- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 596 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 14:05:48.96 ID:WMW0bPzH.net]
- >>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/25(火) 14:13:38.29 ID:INCWFL/L.net]
- 京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな
- 598 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 14:56:45.78 ID:1YFg5R8p.net]
- >>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾
- 599 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 15:26:52.86 ID:0KQ2py8l.net]
- 4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3677-0
- 600 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/25(火) 20:20:32 ID:9H9AGGze.net]
- そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/26(水) 21:29:35.91 ID:3UGv2jT6.net]
- 正の有理数
- 602 名前： x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と
a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1)
の関係がある。
a+b+c の値が 100と最も近いもの および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 02:03:08.51 ID:f9GfmhOJ.net]
- 1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(Thu) 17:00:07 ID:5cc8+UEj.net]
- (tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 18:49:07.28 ID:hxZioUH7.net]
- 訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 20:16:26.22 ID:6SmBw6gg.net]
- >>570
tan(30ﾟ) が有理数でないことを示すには
sin(30ﾟ) = s とおく。
1 = sin(90ﾟ) = 3s -4s^3,
(s+1)(2s-1)^2 = 0,
s≠-1 だから s=1/2,
tan(30ﾟ) = s/√(1-ss) = 1/√3,
1/√3 が有理数でないことを示せばよい。
1/√3 が有理数だったと仮定すると
1/√3 = p/q (p,qは自然数)
q^2 = 3p^2,
ここで両辺を素因数分解すると
左辺の3の指数は偶数(または0)、右辺の3の指数は奇数
となって UFD に反する。 (矛盾)
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/27(木) 20:29:00.81 ID:6SmBw6gg.net]
- >>575
{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 00:09:34.34 ID:6+sDQgwJ.net]
- 和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす
1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 09:17:13.90 ID:gtbRddYz.net]
- 有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.
(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).
(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).
以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1)
- 610 名前：は周期的にならない。
一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、
x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。
これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。 [] - [ここ壊れてます]
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 10:52:23 ID:TIr8ReLJ.net]
- >>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は
(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry
でした。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/28(金) 20:04:08.62 ID:yyQ2syhj.net]
- (tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。
- 613 名前：イナ mailto:sage [2020/02/28(金) 22:04:49.54 ID:TMuPrCsw.net]
- 前>>559
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＲ
- 614 名前：イナ mailto:sage [2020/02/28(金) 22:09:53.42 ID:TMuPrCsw.net]
- 前>>583訂正。有理数の記号はＱでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＲに対して1^kэＱ
- 615 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/29(土) 02:12:36 ID:Bn4PpVB4.net]
