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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14



1 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2015/06/20(土) 07:34:10.52 ID:w8s6oXPV.net]
旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
(最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。)
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
(古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。)

2 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 07:38:32.11 ID:w8s6oXPV.net]
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止](c)2ch.net
>> wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/650
関連 有限群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
抜粋
20世紀の間数学者は、特に有限群の局所解析(英語版)や、可解群や冪零群 の理論などといった、有限群の理論のさまざまな面を深く研究していた。
全ての有限群の構造の完全な決定は余りに遠大な目標だった: あり得る構造の数はすぐに圧倒的に大きくなった。
しかし、単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている(任意の有限群は組成列を持つ)。

他方で、"連続的対称性(英語版)"を扱っているようにもみなせるリー群の理論は、関連するワイル群(英語版)の影響を強く受ける。

与えられた位数を持つ群の個数
シローの定理などの結果から、位数 n の群の構造には n の素因数分解に依存してある制限が加わる。
例えば素数 p , q に対して、 q < p かつ p -1が q で割り切れない場合は、位数 pq の群は必ず巡回群となる。
必要十分条件については巡回数 (群論)(英語版)を参照されたい。

n に平方因子が存在しない場合、位数 n の群はすべて可解である。群の指標の理論(英語版)を用いて証明されたウィリアム・バーンサイド(英語版)の定理によれば、n が2個以下の素因数でのみ割り切れるのであれば、位数 n の群はすべて可解である。
ファイト-トンプソンの定理(英語版)という、証明が長く複雑な定理によると、n が奇数ならば位数 n の群は可解である。

任意の正の整数 n について、位数 n の群のほとんどは可解群である。
特定の位数 n についてこの事実を確認することはそれほど困難なことではない(例えば位数60の群には、同型を除いて非可解なものが1個、可解なものが12個存在する)。
しかし、任意の位数 n についてこの事実を証明するには有限単純群の分類(英語版)を要する。
任意の正の整数 n に対して位数 n の単純群は最大でも2種類しか存在せず、位数 n の同型でない単純群が2種類存在するような正の整数 n は無限に存在する。

有限単純群の分類(英語版)
有限単純群の一覧(英語版)

3 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 08:14:08.00 ID:hU6Pg6mj.net]
現代数学の系譜11 ガロア理論を読むの話してよ
どんな本なの?

4 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 08:45:50.37 ID:w8s6oXPV.net]
>>2
有限単純群の分類(英語版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
抜粋
Gorenstein's program
In 1972 Gorenstein (1979, Appendix) announced a program for completing the classification of finite simple groups, consisting of the following 16 steps:

1.Groups of low 2-rank. This was essentially done by Gorenstein and Harada, who classified the groups with sectional 2-rank at most 4.
 Most of the cases of 2-rank at most 2 had been done by the time Gorenstein announced his program.
2.The semisimplicity of 2-layers. The problem is to prove that the 2-layer of the centralizer of an involution in a simple group is semisimple.
3.Standard form in odd characteristic. If a group has an involution with a 2-component that is a group of Lie type of odd characteristic,
 the goal is to show that it has a centralizer of involution in "standard form" meaning that a centralizer of involution has a component that is of Lie type in odd characteristic and also has a centralizer of 2-rank 1.
4.Classification of groups of odd type. The problem is to show that if a group has a centralizer of involution in "standard form"
 then it is a group of Lie type of odd characteristic. This was solved by Aschbacher's classical involution the

5 名前:orem.
5.Quasi-standard form
6.Central involutions
7.Classification of alternating groups.
8.Some sporadic groups
9.Thin groups. The simple thin finite groups, those with 2-local p-rank at most 1 for odd primes p, were classified by Aschbacher in 1978
10.Groups with a strongly p-embedded subgroup for p odd
11.The signalizer functor method for odd primes. The main problem is to prove a signalizer functor theorem for nonsolvable signalizer functors. This was solved by McBride in 1982.
12.Groups of characteristic p type. This is the problem of groups with a strongly p-embedded 2-local subgroup with p odd, which was handled by Aschbacher.
[]
[ここ壊れてます]

6 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 08:49:21.45 ID:w8s6oXPV.net]
>>3
どうも。スレ主です。これですが。でも、彌永本の方をお薦めします
www.amazon.co.jp/dp/4320011643
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ハードカバー ? 1975/4/20
N.H.ABEL (著), E.GALOIS (著), 正田 建次郎 (監修, 監修), 吉田 洋一 (監修, 監修), 守屋 美賀雄 (翻訳)

7 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 08:54:24.63 ID:w8s6oXPV.net]
>>3

booklog.kinokuniya.co.jp/kato/archives/2013/12/post_377.html
『ガロアの時代 ガロアの数学』時代篇&数学篇 彌永昌吉 丸善出版 2013年12月28日

ガロアの時代 ガロアの数学〈2〉数学篇

 百歳の天壽をまっとうした日本を代表する数学者が93歳と96歳の時に上梓した本である。
原資料や最新の研究にあたって書かれた本格的な著作である。文章はきびきびしていて無用のくりかえしはない。90代半ばにしてこれだけの文章が書けるとは。かくありたいものだ。

 「数学篇」は3章にわかれる。

 第1章「19世紀遺稿の数学の発展から」は「歴史篇」の数学史の章のつづきであるが、いきなり偏微分が出てきてまったく歯が立たなかった。

 第2章「ガロアの理論」は純粋数学の基礎として発展した現代の群論の視点から再構成したガロア理論だが、これもまったく歯が立たない。
結城浩『数学ガール ガロア理論』の1〜9章までと展開が似ているような気がするので、『数学ガール』を読み終えてからもう一度チャレンジしたが、やはりわからない。
『数学ガール』の群の解説は非常に明快でわかったようなつもりになったが、ラスボスのガロア理論となるとやはりわかっていなかった。

 第3章「ガロアの主著」は科学アカデミーに提出した三度目の論文の全訳をもとに、ガロアがどのように証明したかを再検証している。
最初はまったく歯が立たなかったが、
金重明『13歳の娘に語るガロアの数学』と、ガロアの論文を逐条的に解説している『数学ガール ガロア理論』の10章を読んだ後にながめたら、何をやっているかがうっすらとわかるような気がした(気がしただけで理解できたわけではない)。

 考える材料をたくさん提供してくれる本だ。数学に自信のない人は「数学篇」は飾っておくだけになってしまうかもしれないが、「歴史篇」の方は十分有益だろう。

8 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/20(土) 09:05:48.80 ID:w8s6oXPV.net]
気付いたら、コテハンなしのsageになっていた・・

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/100
100 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2012/04/17(火) 05:44:00.05
も自分かも知れない(なにか環境が変わったときに、コテハンなしのsageになっていたと)

ところで、過去何度も引用した五味健作先生下記

homepage3.nifty.com/gomiken/math/cfsg.htm
別冊数理科学「群とその応用(サイエンス社,1991年10月)」より 転記に際し誤字・誤表記等を修正
有限単純群の分類 五味健作
抜粋
1.Thompsonの業績
(2)奇数位数の単純群が可換群であることの証明(Feitと共同で).

 (2)は非可換単純群は偶数位数をもち,したがって位数2の元を持つことを意味する. 一方それ以前に,Brauer-Fowlerによって,偶数位数の単純群Gの位数と,Gの位数2の元の中心化群Hの位数との間には,不等式

|G|<f(|H|),   f(x)はある関数

が成り立つことが証明されていた. このことは,Gの構造がHの構造によって決まってしまうことを意味する.
そこでBrauerは,偶数位数の単純群を位数2の元の中心化群の構造によって分類するというプログラムを提唱し,鈴木等とともにこの研究を旺盛に推進していた. (2)はこのプログラムに礎を提供したのである.

 Feit-Thompsonによる(2)の証明は背理法によるもので,奇数位数の非可換単純群の中で位数の一番小さいものを考察する. このような群では,真の部分群はすべて可解群となる.
しかも,証明の多くの部分においては,位数が奇数であることではなく,真の部分群が可解群であるという性質だけが必要となる. このことに気付いたThompsonは,「真の部分群がすべて可解であるような非可換単純群」すなわち「極小単純群」の研究へと導かれた.
Thompsonはさらに,すべての真部分群が可解であることは必要でなく,「p-局所部分群」すなわち「自明でないp-部分群の正規化群」が,すべての素数pに対して可解であれば十分であることに気付いた.
この条件をみたす群が「N-群」と呼ばれ,(3)において研究されたものである.

9 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/20(土) 09:09:23.97 ID:w8s6oXPV.net]
>>7
うんうん、思い出してきた
Feit-Thompsonの定理で、非可換単純群は偶数位数をもち,したがって位数2の元を持つ
Brauerは,偶数位数の単純群を位数2の元の中心化群の構造によって分類するというプログラムを提唱し,鈴木等とともにこの研究を旺盛に推進していた.・・って話だった

10 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 09:31:44.59 ID:FRrjgsd3.net]
>653
(前スレの>653宛て)
いや、単純群の定義からすると、有理数体Q上の線型空間Vを考えると、
Vは加法群Rの部分群だがR自体は単純群ではないことから、可換群は必ずしも
単純群ではなくなるから、可換群に対しては定義出来るんじゃない。
Rは通常の加法についてVの拡大群とか拡大線型空間とかいう風にさ。
二項演算・が定義された群Gについて、G⊂G'なる集合G'が
Gと同じ二項演算・について群をなすとき、G'はGの拡大群という
とかいうように。そうしたら、Gが自明でない単純群のときは、
Gの拡大群G'はGに限られるようになり、Gの部分群は自明な群とGになるが、
Gが可換群のときはGの拡大群は無限個存在する例がある。



11 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/20(土) 09:52:47.59 ID:w8s6oXPV.net]
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/648
648 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2015/06/16(火) 19:01:28.59 ID:a1EkKwzR
>ピカール・ヴェッシオに関するURLが週末に5つくらい貼られるんだろうな

ピカール・ヴェッシオ理論の情報が少ないです
良く分からなかった
検索でヒットするのは、梅村先生の話が多い

https://research-er.jp/researchers/search/freeword:%E3%83%94%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%B7%E3%82%AA%E7%90%86%E8%AB%96
ピカール・ヴェシオ理論 研究者検索結果 12 件 日本の研究.com:
筑波大学が多い

https://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-9784431709381
リーマンからポアンカレにいたる線型微分方程式と群論
グレイ,ジェレミー・J.【著】〈Gray,Jeremy J.〉/関口 次郎/室 政和【訳】シュプリンガー・ジャパン(2002/12発売)
内容説明
数学が大きな発展をとげた19世紀、後世にその名を残す多くの数学者たちが、ときには協力しときには対立しながらも、その研究を現代数学へと統合し高めていく様を数学的・歴史的に解説する。
目次
第1章 超幾何関数
第2章 ラザルス・フックス
第3章 微分方程式の代数関数解
第4章 モジュラー方程式
第5章 代数曲線
第6章 保型関数
付録(等角表現に関してのリーマン、ショトキ、そしてシュワルツ;リーマンの講義とリーマン・ヒルベルトの問題;n階の微分方程式のフックスによる解析;非ユークリッドの幾何学の歴史について;一意化定理;
ピカール・ヴェシオ理論;多変数超幾何方程式、アッペルとピカール
著者紹介
グレイ,ジェレミー・J.[グレイ,ジェレミーJ.][Gray,Jeremy J.] オープン大学(The Open University)
関口次郎[セキグチジロウ]
1974年東京工業大学理学部数学科卒。理学博士。現在、東京農工大学工学部教授。専攻は群の表現論
室政和[ムロマサカズ]
1974年名古屋大学理学部数学科卒。理学博士。現在、岐阜大学工学部教授。専攻は代数解析、超局所解析、概均質ベクトル空間

