１．基本は、下記 Foundations of mathematicsのToward resolution of the crisis にある通り ”In practice, most mathematicians either do not work from axiomatic systems, or if they do, do not doubt the consistency of ZFC, generally their preferred axiomatic system. In most of mathematics as it is practiced, the incompleteness and paradoxes of the underlying formal theories never played a role anyway, and in those branches in which they do or whose formalization attempts would run the risk of forming inconsistent theories (such as logic and category theory), they may be treated carefully.” <上記のgoogle機械訳が下記> ”実際には、ほとんどの数学者は公理システムから作業しないか、または作業する場合は、ZFCの一貫性、一般的には彼らの好ましい公理システムを疑うことはありません。 実践されている数学のほとんどでは、基礎となる形式理論の不完全性とパラドックスがとにかく役割を果たしたことはなく、それらが行われている、または形式化の試みが一貫性のない理論（論理や圏論など）を形成するリスクを冒すブランチでは 理論）、それらは慎重に扱われるかもしれません。” と ２．「形式化の試みが一貫性のない理論（論理や圏論など）を形成するリスクを冒すブランチでは 理論）、それらは慎重に扱われるかもしれません」 は、まさにIUT IVの付録で望月先生が書かれていた ”Set-theoretic Foundations”が当てはまる気がする ３．21世紀の大きな流れは、一つは圏論 IUTもそうだし、拓郎先生の3億円論文も圏論使ったそうな もう一つは、”高階論理”。逆数学は2階算術を使うという 20世紀後半から21世紀のトレンドは、 脱ZFCだと思う。ZFCだけじゃ、狭いし、新しいことは出てこない 脱ZFCの一番の先駆者が、グロタンディークだったかも。ZFCGを考えたり、トポスから景を提唱したり、全く従来の基礎論に捕らわれない発想の人だった
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics Foundations of mathematics Contents Toward resolution of the crisis In practice, most mathematicians either do not work from axiomatic systems, or if they do, do not doubt the consistency of ZFC, generally their preferred axiomatic system. In most of mathematics as it is practiced, the incompleteness and paradoxes of the underlying formal theories never played a role anyway, and in those branches in which they do or whose formalization attempts would run the risk of forming inconsistent theories (such as logic and category theory), they may be treated carefully. The development of category theory in the middle of the 20th century showed the usefulness of set theories guaranteeing the existence of larger classes than does ZFC, such as Von Neumann?Bernays?Godel set theory or Tarski?Grothendieck set theory, albeit that in very many cases the use of large cardinal axioms or Grothendieck universes is formally eliminable. One goal of the reverse mathematics program is to identify whether there are areas of "core mathematics" in which foundational issues may again provoke a crisis.
https://en.wikipedia.org/wiki/Topos The Grothendieck topoi find applications in algebraic geometry; the more general elementary topoi are used in logic.
In practice, most mathematicians either do not work from axiomatic systems, or if they do, do not doubt the consistency of ZFC, generally their preferred axiomatic system.
In most of mathematics as it is practiced, the incompleteness and paradoxes of the underlying formal theories never played a role anyway, and in those branches in which they do or whose formalization attempts would run the risk of forming inconsistent theories (such as logic and category theory), they may be treated carefully.
>>860 >IUT IV §3を読む限り、望月の考えはほとんど素朴集合論に依っていると思う。 >set theoretic formulaによる操作であるmutationを無頓着に使っていて、 >まさに >>846 の２が当てはまる。
ありがとうございます 実は、そこまで詳しく読んでいなかったが ざっと、斜め読みしただけだったのですが いま、改めて読むと １．「望月の考えはほとんど素朴集合論に依っていると思う」に同意（それは今の大多数の数学者と同じと思う） ２．あと、望月氏も、IUT IV §3 で、 Feferman 1969を引用しているけど、 下記の”巨大数研究 Wiki 宇宙 (数学)”でも引用されている 著名文献かも。しかし、全体として、望月氏の基礎論の知識は、Feferman 1969とかグロタンディークとかで止まっている気がする ３．かつ、下記IUT IV ”hence to new Galois or etale fundamental groups, which may only be constructed if one allows oneself to consider new basepoints, relative to new universes. ” が、用語”universe”を正当化する根拠と思うけど、”universe”の世間一般の定義は結構歴史的変遷があったみたいで、望月”universe”が世間一般と合っているのかな？ ちょっと疑問です。”new basepoints”とかが、正当化の理由みたいだが、この程度なら集合内では？という気がする
(参考) https://www.is.s.u-tokyo.ac.jp/isnavi/logic06.html 圏論は数学をするための「高級言語」 蓮尾一郎 矢印ばっかり描いているのだ 数学では普通、「集合 A があって、その元 a ∈ A があって……」というように、集合ベースで話が進みます。圏論というのは、代わりに対象と射を使う数学のコトバです。ぱっと見でいえば、「矢印ばかり描いている」という印象になるでしょう。 圏論は数学の便利なコトバ 圏論の便利なところをひとつ挙げましょう※1。 “対象、射
https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.9C.9F.E3.82.AF.E3.83.A9.E3.82.B9.E3.81.A8.E3.83.95.E3.82.A7.E3.83.95.E3.82.A1.E3.83.BC.E3.83.9E.E3.83.B3.E3.81.AE 巨大数研究 Wiki 宇宙 (数学) 1.3 真クラスとフェファーマンの 2 集合論における宇宙 2.1 フォン・ノイマン宇宙 2.2 構成可能宇宙 3 脚注 4 参考文献 3 Feferman, Solomon, and G. Kreisel. "Set-theoretical foundations of category theory." Reports of the midwest category seminar III. Springer, Berlin, Heidelberg, 1969.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨ LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020