- 前>>584訂正。自然数の記号はＮでした。
>>582
n=8のとき、
tan45°=1
∀kэＮに対して、
与式=1^k=1эＮ
∴n=8のとき、kは任意の自然数。
n≠8のとき、k=0
もっとありそうな感じがする。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 13:04:11 ID:fSHRQCgW.net]
- >>582の確認。
こんなの感でも答えはtan(2π/n)=1、またはk≦2のときに限られるのはわかります。
題意はそれを証明しなさいです。
すなわち
(tan(2π/n)^kが有理数となるのはtan(2π/n)=1、または(tan(2π/n)^2が有理数の場合に限る事を 証 明 せよ。
です。
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 16:36:14.05 ID:3cJe9Ye6.net]
- K:=Q(tan(2π/n))⊂Q(e^(2πi/n)) より K/Q はアーベル拡大であるから、
tan(2π/n)^k=p/q において k=2 とできなければならない。
あとは>>580と同じ…というのは飛ばし過ぎだろうか
- 618 名前：イナ mailto:sage [2020/02/29(土) 18:11:59.79 ID:Bn4PpVB4.net]
- 前>>585
1+tan^2θ=1/cosθより、
tan^2θ=1/cosθ-1
tanθ=√(1/cosθ-1)
θ=2π/nとして、
tan(2π/n)=√{1/cos(2π/n)-1}
tan^k(2π/n)={1/cos(2π/n)-1}^(k/2)
n=1のとき、
tan^k(2π)={1/cos2π-1}^(k/2)
0=0^(k/2)
kは任意の自然数。
n=2のとき、
tan^kπ={1/cosπ-1}^(k/2)
1^k=(-2)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
n=8のとき、
tan^kπ/4={1/cos(π/4)-1}^(k/2)
1=(√2-1)^(k/2)
k=0となり自然数ではない。
∴n=1,kは任意の自然数。
もしあってたとしても、どこが面白いかはわからない。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/29(土) 19:45:46 ID:GgyIebsL.net]
- >>587
まぁそれがほぼ想定解です。
しかしさすがに飛びすぎ。
実数tにおいてある自然数kにおいてt^kが有理数、かつQ(t)がQ上のアーベル拡大のときt^2が有理数である事を示せ。
です。
- 620 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 06:37:29.57 ID:+B38pBXy.net]
- 正方形の一辺の垂直二等分線を定規のみで作図せよ
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 08:54:32.79 ID:vlQ4BnF6.net]
- >>590
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)を4頂点とする。
E(a,0) (0<a<1/2) を適当にとる。
直線AC∩直線BD=F(1/2,1/2)∈S
直線DE∩直線AC=G∈S
直線BG∩直線AD=H(0,a)∈S
直線AH∩直線BC=I(1,1-a)∈S
直線EI∩直線CD=J(1+a,1)∈S
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S
この時□AEJCと□KACLのそれぞれの対角線の交点を結べば良い。
- 622 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 09:03:43.81 ID:zJUT57J7.net]
- 最近面白い問題がないな
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 09:20:09.03 ID:g3yGUOWL.net]
- >>589はダメ？
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 10:48:21.70 ID:YZSiuLon.net]
- じゃあまた投稿者には未解決だけど一�
- 625 名前：ﾂ
任意の複素数係数多項式 F∈C[x] について、次を満たす f,g,h∈C[x] は存在するか：
F(x) = f(x)^3 + xg(x)^3 + (x^2)h(x)^3 [] - [ここ壊れてます]
- 626 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/01(日) 14:45:50 ID:Yhf86Vyf.net]
- /∥__∥ □ ∥ |ﾟ○。
|∩∩∥ ｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`e) [￣]∥(`) )ﾟ
(￣,`っ｢￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ >>590正方形の対角線の交点は垂直二等分線が通る。前>>588あともう一点、垂直二等分線上の点が必要。定規にシャーペンを固定してコンパスみたいに回したらどうかな。
- 627 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:04:19 ID:+B38pBXy.net]
- >>591
直線AH∩直線BC→ 直線FH∩直線BC
直線FJ∩直線AB=(-a,0)∈S → K(-a,0)
直線EF∩直線CD=(1-a,1)∈S → L(1-a,1)
ということかな？
平行四辺形二つ作って刺す感じですか
なるほど正解です
想定していた解法はチェバを使うものでした
- 628 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 19:07:53 ID:+B38pBXy.net]
- >>595
ここでいう「定規」とは以下の能力しか持たない抽象的な道具です
・与えられた二点を結ぶ線分を引く
・線分を延長する
また、点とは「線と線の交点」、「線分の端点」のことを指します
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:05:10.17 ID:b16SM21O.net]
- >>596
チェバの解放ﾌﾟﾘｰｽﾞ
