x^n+∫nx^(n-1){e^(-x)}dx=nI[n-1]-e^(-x)x^n I[1]=I[0]-xe^-(-x)=-(x+1)e^(-x) 1009 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:02:52.54 ID:MICg4CkD.net] >>970 sの関数で表せじゃなかったの？ 1010 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:04:40.01 ID:e84ygbAk.net] 息を吐くように問題を改造してる 1011 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:08:26.69 ID:U6EOTzV/.net] >>972 すみません。V(t)は与えられています V(s)の求め方がわかりません 1012 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:09:09.10 ID:MICg4CkD.net] >>959 3x^2≦xy+yz+zx≦3z^2　より　y,zともにxに等しくx=0のとき最小で1 x,yともにzに等しくz=1/√3のとき最大で(1+1/√3)^3 1013 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:11:14.44 ID:MICg4CkD.net] >>974 じゃあ>>969で何が不満なの？ 1014 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:19:28.09 ID:U6EOTzV/.net] >>976 V(t)がvやcとしか与えられていないからです 時間の物差しをtからsに取り替えると vやcをどう変形しなくてはならないでしょうか 1015 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 05:54:29.26 ID:U6EOTzV/.net] >>969は V(log(t))=V(s) ということですかね 例えば V(t)=c だった時 V(log(t))=？？？ という質問です 1016 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 07:07:46.50 ID:vn3oSyKA.net] >>977 関数概念の認識不足 vをtの関数v(t)で表すとき vをsの関数v(s)とは表せない 1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/22(木) 07:10:50.60 ID:u0W39jSI.net] >>962 g(a)→g(b)のときf(a)→f(b)と変化するはずだから lim[]{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}になるのかなって コーシーの平均値の定理見ててこういう式イメージしたけどそもそも定義されてないものなのか 1018 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 07:39:10.92 ID:vn3oSyKA.net] >>980 関数を関数では定義されていまいな それを定義にするなら>>963 1019 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/22(木) 07:57:59.13 ID:u0W39jSI.net] つまりf(x)=h(g(x))みたいに表せない場合はなくて どんな場合においてもdf(x)/dg(x)はできるのかな 1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/22(木) 09:29:39.19 ID:u0W39jSI.net] x=g^-1(g(x))とすればf(x)=f(g^-1(g(x)))になるから大体微分できちゃうのかな このやり方はめちゃガバガバではあるけど 1021 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 10:19:57.35 ID:foIsyNIK.net] >>977 >時間の物差しをtからsに取り替えると ってことは、v(t)=dx(t)/dtに対して、u(s)=dx(e^s)/dsを求めたいってことなんじゃないの？ だったら、合成関数の微分で u(s) = (dx/dt)(dt/ds) = v(e^s) e^s だな。 1022 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 11:34:09.66 ID:vn3oSyKA.net] >>984 なるほど 1023 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 14:14:11.86 ID:xmexxk+a.net] 6面がすべて平行四辺形である6面体は 平行6面体といえますか・ 1024 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 15:10:43.54 ID:tKxEw/i7.net] >>986 あたぼう 1025 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 15:35:29.31 ID:ZUZLPwZB.net] >>986 ソリャそうでしょう 1026 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/22(木) 17:00:09.55 ID:xR1oA5w0I] 高校数学大嫌い😡⚡だ数学なんてなくなれ 1027 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 02:34:46.28 ID:zy69eK1r.net] >>952 上限を考えたいので各文字は正とする 題意の左辺の各項の分母を並べると 1+a^2 1+a^2+b^2 1+a^2+b^2+c^2 1+a^2+b^2+c^2+d^2 1+a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 