分からない問題はここに書いてね464

1 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/04(水) 23:42:56.59 ID:r1+Fntes.net] 分からない問題はここに書いてね463 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599810760/ (使用済です: 478) 873 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 09:21:28.80 ID:AshA9h4j.net] 英語だとresentmentだろ? 本来は憤りとか憤懣とか恨みとかいった広くネガティブな感情のことだけど、 カタカナでルサンチマンって書くと、ニーチェが作った哲学用語でまた特殊 な意味にもなって、虐げられたものの恨みの感情みたいに限定される。 どうでもいいけど、「怨嗟」とか「恨み」って日本語で書きゃいいだけ。 なんで哲学論議でもないのに、６文字も使ってカタカナで書くんかいなw 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 10:11:57.96 ID:WE4voce6.net] >>745 等角5角形の辺の長さから作図して、 面積と５辺の長さの和を求めるプログラムがようやく完成。 https://i.imgur.com/cQdY9re.png 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 10:24:40.89 ID:WE4voce6.net] >>833 ちょっと改良 https://i.imgur.com/dl7R4hQ.png 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 10:29:51.40 ID:+QVHKwwn.net] >>834 ゴクツブシの5角形と名付けよう。 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 10:31:43.53 ID:JGagj8LV.net] せめてコテハンつけてもらえませんか？ 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 10:38:30.44 ID:EEJdUeoc.net] 本人のためにも、コテハンはつけたほうがいいね 879 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 11:22:34.12 ID:srd+H137.net] ax^2+bx+c=0 bx^2+cx+a=0 cx^2+ax+bx=0 (a,b,c,≠0)のとき、 上のすべての式の解が全て有理数、または整数になるa,b,cは取れますか？ また、取れない場合その証明を教えていただけませんか？ 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 11:27:30.02 ID:WE4voce6.net] >>834 ABの長さを１に固定しては駄目だな。 プログラムを修正 https://i.imgur.com/tEGUL91.png Lが一定のときにSが最大になるa,b,cを求めることになるんだが、どうしたものやら思案中。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 12:05:02.44 ID:VCSPKIyf.net] 見覚えがある設定だと思ったらこれか。問題は違うけど 2020年度 東京大・理系数学 [問題] a, b, c, p を実数とする。不等式 　　　　　　　ax^2 + bx + c > 0 　　　　　　　bx^2 + cx + a > 0 　　　　　　　cx^2 + ax + b > 0 をすべて満たす実数 x の集合と，x > p を満たす実数 x の集合が一致しているとする。 (1) a, b, c はすべて 0 以上であることを示せ。 (2) a, b, c のうち少なくとも 1 個は 0 であることを示せ。 (3) p = 0 であることを示せ。 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 12:26:58.88 ID:WE4voce6.net] >>839 図でｂとｃを決めれば青線の長さがL-b-cになるようなaは一意的に定まるから、面積も計算できるはず。2変数関数になんとか絞れ� 883 名前：ｻう。 https://i.imgur.com/f03rJqA.png [] [ここ壊れてます] 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 13:29:31.76 ID:EEJdUeoc.net] >>745 最大は良いとして、最小なんてあるんだっけ？ 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 13:39:24.24 ID:VCSPKIyf.net] 縮尺小さくしたら面積いくらでも小さくできそうな気がするが違うのか？ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 13:42:09.49 ID:WE4voce6.net] >>841 それで、プログラムを組んで５辺の総和が５のときに面積が最大になるｂ、ｃの値を探索させてみた。 その結果 > optim(c(0.5,0.5),function(bc) bc2S(bc[1],bc[2]),control=list(fnscale=-1),method='N') $par [1] 1.0005158 0.9996459 $value [1] 1.720453 まあ、b=c=1の近似値が得られたので最大となるのは正５角形であることが体感できた。 これが極大値をみている可能性はあるけど。 最初は、等角５角形ってイメージすらわかなかったが、手順を踏んで作図していったら、なんとかなるものだ。 最大値（極大値）近傍での等高線図を作図してみた。 https://i.imgur.com/spdIIVx.png 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 13:46:40.96 ID:VCSPKIyf.net] あっ長方形を細長くつぶすみたいなことは五角形だとできないのか。 