- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/15(火) 18:17:13.26 ID:mFmDd1gs.net]
- >>838
>>862 で問題は解いたといえるのだが
おまけで "本質的"にa,b,cを整数に限定していいことを示す
(もっというと その上で gcd(a,b,c)=1 としてもよい)
複素数a,b,cが問題の条件を満たしていたとする.
このとき 任意の複素数mに対して
a,b,cを一斉にma,mb,mcに取り替えても
やはり問題の条件を満たしている
しからば 例えば 最初から c=1 だとしてもよい
x^2+ax+b=0 の解はすべて有理数であることから
解と係数の関系より a,bは有理数となることがいえる.
よって,mとして適当な自然数を選べば
ma, mb, mc はすべて整数とできるので,
これらをあらためてa,b,cとしよう.
最後に d=gcd(a,b,c) とおき,
a,b,c を a/d, b/d, c/d に取り替えればgcdの条件も満たす
以上