12 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/20(土) 09:58:33.96 ID:w8s6oXPV.net]
>>9
どうも。スレ主です。
可換群→加群と考えるわけね
で、有理数体Q上の線型空間Vを考える
が、頭がすぐそちらに回転していかない
ざんねんながらスルーです

13 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 10:17:45.03 ID:FRrjgsd3.net]
>>11
>可換群→加群と考えるわけね
乗法群でもいい。
ピカール・ヴェッシオ理論は久美子先生が手解きしてくれます。

14 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/20(土) 15:04:02.50 ID:feIz110U.net]
英語で探せばたくさんあるのに

15 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 04:24:19.21 ID:w7DjZY0n.net]
>>12
久美子先生ですか
www.amazon.co.jp/dp/4320016998
微分体の理論 (共立叢書 現代数学の潮流) 単行本 ? 2010/9/10
西岡 久美子 (著)

代数的微分方程式の解を研究するために加減乗除の他に微分演算をもつ微分体を用いる。
本書では,数学科3年までに学ぶ標準的な群,環,体,ガロワ理論の知識を前提として,微分体の理論を基礎から厳密に解説する。
これは他書にはみられないものである。
前半は微分体の万有拡大の存在証明が大きな目標であり,またPicard-Vessiot拡大や強正規拡大のガロワ理論を解説する。
後半では微分方程式の解が初等的な演算で得られるかという問題,エアリー関数やベッセル関数の代数的独立性,パンルヴェ方程式の既約性などを論じる。

著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
西岡/久美子
1979年大阪大学大学院理学研究科博士課程前期修了。現在、慶應義塾大学経済学部教授。理学博士(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

16 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 04:29:42.00 ID:w7DjZY0n.net]
微分体がキーワードなんだね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
微分ガロア理論
目次

1 動機および基本的考え方
2 定義
3 基本的性質
4 例
5 脚注

動機および基本的考え方
微分ガロア理論(びぶんがろありろん、英:differential Galois theory) の理論を用いれば、どの初等関数の不定積分が初等関数で表せないか、決定することができる。
微分ガロア理論は、ガロア理論のモデルを基礎にした理論である。
代数的ガロア理論が体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体(びぶんたい、英:differential field)、つまり微分(びぶん、英:derivation)または微分子(びぶんし、differentiation) D を持つ体の拡大を研究する。
微分ガロア理論の殆どは、代数的ガロア理論と類似している。 両者の構成における大きな違いは、微分ガロア理論のガロア群は代数群であり、代数的ガロア理論ではクルル位相を備えた副有限群である点である。

17 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 04:36:08.01 ID:w7DjZY0n.net]
微分環の項目があるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%92%B0
(抜粋)
微分環
数学において、微分環(びぶんかん、英: differential ring)、微分体(びぶんたい、英: differential field)、微分多元環(びぶんたげんかん、英: differntial algebra)は、それぞれ微分(びぶん、英: derivation)を有する環、体、多元環である。
ここで、微分とは、ライプニッツ則あるいは積の微分公式を満たす単項演算である。 微分体の自然な例としては、複素数体上の一変数有理関数体 C(t) である。 ここで、微分体としての微分は t に関する普通の意味での微分である。

18 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 04:42:45.79 ID:w7DjZY0n.net]
前にも書いたが、wikipediaの日本語記事で、左のコラムの他言語版 Englishをクリックすると、同じ項目の英語記事に飛ぶことができる

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_algebra
Differential algebra

Contents

1 Differential ring
2 Differential field
3 Derivation on a Lie algebra
4 Examples
5 Ring of pseudo-differential operators
6 See also
7 References
8 External links

See also

Differential Galois theory
Kahler differential
Differentially closed field
A D-module is an algebraic structure with several differential operators acting on it.
A differential graded algebra is a differential algebra with an additional grading.
Arithmetic derivative
Differential calculus over commutative algebras
Difference algebra
Differential algebraic geometry
Picard?Vessiot theory

19 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 05:01:18.22 ID:w7DjZY0n.net]
>>13
英語情報ありました
https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Vessiot_theory
Picard?Vessiot theory
In differential algebra, Picard?Vessiot theory is the study of the differential field extension generated by the solutions of a linear differential equation, using the differential Galois group of the field extension.
A major goal is to describe when the differential equation can be solved by quadratures in terms of properties of the differential Galois group. The theory was initiated by Emile Picard and Ernest Vessiot from about 1883 to 1904.
Kolchin (1973) and van der Put & Singer (2003) give detailed accounts of Picard?Vessiot theory.

Contents
1 History
2 Picard?Vessiot extensions and rings
3 Liouvillian extensions
4 References
5 External links

External links
Kovacic, J. J. (2005), Picard?Vessiot theory, algebraic groups and group schemes (PDF)
www.sci.ccny.cuny.edu/~ksda/PostedPapers/pv093005.pdf

Abstract
We start with the classical definition of Picard-Vessiot extension.
We show that the Galois group is an algebraic subgroup of GL(n).
Next we introduce the notion of Picard-Vessiot ring and describe the
Galois group as spec of a certain subring of a tensor product. We shall
also show existence and uniqueness of Picard-Vessiot extensions, using
properties of the tensor product. Finally we hint at an extension of
the Picard-Vessiot theory by looking at the example of the Weierstras
}-function.
We use only the most elementary properties of tensor products,
spec, etc. We will define these notions and develop what we need. No
prior knowledge is assumed.

20 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 05:09:59.02 ID:w7DjZY0n.net]
>>15 関連
微分ガロア理論で、左のコラムの他言語版 Englishをクリックすると、下記

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory
Differential Galois theory

Contents

1 Overview
2 Definitions
3 See also
4 References

References
Bertrand, D. (1996), "Review of "Lectures on differential Galois theory"" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society 33 (2), doi:10.1090/s0273-0979-96-00652-0, ISSN 0002-9904
www.ams.org/bull/1996-33-02/S0273-0979-96-00652-0/S0273-0979-96-00652-0.pdf

Magid, Andy R. (1999), "Differential Galois theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society 46 (9): 1041?1049, ISSN 0002-9920, MR 1710665
www.ams.org/notices/199909/fea-magid.pdf

(なおPDFではないが、最新下記)
van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Galois theory of linear differential equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 328,
Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44228-8, MR 1960772



21 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 05:29:09.21 ID:w7DjZY0n.net]
>>13
どうも。スレ主です。

なるほど、キーワード Picard Vessiot で検索すると、ヒットする英語情報かなりありますね

22 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 05:40:13.50 ID:w7DjZY0n.net]
キーワード Picard Vessiot で下記日本語情報があったのでご紹介

amano-katsutoshi.com/lec2009-3/s-algebraII/
2009年度 代数学概論II (天野担当分)
筑波大学大学院数理物質科学研究科数学専攻

講義ノート・参考資料
Hopf 代数とは
amano-katsutoshi.com/lec2009-3/s-algebraII/s-algebraII-2009-Hopf_algebra.pdf
「聴講ノート2002」(zipファイルです)
amano-katsutoshi.com/lec2009-3/s-algebraII/MTakeuchi2002.zip
アフィン群スキームと可換 Hopf 代数との対応
amano-katsutoshi.com/lec2009-3/s-algebraII/s-algebraII-2009-affine_group_scheme.pdf
Picard-Vessiot 理論の一般化
amano-katsutoshi.com/lec2009-3/s-algebraII/s-algebraII-2009-PV_theory.pdf

23 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 05:52:19.19 ID:w7DjZY0n.net]
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止](c)2ch.net
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/643
643 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2015/06/14(日) 13:12:03.19 ID:SlAs+kqN [3/3]

>その線型常微分方程式版のガロア理論は代数解析より前にあって、

代数解析ね

https://kotobank.jp/word/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6-848907
コトバンク > 百科事典マイペディア > 代数解析学とは
百科事典マイペディアの解説
代数解析学【だいすうかいせきがく】
関数概念の一つの拡張である超関数(シュワルツの超関数,佐藤超関数など)に対する代数的な接近法をいう。線形偏微分方程式系の代数的取り扱いを可能とした。

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12110667597
2013/7/2218:12:21 「代数解析学」ってどんなことをやるんですか?

ベストアンサーに選ばれた回答 2013/7/2700:19:04

代数解析学は、代数の知識を使って、偏微分方程式などの解析学の問題を扱います。
代数としては、層およびそのコホモロジー理論を使います。
解析としては、多変数の複素解析の知識が必要です。
以下のホームページにアクセスして、対象の pdf をダウンロードしてみてください。
その Introduction を読めばもう少し雰囲気がつかめると思います。

参考:
kyukhin.dyndns.org/lib/Natural%20Science/books.sakhgu.sakhal...
An Introduction to D-Modules.pdf
(リンク切れなので、An Introduction to D-Modules.pdfで検索して似た情報を見てください)

24 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/21(日) 06:47:04.10 ID:w7DjZY0n.net]
D-Modulesは、下記で代用できるだろう
https://en.wikipedia.org/wiki/D-module

和訳があるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/D-%E5%8A%A0%E7%BE%A4
数学において、D-加群(D-module)は、微分作用素の環 D 上の加群である。
そのような D-加群への主要な興味は、線型偏微分方程式の理論へのアプローチとしてである。
1970年ころ以来、D-加群の理論は、主要には代数解析上の佐藤幹夫のアイデアのまとめて、佐藤・ベルンシュタイン多項式(英語版)(Bernstein?Sato polynomial)についての佐藤とヨゼフ・ベルンシュタイン(Joseph Bernstein)の仕事へ拡張した。

初期の主要な結果は、柏原正樹の柏原の構成定理(英語版)(Kashiwara constructibility theorem)と柏原の指数定理(英語版)(Kashiwara index theorem)である。
D-加群論の方法は、常に、層の理論から導かれ、代数幾何学のアレクサンダー・グロタンディークの仕事からに動機を得たテクニックを使った。
D-加群のアプローチは、性格上、大域的で、微分作用素を研究する伝統的な函数解析のテクニックとは異なっている。
以下略

なお、引用文献のPDFは、英文サイトの方が見やすい

25 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/21(日) 09:40:40.64 ID:NDSSaHua.net]
>>22
まあ、リーマン・ヒルベルト対応も線型複素常微分方程式の
の特異点とモノドロミー行列の研究に端を発しているし、
代数解析は、1変数複素解析に端を発した部分が少なからずある。
ワイル代数がリー環論と関連していて、リー環の構造を調べることで
リー群の構造が分かることがあるから、リー群とも関係してる。
リー群も元は微分方程式のガロア理論を与えんとすることに端を発して
いることだし、或る意味、リー群とモノドロミー行列の研究の合体技だわな。
層の誕生には、実解析的な多変数複素解析が欠かせない。
今の層やコホモロジーを使った多変数複素解析は、実解析的な多変数複素解析から生まれた。