それで三角形が下限になるかもって話なのか　 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 14:07:02.69 ID:WE4voce6.net] >>843 イナ氏が蛞蝓（なめくじ）の形になるとレスしているので、作図してみた。 https://i.imgur.com/B28n0Dt.png 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 14:16:53.61 ID:WE4voce6.net] >>845 蛞蝓より三角形みたいですね。 作図してみました。 https://i.imgur.com/mXaXzLu.png 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 14:23:25.16 ID:WE4voce6.net] >>847 文字が重なって見ずらいので図形だけにしたみました。 https://i.imgur.com/ihKtRgO.png 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 14:39:55.46 ID:zAw1RjA9.net] xについての方程式 (1+x)(1+ax)+b=0...(*) を考える。 （1）(*)が実数解を1個以下しか持たないとき、実数a,bがみたす条件を求め、それをab平面上に図示せよ。 （2）tを正の実数とする。(*)が少なくとも1つ実数解をもち、そのいずれもが-t以上t以下であるとき、実数a,bがみたす条件を求め、それをab平面上に図示せよ。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 15:03:09.10 ID:WE4voce6.net] >>828 面白い問題なので、シミュレーションしてみた。 sim <- function(){ i=1　　　　　　　　 # ジャンケン回数　 j3=sample(0:2,1) # 3人でジャンケンしたときに勝者の人数 if(j3==1) return(i) # あいこ：勝者1人：勝者2人の比は1:1:1 while(j3==0){ 　 # あいこが続けば繰り返す i=i+1 j3=sample(0:2,1) } if(j3==1) return(i) # 勝者1人ならジャンケン回数を返す i=i+1 j2=sample(0:1,1,prob=c(3,6)) # 2人でジャンケンしたときに勝者の人数 if(j2==1) return(i) # あいこ：勝者決定の比は3:6 while(j2==0){ 　 # あいこが続けば繰り返す i=i+1 j2=sample(0:1,1,prob=c(3,6)) } return(i) # ジャンケン回数を返す } 1000万回のシミュレーション結果 https://i.imgur.com/rqGS9PR.png > mean(i) [1] 2.250078 > table(i) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3333328 3333503 1851189 864960 369951 150717 59766 22799 8596 3291 1235 12 13 14 15 16 17 18 425 154 48 23 11 3 1 厳密解の9/4と近似していて気分が( ・∀・)ｲｲ!! 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 15:17:00.43 ID:WE4voce6.net] >>850 これ面白いな。 ジャンケン回数が何回で決定するか賭けをすると1回にかける方が3回にかけるよりも勝率がいいんだな。 期待値2.25だと3回に賭けた方が有利な気がしたんだけど。 894 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 16:28:44.07 ID:TfItO25x.net] お願いします。 �@雨が降るならば風が吹き雷が鳴る。 �A風が吹かず雷が鳴らないならば雨は降らない。 �B風が吹かないならば雨� 895 名前：ｪ降らない。 という命題があり、風が吹くをp、雷が鳴るをq、雨が降るをrとしたとき、 �@はr→p∧q、 �Aは�p∧�q→�r �Bは�p→�r でいいんでしょうか？それとも �@はp∧q→r でしょうか？ また真理値表を書く際、どれにTTTTFFFF、TTFFTTFF、TFTFTFTFTFを当てはめればいいのかわかりません。 [] [ここ壊れてます] 896 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 16:29:29.82 ID:TfItO25x.net] >>852 文字化けは否定記号です。すいません 897 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2020/12/15(火) 16:32:26.08 ID:UkKbAeL7.net] 否定記号は¬だよ。 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 16:43:53.92 ID:y8pLkgfH.net] ｓ=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^0.5 ｘ2、x1、y2、y1はyの1番、xの1番とかです。0.5は二分の一のことです。 sをx1.x2.y1.y2で偏微分してください。お願いします。できれば、途中式もお願いします。 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 16:50:24.38 ID:hzFj+p0s.net] 馬鹿は死ななきゃ治らないは 馬鹿ならば、（死なないならば治らない） （馬鹿でかつ死人でない）ならば治らない の二通りの解釈があるけど �@雨が降るならば風が吹き雷が鳴る。 は　雨が降るならば（風が吹き雷が鳴る）。 だと思う。 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 16:58:47.63 ID:hzFj+p0s.net] >>852 # PならばQ ≡　(P かつ (Qでない))ではない '%=>%' = function(P,Q) !