- 871 名前：[n] = n/3^n
最後に p[n] = q[n-1]/3 + 2*r[n-1]/3 を使えばよい
さて求める期待値は Σ[n=1,∞]n*p[n]
= Σ[n=1,∞]n(2n-1)/3^n となる
各自然数nに対して f(n) = (an^2+bn+c)/3^(n-1) とおく
ただし, a=1, b=1/2, c=3/4 としておく
すぐ確認できるように n(2n-1)/3^n = f(n)-f(n+1) が成立している
(逆にこれが成立するようにa,b,cを定めたら a=1, b=1/2, c=3/4 がでてくる)
まず部分和を求めたいので, mを自然数として
Σ[n=1,m]n(2n-1)/3^n = Σ[n=1,m](f(n)-f(n+1))
= f(1) - f(m+1)
(差分形で消えていき, 間の f(2),f(3),.,f(m)が相殺される)
ここで m→∞とすれば f(m+1) → 0 だから
求める期待値は f(1) = a+b+c = 9/4 となる [] - [ここ壊れてます]