26 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/21(日) 12:56:17.19 ID:JiqK8eQk.net]
難しいこと書かないで
意味わかんないから

27 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/25(木) 11:09:27.72 ID:aQrvq6+l.net]
おっちゃんです。いや〜、危なかった。危ない、危ない。
確かにアレは超越数だった。しかし、第2段の道のりは険しいわ。

28 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/26(金) 12:37:41.51 ID:97a4M/jk.net]
ちん

29 名前:ローちんぽーちんぽーちんぽー []
[ここ壊れてます]

30 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/26(金) 14:31:23.83 ID:QFXv9aba.net]
>>26の訂正:確かにアレは超越数だった。→確かにアレは無理数だった。
やはり、理屈では超越数になるが、不可解な部分があるから、まだ超越性の真偽は未定にしておく。

スレ主は偏微分方程式がお好きなようだから、代数解析を挙げたなら、
普通の解析的な線形偏微分方程式のアプローチも挙げた方がいい。
基本的には、偏微分方程式の扱い方は同じ。代数的に扱うのが代数解析、
解析的に扱うのがフーリエ変換やシュワルツの超関数などを駆使した手法。
解析的手法の発展には、擬微分作用素を開発したヘルマンダーや
マスロフ理論のマスロフという人とかが関わっている。
まあ、代数解析とか詳細は知らんけど、或る意味ガロアの夢の実現なんでしょうね。
発展させた方の多くが丁度ガロアの夢の世代とかぶっている。



31 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/26(金) 22:38:15.58 ID:HmCIG+I3.net]
どうも。スレ主です。

>>24 レスありがとう

>>26>>28 おっちゃん、どうも。お元気でなによりです
レスありがとうございます!

32 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 05:08:09.76 ID:OGuofPc2.net]
>>28
>マスロフ理論のマスロフという人とかが関わっている。

マスロフ理論は、初耳です
おっちゃん、ありがとう
検索したが、日本語ではあまり情報がヒットしないね
取りあえず下記
www.st.sophia.ac.jp/scitech/prmags/no09/no09p19.html
理工学振興会会報 ソフィア サイテック No.9
1998年4月発行
ただいま研究中
TADAIMAKENKYUCHU  数学科
微分方程式の漸近解析
教授 内山 康一
(抜粋)
実多変数の漸近解析
 実数の世界の線形偏微分方程式の接続の問題に関してはロシ アの数理物理学者のマスロフ氏が多変数のフーリエ変換と幾何 学を組み合わせた画期的な方法を量子力学の方程式をモデルと して1960年代に提案しました。
数学にも広い影響を与え、現在 では基本的な考え方の一つとして定着しています。私の偏微分 方程式の研究もマスロフ理論の応用の一例といえます。

 マスロフ先生には数年前、上智大学数学科で講演された折り にお会いしましたが、96年に私がイギリスのブリストルで在外 研究していたとき図らずも再会できて研究交流をすることがで きました。


 いままで述べてきた実多変数と複素1変数の二つの理論の先 にマスロフ理論の複素解析版があるはずです。この解決は21世 紀への夢です。

 最後に上のような研究に属さない「研究」に付いて一言。数 学を学生に伝えるとき、正確に分かりやすくなるように、さら に、学生自身もそのような伝え手になれるように普段の講義や セミナーで工夫をしてきました。
主観的にはこれも「ただいま 研究中」です。内容・形式ともに会心の講義をすることが私の もう一つの夢です。

33 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:13:13.47 ID:OGuofPc2.net]
>>28
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC
ラース・ヘルマンダー(Lars Hormander, 1931年1月24日 - 2012年11月25日)はスウェーデンの数学者。
現代的な意味合いでの線型微分方程式の最大の貢献者。初期の業績である方程式の定数係数の理論によって1962年にフィールズ賞を受賞した。
フィールズ賞受賞後、現代解析学における主要な道具の創始者として中心的役割を果たし、特に擬微分作用素とフーリエ積分作用素において大きく貢献し、その応用に関して決定的な業績を上げた。
その他にも多変数複素解析学、調和解析、ナッシュ・モーザーの陰関数定理(英語版)、散乱理論、非線型双曲型方程式、準楕円型偏微分方程式の解析などにおいて大きく貢献している。
ヘルマンダー学派なるものも存在し佐藤学派と鎬を削ったこともあった(結果的には、超局所解析学では佐藤学派に後塵を拝した)。

34 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:15:22.35 ID:OGuofPc2.net]
>>28 英語版がかなり章立てが違う。文献が充実している
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
微分方程式
線型微分方程式の研究は歴史が長くヘルマンダー等がそのひとつの頂点であろう[要追加記述]。
それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。
例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation
Differential equation
Contents
1 History
2 Example
3 Main topics
3.1 Ordinary differential equations
3.2 Partial differential equations
4 Linear and non-linear
4.1 Examples
5 Existence of solutions
6 Related concepts
7 Connection to difference equations
8 Applications and connections to other areas
8.1 In general
8.2 In physics
8.3 In biology
8.4 In chemistry
8.5 In economics 以下略

35 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:23:01.09 ID:OGuofPc2.net]
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0
解析学における擬微分作用素(ぎびぶんさようそ、英: pseudo-differential operator)は、微分作用素の一般化するものである。
1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程・ディリクレ形式(英語版)・ポテンシャル理論との関わりも深い。
物理学では量子力学や量子統計力学と関係がある。
目次
1 導入
2 定義
3 例
3.1 微分作用素
3.2 熱作用素
3.3 分数的ラプラシアン
3.4 (1?ラプラシアン)の平方根
4 性質
5 擬微分作用素の積分核
6 参考文献
7 関連項目
https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-differential_operator
In mathematical analysis a pseudo-differential operator is an extension of the concept of differential operator.
Pseudo-differential operators are used extensively in the theory of partial differential equations and quantum field theory.
Contents
1 History
2 Motivation
2.1 Linear differential operators with constant coefficients
2.2 Representation of solutions to partial differential equations
3 Definition of pseudo-differential operators
4 Properties
5 Kernel of pseudo-differential operator
6 See also
7 Further reading
8 References
9 External links

36 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:40:02.23 ID:OGuofPc2.net]
関連抜粋
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0#.EF.BC.881.E2.88.92.E3.83.A9.E3.83.97.E3.83.A9.E3.82.B7.E3.82.A2.E3.83.B3.EF.BC.89.E3.81.AE.E5.B9.B3.E6.96.B9.E6.A0.B9

性質

滑らかな有界函数係数の m-階線型微分作用素は m-階の擬微分作用素である。

二つの擬微分作用素 P, Q の合成 PQ はふたたび擬微分作用素であり、PQ の表象は P および Q の表象を用いて計算することができる。
擬微分作用素の随伴および転置はまた擬微分作用素である。

m-階微分作用素が楕円型かつ可逆ならば、逆作用素もまた ?m-階の擬微分作用素で、表象はもとの微分作用素の表象から計算できる。
これはつまり、楕円型線形微分方程式は擬微分作用素論を用いて陰に陽に解くことができるということである。

微分作用素が(その振舞いを知るのにある点の近傍での函数の値しか必要としないという意味で)「局所的」であるのに対し、擬微分作用素は「擬局所的」である。
これは厳密さをさておけ

37 名前:ホ、シュヴァルツ超函数が滑らかな点においてそれに擬微分作用素を作用させたものは特異点を生まないという意味である。

微分作用素が D = ?i(d/dx) を用いて

p(x, D)

なる形の D を変数とする多項式 p(つまり表象)で表されるのと同様に、擬微分作用素はより一般の函数のクラスに表象を持つ。
しばしば擬微分作用素に関する解析学を、その表象を含む代数的な問題の列に帰着することができる。
このことは超局所解析の本質である。
[]
[ここ壊れてます]

38 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:42:21.78 ID:OGuofPc2.net]
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析

数学の解析学の分野における超局所解析(ちょうきょくしょかいせき、英: microlocal analysis)とは、変数係数の線型および非線型偏微分方程式の研究に関するフーリエ変換に基づく、1950年代以後に発展した技術を伴う解析のことを言う。
超函数や、擬微分作用素、波面集合(英語版)、フーリエ積分作用素、振動積分作用素、パラ微分作用素の研究などが含まれる。

「超局所」(microlocal)という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。
このことは、次元が 1 よりも大きい多様体に対して、重要な意味を持つ。

外部リンク
lecture notes by Richard Melrose
newer lecture notes by Richard Melrose

39 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:44:15.19 ID:OGuofPc2.net]
関連抜粋
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E7%A9%BA%E9%96%93
余接空間
微分幾何学において、滑らかな(あるいは可微分)多様体の各点 x に x における余接空間 (cotangent space) と呼ばれるベクトル空間を取り付けることができる。
余接空間は、より直接的な定義があるが(下記参照)、典型的には、x における接空間の双対空間として定義される。
余接空間の元は余接ベクトル (cotangent vector) あるいは接余ベクトル (tangent covector) と呼ばれる。

目次
1 性質
2 正式な定義
2.1 線型汎関数としての定義
2.2 代替的定義
3 関数の微分
4 滑らかな関数の引き戻し
5 外冪
6 参考文献

40 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:46:45.79 ID:OGuofPc2.net]
関連抜粋
https://en.wikipedia.org/wiki/Cotangent_space
Cotangent space
From Wikipedia, the free encyclopedia

In differential geometry, one can attach to every point x of a smooth (or differentiable) manifold a vector space called the cotangent space at x.
Typically, the cotangent space is defined as the dual space of the tangent space at x, although there are more direct definitions (see below).
The elements of the cotangent space are called cotangent vectors or tangent covectors.