- 630 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:18:55.24 ID:fSBfHqBl.net]
- >>598
https://i.imgur.com/l0toryy.png
- 631 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/01(日) 20:19:30.63 ID:fSBfHqBl.net]
- >>599
この要領で対辺にも中点を作ってそれらを結べばよい
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 20:21:51.07 ID:b16SM21O.net]
- >>599
なる
thx
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:30.26 ID:YZSiuLon.net]
- ユークリッド平面上に三点(-1,0),(0,0),(1,0)だけが作図されている状態から、
任意の有理数rについて点(r,0)を作図できることを示せ。
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 21:38:59.87 ID:YZSiuLon.net]
- >>602
すまん、定規だけで。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/01(日) 23:14:20.87 ID:i2VXPeIF.net]
- >>602
補題1
A1,A2,A3が同一直線上にこの順に等間隔に並ぶとき、この直線上の点A4をA1,A2,A3,A4が等間隔に並ぶようにできる。
∵)Pを直線外にとり線分PA2上にQを任意にとる。
PA1とQA3の交点をB1、PA3とQA1の交点をB3とすればB1B3//A1A3となる。
同じ手順をQを取り替えて行えばさらに線分PB1上のC1と線分PB3上のC3をとってB1B3//C1C3とできる。
C1C3とPA2の交点をC2とすればC2B3とA1A3の交点が求めるA4である。□
補題2
A1A2と線分PA1上のB1とPB2上のB2においてB1B2が平行でA1ある時A1とA2の中点がとれる。
∵)A1B2とA2B1の交点をQとする時、PQとA1A2の交点が求める中点である。□
補題3
n≧1と補題1の設定の元にA1A2を1:2^(n+1)-2に内分する点Xと2:2^(n+1)-3に内分する点Yがとれる。
∵)Pを直線外心に任意にとる。
補題1によりA1A2を2^n:2^n-1に外分する点Qがとれる。
Rを線分PA1上に任意にとりQRとPA2の交点をSとする。
A1SとA2Rの交点をTとしPTとA1A2の交点をUとすればUはA1A2を2^n:2^n-1に内分する点である。
補題2により中点を取る操作を何度もくりかえせばXとYが得られる。□
定理
補題1の設定の元に任意の1未満の正の有理数tに対しA1:A2をt:1-tに内分する点がとれる。
∵)t=a/bとなる自然数をとる。
補題2によりbが奇数の時しめせば十分である。
自然数nを2^n-1がbの倍数であるようにとれる。
この時2^n-1=bcとおけばa/b=ac/(2^n-1)であるから補題1,補題3により可能である。□
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 00:25:47.44 ID:OADBUKH6.net]
- >>604
わあすごい、お見事
想定していた流れは
・y=0 以外でy軸に平行な直線Lが作図可能。
・全ての整数nについて点(n,0)は作図可能。
・ゆえに、直線L上に、任意に長い等差点列を作図可能。
・任意の整数n,a>0,b>0について、二点(n,0),(n+1,0)をa:bに内分する点を作図可能。
最後のは、例えば直線Lが y=√2 で表され、なおかつ全ての点 (e+πm,√2) (m∈Z) が作図できたとして、
二点(n,0),(e,√2)を結ぶ直線と二点(n+1,0),(e+π(a+b),√2)を結ぶ直線の交点をPとおけば、
二点P,(e+πa,√2)を結ぶ直線とy=0の交点が求める点になる。
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 01:12:21 ID:qc9vWQ77.net]
- 簡単かもしれないけど
“円に内接する三角形で面積最大のものは正三角形である事”
を初等幾何で証明できますか
まあ解ける人はサクッと解けるのだろう
- 638 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 04:25:07 ID:6RLywf+z.net]
- 前>>595
>>590あ、わかった！
正方形を折り紙みたいにぴったり半分に折ればいいんだ。
で、その折り目に沿って定規で線を引く。
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 04:35:43 ID:0ORHzB3W.net]
- >>606
△ABC = (1/2)AB･CH
ここで CHは、頂点Cと直線ABの距離。
2頂点 A,B を固定し、中心Oから辺ABに垂線を下ろす。
垂線と円周の交点をX1,X2とする。
辺ABも、X1, X2 で引いた接線も、直径X1-X2 に垂直だから互いに平行。
円周は、この2本の接線の間にある。
Cがこの円周上を動くとき、 △ABCが最大になるのは CH が最大のとき。
すなわち Cが、2つの接点Xのうち ∠AXB が鋭角の方であるとき。
このとき AC=BC
A,B,Cを入れ替えても同様だから、正三角形。
- 640 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 04:41:31 ID:hCgOeWjY.net]
- >>606
△abcは円周上の相異なる三点から作られる三角形で、それらのうちで面積最大であるとする
いま、△abcが正三角形ではないと仮定し、abとbcの長さが異なるとする
するとacの垂直二等分線かつ円上のbのある側に点dがあり、△adc>△abcで矛盾
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:30:18.06 ID:0ORHzB3W.net]
- >>590
正方形S内の作図でも可能でした。
>>591 のあと、対角線BDに平行な線分EHを作ります。←これがミソ
線分EH ∩ 線分AC = M(a/2,a/2)
線分EF ∩ 線分BM = N(3a/{2(1+a)}, a/{2(1+a)})
直線AN ∩ 線分BC = P(1,1/3)
直線AN: y = x/3,
あとは簡単ですね。
ABCDが長方形のときも全く同じ。
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 05:43:17.17 ID:0ORHzB3W.net]