(P & !Q) > gr=expand.grid(c(T,F),c(T,F),c(T,F)) > colnames(gr)=c('rain','wind','thunder') > f1 = function(rain, wind,thunder) rain %=>% (wind & thunder) > f2 = function(rain, wind,thunder) (!wind & !thunder) %=>% !rain > f3 = function(rain, wind,thunder) !wind %=>% !rain > data.frame(gr,f1=mapply(f1,gr[,1],gr[,2],gr[,3]), + f2=mapply(f2,gr[,1],gr[,2],gr[,3]), + f3=mapply(f1,gr[,1],gr[,2],gr[,3])) rain wind thunder f1 f2 f3 1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE 2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE 3 TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE 4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE 5 TRUE TRUE FALSE FALSE TRUE FALSE 6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE 7 TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE 8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE 901 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 17:03:08.11 ID:TfItO25x.net] >>856 ありがとうございます。あと真理値表の当てはめ方がわかりません。 902 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 17:08:10.14 ID:TfItO25x.net] >>857 前半部は何となく書いてあることがわかるんですが、真理値表の最初の部分でウィンドウ、サンダー、レインのどれにTTTTFFFF、TTFFTTFF、TFTFTFTFを当てはめるのかがわからないのです 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 17:17:32.16 ID:JGagj8LV.net] こういう自演を平気でするやつにコテハンもへったくれもないのか 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 17:38:46.83 ID:IXzRvpqG.net] だってバカは死ななきゃ治らないもん 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 18:07:31.91 ID:mFmDd1gs.net] >>838 まず 3つ目の等式がタイプミス, つまり, cx^2+ax+b =0 だと解釈して考える 結論からいうと いくらでもある s,tを任意の0でない整数とするとき (ただし t≠ -s) (a,b,c)=(s,t,-(s+t)) は条件を満たす : sx^2 + tx - (s+t) = s(x-1)(x + 1 + t/s) tx^2 - (s+t)x + s = t(x-1)(x - s/t) -(s+t)x^2 + sx + t = -(s+t)(x-1)(x + t/(s+t)) 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 18:17:13.26 ID:mFmDd1gs.net] >>838 >>862 で問題は解いたといえるのだが おまけで "本質的"にa,b,cを整数に限定していいことを示す (もっというと その上で gcd(a,b,c)=1 としてもよい) 複素数a,b,cが問題の条件を満たしていたとする. このとき 任意の複素数mに対して a,b,cを一斉にma,mb,mcに取り替えても やはり問題の条件を満たしている しからば 例えば 最初から c=1 だとしてもよい x^2+ax+b=0 の解はすべて有理数であることから 解と係数の関系より a,bは有理数となることがいえる. よって,mとして適当な自然数を選べば ma, mb, mc はすべて整数とできるので, これらをあらためてa,b,cとしよう. 最後に d=gcd(a,b,c) とおき, a,b,c を a/d, b/d, c/d に取り替えればgcdの条件も満たす 以上 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 19:07:41.06 ID:WE4voce6.net] >>859 疑問の意味がわからないんだが？ 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 19:15:39.39 ID:+QVHKwwn.net] 三文一人芝居だな。 909 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 19: ] [ここ壊れてます] 910 名前：25:11.61 ID:TfItO25x.net mailto: >>864 命題がp,q,rのように3つあるばあい真理値表の最初の部分は自動的に pTTTTFFFF qTTFFTTFF rTFTFTFTF のようになります。この命題p,q,rと真理値TFはどのような規則で対応づければよいのかということです。例えば、 pTFTFTFTF qTTFFTTFF rTTTTFFFF のように対応づけることもできますが、どういう規則で対応づけを見つければよいのでしょうか・・・？ [] [ここ壊れてます] 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 19:32:22.46 ID:WE4voce6.net] >>859 3つ目を例にとると rain wind thunder f1 f2 f3 TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE は　雨が降って風邪はふかず雷が鳴っているときは f1、すなわち �@雨が降るならば風が吹き雷が鳴る。 はFALSE f2、 �A風が吹かず雷が鳴らないならば雨は降らない。 はTRUE f3、 �B風が吹かないならば雨が降らない。 はFALSE の意味。 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 19:36:53.43 ID:WE4voce6.net] >>866 ｐがTかF,ｑがTかF,ｒがTかFで 2^3=8通りの組み合わせがあれば、並べ方はどうでもいいと思うけど。 913 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 19:43:54.47 ID:TfItO25x.net] >>868 返信ありがとうございます。 今から塾なのであとでもう一度やってみて結果を報告いたします。 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 20:04:27.73 ID:WE4voce6.net] >>828 これ４人のジャンケンにすると計算が大変そう。 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 20:05:42.77 ID:LAQa0P0G.net] >>849が解かれないのはなぜですか？ 2次方程式の本質に迫る高級な問題ですが 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 20:23:28.40 ID:4L9X2FBx.net] ｷﾓｯ 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 21:02:46.17 ID:mFmDd1gs.net] 4人ジャンケンだと 45/14 n回目の試行後に決着がつく確率p[n]は p[n]=(161*13^(n-1) - 9^(n-1)*(36n+117))/(2*27^n) (n≧1) Σ[n=1,∞]n*p[n] = 45/14 確率の導出は行列の計算に帰する 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 21:15:51.12 ID:JGagj8LV.net] >>871 問題そのものに“見た目の魅力”がないからやろ そもそもどんなに頑張っても受験数学レベルの問題は解くためのアルゴリズムが見つかってる事が多くてそんな問題わざわざ解こうなんて思わない 実際>>849なんか解くためのアルゴリズムはもう存在してる つまり現代数学はそもそも、すでに見つかってるアルゴリズムに具体的な問題に適用するだけならもう計算機にやらした方が早いのでわざわざ解く気にはならない、 がしかし時たまなんか例外的にものすごい面白い解き方があってサラッととけたりする場合(あるいはそれを感じさせる場合)は確かにあってある程度以上数学ができる人間はそういう問題しか手を出したいとは思わない 実はそういう意味ではある程度以上数学力ある人に面白い、解いてみようと思ってもらえる問題作る方が単に解くより遥かに難しい 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 21:26:41.51 ID:5Y6mC4+Z.net] そもそも「図示せよ」なんて問題をどうせいちゅーんだ？ 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 22:03:35.57 ID:WE4voce6.net] >>850 ４人のジャンケンに拡張してシミュレーションしたみた。 ３人でのプログラムをサブルーチンとして使った。 こんな感じで期待値は約3.21 https://i.imgur.com/BMLuO3L.png 1000万回の分布 > table(i) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1481884 2687465 2280834 1539688 922822 518876 278109 143813 73657 36921 18235 9027 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4360 2261 1036 516 252 117 72 26 12 7 5 4 26 1 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 22:09:12.16 ID:mFmDd1gs.net] >>873 >>876 なるほど 検算になっているわけだな >>873 は実は計算機でチェックしてないが正しいようだ 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 22:10:11.18 ID:WE4voce6.net] >>873 4人の場合の計算ありがとうございます。 シミュレーション結果だと > mean(i) [1] 3.214478 > 45/14 [1] 3.214286 なので、 シミュレーションに間違いのが確認できました。 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 22:32:00.66 ID:JGagj8LV.net] そういう意味ではウリュウには全くその方面の才 924 名前：覚はないわな [] [ここ壊れてます] 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 22:37:44.34 ID:IXzRvpqG.net] >>879 だってこいつ、ド平日に5chに粘着してここでも40レスしてるようなどうしようもない穀潰しだもん 才覚もクソもない https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1607687111/ 926 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/15(火) 22:50:29.85 ID:nDJS2hF9.net] >>869 調べましたが同じにはならないようです。