Contents
1 Properties
2 Formal definitions
2.1 Definition as linear functionals
2.2 Alternative definition
3 The differential of a function
4 The pullback of a smooth map
5 Exterior powers
6 References



41 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:50:00.02 ID:OGuofPc2.net]
関連抜粋
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E7%A9%BA%E9%96%93#.E5.A4.96.E5.86.AA
外冪

余接空間の k 次外冪 (exterior power)、Λk(Tx*M) と表記される、は微分幾何学の別の重要な対象である。k 次外冪のベクトル、あるいはより正確には余接束の k 次外冪の断面は微分 k-形式と呼ばれる。
それらは k 個の接ベクトル上の alternating 多重線型写像(英語版)と考えることができる。
この理由のため、接余ベクトルはしばしば1-形式 と呼ばれる。

42 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 06:59:39.14 ID:OGuofPc2.net]
関連抜粋
https://ja.wikipedia.org/wiki/1-%E5%BD%A2%E5%BC%8F
1-形式

線型代数学において、ベクトル空間上の 1-形式 (one-form) はその空間上の線型汎関数と同じである。この文脈における 1-形式の使用は通常その空間上の高次の多重線型関数から 1-形式を区別する。詳細は線型汎関数 (linear functional) を参照。

微分幾何学において、可微分多様体 (differentiable manifold) 上の 1-形式 (one-form) は余接束の滑らかな断面である。同値だが、多様体 M 上の 1-形式は M の接束の全空間のR への、各ファイバーへの制限が接空間上の線型汎関数であるような滑らかな写像である。

しばしば 1-形式は特に局所座標(英語版)において局所的に(英語版)記述される。局所座標系において、1-形式は座標の微分の線型結合である:

α_x = f_1(x) dx_1 + f_2(x) dx_2+ ・・・ +f_n(x) dx_n

ただし fi は滑らかな関数である。この観点から、1-形式は 1 つの座標系から別の座標系へとうつるときに共変変換法則をもつ。

目次
1 例
1.1 線型
1.2 微分
2 関数の微分
3 関連項目
4 参考文献
線型
多くの実世界の概念は 1-形式として記述できる:

関数の微分
ド・ラーム(英語版)複体の言葉で言えば、0-形式(スカラー関数)から 1-形式への割り当て、すなわち f→df をもっている。

43 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 08:05:37.58 ID:OGuofPc2.net]
>>24
関連抜粋
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC
数学では、モノドロミー (monodromy) は、解析学、代数トポロジー、代数幾何学や微分幾何学の観点から特異点の周りで対象がどのように振舞うかを研究する。
名前が意味しているように、モノドロミーの基本的な意味は、「ひとりで回る」という意味である。
被覆写像と被覆写像の分岐点への退化とは密接に関係している。
モノドロミー現象が生ずることは、定義したある函数が一価性に失敗することを意味し、特異点の周りを回る経路を動くことである。
このモノドロミーの失敗は、モノドロミー群を定義することによりうまく測ることができる。
モノドロミー群は、「回る」ことに伴い起きることをエンコードするデータに作用する群である。
目次
1 定義
2 例
3 複素領域での微分方程式
4 位相的側面と幾何学的側面
4.1 モノドロミー亜群と葉層
5 ガロア理論を経由した定義
6 関連項目
7 脚注
8 参考文献

ガロア理論を経由した定義

F(x) で体 F 上の変数 x の有理函数の体を表す。これは多項式環 F[x] の分数体である。F(x) の元 y = f(x) は、有限次拡大 [F(x) : F(y)] を決定する。

拡大は一般的にはガロア拡大ではないが、ガロア閉包 L(f) を持っている。体の拡大 [L(f) : F(y)] に付帯するガロア群を f のモノドロミー群と呼ぶ。

の場合には、リーマン面の理論は、上記に述べた幾何学的解釈が成り立つ。体の拡大 [C(x) : C(y)] が既にガロア的であれば、付帯するモノドロミー群は、デック変換群と呼ばれることもある。

このことは、被覆空間のガロア理論に関連していて、リーマンの存在定理を導く。

44 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 08:08:26.58 ID:OGuofPc2.net]
関連抜粋
https://en.wikipedia.org/wiki/Monodromy
In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology and algebraic and differential geometry behave as they 'run round' a singularity.
As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from 'running round singly'.
It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification;
the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we 'run round' a path encircling a singularity.
The failure of monodromy is best measured by defining a monodromy group: a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we 'run round'.
Contents
1 Definition
2 Example
3 Differential equations in the complex domain
4 Topological and geometric aspects
4.1 Monodromy groupoid and foliations
5 Definition via Galois theory
6 See also
7 Notes
8 References
Definition via Galois theory

Let F(x) denote the field of the rational functions in the variable x over the field F, which is the field of fractions of the polynomial ring F[x]. An element y = f(x) of F(x) determines a finite field extension

45 名前: [F(x) : F(y)].

This extension is generally not Galois but has Galois closure L(f). The associated Galois group of the extension [L(f) : F(y)] is called the monodromy group of f.

In the case of F = C Riemann surface theory enters and allows for the geometric interpretation given above.
In the case that the extension [C(x) : C(y)] is already Galois, the associated monodromy group is sometimes called a group of deck transformations.

This has connections with the Galois theory of covering spaces leading to the Riemann existence theorem.
[]
[ここ壊れてます]

46 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 08:15:01.51 ID:OGuofPc2.net]
似たようなことを以前も書いたね(下記)。では

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止](c)2ch.net
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/191
191 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2015/01/12(月) 20:39:38.05 ID:AWavoP3p [14/16]
>>190 関連

d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20110610/1307688106
檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編
2011-06-10(金) モノドロミーグラフとか
抜粋(モノドロミー(monodromy)の語源)
モノドロミー(monodromy)の語源は、run round なので、グルッと一周したときの量に形容詞として「モノドロミー」を付けるのは許されるでしょ。
似た(?)用語でホロノミー(holonomy)もあるけど、モノドロミーが先に思いついたのでモノドロミーを使う。

en.wikipedia.org/wiki/Monodromy
Monodromy
抜粋
In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology and algebraic and differential geometry behave as they 'run round' a singularity.
As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from 'running round singly'.
It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification;
the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we 'run round' a path encircling a singularity.
The failure of monodromy is best measured by defining a monodromy group: a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we 'run round'.

47 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 18:25:02.27 ID:OGuofPc2.net]
>>24 関連
リーマン・ヒルベルト対応
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
第21問題/ヒルベルトの23の問題

与えられたモノドロミー群をもつ線型微分方程式の存在証明

リーマン・ヒルベルト問題とも呼ばれる。フレドホルムの積分方程式に関するヒルベルトの研究を応用して、1908年にプレメルヒが積分方程式の問題に再定式化して、肯定的に解決。
1913年にバーコフがリーマン・ヒルベルト問題とは気づかずに別証明を与えた。
だが、1989年にアノゾフとボリブルヒが正則であるがフックス型でない微分方程式系があることを示して、プレメルヒとバーコフの証明の誤りを明らかにし、リーマン・ヒルベルト問題が否定的に解決されることを証明した。
モノドロミー表現が既約である場合にだけ、リーマン・ヒルベルト問題は肯定的に解決される。

48 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 18:30:17.21 ID:OGuofPc2.net]
へへ、英文だと違うね
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_twenty-first_problem
For Riemann?Hilbert factorization problems on the complex plane see Riemann?Hilbert.

The twenty-first problem of the 23 Hilbert problems, from the celebrated list put forth in 1900 by David Hilbert, concerns the existence of a certain class of linear differential equations with specified singular points and monodromic group.

History

This problem is more commonly called the Riemann?Hilbert problem.
There is now a modern (D-module and derived category) version, the 'Riemann?Hilbert correspondence' in all dimensions.
The history of proofs involving a single complex variable is complicated. Josip Plemelj published a solution in 1908.
This work was for a long time accepted as a definitive solution; there was work of G. D. Birkhoff in 1913 also,
but the whole area, including work of Ludwig Schlesinger on isomonodromic deformations that would much later be revived in connection with soliton theory, went out of fashion.
Plemelj (1964) wrote a monograph summing up his work.
A few years later the Soviet mathematician Yuliy S. Il'yashenko and other

49 名前:s started raising doubts about Plemelj's work.
In fact, Plemelj correctly proves that any monodromy group can be realised by a regular linear system which is Fuchsian at all but one of the singular points.
Plemelj's claim that the system can be made Fuchsian at the last point as well is wrong.
(Il'yashenko has shown that if one of the monodromy operators is diagonalizable, then Plemelj's claim is true.)
つづく
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[ここ壊れてます]

50 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 18:31:35.85 ID:OGuofPc2.net]
つづき

Indeed Andrey A. Bolibrukh (1990) found a counterexample to Plemelj's statement.
This is commonly viewed as providing a counterexample to the precise question Hilbert had in mind;
Bolibrukh showed that for a given pole configuration certain monodromy groups can be realised by regular, but not by Fuchsian systems.
(In 1990 he published the thorough study of the case of regular systems of size 3 exhibiting all situations when such counterexamples exists.
In 1978 Dekkers had shown that for systems of size 2 Plemelj's claim is true.
Andrey A. Bolibrukh (1992) and independently Vladimir Kostov (1992) showed that for any size, an irreducible monodromy group can be realised by a Fuchsian system.
The codimension of the variety of monodromy groups of regular systems of size n with p+1 poles which cannot be realised by Fuchsian systems equals 2(n-1)p (Vladimir Kostov (1992)).)
Parallel to this the Grothendieck school of algebraic geometry had become interested in questions of 'integrable connections on algebraic varieties', generalising the theory of linear differential equations on Riemann surfaces.
Pierre Deligne proved a precise Riemann?Hilbert correspondence in this general context (a major point being to say what 'Fuchsian' means).
With work by Helmut Rohrl, the case in one complex dimension was again covered.
(引用おわり)

要するに、日本語の記事の結論間違っているみたい



51 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 19:28:18.16 ID:OGuofPc2.net]
>>24

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
数学における層(そう、英: sheaf, 仏: faisceau)とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの張り合わせ可能性によって定式化される。
より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層(ぜんそう、presheaf)とよばれる。

目次
1 定義
1.1 前層
1.2 層
1.3 射
2 例
2.1 多様体上の層
2.2 層ではない前層
3 前層の層化
4 層の順像函手、逆像函手
5 層の茎
6 環付き空間と局所環付き空間
7 加群の層
7.1 加群の層の有限性条件
8 層のエタール空間
9 大域切断
9.1 例
9.2 大域切断函手
10 層コホモロジー
11 サイトとトポス
12 歴史
13 関連項目
14 参考文献
15 外部リンク

52 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 19:35:36.04 ID:OGuofPc2.net]
歴史
層の理論の起源をたどるのは容易ではない。はっきりと認識できる独立した層の理論がコホモロジーの基礎的な研究から生じるまでには約15年を要した。
層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中のジャン・ルレーによる偏微分方程式の研究だと言われている。
その後、アンリ・カルタンのセミナーで形式的な整備が進められた。さらに任意の係数体 (coefficient field) 上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、1955年にジャン=ピエール・セールによって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。
ほかに層が決定的に用いられる理論と

53 名前:オて佐藤幹夫らに端を発する偏微分方程式系の解析(D-加群の理論)があげられる。

1936年 - エドゥアルド・チェック(英語版)(Eduard ?ech)は開被覆と単体と結びつけて、脈体構成を導入した。
1938年 - ハスラー・ホイットニー(英語版)(Hassler Whitney)はジェームズ・アレクサンダー(英語版)(James Waddell Alexander II)、アンドレイ・コルモゴロフが初めてコチェイン(cochain)を定義して以来の研究を要約してコホモロジーの'現代的な'定義を与えた。
1943年 - ノーマン・スティーンロッド(英語版)(Norman Steenrod)による局所係数(英語版)(local coefficients)を持つホモロジーに関する発表。
1945年 - ジャン・ルレイ(英語版)(Jean Leray)は偏微分方程式論への応用で不動点定理を証明するために戦争の捕虜時代に行った研究成果を発表した。これは層理論とスペクトル系列(英語版)(spectral sequence)の出発点となった。
1947年 - アンリ・カルタンは、アンドレ・ヴェイユと連絡を取りながら、層の方法によってド・ラームの定理を改めて証明した(ド・ラーム=ヴェイユの定理(英語版)(De Rham-Weil theorem)参照)。ルレイは彼の講義において閉集合を通じて層の定義を与えた。
1948年 - カルタンのセミナーで層の理論が初めて記述された。
1950年 - "第二版"の層理論がカルタンのセミナーで作られた。茎のような (stalkwise) 構造を持つ層空間 (en, espace etale) の定義が使われ、台と台を持つコホモロジーが導入された。
また、連続写像はスペクトル系列を生じた。同時期に岡潔は多変数複素函数論においてイデアルの層のアイデア(に近いアイデア)を導入した。
つづく
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[ここ壊れてます]