- >>609
ab≠bc から △adc > △abc を出すのはどうやるんでつか？
- 643 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 08:47:16 ID:r89pIk8E.net]
- >>607
「定規」とは>>597にある能力しか有しません
しがたって「折り目に沿って線を引く」という能力はありません
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 08:47:58 ID:0FXGIEti.net]
- >>602 関連
二点が与えられたときに中点を定木だけで作図はできない
証明ってどうやるんですか？
- 645 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 09:20:20 ID:hWkBRJKb.net]
- >>613
2点しかないんだったらできることはその2点を通る直線を引くことだけ
あと適当に引いた直線はその2点とは全く独立だから結論に何も役立たない
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:13:43.44 ID:pl+0uhr1.net]
- >>613
定規だけが使える状況では、与えられた二点の中点が作図できることは、
与えられた二点を通る直線と平行な直線が作図できることと同値になりそうだ
しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
別のある特定の点が作図できてしまうんだからな
- 647 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:19:13 ID:hWkBRJKb.net]
- >>615
>しかし、『完全に独立である』こととかをどう定式化できるかがわからんな…
>>>602でやったように、等間隔に与えられた三点とは全く独立にとった点から、
>別のある特定の点が作図できてしまうんだからな <
- 648 名前：br> コンパスもあれば2次方程式を解けるということが重要
定規だけでは何も出来ない [] - [ここ壊れてます]
- 649 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 10:28:23 ID:hWkBRJKb.net]
- n点与えられているときに定規で出来ることは
そのn点から2点取って直線を引き
その交点も含めて点の個数を
n(n-1)/2(n(n-1)/2-1)/2=(n+1)n(n-1)(n-2)/8
に増やすことだけ
これを繰り返して点をいくらでも増やせるが
それだけ
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:30:20 ID:pl+0uhr1.net]
- とは言え等間隔な三点が与えられたら、602の通りに実際『何かができた』わけだからなあ…
定規だけを使った作図に何ができて何ができないのか、という問いに正確に答えようとしたら、
それは中々自明でない問題な気がする
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:38:11 ID:0FXGIEti.net]
- ２点をm:nに内分(外分)する点を与えたらm:nに外分(内分)する点は定木だけで作図できる
けど中点は無限遠点になる。。
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:48:01 ID:0FXGIEti.net]
- よく知らんけどもしかして平行線公理の独立性ってやつ？
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 10:51:03 ID:pl+0uhr1.net]
- というかまず、明示的に許されている訳ではない操作である、
『点を適当にとる』という操作を定式化する必要があるんだよな
しかしこれはおそらく、二人不完全情報ゲームの文脈を使えばできると思う
便宜的に二人の名前を『作図者』と『神』と名づけておく。
作図者は、>>597に記されている操作をしている間はずっと自分の手番。
しかし、作図者がある直線上に点を適当にとりたいと思った時は、まずその直線の開部分集合を一つ指定し、
その開部分集合のうちどこに点をとるかを神が決める、という操作を経なければならない。
更に、作図者は開部分集合のうち神がどこに点をとったのかは、知ることができない。
（ただし『これは作図を始めてから何番目にとった点である』等のように、
適当にとった点に番号付けをして、他と区別することは可能。）
平面上に適当に点をとりたい時も同様。
すなわち先に作図者が開集合を指定し、その中から神が作図される点を決める、という操作を経る。
作図者は、開集合の中で神がどこに点をとったかを知ることはできない。番号付けは可能。
最終的に作図したい点を作図できれば作図者の勝ち。さもなくば神の勝ち。
作図者に必勝法がある時、その点は『作図可能である』と言う。
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 11:07:29.38 ID:pl+0uhr1.net]
- >>619
つまりn:mの間隔にある三点から、(n-m):mの間隔にある三点を作図することが可能という訳か
n:mが整数比なら、互除法使えば最終的に1:1にたどり着くから、
結果的にその直線上にある全ての有理（的な）点が作図できる
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 13:20:16.24 ID:hCgOeWjY.net]
- >>611
acに垂直な玄のうちdを通るものは直径で最長なので底辺acに対する高さがbよりも高いから
- 656 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/02(月) 14:49:02 ID:6RLywf+z.net]
- /∥;;∥∩∩］∥ |;;;;;
|∩∩|((-_-)｡∥ ∩∩;;
( (`)(っ/c) ∥(`) );
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(_(__∩∩__□∥∩∩~ ~
~ ~~(___()~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~>>590正方形の対角線の交点は辺の垂直二等分線が通る。前>>607あともう一点。一辺をのばした延長上の一点から最遠方の頂点まで定規で直線を引く。