明日学校で聞いてみます。ありがとうございました。 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 23:21:57.27 ID:WE4voce6.net] >>876 ４人用のプログラムを５人用のサブルーチンに組み込めばいいので 芋づる式にシミュレーションができる。 ５人のジャンケンでの1000万回のシミュレーション https://i.imgur.com/Zl56UmY.png 平均（期待）値とモード値の乖離が面白いな。 賭けをするときの参考になるｗ > mean(i) [1] 4.485208 > table(i) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 616650 1713774 1933073 1678517 1287622 923858 634905 425587 280357 182668 117057 75469 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47703 30561 19038 12199 7639 4872 3073 2035 1296 744 473 315 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 42 182 108 99 47 38 13 11 9 5 1 1 1 さて、明日は防護服を着ての内視鏡だし、そろそろ寝るかな。 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 00:14:34.21 ID:vS7p/MZl.net] ウリュウって何なんですか？ 数学と関係ない事は他所でやって下さい。 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 00:30:12.99 ID:TzBvyy6J.net] >>883 元々は医療・医者板に生息する荒らしです。 でもここでも誰にも聞かれてないのに永遠と自問自答をしているようです。 迷惑かけてごめんなさい。 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 01:47:47.95 ID:aSIHWQVO.net] >>884 「荒し」に対する粘着も迷惑なので止めて欲しい 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 06:48:27.44 ID:IsuZ0G+8.net] >>839 EA=a,　AB=c,　BC=b とおいて L = a + b + c + {(a+b)cos(72) + c}/cos(36) 　= (2-1/φ)(a+b) + (1+2/φ)c 　= (5-√5)/2・(a+b) + (√5)c, S = (1/4){(a+b)/(2sin(18)) + c}^2 tan(36) - (1/4)(aa+bb) tan(72), 　cos(36) = φ/2 = 0.809017 　cos(72) = (φ-1)/2 = 1/(2φ) = 0.309017 a=b=c のとき 25(S/LL) = (5/4)√(1 + 2/√5) = 5/{4√(5-2√5)} = 1.720477400589 932 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/16(水) 07:50:56.09 ID:ndCqEGP0.net] >>830 わかりやすい！ 933 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/16(水) 07:54:53.19 ID:ndCqEGP0.net] じゃあn人だとどうなるの？ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 13:18:59.63 ID:qVLxQ+sV.net] >>848 1辺の長さを→0にするのと2辺の長さを→0にするのではどちらが面積が小さいのだろうな？ 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 14:19:59.50 ID:qVLxQ+sV.net] >>886 レスありがとうございます。 L = a + b + c + {(a+b)cos(72) + c}/cos(36) 　= (5-√5)/2・(a+b) + (√5)c, をつかって S = (1/4){(a+b)/(2sin(18)) + c}^2 tan(36) - (1/4)(aa+bb) tan(72), のcを代入消去して S=(1/4)*((a+b)/(2*sin(pi/10))+((1+sqrt(5))*L-2*sqrt(5)*(a+b))/(5+sqrt(5)))^2*tan(pi/5)-(1/4)*(a^2+b^2)*tan(2*pi/5) 2変数関数になるけど、これを偏微分して解くのは大変そうなので、これを等高線図にしてみると https://i.imgur.com/xt9UPz1.png >844の図に一致 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2020/12/16(水) 17:59:35.09 ID:JiTXaG9I.net] 未解決問題を6問解決した人間を馬鹿にするのはいい加減にしろ！ 何様だ 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 18:58:00.44 ID:k91+xLmz.net] 脈絡ないやっちゃ 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 22:23:33.09 ID:8Pe2XHtm.net] 以下の問題が解けません． A ： R^kの直方体 B ： R^ 939 名前：nの直方体 Q := A × B f : Q → Rは有界関数 ∫_Q fが存在するならば，∫_{y∈B} f(x, y)がx∈A-Dに対して存在する．ただし，DはR^kの測度ゼロの集合とする． [] [ここ壊れてます] 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 22:34:48.80 ID:XN7u2FGu.net] そもそも成り立つの？ ∫_{y∈B} f(x, y)がa.e.で存在するなら累次積分できることにならない？ 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/16(水) 23:06:31.24 ID:8Pe2XHtm.net] >>894 ありがとうございます． 累次積分できるとなぜ成り立たないということになるのでしょうか？ 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 00:29:42.41 ID:CX2nLKbT.net] >>895 具体例が思いつかないけど、そもそもフビニの定理って「(2重)積分可能な関数は『ひとつの変数について積分可能であれば』累次積分可能」というものだよね 重積分可能なら常に累次積分可能(上の『』部分の仮定が不要)かと言われるとちょっと疑問 解析は得意じゃないからなんか勘違いしてたらスマン 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 00:53:18.93 ID:CX2nLKbT.net] はいやっぱり勘違い 成り立つわこれ ただリーマン積分で示せるかはわからん 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 03:24:11.15 ID:+huxfH6p.net] ベクトル空間VからWへの線型写像全体の集合をUとするときVが5次元、Wが3次元のときUの次元を求めよ。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 04:26:34.86 ID:XRoPFavo.net] >>828 >>888 n人の場合は数学的に工夫することで計算量を著しく減らすことができる : m人(2≦m≦n)でジャンケンを1回したとき m人からk人(2≦k≦m)に推移する確率をc[m,k]とおく. また, r回目の試行後に i人だけ残っている確率を p_i(r) とおく(r≧0, 1≦i≦n) p_i(0)=0 (i＜n), p_n(0)=1 に注意する 各p_i (i≧2)の関係式を導き, 適切な行列をみると, n-1次の三角行列Aが得られる 対角成分に固有値が並ぶので Aの固有値はすべて0と1の間となっている よってジョルダン標準型を通してA^nを考えることで Σ[k=0,∞]p_i(k) および Σ[k=0,∞]k*p_i(k) などは すべて有限な値として存在することがいえる よって漸化式を全く解くことなく 漸化式に対して適切な極限操作を施すだけで必要な極限値を順次得ることができる (そして最後には 求める期待値 Σ k*p_1(k) を得る) 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 04:30:13.84 ID:XRoPFavo.net] >>899 この方法で得た正確な結果を記す (n=100まで一瞬で得られたが煩いのでn=20まで) (プロおじの方法だと n=10の場合の小数第2位の正確な値すら厳しいハズ) 2人ジャンケンのとき, 期待値 E_2 = 3/2 3人ジャンケンのとき, 期待値 E_3 = 9/4 4人ジャンケンのとき, 期待値 E_4 = 45/14 5人ジャンケンのとき, 期待値 E_5 = 157/35 6人ジャンケンのとき, 期待値 E_6 = 13497/2170 7人ジャンケンのとき, 期待値 E_7 = 225161/26040 8人ジャンケンのとき, 期待値 E_8 = 10007591/826770 9人ジャンケンのとき, 期待値 E_9 = 200190574/11712575 10人ジャンケンのとき, 期待値 E_10 = 8327737507/342007190 11人ジャンケンのとき, 期待値 E_11 = 52638199503/1504831636 12人ジャンケンのとき, 期待値 E_12 = 389862062796301/7700975897230 13人ジャンケンのとき, 期待値 E_13 = 387573105427167083/5255916049859475 14人ジャンケンのとき, 期待値 E_14 = 1328352828484019015863/12300345246971131350 15人ジャンケンのとき, 期待値 E_15 = 44814867627964596359957/282087917663871278960 16人ジャンケンのとき, 期待値 E_16 = 1248966073671106510217431/5324409445905570390370 17人ジャンケンのとき, 期待値 E_17 = 1188413940161233998870184916/3420 947 名前：933068994328975812725 18人ジャンケンのとき, 期待値 E_18 = 462490778649964859552472265471787/896770236572311386377499356950 19人ジャンケンのとき, 期待値 E_19 = 548979826595108547184034682392229661/715622648784704486329244486846100 20人ジャンケンのとき, 期待値 E_20 = 8576155080550131610959831097970895507929/7503833033267727220482012085501624614 [] [ここ壊れてます] 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 04:58:57.82 ID:XRoPFavo.net] さらにオマケとして得られた期待値E[n]を用いれば E[n+1] などはすぐ得ることができる (E[1]=0としておく) 期待値の線形性から E[n+1] = Σ[k=1,n+1]c[n+1,k]*(E[k]+1) よって (1-c[n+1,n+1])E[n+1] = Σ[k=1,n]c[n+1,k]*(E[k]+1) このE[n]の漸化式を解くのは私には無理だったが c[n, k] = n C k / 3^(k-1), c[n,n] = 1-n(2^(n-1)-1)/3^(n-1) (1≦k≦n-1) これはすぐわかるので さっきのE[n]の満たす漸化式からは次々求まっていく 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 05:20:49.37 ID:XRoPFavo.net] タイプミス修正＆インデックスをズラしておく (E[1] = 0) (1-c[n,n])*E[n] = c[n,n] + Σ[k=1,n-1]c[n,k]*(E[k]+1) ただし E[n]は以下の鉤括弧の期待値とする 「最初にn人いて途中で負けた人は脱落するというルールのもとで 全員でジャンケンをしつづけるときの最後の１人になるまでの試行回数」 一旦, 何らかの方法でE[n]の存在を示せば, (たとえば >>899) あとはこの漸化式を用いて計算するのが１番いいようにおもえるが... 