54 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 19:37:27.07 ID:OGuofPc2.net]
つづき
1951年 - カルタンのセミナーでカルタンの定理 A, Bが岡潔の研究に基づいて証明された。
1953年 - 解析理論における連接層についての有限性定理がセールの双対定理と同様にカルタンおよびジャン=ピエール・セールによって証明された。
1954年 - セールの論文Faisceaux algebriques coherents(1955年掲載)は層を代数幾何学に導入した。
これらのアイデアは直ちにフリードリヒ・ヒルツェブルッフ(英語版)(Friedrich Hirzebruch)によって使われた。彼は1956年に位相幾何学の手法についての有名な本を記した。
1955年 - アレクサンドル・グロタンディークはカンサスのレクチャーにおいてアーベル圏および前層 (presheaf)を定義し、単射分解(英語版)(injective resolution) を用いることで層コホモロジーを導来関手としてすべての位相空間に直接用いることを可能にした。
1956年 - オスカー・ザリスキがレポートAlgebraic sheaf theoryを発表。
1957年 - グロタンディークのTohoku論文はホモロジー代数を書き直した。彼はグロタンディーク双対 (en, 例えば場合によっては特異点代数多様体についてのセール双対)を証明した。
1957年 - 前進:グロタンディークは層理論を代数幾何学の必要性に応じて拡張した。これにはスキームとそれらの上の一般的な層、局所コホモロジー (en)、導来圏 (J.L. Verdierと共同研究)、およびグロタンディーク位相が含まれる。
ホモロジー代数におけるグロタンディークによる影響力の大きい'six operations'も芽生えた。
1958年 - ロジェ・ゴドマン (en) の層理論に関する本が出版された。この頃、佐藤幹夫は佐藤の超函数を提唱した。これは層理論的な性質を持つことがわかった。

この時点で、層は代数的位相幾何学に制限されずに使われるようになり、数学の主流の分野となった。
後に、層の圏における論理は直観論理であることが発見された(この観測は現在はクリプキ=ジョイアル意味論 (en)としてよく言及されるが、おそらくは多くの著者の貢献による

55 名前:)。
このことは、層理論の様相のいくつかはゴットフリート・ライプニッツにまでさかのぼることができることを示している。
(引用終わり)
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[ここ壊れてます]

56 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 19:41:17.00 ID:OGuofPc2.net]
英文
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_%28mathematics%29
History
The first origins of sheaf theory are hard to pin down ? they may be co-extensive with the idea of analytic continuation[clarification needed].
It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on cohomology.

1936 Eduard ?ech introduces the nerve construction, for associating a simplicial complex to an open covering.
1938 Hassler Whitney gives a 'modern' definition of cohomology, summarizing the work since J. W. Alexander and Kolmogorov first defined cochains.
1943 Norman Steenrod publishes on homology with local coefficients.
1945 Jean Leray publishes work carried out as a prisoner of war, motivated by proving fixed point theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spectral sequences.
1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with Andre Weil (see De Rham-Weil theorem). Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later carapaces).
1948 The Cartan seminar writes up sheaf theory for the first time.
1950 The "second edition" sheaf theory from the Cartan seminar: the sheaf space (espace etale) definition is used, with stalkwise structure.
Supports are introduced, and cohomology with supports. Continuous mappings give rise to spectral sequences. At the same time Kiyoshi Oka introduces an idea (adjacent to that) of a sheaf of ideals, in several complex variables.
つづく

57 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 19:44:53.85 ID:OGuofPc2.net]
つづき

1951 The Cartan seminar proves the Theorems A and B based on Oka's work.
1953 The finiteness theorem for coherent sheaves in the analytic theory is proved by Cartan and Jean-Pierre Serre, as is Serre duality.
1954 Serre's paper Faisceaux algebriques coherents (published in 1955) introduces sheaves into algebraic geometry. These ideas are immediately exploited by Hirzebruch, who writes a major 1956 book on topological methods.
1955 Alexander Grothendieck in lectures in Kansas defines abelian category and presheaf, and by using injective resolutions allows direct use of sheaf cohomology on all topological spaces, as derived functors.
1956 Oscar Zariski's report Algebraic sheaf theory
1957 Grothendieck's Tohoku paper rewrites homological algebra; he proves Grothendieck duality (i.e., Serre duality for possibly singular algebraic varieties).
1957 onwards: Grothendieck extends sheaf theory in line with the needs of algebraic geometry, introducing: schemes and general sheaves on them, local cohomology, derived categories (with Verdier), and Grothendieck topologies.
There emerges also his influential schematic idea of 'six operations' in homological algebra.
1958 Godement's book on sheaf theory is published. At around this time Mikio Sato proposes his hyperfunctions, which will turn out to have sheaf-theoretic nature.

At this point sheaves had become a mainstream part of mathematics, with use by no means restricted to algebraic topology.
It was later discovered that the logic in categories of sheaves is intuitionistic logic (this observation is now often referred to as Kripke?Joyal semantics, but probably should be attributed to a number of authors).
This shows that some of the facets of sheaf theory can also be traced back as far as Leib

58 名前:niz.
引用おわり
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[ここ壊れてます]

59 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/06/27(土) 19:58:22.69 ID:c8I6WA9z.net]
スレ主さん英語は読めるの?
数学とどっちが得意?

60 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 20:17:24.47 ID:OGuofPc2.net]
数学
英語はすこしよめる



61 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 21:08:13.91 ID:OGuofPc2.net]
>>30
マスロフ
https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Pavlovich_Maslov
Victor Pavlovich Maslov
From Wikipedia, the free encyclopedia
This name uses Eastern Slavic naming customs; the patronymic is Pavlovich and the family name is Maslov.

Viktor Pavlovich Maslov (Russian: Виктор Павлович Маслов; born 15 June 1930, Moscow) is a Russian physicist and mathematician.
He is member of the Russian Academy of Sciences. He obtained his doctorate in physico-mathematical sciences in 1967.
His main fields of interest are quantum theory, idempotent analysis, non-commutative analysis, superfluidity, superconductivity, and phase transitions.
He is editor-in-chief of Mathematical Notes and Russian Journal of Mathematical Physics.

The Maslov index is named after him.
Selected books
Karasev, M. V.; Maslov, V. P.: Nonlinear Poisson brackets. Geometry and quantization. Translated from the Russian by A. Sossinsky [A. B. Sosinski?] and M. Shishkova.
Translations of Mathematical Monographs, 119. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.
Kolokoltsov, Vassili N.; Maslov, Victor P.: Idempotent analysis and its applications. Translation of Idempotent analysis and its application in optimal control (Russian), "Nauka" Moscow, 1994.
Translated by V. E. Nazaikinskii. With an appendix by Pierre Del Moral. Mathematics and its Applications, 401. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.
Maslov, V. P.; Fedoriuk, M. V.: Semiclassical approximation in quantum mechanics.
Translated from the Russian by J. Niederle and J. Tolar. Mathematical Physics and Applied Mathematics, 7. Contemporary Mathematics, 5. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1981.
This book was cited over 700 times at Google Scholar in 2011.

Maslov, V. P. Operational methods. Translated from the Russian by V. Golo, N. Kulman and G. Voropaeva. Mir Publishers, Moscow, 1976.

62 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 21:37:05.84 ID:OGuofPc2.net]
Maslov index
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_Grassmannian#Maslov_index
抜粋
In mathematics, the Lagrangian Grassmannian is the smooth manifold of Lagrangian subspaces of a real symplectic vector space V.

Maslov index
A path of symplectomorphisms of a symplectic vector space may be assigned a Maslov index, named after V. P. Maslov; it will be an integer if the path is a loop, and a half-integer in general.

If this path arises from trivializing the symplectic vector bundle over a periodic orbit of a Hamiltonian vector field on a symplectic manifold or the Reeb vector field on a contact manifold, it is known as the Conley-Zehnder index.
It computes the spectral flow of the Cauchy-Riemann-type operators that arise in Floer homology[citation needed].

It appeared originally in the study of the WKB approximation and appears frequently in the study of quantization and in symplectic geometry and topology. It can be described as above in terms of a Maslov index for linear Lagrangian submanifolds.

63 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 21:45:49.53 ID:OGuofPc2.net]
Maslovで不思議なものがヒットした・・

www.ku

64 名前:rims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1541-08.pdf
数理解析研究所講究録 第1541 巻2007 年102-123
ダイマーと藻類
大阪大学大学院理学研究科植田一石(Kazushi Ueda)

ダイマー(dimer) は化学における二量体を指す. ダイマーや極性のある分子の統計力学的な模
型として2 色グラフとその上のダイマー配置が長年にわたって研究され、様々な対象と関わりの
ある興味深い問題であることが知られている. 詳しくは本講究録の高崎金久氏の解説や[14] を参
照されたい. 近年、ダイマー模型と超弦理論との関わりが見い出され、一部の理論物理学者の興
味を引いている. その中で注目すべきなのはOkounkov らによる Gromov-Witten/Donaldson-
Thomas 対応、およびHanany らによる AdS/CFT 対応の文脈での簸ゲージ理論(quiver gauge
theory) の研究であろう. 一方、藻類(alga) は理論物理学者のFeng, He, Kennaway および
Vafa によって[4] で導入された概念であり、Gelfand, Kapranov およびZelevinsky によって[5]
で導入されたアメーバ(amoeba) と密接に関係している. また、同じものがPassare やTsikh
らによってコアメーバ(coamoeba) と呼ばれ、Feng ら以前から研究されていたようである. 今
回はこれらの話題およびそれに関連した東京大学大学院理学研究科の山崎雅人氏と筆者の共同
研究 [12, 13] について解説したい.