P6 - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i). As one constructs sets at new levels of the ∈-structure of some model of axiomatic set theory - e.g., as one travels along vertical or horizontal lines of the log-theta-lattice! - one t
941 名前：ypically encounters new schemes, which give rise to new Galois categories, hence to new Galois or ´etale fundamental groups, which may only be constructed if one allows oneself to consider new basepoints, relative to new universes. P85 [Ffmn] S. Feferman, Set-theoretical Foundations of Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969), pp. 201-247. (引用終り) 以上 []
>>870 補足 > ３．かつ、下記IUT IV ”hence to new Galois or etale fundamental groups, which may only be constructed if one allows oneself to consider new basepoints, relative to new universes. ” > が、用語”universe”を正当化する根拠と思うけど、”universe”の世間一般の定義は結構歴史的変遷があったみたいで、望月”universe”が世間一般と合っているのかな？ > ちょっと疑問です。”new basepoints”とかが、正当化の理由みたいだが、この程度なら集合内では？という気がする
個人的には、下記 Fesenko先生の”On asymptotic equivalence of classes of elliptic curves over Q” に注目しているんだ つまり、望月IUT は、Q上の楕円曲線で、漸近的等価なクラスを作って、楕円曲線の高さ不等式を導いた で、”クラス”となっているけど、望月IUTでは「宇宙」で、実は真のクラスではなく「集合論内」で収まっていたってことじゃね？ というのは、Q上の楕円曲線の漸近的等価な何かを圏論で構築して、それから楕円曲線の高さの近似式（不等式）を出すならば それって、「集合論内」で出来るんじゃね？ という気がするのです（望月論文では、集合論の内か外かは、厳密な議論ないけど）
(参考) https://ivanfesenko.org/?page_id=126 [R4] On asymptotic equivalence of classes of elliptic curves over Q , November 2020 （google訳 Q上の楕円曲線のクラスの漸近的等価性について） https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/10/asym2-1.pdf ABSTRACT. This short paper asks a question about a new asymptotic symmetry of the moduli space of Frey? Hellegouarch elliptic curves over rational numbers. If the answer to the question is positive then this allows to deduce an effective (1+ε) abc-inequality from effective abc-inequalities established in [3].
P2 The positive answer to the Question signifies a new asymptotic symmetry of the moduli space of elliptic curves over Q all of whose 2-torsion points are Q-rational. 2. A recent paper [3] slightly extends the IUT theory of S. Mochizuki [2] and establishes two effective abc inequalities. (引用終り) 以上
なるほど、それ面白いかも ところで、>>11 Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture. https://ncatlab.org/nlab/files/why_abc_is_still_a_conjecture.pdf Date: August 23, 2018 で、P9 As we are interested in comparing real numbers, and we have seen that various copies of ordered 1-dimensional R-vector spaces arise, it is critical to spell out all identifications of copies of real numbers that are in place. In particular, in order to say that the abstract Θ-pilot object encodes the arithmetic degree of the (j-th) concrete Θ-pilot object, we saw that it was necessary to change the isomorphism R ?= R○・,Θ by the scalar j2 , j = 1, . . . , `> (or their average, if one is interested in the averaged degree). Trying to unravel exactly what is going on, we were drawing the following diagram in Kyoto. There are several ordered 1-dimensional R-vector spaces appearing: 略 In order for a meaningful inequality to be concluded, one must consistently identify all of these. 略 However, it is clear that this will result in the whole diagram having monodromy j2, i.e., being inconsistent. The conclusion of this discussion is that with consistent identifications of copies of real numbers, one must in (1.5) omit the scalars j2 that appear, which leads to an empty inequality.
と結論づけているけど、 ショルツェ氏は、ここの議論が肝で、”which leads to an empty inequality”といい 望月氏は、IUTを誤読していると主張する
で、個人的には、本来望月氏側が、ショルツェ氏のこの筋にそって、具体的に「ここが、こう違う」と（逐一、かつ事細かく）指摘すれば良いと思うのだが それをせずに、抽象的に「単純化しずぎ」と主張して、「∧∨取り違いだ論文」書いたからこれを読め（つまりは変化球勝負） だった 今年は、真正面から、”Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture”を取り上げて、論破してほしい（直球勝負）と思う今日この頃です
あんまりおサルを相手にする気ない。たまにからかうのは、ありだ さて、ツェルメロが後者関数 suc{a}={a}を考えて、空集合Φ={}から出発して、自然数の集合Nの構成を提唱したことは、歴史の示すところで、おれが今更証明するべきことでもない 事実、下記の記述有るよ。文献[38]からだって。疑問に思うなら、大学の図書館で、[38] Levy (1979)を見ろｗ
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number Natural number 4.2.2 Zermelo ordinals Although the standard construction is useful, it is not the only possible construction. Ernst Zermelo's construction goes as follows:[38] Set 0 = { } Define S(a) = {a}, It then follows that 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {1} = {{{ }}}, n = {n?1} = {{{...}}}, etc. Each natural number is then equal to the set containing just the natural number preceding it. This is the definition of Zermelo ordinals. Unlike von Neumann's construction, the Zermelo ordinals do not account for infinite ordinals. [38] Levy (1979), p. 52 attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916 and several papers by von Neumann the 1920s. (引用終り)