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 06:18:55.28 ID:XRoPFavo.net] そういえば条件付き期待値というのは高校数学の範囲外なのか... じゃあ期待値の漸化式を導出する方法は範囲外ということになるな (形式的にかくと E(X)=E(E(X|Y)) が成り立つという法則, 詳しくはLaw of total Expectationsでググって) ならば いろいろ勘定すると >>830 みたいな方法が高校数学では無難ということになりそうだ 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 07:53:04.42 ID:1+tWiiEa.net] >>890 　aa + bb ≧ (1/2)(a+b)^2 を使えば S ≦ (1/4){(a+b)/(2sin(18)) + c}^2 tan(36) - (1/8)(a+b)^2 tan(72), だから、実質１変数 (a+b)/c だね 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 11:03:15.75 ID:xY1GbZ7D.net] >>898 やたらと自明だが、釣り？ 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 11:23:13.56 ID:fqmylgpK.net] >>848 辺の和が１のときに最小値（極限値）となる三角形の面積 L=sqrt(1+1-2*cos(3*pi/5)) S=(1/2)*sin(3*pi/5) S/(L^2) でいいのか？ 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 12:19:45.10 ID:lyOwXRHU.net] Σ[k=0,n] (n-k)!/n!k! をnで表せ。 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 12:46:14.20 ID:sGKYv62C.net] >>901 c[n, k] = n C k / 3^(n-1), c[n,n] = 1-(2^n-2)/3^(n-1) では？ 956 名前：１３２人目の素数さん [2020/12/17(木) 12:51:17.45 ID:qHL2el2S.net] すみません、お願いします。 []はガウス記号として、nを自然数とするとき [ (n-1)! / n(n+1) ]　は偶数であることを示せ。 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 14:36:36.00 ID:XRoPFavo.net] >>908 そのとおり c[n,n]のほうは何故か別のものを書いてしまったようだ 他はたぶん大丈夫だとおもわれる...(計算機で確認済み) 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 14:40:59.68 ID:XRoPFavo.net] >>908 あらやだ c[n,k]の分母のほうにもタイプミスがあった 掲示板の投稿は注意深く見直してからすべきと反省 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 15:26:49.97 ID:tP3bsDXT.net] >>909 n<6なら(n-1)!<n(n+1)故に自明 n=6,7,8の時は [5!/42]=2,[6!/56] 960 名前：=12,[7!/72]=70より良い n≧9として良い (n-1)! ≡ a (mod n(n+1)), 0≦a<n(n+1)) を満たすaをとれば [(n-1)!/(n(n+1))] = ((n-1)! -a)/(n(n+1)) n,n+1のうち偶数である方を2mとすればn≧6よりm>4 よって(n-1)!は8mの倍数であるからv2((m-1)!)>v2(n(n+1)) よってv2(a/(n(n+1))>0を示せば十分 n,n+1のいずれも素数でない時はa=0であるからよい nが素数のときはWilsonの定理によりa=n^2-1であり v2(a/(n(n+1)))=v2(n-1)/n)>0 n+1が素数のときはWilsonの定理によりa=n^2であり v2(a/(n(n+1)))=v2(n/(n+1))>0 [] [ここ壊れてます] 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 21:06:47.58 ID:1+tWiiEa.net] >>906 L = 1 + 1 + 2cos(36) = 2{1 - cos(144)} = 4sin(72)^2 = 2 + φ = φ√5 = 3.618034 S = (1/2)sin(72) = 0.475528258 S/(L^2) = 1/{32sin(72)^3} = (1/20)√(5-2√5) = 0.036327126 でいい。 (舐籤形は (1/20)sin(72) = 0.047552826　で大きい。) cos(36) = φ/2 = 0.809017 sin(72) = √{(5+√5)/8} = (1/2)√(2+φ) = (1/2)√(φ√5) = 0.951056516 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/17(木) 21:21:08.88 ID:xavHpqS9.net] その問題等角N角形（Nは６以上の自然数）が辺の和一定のときの面積の下限も三角形のとき？ 