・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・半環R+の「古典極限」としてトロピカル半環を得ることができ
る. これをMaslov の脱量子化(dequantization) と言う.
・・・・・・・・・・・・・・・・・
[]
[ここ壊れてます]

65 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 21:54:38.49 ID:OGuofPc2.net]
植田一石先生は過去ログにありましたね
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/45 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
45 返信:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日:2012/05/27
ttp://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings.html
植田一石大阪大学大学院理学研究科
Conference Proceedings / Reports

3. Coamoeba and equivariant mirror symmetry (joint work with Masahito Yamazaki, in Japanese),
MSJ meeting, September 2007,
pdf file. www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings/msj2007_9.pdf
コアメーバとトーラス同変なホモロジー的ミラー対称性
1.弦理論私見
弦理論はもともと双対共鳴模型と呼ばれ、ハドロン(すなわち陽子や中性子、
中間子などの強い相互作用をする素粒子)を記述するための現象論として誕生
したが、Yang Mills理論が強い相互作用の正しい理論としての地位を確立すると
ともに、Kelvin 卿の渦原子模型のように科学史の脚注として忘れ去られる運命に
あるかと思われた.
しかし、弦理論は滅びなかった.失敗した現象論として始まったこの理論は、
自然科学(すなわち、実験によって検証できる科学)としてはいまだかつて一度
も成功したことがないにもかかわらず、その美しい数理的構造によって多くの理
論家を引き付けてきた.弦理論の(場の量子論と比較した)特徴は整合性を壊さ
ずに理論を弄ることの難しさにあり、また、理論の致命的な矛盾が見つかっては
奇想天外な解決策によって不死鳥のように蘇るという紆余曲折に富んだ歴史を持
つ.例えば、ボゾン的弦理論の共形アノマリーと呼ばれる深刻な困難は時空の次
元を26次元 にすることで回避できる.この26という数字はLeech 格子の次元
24 に2を足したものであり、この事実はBorcherdsによるmoonshine 予想の解決
にとって本質的である.
弦理論における最大の謎は果たしてこの理論が本当に存在するか(つまり、内
部に矛盾を持たないか)である.無矛盾性のために必要な条件は非常に強いので、
それらが全て満たされるためには「奇跡」が沢山起こる必要がある.しかし、知
られている限りで必要な奇跡は全て実際に起こり、弦理論の存在に対する強力な
証拠の一つになっている.(以下略)

66 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/27(土) 22:24:16.34 ID:OGuofPc2.net]
リー群についても過去ログにあるが、取りあえず下記でも
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4
抜粋
リー群(リーぐん、英語: Lie group)は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。
ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。

定義
G を台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元で(多くの場合無限回微分可能という意味で)可微分な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、
さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての G 上の写像として可微分であるもののことである
(群演算が可微分写像となっていることを「群演算が可微分多様体の構造と両立する(可換である、あるいはうまくいっている)」といい表す)。
このような構造が入っているという前提の下で、通常は「G はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数(実多様体)を複素数(複素多様体)にとりかえて複素リー群の概念が定まる。

一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。
また、類似物として係数の属する体を p-進数体にとりかえて p-進リー群が定義される。
あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。
また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。
事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。
すなわち、G が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、G 上の解析的構造が唯一つ存在して、G をリー群にすることができる(ヒルベルトの第5問題あるいはヒルベルト-スミス予想)。

67 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 07:01:14.56 ID:pEaR/2gu.net]
>>45
>要するに、日本語の記事の結論間違っているみたい

こういうのを見ると、日本語の情報だけでは不足だということが良く分かる
日本のwikipediaを見たときに、左のEnglishの

68 名前:リンクも開いて見ておくの良いですね []
[ここ壊れてます]

69 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 18:38:02.47 ID:pEaR/2gu.net]
>>48 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
数学におけるトポス(topos)とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である
アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形(スキーム)の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。
その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。

数理論理学との関わり
Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式をトポスの対象と射についての言明として解釈することができる。トポス Sets における解釈が通常の記号論的な集合とその元に関する論理式解釈となる。
群、可換群、環などの数学的(特に代数的)構造の公理を論理式によって表現したとき、景 (C, J) 上のグロタンディーク・トポスにおいてその論理式を満たすような対象が (C, J) 上の群、可換群、環などの層になる。
局所環の層などについての局所的な条件も、全称量化子を用いた論理式によって自然に表現される。
一方、適切な景 (P, J) をポール・コーエンによる強制法 (forcing) の議論をなぞって構成し、その上の層の圏として連続体仮説が成立しないような集合論のモデルを得ることができる。
同様にして選択公理が成り立たないような集合論のモデルもある景の上の層の圏として実現できる。こうして構成される集合論のモデルのうちには排中律が成り立たないような数学的直観主義的モデルも自然に現れる。

歴史
グロタンディークはスキームとトポスとを同じ年に見いだしたと『収穫とまいた種と』で回想している。実際にグロタンディーク・トポスの一般論が整備されたのはSGA IVでの彼自身による発表の中でだった
その後ウィリアム・ローヴェアが集合論のモデルとしての可能性を見いだし、強制法との関連、ドリーニュの定理のとらえ直しなど記号論的な認識が深められたが、
グロタンディークの隠遁後に彼に近い学者がトポスの理論に貢献しなかったことは彼と他の数学者たちとの間の確執の一因になった
またリジッド幾何やSynthetic Differential Geometryなど「位相構造」より繊細な「微分構造」をトポスを通じて考える幾何学も得られている。

70 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 18:44:10.08 ID:pEaR/2gu.net]
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3/sato
3日目 「トポスとは何か:圏論的視点での強制法」:佐藤桂
アブストラクト

 全事象Aのうち、性質Sを満たすもの、命題Sが「真」となるもの、とは集合論的にはただ単に集合Aの部分集合Sを規定することになります。
この部分集合たちは通常の“∩”・“∪”によって古典束(ブール代数)を成しますが、実はこの代数構造が2点集合Ω={真、偽}という非常に単純なものによって統制されているのです。
そこで、(月並みな言い方をすれば)このΩをそれとは似て非なるものにしようとしたものが直観論理、ひいては直観束(ヘイティング代数)になるわけです。
直観論理にも、“かつ”や“または”が存在し、分配則などを満たす点で古典論理と似ていますが、二重否定が元に戻らないという点が非なるところです。
そして古典論理と集合論との対応に相当するものが、直観論理とトポス理論になるわけです(ちなみに直観は特別な場合として古典、トポスは特別な場合として集合論を含みます)。

 例えば、ある圏Cから集合の圏Setへの(反変)関手圏C^は(関数環が値域の構造を反映するのと同じく)集合の圏の構造(これは古典論理)を反映しつつも似て非なるトポス(これ直観論理)となります。
ところで、この圏を位相空間Xの開集合系のなす圏O(X)とすれば、この関手圏はその位相空間X上の前層の圏O(X)^になりますが、幾何学ではこの圏を“絞り込んだ”圏である層の圏Sh(X)を使います。
ちょっと不思議なのは、この絞り込んだ圏Sh(X)にもトポスの構造が入るところです。


「じゃあ、一般の圏にも位相入れたら、層の圏Sh(C)的なの作れて、トポスになんじゃね?」


というわけで圏Cにグロタンディーク位相なるものを入れて作ったトポスがグロタンディーク・トポスです!!
こんなアナロジーがとれてしまうのは驚きですが、これが何の役に立つんでしょうか。
つづく



71 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 18:44:57.86 ID:pEaR/2gu.net]
つづき
強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。

ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”(層の圏を切り出す)と
なんと、古典論理状態のトポス(しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス)になります!!
これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。

本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み(特に二重否定位相を使った絞り込み)を詳しめに紹介したいと思っています。
他の技術的に煩雑な部分に関しては時間的なこともあり、細かい証明までは立ち入らない予定です。。
引用おわり

72 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 19:12:44.09 ID:pEaR/2gu.net]
これは何かと言えば
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement
Kota Takeuchi 参加予定の研究会や興味のあるセミナーなどを載せています。
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3
・圏論への招待 第三回(集合、圏、代数) 2012年6月1-3日(金-日) 筑波大学

主旨:
圏論の考え方を理解したいと思いませんか?
それはあなたに新しい数学的見方を教えてくれるかもしれません。

第三回
『圏論V?代数・論理・圏〜』

講演者:(オムニバス形式) 
佐藤 桂 (京都大学大学院理学研究科卒)
清水 健一 (名古屋大学)
石田 和 (京都大学数理解析研究所)
竹内 耕太 (筑波大学数理物質科学研究科)

日時:6月1(金)-3日(日) 1日:17時ごろ開始予定 2,3日:14時ごろ開始予定
初日は3‐4時間、2,3日目は3時間×2部を予定しています。

73 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 19:21:10.69 ID:pEaR/2gu.net]
強制法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%B7%E5%88%B6%E6%B3%95
抜粋
数学の集合論における強制法(きょうせいほう、Forcing)とは、ポール・コーエンによって開発された、無矛盾性や独立性を証明するための手法である。
強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。
強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。

目次
1 直観的意味合い
2 強制半順序
3 可算推移モデルとジェネリックフィルター
4 強制
5 コーエン強制
6 可算鎖条件

直観的意味合い
直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている。
この大きい宇宙では、拡大する前の宇宙には無

74 名前:かった ω = {0,1,2,…} の新しい部分集合をたくさん要素に持っている。
そしてそれにより連続体仮説を否定することができる。が、このような議論は表面上不可能である。

強制法はこのアイデアを洗練したもので、新しい集合の存在を認めて利用するというより、拡大された宇宙の性質を元の宇宙からよりよく操作することを許したものである。

コーエンの元々のテクニックは今ではramified forcingと呼ばれるもので、強制法の説明によく使われるunramified forcingとは少々異なる。

可算推移モデルとジェネリックフィルター

強制法の鍵となるステップはZFCの宇宙 V に対して、V の要素でない適切な G を見つけることである。
結果としては G によるP-名前の解釈全てによるクラスが元々の V の拡大になるZFCのモデルになるようにする。

V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,?,1) ∈ Mを考える。 ここで言うモデルというのはZFCの十分多くの有限個の公理を満たすものを言う。
推移性というのは x ∈ y ∈ M ならば x ∈ Mとなることである。
[]
[ここ壊れてます]

75 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/06/28(日) 19:23:52.06 ID:pEaR/2gu.net]
Forcing (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_%28mathematics%29

In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique discovered by Paul Cohen for proving consistency and independence results.
It was first used, in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo?Fraenkel set theory.
Forcing was considerably reworked and simplified in the following years, and has since served as a powerful technique both in set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory.

Descriptive set theory uses the notion of forcing from both recursion theory and set theory. Forcing has also been used in model theory but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.

Contents

1 Intuitions
2 Forcing posets
2.1 P-names
2.2 Interpretation
2.3 Example
3 Countable transitive models and generic filters
4 Forcing
5 Consistency
6 Cohen forcing
7 The countable chain condition
8 Easton forcing
9 Random reals
10 Boolean-valued models
11 Meta-mathematical explanation
12 Logical explanation
13 See also
14 References
15 External links

76 名前:132人目の素数さん [2015/07/01(水) 20:55:46.63 ID:EKaMOMe9.net]
ガロア理論はどこがどのように難しいですか?