であるがこれらを 　A B C D E　と置く 題意の左辺はベクトル(1/A,1/B,1/C,1/D,1/E)と(a,b,c,d,e)の内積である 前者のベクトルをP,後者をQとする 両ベクトルの長さが一定の下で後者が前者の正数k倍のとき内積は最大になる そのケースで考えたいので　Aa=Bb=Cc=Dd=Ee=kとする B/A=b/a　より　aB=bA a(A+b^2)=bA ab^2-Ab+aA=0 判別式=A^2-4a^2A=A^2-4(A-1)A=A(-3A+4) ゆえに0<A<4/3　さらにA>1だから　1<A<4/3　0<a<1/√3 k=Aa=(1+a^2)a=a^3+a　 │Q│^2<5a^2　│P│=│Q│*1/K │P│*│Q│=│Q│^2*1/K<5a^2*1/(a^3+a)=5/(a+1/a) 右辺の分母　a+1/a　は0<a<1で減少なので下限はa=1/√3のとき このとき右辺は　5/(√3+1/√3)=5√3/4=√(25*3/16)<√(80/16)=√5 題意の左辺=P・Q≦│P│*│Q│<√5 1028 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 02:54:56.34 ID:zy69eK1r.net] 間違えた　撤回 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/23(金) 13:00:57.66 ID:XL9treMQ.net] １辺の長さがaである立方体V:ABCD-EFGHを考える。 正方形ABCDの対角線の中点をMとする。 Vを直線GMに垂直な平面で切ったときの切断面の面積の最大値を求めよ。 またその平面とGMの交点をPとするとき、比GP/GMを求めよ。 1030 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 16:41:27.31 ID:zy69eK1r.net] Cを通る切断でもしその断面が四角であればそれが面積最大 ACGEで、ACの中点MとGを通る直線をｌとする ｌに直交しＣを通る直線とAEとの交点をXとする CA:AX=AG:GM=1:√2/2　AX=CA/√2=a=AE XはEであったのでCEを通る面で切れば断面は四角になる 断面はひし形で長い方の対角線はCEで長さは√3a 短い方の対角線の長さは√2aだから断面積は√(3/2)*a^2 △GCM∽△GPC　だから　GM:GC=GC:GP　 GP/GM=GC^2/GM^2=a^2/{√(1+1/2)a}^2=2/3 1031 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:08:02.84 ID:zy69eK1r.net] >>952 a,b,c,d,eを正とし、�@どれも1/2を超えるとき A=1+a^2>1+1/4=5/4 B=1+a^2+b^2>1+2/4=6/4 C=1+a^2+b^2+c^2=1+3/4=7/4 D=1+a^2+b^2+c^2+d^2>1+4/4=8/4 1/√A+1/√B+1/√C+1/√D<2/√5+2/√6+2/√7+2/√8<3.2だから a/A=a/(1+a^2)=1/(a+1/a)≦1/2 b/B=b/(b^2+A)=1/(b+A/b)≦1/(2√A) c/C=c/(c^2+B)=1/(c+B/c)≦1/(2√B) d/D=d/(d^2+C)=1/(d+C/d)≦1/(2√C) e/E=e/(e^2+D)=1/(e+D/e)≦1/(2√D) 題意の左辺=a/A+b/B+c/C+d/D+e/E ≦1/2*{1+1/√A+1/√B+1/√C+1/√D}<1/2*(1+3.2)=2.1<√5 �A少なくとも一つは1/2以下であるとき 例えばeが1/2以下であれば　 e/E=e/(e^2+D)=1/(e+D/e)≦1/(1/2+2D)<1/(1/2+2*1)=2/5だから 題意の左辺=a/A+b/B+c/C+d/D+e/E ≦1/2*{1+1/√A+1/√B+1/√C+2/5}<1/2*{1+1+1+1+2/5} =1/2*4.4=2.2<√5　他の文字でも同様 1032 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:10:17.60 ID:LKdxBnS0.net] 10 1033 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:10:24.39 ID:LKdxBnS0.net] 9 1034 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:10:33.42 ID:LKdxBnS0.net] 8 1035 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:10:39.94 ID:LKdxBnS0.net] 7 1036 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:10:45.51 ID:LKdxBnS0.net] 6 1037 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:12:58.04 ID:LKdxBnS0.net] 5 1038 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:13:05.63 ID:LKdxBnS0.net] 4 1039 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:13:13.26 ID:LKdxBnS0.net] 3 1040 名前：１３２人目の素数さん [2022/12/23(金) 19:13:28.25 ID:LKdxBnS0.net] 2 1041 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 新しいスレッドを立てて� 1042 名前：ｭださい。 life time: 77日 0時間 0分 34秒 [] [ここ壊れてます] 1043 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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