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 01:30:27.78 ID:4VDdsaoq.net] >>907 これお願いします 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 02:05:43.31 ID:7Suy5zB7.net] >>915 二項係数の和の問題は大抵の場合二項定理から明らか 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 02:06:56.98 ID:7Suy5zB7.net] よく見たら二項係数じゃなかったわ…… 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 05:42:09.73 ID:DAoaiwdi.net] >>914 Nが奇数のときは そうかも。 Nが偶数のとき 　一組の対辺が 1/2に近づき、他辺が0に近づくと、S→０ 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 07:11:12.39 ID:bYrsT3B7.net] >>900 10人でのジャンケンのあいこの確率が95%近いので、シミュレーションに時間がかかるし、誤差も大きくなりそう。 シミュレーションプログラムをｎ人の場合に拡張してみた。 sim <- function(n=10){ # n : number of players p=vector('list',length=n) # probability list p[[1]]=1 # p[[m]][[i]] probability of m players to i winners for(m in 2:n){ k=1:(m-1) p[[m]]=c(3^m-sum(3*choose(m,k)),3*choose(m,k))/3^m } # simulation of number of winners among n players NW <- function(n,i=1){ # n:players, i:total plays j=1 nw= sample(0:(n-1),1,prob=p[[n]]) # number of winners while(nw==0){ # while no winner,repeats j=j+1 nw=sample(0:(n-1),1,prob=p[[n]]) } c(nw,i-1+j) # (number of winners, total plays) } wj=NW(n,1) while(wj[1]!=1){ wj=NW(wj[1],wj[2]) } return(wj[2]) } j10=mean(replicate(1e6,sim(10))) j10 > j10 [1] 22.28356 厳密解は24.35らしいので、シミュレーションだと整数桁すら一致しなかった。 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 07:17:45.21 ID:bYrsT3B7.net] >>913 レス、ありがとうございます。 Lを長辺の長さで計算していました。 > L=1+1+sqrt(1+1-2*cos(3*pi/5)) > S=(1/2)*sin(3*pi/5) > S/(L^2) [1] 0.03632713 でした。 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 07:29:38.50 ID:bYrsT3B7.net] >>919 初回のジャンケンで一人の勝者が決まる場合が抜けているというバグがあったので修正。 sim <- function(n=10){ # n : number of players p=vector('list',length=n) # probability list p[[1]]=1 # p[[m]][[i]] probability of m players to i winners for(m in 2:n){ k=1:(m-1) p[[m]]=c(3^m-sum(3*choose(m,k)),3*choose(m,k))/3^m } # simulation of number of winners among n players NW <- function(n,i=1){ # n:players, i:total plays j=1 nw= sample(0:(n-1),1,prob=p[[n]]) # number of winners while(nw==0){ # while no winner,repeats j=j+1 nw=sample(0:(n-1),1,prob=p[[n]]) } c(nw,i-1+j) # (number of winners, total plays) } wj=NW(n,1) if(wj[1]==1) return(1) # single winner at initial play while(wj[1]!=1){ # repeats till single winner determined wj=NW(wj[1],wj[2]) } return(wj[2]) } j10=mean(replicate(1e6,sim(10))) j10 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 08:39:31.25 ID:IpgghfRr.net] すでに終わった問題にてこずるプログラムおじさん 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 08:53:37.05 ID:tKj3vKrK.net] イナとおんなじ 自分が解けた 972 名前：(と思う)までやる [] [ここ壊れてます] 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/18(金) 09:13:19.17 ID:S8eT4D7U.net] まあいいんじゃないか その問題はそうじゃなかったようだが 数学の領域に持ち込むのが難しい問題だと プロおじの方法、つまりシミュレーションは有力な方法となりえる とくに速く収束し,天文学的な試行回数が必要ない場合とかな

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