77 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/01(水) 21:19:30.36 ID:sfhb+oUL.net]
わからないワードを検索してきたりコピペしたりするのが難しい

78 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/04(土) 06:07:50.26 ID:UNrp5ytb.net]
どうも。スレ主です。
Q.ガロア理論はどこがどのように難しいですか?
A.
1.答えは、大きくは個人によると思うが。あと、読む本。難しくないという意見の人もいるかもしれない
2.その上で、高校数学とはギャップが大きいということはあるだろう
3.ガロア理論は、数学史の上では一種の革命なんだ。ガロア理論が理解されるにつれ、その影響を受けて、数学が変わっていった
4.ガロア理論(方程式の)は、n次方程式の代数的解法を、1)対称式の理論をベースに、2)体の拡大ととらえて、3)それを体の自己同型群で解明する、という三つの要素がある
5.この三つの要素は、高校数学ではあまりやってないから

79 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/04(土) 06:13:27.23 ID:UNrp5ytb.net]
余談だが、アルティン本を礼賛する人がいる
が、アルティン本は記載が

80 名前:ネ潔すぎて、初学者には難しい気がする []
[ここ壊れてます]



81 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/04(土) 08:07:09.94 ID:UNrp5ytb.net]
>>28
電子情報通信学会知識ベースのこれが良く纏まっている気がする
www.ieice-hbkb.org/portal/
電子情報通信学会知識ベース |トップページ
www.ieice-hbkb.org/portal/doc_165.html
12群 電子情報通信基礎 本群では,電子情報通信の基礎となる数学や物理学について記述している.
www.ieice-hbkb.org/portal/doc_518.html
12群1編 解析学・代数学

7章 超関数論
吉野邦生(東京都市大)概要
7-1 シュワルツ超関数(Distribution)
7-2 佐藤超関数(Hyperfunction)
7-3 リップマン・シュインガー(Lippmann - Schwinger)の公式
7-4 超関数のフーリエ変換
7-5 超関数のラプラス変換とフーリエ変換の関係
7-6 超関数の偏微分方程式への応用
7-7 超関数の標本化定理への応用
7-8 超関数のヒルベルト変換と正則関数の境界値
7-9 超関数と熱伝導方程式
7-10 超局所解析(超関数の波面集合)

82 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/04(土) 09:22:43.35 ID:cmHoS3UR.net]
スレ主さんは数学科卒なの?院はいった?

83 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/04(土) 14:42:18.84 ID:oA72BiF7.net]
>>69
おっちゃんです。>>28
>やはり、理屈では超越数になるが、不可解な部分があるから、まだ超越性の真偽は未定にしておく。
について。やっと不可解な部分が瓦解した。今まで恥ずかしい間違いをしていた。
不可解だった部分と間違えていた部分について、改めて紙で計算してみた。
手に負えない部分が生じたかと思ったが、何とか克服出来そうな見通しではある。
不可解だった部分の瓦解の結果、代わりに幾つかの結果が得られた。意味があるかどうかは知らん。
紙に書いて確認して精査せずに主張することは危険なので、超越性云々とかもまだ未定にしておく。
いや〜、面倒な計算や解析は紙に書いて確認することが大事だね。一瞬完全に崩れたかと思った。

話は変わり、マスロフ理論は量子力学と密接な関係があって、摂動法や漸近法とか用いて
量子力学や物理の微分方程式の近似解を求めることなどが理論の発端だったんです。
元はむしろ物理数学の一種だったんです。その後、幾何的な方法も取り入れて
線形偏微分方程式を扱う理論として発展したんです。シュレーディンガー方程式や
ハミルトンの関数の固有値の分布などに応用出来るんです。今では幾何にも応用されているかな。
ちなみに、シュワルツの超関数は、ディラック関数などの特殊なグラフになる
関数を扱うために開発され、分布といわれていたんです。distributionはその英語。

84 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/04(土) 15:23:26.80 ID:oA72BiF7.net]
>>69
>>71の訂正:ディラック関数→デルタ関数
ディラック関数とはいわないな。

85 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/04(土) 19:44:53.65 ID:UNrp5ytb.net]
>>70
どうも。スレ主です。
過去ログにもあるけど、工学系ですよ
でも、ヘビサイドの階段関数とか演算子法は、工学系から出たんだ
グリーン関数も、正規の数学ではなく、実際的な観点から考えられたという

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0
ヘヴィサイドの階段関数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E6%B3%95
演算子法(えんざんしほう)とは、解析学の問題、特に微分方程式を、代数的問題(普通は多項式方程式)に変換して解く方法。オリヴァー・ヘヴィサイドの貢献が特に大きいので「ヘヴィサイドの演算子法」とも呼ばれるが、厳密な理論化はその後の数学者たちにより行われた。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0
グリーン関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3
ジョージ・グリーン
パン屋の息子として生まれ、正規の教育をほとんど受けずに粉挽きの仕事をしながら独学でポテンシャル理論の論文を書いたという経歴の持ち主である。
1833年、40歳でケンブリッジ大学ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジに入学。
4年後には数学の優等者試験で4位の成績をとる。光学、音響学、水力学について6本の論文を書き、1839年にはフェローとなるが、健康を崩して翌年に故郷へ戻る。

86 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/04(土) 19:46:01.48 ID:UNrp5ytb.net]
>>71-72
おっちゃん、ありがとう!

87 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 07:30:46.17 ID:viMYoeuU.net]
>>71
おっちゃん、どうも。スレ主です。
distributionは、下記が参考になるだろう
https://ir.lib.osaka-kyoiku.ac.jp/dspace/bitstream/123456789/26889/1/dainicyokyokusyo2012.pdf
第2超局所解析の基本 森岡, 達史 2000

88 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 08:45:14.62 ID:viMYoeuU.net]
下記ご参考
www.st.sophia.ac.jp/lecture/no09.php
理工ミニレクチャー第9回 超関数の理論、熱方程式、ディジタル信号処理の数学的基礎付け 2012年以前
吉野邦生(よしの くにお)上智大学理工学部助教授 専門は解析汎関数の理論と応用

どんな本を読んでいたのですか?

“分散公式の証明、場の量子論における解析性、楔の刃の定理”などの題名を見ているだけでワクワクしてました。
寺沢寛一先生の“自然科学者のための数学概論(上、下)“、犬井鉄郎先生の”特殊関数“や”応用偏微分方程式”など読んで“ラプラス方程式の解の特異性は虚の方向に伝播する“なんていう文章に感動してました。
勿論、証明はないんですけど、直感的に言い切る所がすごいと思いました。数学的には今では、”超局所解析学“という理論でキチンと証明されてます。
量子力学の講義がないのは非常に不思議です。行列の積が非可換だというのも量子力学をやって初めて意味が分かった気がします。
もっともこういうのも授業で習うと途端につまらなくなるんですよね。 修士論文で目指した定理も(あとで判ったのですが)レッジェ極理論(複素角運動量の理論)や量子統計力学(松原グリーン関数)で使われています。
最近、Bose―Einstein凝縮の事を調べていたら、昔、自分が計算していた積分が出ていて、リーマンゼータ関数やアッペル関数が出ているのを見てなんだか懐かしかったですね。

最近はどのような研究をしているのでしょうか?

韓国や、セルビア、ベルギーの研究者たちと表題にある熱方程式の理論や調和振動子の波動関数による超関数の理論と調和解析への応用について研究しています。
これは、5、6年前から始めた研究なんですが、はじめのうちは、なんだか、さっぱり分からなくて、当時指導していた大学院の学生と頭を抱え込んでいました。杉田玄白や前

89 名前:野良沢の心境でした。
セルビアの研究者達の論文が解読できてから、いろいろ自分でも論文が書けるようになりました。2004年のセルビアでの研究会ではじめてセルビアの研究グループの人たちと会いました。
自分が読んでいた論文の著者が女性数学者達だとは知りませんでした。指導していた大学院生はこのテーマで理学博士になり、今は研究者として活躍しています。
[]
[ここ壊れてます]

90 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 08:54:35.95 ID:viMYoeuU.net]
これも
www.kanenko.com/~kanenko/KOUGI/
カーネンコの講義録
平成16年度(2004)の担当講義
www.kanenko.com/~kanenko/KOUGI/Cho/cho.html
情報科学科34年『情報科学特別講義 II』のページ
本講義は, 僕の専門である超函数と偏微分方程式の超局所解析の解説を行うものです.
ここでこんな講義をやるとは全く予期していなかったのですが, 好奇心旺盛な 今年の卒研生が, 僕がどんな研究をしているのか知りたいというので, どこま で続くか分かりませんが, やってみることにしました.

毎回の講義の概要
第1回(10月6日):超函数とは?
超函数の歴史的背景を説明し, 超函数の3通りの捉え方をデルタ函数を例に取 り説明しました.
第2回(10月13日):超函数と積分
シュワルツ流の超函数と佐藤流の超函数に付いて, 定積分の定義を検討しまし た.
第3回(10月20日):超函数と微分
超函数のシュワルツ式微分の定義の準備のため, 局所凸位相線型空間とその双 対空間の話をしました.
(略)
第7回(12月1日):緩増加超函数のフーリエ変換
シュワルツ空間の定義をし, 緩増加超函数のフーリエ変換を導入しました.
12月8日 河村先生のご本の校正をみんなでやったため休講
第8回(12月15日):フーリエ超函数
佐藤流のフーリエ変換論の紹介をし, 1のフーリエ変換と, ポアソンの和公式 の証明をしました.
12月22日 応用数学合同シンポジウムに参加のため休講
第9回(1月12日):リュービルの定理
緩増加超函数の偏微分方程式論への応用を述べ, 佐藤超函数の場合との 違いを解説しました.
第10回(1月19日):Fourier 超函数の構造定理
佐藤の超函数が大域的に連続函数の無限階微分で表されることの証明を途中ま でやりました.
第11回(2月2日):Paley-Wiener の定理と実解析解の延長
定数係数線型偏微分作用素に対する Ehrenpreis の基本原理を解説し, 小生の 修士論文の内容である, 凸コンパクト集合への実解析解の延長定理を証明の粗 筋とともに紹介しました.

これで全日程終了です. 今まで絶対無理だと思っていましたが, 小生の主要業 績を学部生に対して半年で解説しようと思えばできるんですねえ. (*^^*)



91 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 09:03:53.38 ID:NF+6yVEz.net]
スレ主ちんこでかそう

92 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 09:20:07.02 ID:viMYoeuU.net]
この程度のことは、どこにでも書いてありますが
まあ、情報集約ということで、アップしておきます
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0#.E8.B6.85.E5.B1.80.E6.89.80.E8.A7.A3.E6.9E.90
超函数論に重要な影響を与えたのは、偏微分方程式論や群の表現論などからの技術的な要請であった。

先駆的な研究
19世紀の数学には、例えばグリーン函数の定義やラプラス変換、あるいは(可積分函数のフーリエ級数には必要でない部分の)リーマンの三角級数論などが、超函数論の片鱗として垣間見える。
これらは当時、解析学の一部とは扱われていなかったものである。

工学におけるラプラス変換の重用は、経験則に基づく記号的操作としての演算子法を生み出した。
演算子法の正当化は発散級数を用いて与えられたため、純粋数学の観点からは悪い風評をうけることとなるが、これらは後の超函数法の典型的な応用先である。
1899年に出版されたヘヴィサイドの本 Electromagnetic Theory(『電磁気論』)は演算子法の定番の教科書となった。

ルベーグ積分が導入されると、超函数は初めて数学の中心に踊り出ることとなった。ルベーグ積分論では、殆ど至る所一致する可積分函数はすべて同値であると看做される。
これはルベーグ積分論において函数の個々の点における値というのは函数の重要な特徴ではないということを意味する。
可積分函数の本質的な特徴は、函数解析学における明確な定式化(つまり、他の函数の集合上で定義される線型汎函数として定義する方法)のもとで与えられた。こうして、弱微分の概念が定義されるようになる。

1920年代後半から1930年代に掛けて、その後の研究の基となる更なる展開がなされる。
ディラックのデルタ函数はポール・ディラックが(彼の科学的形式主義の一部として)大胆に定義したもので、これは測度を(素性のよい函数を成す電荷密度のような)密度として考えるという扱い方をしている。
ソボレフは、偏微分方程式論の研究において偏微分方程式の弱解をきちんと扱うために、数学の観点からも十分正当な超函数論を初めて定義した。
同じ頃、関連するほかの理論がボホナーやフリードリヒらによっても提案されている。ソボレフの業績は後にシュワルツによってさらに拡張され発展することとなる。

93 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 09:21:59.76 ID:viMYoeuU.net]
>>78
どうも。スレ主です。
ID:NF+6yVEzくんか
君はどうもそれに拘っているようだが
数学ができないで悩んでいるのか?