この直線を引いたとき辺と交点ができる。この交点から頂点に向かって新たな直線がもう一つ引ける。この直線を引いたとき対角線と交点ができる。この交点に先にとった一辺の延長上の一点から半直線を引くと、この半直線はふたたび正方形の辺と交わり
(>>599チェバの定理より正方形の辺を二分する)、この交点と対角線の交点を通る直線を引けば、垂直二等分線が定規だけで引ける。
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 15:38:29.30 ID:pl+0uhr1.net]
- >>613 より少しだけ弱い問として
『何も作図されていない状態の平面から、定規だけを使って平行線を作図することは可能か』
というものが挙げられる。
弱いというのは、もし613が可能ならばこちらが可能であることも導ける、という意味。
しかし解決の方法はさっぱり
- 658 名前：わからん… []
- [ここ壊れてます]
- 659 名前：イナ mailto:sage [2020/03/02(月) 15:45:08.75 ID:6RLywf+z.net]
- 前>>624
>>625
一般に定規は平行な直線が一定の幅を保つように作られている。
∴平行な2直線を引くことは可能。
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 16:19:20 ID:0FXGIEti.net]
- 平行線と中点の定木のみ作図可能性はチェバの定理より同値では？
垂線の作図はどうんだろ
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/02(月) 19:21:53.96 ID:pl+0uhr1.net]
- 平面上に直線だけが与えられているとして、定規だけで垂線作図するのは無理だろうね
最初に与えられてるのがx軸だけであれば、>>621の意味で作図可能な図形は、
ある開集合に属する任意の実数aについて、変換 f(x,y)=(x+ay,y) で不変でなければならない
- 662 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/02(月) 19:27:22.86 ID:qc9vWQ77.net]
- >>608>>609
半分正解！
正当化の議論すれば間違ってはない
それで示せるのは「正三角形以外は最大値を与えない」という命題であって
「正三角形で最大値を取る」という事は直接言えない
これは「必ずある三角形が最大値を与える」という命題を認めなければならないということ
まあそれを確かめるのも大学数学の範疇では簡単なので、それ込みでそういう解き方もアリっちゃあり
でも一応初等幾何だけでも解けるんだよーって話
元ネタは京大入試の問題だかなんかで、「正三角形以外の三角形は不適を示すだけでは不正解になる」という話があって
模範解答は解析的に解いてたけど
ちょっと工夫すれば一応幾何だけで解けるな、と思ったので
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 01:15:42.77 ID:c1vEOOkk.net]
- >>629
一応できた。
二等辺三角形に限定していいのは既出の通り。
正三角形ABCの外接円をΓとする。
BCに関してAと対称である点をD、
CAに関してBと対称である点をE、
ABに関してCと対称である点をFとする。
B、Cから直線EFに下ろした垂線の足をG,Hとする。
ADに垂直な弦PQに対して△APQ≦△ABC、等号はPQとBCが一致するときを示せば良い。
直線PQとDB、DCの交点をRSとすれば△APQ≦△ARSで等号成立はBC=PQのときだから△ARS≦△ABCを示せば良い。
R,Sから直線EFに下ろした垂線の足をT,Uとする。
□BCGH=2△ABC、□RSTU=2△ARSだから□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
以下EF方向に√3倍して議論する。(√3倍した点を定義していけばよいがめんどくさいだけなので手を抜く)
RSがBCよりDに近い側にある時は□RSTUが□BCGHの外側にはみ出してる部分は内に引っ込んでる部分と比較して同じ幅で長さの短い長方形になっているのでこの場合はよい。
反対側にRSがずれている時も同様である。
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 05:46:44.76 ID:KGTUQZbA.net]
- >>606
本問では △ABC の面積を
f(C, B-A)
とおくことが可能ですね。(何でもない事のようですが)
>>609 から
∠Cを固定して ∠A, ∠B を変えたとき、
面積は、二等辺三角形(B-A=0)のときに最大である。
Max[x] f(C,x) = f(C,0)
次に ∠C を変えたとき、
面積は、B=C (=π/3) のときに最大である。(正三角形)
Max[C] f(C,0) = f(π/3,0)
これらより、最大値は
Max[C,x] f(C,x) = f(π/3,0)
つまり「正三角形で最大値をとる」という事が言えます。(キッパリ)
周囲の長さが一定とか、うまくパラメータ付けできない時には >>629 のようになりますが････
>>623 も同様かと････
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 08:42:45.54 ID:5XjpMst2.net]
- >>630
□RSTU≦□BCGHを示せば良い。
ここ以降も少し簡単にできるな。
△DEFのうち□RSTUの外側の部分が内側の部分より大きいことを示せば良い。
RSがBCよりDに近い側にある時は△ERT、△FSUをそれぞれRT、SUで□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えない
- 666 名前：で残る部分はちょうど△DRSと合同な三角形だからよい。
RSがBCよりDに遠い側にある時は△DRSを□RSTUの側に折り返して四角形を覆うとき、覆えないで残る部分は△ERT、△FSUに合同な三角形二つを合わせたものだからよい。□ [] - [ここ壊れてます]
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 09:01:23.61 ID:KGTUQZbA.net]
- >>631
補足します。
C≠π/3 ⇒ f(C,0) < f(π/3,0)
(略証)
f(C,|A-B|) は |A-B| について単調減少なので
f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
< f((π-C)/2, (1/2)|C-π/3|)
= f(π/3, |C-π/3|)
< f(π/3, 0)
= (正三角形の面積).
- 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:16:04 ID:c1vEOOkk.net]
- >>633
> f(C,0) = f((π-C)/2, (3/2)|C-π/3|)
コレは何故？
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:33:35.70 ID:KGTUQZbA.net]
- 内角が (π-C)/2, (π-C)/2, C の二等辺三角形だから。
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:41:15.55 ID:c1vEOOkk.net]
- >>635
fは外接円の半径固定されてるんですよね？
二つに割って貼り直すと思うんですが外接円の半径変わっちゃうのでは？
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 19:47:02.38 ID:c1vEOOkk.net]
- あ、失礼、貼りなおさなくてもいいのか。
頂角を取り直すだけね。
なるホロ。
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/03(火) 23:13:37.44 ID:c1vEOOkk.net]
- >>633
さんの方法は中々いいな。
この方法で内接円の面積最大とか3辺の長さの和最大とかが正三角形のときとかも初等的に示せるね。
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 00:55:02 ID:3AxDkYqV.net]
- >>631 >>633 は、内角で表わせば
{A, B, C}
{(π-C)/2, (π-C)/2, C}
{(π-C)/2, π/6 + C/2, π/3}
{π/3, π/3, π/3}
の順に面積が拡大するということですが、
この計算じたいは高校数学の範囲内でしょう。
その他にも、
外接円の半径が一定の三角形の集合はどんな集合か？
なぜうまくパラメータ表示できるのか？
といった問題もありますが、そちらは大学数学の問題でしょう。
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 01:46:22.34 ID:ncIVK0Vr.net]
- >>633
を使って初等的に示してみるまとめ。
半径1の円に内接する三角形ABCをとる、
A≦B≦Cとしてよい。
優弧BC上にDEFを∠BCD=π/3、∠CBE=π/3、∠BCF=∠CBFとなるようにとる。
EもしくはFのいずれかが弧CF上にある方をXとする。
この時
△ABC≦△XBC‥(✳︎)
であり∠XBCか∠XCBのいずれかはπ/3である。
前者のときY,ZをそれぞれC,B、後者のときはY,ZをそれぞれB,Cとすれば
△ABC≦△XYZ
であり∠Z=π/3
である。
Wを∠WXY=π/3
とすれば
△XYZ≦XYW‥(✳︎)
であり△XYWは正三角形である。□
証明の(✳︎)のところは面積のかわりに内接円の半径や三辺の和にしても初等的に示せるので内接円、三辺の和最大も処理できるし、面積をその系で示すこともできて中々気分がいい。
- 675 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/04(水) 03:30:36.65 ID:fel9VZKy.net]
- 正の整数nの任意の約数d<nに対し、ある正の整数mがあってmd+1<nがnと互いに素になるという。
nの必要十分条件を求めよ。
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 05:12:28.40 ID:3AxDkYqV.net]
- ・優弧BC上に
∠BCF = ∠CBF = (π-∠A)/2 ( >π/3),
となるように 点F をとる。
△ABC < △CBF,
∠BFC = ∠A < π/3,
・劣弧CF上に ∠EBF = π/3 となるように 点E をとる。
∠BEF = ∠BCF = (π-∠A)/2 > π/3,
すなわち
∠CBF > ∠EBF > (π-∠BEF)/2,
∴ △CBF < △EBF,
・優弧EF上に ∠DEF = ∠DFE = π/3 となるように 点D をとる。
△DEF は正三角形
△EBF < △DEF,
以上により
△ABC < △DEF,
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/04(水) 06:35:55 ID:lpGYoEdj.net]
- >>641
n≡2(mod 4)とするときd=n/2に対してdm+1<nを満たすmは1しかないが、このときdm+1みnみ偶数だから条件は満たされない。
m≡1,3(mod4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子p>2がとれるが、このときnとn/p+1の共通素因子はpしかあり得ず、pが共通素因子なら2n/p+1とnは共通素因子を持ち得ず互いに素である、
m≡0 (mod 4)とするとき任意のd|n (d<n)に対してd|n/pとなる素因子pにた�
- 678 名前：｢しp>2であれば先と同じようにしてmを選べる。
p=2のときは(n,n/2+1)=1でよい。
以上により与えられた条件はn≡0,1,3(mod4)と同値である。 [] - [ここ壊れてます]
- 679 名前：イナ mailto:sage [2020/03/04(水) 17:36:59.43 ID:OGTmh3Cc.net]
- 前>>626
>>292名高い灘高。
OA・OB=1しか条件ない。
あとは直線PQで垂直二等分されるADをどう使うか。
△PBD∽△OBQを示すために、OについてQと点対称なQ'を取り、△PBA∽△OBQ'を示したらどうか。
OA・OB=1と△PBA∽△OBQ'
どうつなげるか。
相似比PD:OQ=PA:1
見るからに相似なんだけど、相似条件がわからない。
2辺の比とその間の角が等しい、かな？
OB=1/OA=OQ/OA=OQ/PD=1/PD
接弦定理かな？
考え中？ まだ出ない？
相似だけどだれにも証明されていない問題？
- 680 名前： mailto:sage [2020/03/05(木) 00:47:22.50 ID:0idrlik+.net]
- 前>>644
平面図形に複素数なんかあるわけない。
相似条件は3つ。
3組の辺の比が等しい。
2組の辺の比とその間の角が等しい。
2角が等しい。
この3つの条件を探してみつけられなかったとしても探した奴、探そうとした奴を合格にすべきだと思う。
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 08:34:31.13 ID:y1DklE5e.net]
- >>292
半直線OABを実軸とする複素平面上で考える。
O(0)
A(a) 0<a<1,
B(1/a)
P(e^(ip))
Q(e^(iq))
0 < p < q < 2π, 0 < q-p < π,
D(e^(ip) + e^(iq) - a･e^i(p+q))
とおくと
PD = e^(i(p+q)){e^(-ip) -a} = e^(i(p+q))AP~,
QD = e^(i(p+q)){e^(-iq) -a} = e^(i(p+q))AQ~,
|PD| = |AP|
|QD| = |AQ|
∴ Dは直線PQに関してAと線対称である。
OQ/OB = a･e^(iq) = PD/PB,
ゆえ相似だろうな。。。
- 682 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/05(Thu) 13:16:55 ID:0idrlik+.net]
- 前>>645
検索したら似たような問題があって、複素数で解いてあった。
複素数を使わない解き方をみつけないといけない。
△BPA∽△BOQ'
かつ△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
- 683 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 13:31:58.08 ID:0idrlik+.net]
- PはADの中点、OはQQ'の中点だから、
△BPA∽△BOQ'
または△BDA∽△BQQ'
が言えれば、
△BDP∽△BQO
- 684 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/05(Thu) 15:50:14 ID:0idrlik+.net]
- 前>>648違うか。
AP=DPは言える。
AD⊥PQ
OA=t(0＜t＜1)とおくと、
OB=1/t
ADとPQの交点をR、BRとODの交点をSとすると、メネラウスの定理より、
(OB/BA)(AR/RD)(DS/SO)=1
{(1/t)(1/t-t)}(1/1)(DS/SO)=1
DS/SO=(1/t-t)/(1/t)=1-t^2
わからん。
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(Thu) 17:15:01 ID:eeoU5lKD.net]
- >>292
ある人に初等幾何による解答を書いてもらったのでここに貼ります
仮定よりEACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円であることに注意すると
∠APC=∠CPB=:z
∴A,DはPQに関して線対称なので
DP:PB=PA:PB=AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
=OQ:OB·····?
(補足 OA=a,OB=1/aとすると)
∠OQB=x,∠OBQ=yとすると
∠BOQ=180-x-y
円周角の定理,タレスの定理などから
∠EPC=∠ECQ=90°-∠QEO=90°-(180°∠EOQ)/2
=(x+y)/2
∠APC=∠CPB=,線対称から∠DPQ=∠QPAより
∠DPB=2∠QPC=180°-2∠EPQ=180°-x-y=∠QOB·····?
??より
2辺比夾角相等から
△PBD∽△OBQ∎
https://i.imgur.com/NwrNyyo.jpg
https://i.imgur.com/cOvLchw.jpg
- 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(Thu) 17:33:40 ID:o68Yrcxc.net]
- >>650
> ∠BOQ=180-x-y
> 円周角の定理,タレスの定理などから
この辺りが問題文で明示されてない点の配置でめちゃ�
- 687 名前：ｭちゃ場合わけしないとダメで実質証明にならない。 []
- [ここ壊れてます]
- 688 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 18:19:44.43 ID:0idrlik+.net]
- 前>>649
>>651
PQが半直線ABをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bと同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:37:42.78 ID:eeoU5lKD.net]
- >>651
これを証明した人に教えたら「PQに関してOABは同じ側だから場合分けは
上図のような場合とPQがひっくり返ったもののみだと思います」とのこと
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:51:52.17 ID:pJ9pcxTu.net]
- >>653
そんなわけないやん。
そもそもOA・OB=1てOAとOBどっちが長いとか直線ABとPQの位置の配置とかで角度の計算とか全部影響する。
円周角の配置になったり縁に内接する四角形の対角の位置にきたり。
それぞれに対して全部どっちとどっちを出すのか、引くのか、とか、完全に一致したり捕角の関係になったり。
OAが長いか、OBが長いかに始まって証明を分けざるを得ない配置の場合わけが3回くらい必要で、各々について2通りか3通りの場合わけが必要で10通りを超えた。
OB<OAの時は一応全部潰したけど、残りのケース全部潰したとしてもとても書く気にはならないだろうからやめた。
図が問題に与えられてて配置が決まってないと初等幾何の証明はそうなる事が避けられない。
もちろん図がなくてもきちんと言葉で確定してればいいけど>>292は無理。
長さ、角度の足し引きが出る証明はその点の並んでる順番の不定性がある時は必ずそうなる。
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 18:57:52.75 ID:eeoU5lKD.net]
- >>654
Aは円Oの内部だからOA<OBとのことです
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/05(木) 19:22:41.12 ID:pJ9pcxTu.net]
- >>655
そうなん？
でもそれだけじゃすまない。
>>292の文章だけでは確定しない点の配置がメチャメチャ出てくる。
そんな事ないというなら>>650 の証明で"などから"なんてごまかししないで全部書いてみてよ。
それがホントに>>653で言うように な2通りで済むのかどうか示してみてよ。
- 693 名前：イナ mailto:sage [2020/03/05(木) 21:35:24.20 ID:0idrlik+.net]
- 前>>652訂正。
>>650
PQが半直線BAをまたぐようにQをとればいいのか。
なるほど、O,A,Bに対して同じ側は意外に広いね。
Pがつぶれて困ってた。
- 694 名前：イナ mailto:sage [2020/03/06(金) 05:29:26.74 ID:PniBgS7R.net]
- 前>>657
>>650
∠EPC=∠ECQじゃないなぁ。
∠EPC=90°だから、移し間違いか文字化けか式が重なったか。
OA=tとおいてOB=1/tは同じだった。
∠APC=∠CPBは、たしかに見るからにそうなんだけど、すぐ言えるの？
どういうことだろう。
AC=1-t
CB=1/t-1=(1-t)/t
たしかに∠ACP=∠CPBに見えるんだけど。ここがこの問題の肝か。
- 695 名前：哀れな素人 [2020/03/06(金) 08:11:22.28 ID:kKV2t8Di.net]
- >>650の回答を読んだ感想。
アポロニウスの円や調和点列の知識がないと解けない。
仮に知識があっても、
>EACBが調和点列であり,円Oがアポロニウスの円である
>AC:CB=EO:OB(EACBが調和点列でOはECの中点だから)
これを見抜くのは難しい。
後半の説明は煩雑だが、要するに∠DPB=2∠QPC=∠QOB
x、yその他の説明は不要。
問題自身には何の不備もない。
- 696 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/06(金) 15:14:44 ID:PniBgS7R.net]
- 前>>658
>>659
AC:CB=1-t:1/t-1
=1-t:(1-t)/t
=1:1/t
=t:1
EO:OB=1:1/t
=t:1
たしかにAC:CB=EO:OBだけど、AC:CB=EO:OBが知りたいという必要性がどうなって出てきたか。
おそらく2組の辺の比が等しいことを言いたいからだと推察する。
もうちょっとでつながりそう。
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