94 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 09:38:51.07 ID:viMYoeuU.net]
>>75
第2超局所解析の第2の意味が分からなかったが、下記で委員会?
https://kaken.nii.ac.jp/d/p/15540185.en.html
特異的なフーリエ積分作用素・超局所双曲性・第2超局所解析 戸瀬 信之 慶應義塾大学・経済学部・教授

Abstract(Latest Report)
1(特異約なフーリ工積分作用素)線形双曲型偏微分方程式の解の(超局所)特異性の伝播の研究においては、解の特異性の分岐、conical refractionなど様々な現象が解析されてきた。
特に、結晶光学に現れるconical rehactionの現象は、自然界に現れる自然なものとして多くの視点から研究が進められてきた。
1985年ころから、conical refractionの研究に、余接束をその包合的な多様体に沿って爆裂して解析を行なう第2超局所解析(second microlization)を用いて分析を行なうことが試みられ、P. Laubin(LIEGE大)や私の研究により一定の結果を得る事ができた。
第2超局所解析は、包合的な多様体上の超局所特異性を、余接束をその包合的な特性多様体にそって爆裂した空間上で解析を行なうものであるが、上で述べた研究で中途半端になっているものがある。
超局所解析では、量子化接触変換、フーリ工積分作用素によつて、擬微分方程式が単純特性的な点において簡単な標準形にうつることが示されているが、第2超局所解析ではこの方向の研究が不十分である。
すなわち、変換理論自体はあるのであるが、マイクロ函数の第2超局所特異性を分解した層を部分層として含む第2マイクロ函数の層の枠組みで構成されたものである。
この研究では、解の構成に変換理論が使えるように、マイクロ函数の第2超局所特異性を分解した層の枠組みで変換理論を構成するための様々な準備を行なつた。

2(第2超局所特異性の基礎的な研究)第2超局所解析で自然に現れる第2超函数の層は、正則包合的な多様体上に制限した佐藤のマイクロ函数の層を含む。この第2超函数の層を退化した偏微分方程式の境界値問題に応用した。

95 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 09:56:18.66 ID:NF+6yVEz.net]
>>80
そうだよ
数学ができないからちんこのことしか考えられない

96 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 11:40:17.31 ID:viMYoeuU.net]
>>82
どうも。スレ主です。
正直

97 名前:だね
では、君にはこの言葉を贈ろう
http://proverbes.kitakama-france.com/index.php?%E8%AB%BAIAK
フランス語のことわざI-1
Au royaume des aveugles, les borgnes sont rois.
【逐語訳】「めくらの国ではめっかちが王様だ」

いわゆる「差別用語」を使わない訳にするなら、「盲人の国では片目の者が王様だ」。
上であえて使用した「めっかち」とは、「片目しか見えない人」のことで、差別用語扱いされたためか死語となってしまいましたが、
しかし「片目しか見えない人」のことを一語で表す日本語がないのは不自由なので、田邊 (1959), p.112 ; 田辺 (1976), p.207 でも使われているこの訳語を採用しました。
こうすることで、原文に含まれる ro という音の反復による語調のよさを「め」で始まる二つの単語で再現できる気もします。

【諺の意味】「たいしたことのない人々の間では、多少ましな人はもてはやされる」、「まったく無知な人々の間では、乏しい知識しか持たない人でも天才扱いされる」。

【図版】この諺を題材にした19世紀の挿絵があります。

【日本の諺】「鳥なき里の蝙蝠(こうもり)」

「すぐれた者がいないところでは、つまらない者がわが者顔をしていばること」(『故事・俗信ことわざ大辞典 第二版』 p.986)
[]
[ここ壊れてます]

98 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 11:44:29.98 ID:viMYoeuU.net]
おっと間違った
こっちだ
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1122364926
2009/1/1921:27:26
「鶏口となるも牛後となるなかれ」…とは、どういう意味ですか?また、読み方も教えてください。鶏口…けいこう?
牛後…ぎゅうこう?

ベストアンサーに選ばれた回答
happytea0801さん 2009/1/1921:47:43

鶏口牛後という四字熟語としても使います。けいこうぎゅうご と読みます。

昔の中国、秦が強大な力を持っていた時、諸国は連携して秦を叩くか、秦に降伏して秦の国の一部になるかを選ばなければならない状況になりました。
諸国の中には韓(かん)という国があり、韓の国主は大いに悩みますが、家来の蘇秦(そしん)という人が一言、「鶏口となるも牛後となるなかれ」。
秦という国の属国となるよりも(韓の王は秦王の家臣になるので)、小国の王のほうでいてください、韓は未だ強大で王も健在ならば、秦に屈するのは天下の笑いものですよとお願いしたわけです。

蘇秦はその後6カ国をまとめ上げて秦と対抗し、15年間もの間、平和な世を作りました(最終的には秦が中国を統一しますが)。

表現として適切ではありませんが、今風に言えば、大企業の一員(歯車)となるよりも、どんなに小さい会社でも社長のほうがいい、という意味でしょう。

99 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 11:46:28.13 ID:viMYoeuU.net]
数学ができない・・
といっても所詮相対的なものだ

自分の能力が生かせる、めくらの国・・・じゃなかった、鶏口となれる場所があると思うんだよね
それを考えなよ

100 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 11:51:05.31 ID:NF+6yVEz.net]
>>85
ちんこの国へいけと?



101 名前:岡村隆史「嫌なら見るな」 [2015/07/05(日) 12:34:21.14 ID:22uD/UkX.net]
新聞購読を止めて、月3000〜4000円、年間36000〜48000円の節約

新聞にそのような金を払う価値はない

ただでさえ要らない
なぜなら新聞は国民の方を向いておらず、広告主のための報道しかしないからだ

それに金を払って購読することは自らの首を絞める自殺行為に等しい

102 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 12:35:36.25 ID:viMYoeuU.net]
>>83
めくらも・・、差別用語だと、言葉狩りか
blogs.yahoo.co.jp/mohkorigori/56429088.html
言葉狩り:めくらなどを差別用語と決めつけて変換ソフトから除外する業者 2014/7/11(金)

 最近、三島由紀夫著「金閣寺」を読み、その感想をブログに2度に分けて書いた。多分3度目を書いて完結すると思う。
そこで辞書検索などしていて、以前から不満に思っていたことを思い出した。それは、めくらと入力しても盲の字が出てこないし、かたわと入力しても片端がでてこないのである。
しかしつんぼと入力すれば聾が出てくる。
めくらの方が「盲蛇を怖じず」などでよく使うことから、どうやらめくらが差別用語であり聾は差別用語でないという線引きが何処かでなされているのだろう。
そして業者が一部の無知なる狂信者(左翼と呼ばれる人に多い)の批判を恐れて、変換候補から除外したのだろう。
 言葉は文化である。文化が変化してゆき、めくらがほとんど使われなくなった時に、盲という字が漢字変換で出てこなくなるのが自然な姿である。
何故、そのような一部の無知蒙昧の輩の批判を恐れて下らない自主規制をするのか?
 それは恐らく、日本国はサイレントマジョリティーの国だからである。つまり、どのような会社でも機関でも、声高に反対を叫ぶ人に遠慮して、多数意見をどうしても軽視してしまうのである。
 日本が、ものを言う多数派の国になることを強く希望する。

103 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 12:38:23.63 ID:viMYoeuU.net]
>>86
どうも。スレ主です。
まあ、それは君の判断に任せるよ

104 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 12:57:08.10 ID:4Jc9ox8u.net]
>>89
キミはチンコの国が似合いそうだね

105 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 13:37:40.08 ID:viMYoeuU.net]
>>81
第2超局所解析は、戸瀬 信之先生の造語?
www.sciencedirect.com/science/book/9780124004658#srch=refraction
Algebraic Analysis: Papers Dedicated to Professor Mikio Sato on the Occasion of his Sixtieth Birthday,
Contents of Volume II, Pages xi-xiii PDF (321 K)

Second Microlocalization and Conical Refraction (II) Nobuyuki Tose P867

Algebraic analysis - Google Books books.google.com ? Mathematics ? Algebra ? General - (検索でP867の部分)

106 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 13:41:20.79 ID:viMYoeuU.net]
>>90
どうも。スレ主です。
君も数学ができないで悩んでいるのか?

ここは、スレ主が作った国なんだ
もし、君が片目の者と証明できれば、君が王様だよ

いかが?

107 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 14:49:39.96 ID:nFNHtEO5.net]
>>91
>第2超局所解析は、戸瀬 信之先生の造語?

君、それは冗談で言ってるのかね?w

108 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 15:13:26.07 ID:viMYoeuU.net]
>>93
レスありがとう
いや、単純な話で、全く知らないんだ

が、第2超局所解析の日本語検索で戸瀬 信之、Second Microlocalizationの英語検索で、Toseがヒットするのでね
そう思ったんだ

ところで、"Microlocal"は、佐藤スクールの命名と思っているんだが、当たっているかい?
その流れで、第2超局所解析が戸瀬 信之先生の造語かと。なかなか良いセンスだと思ったが・・

109 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 15:35:11.22 ID:nFNHtEO5.net]
中身を少し勉強すれば最初が戸瀬じゃないってことくらいすぐわかるんだがね・・・
創始者があっさりやめたあと戸瀬が拾っただだけ

Microlocalって用語がいつ生れたかは知らない
超局所解析というもの自体はかなり前からあるけど、言葉として
使われ始めたのは最初の論文から15年以上は後
中身は知ってるけど、誰が最初かって歴史物語には興味がないんでね

まあ、がんばってぐぐって貼ってください

110 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/05(日) 19:24:31.73 ID:viMYoeuU.net]
>>95
どうも。スレ主です。

>中身を少し勉強すれば最初が戸瀬じゃないってことくらいすぐわかるんだがね・・・

おお、この国ではあんたが王だな
私は、戸瀬は勉強しても分からん

>創始者があっさりやめたあと戸瀬が拾っただだけ

戸瀬 信之先生は、>>81で「P. Laubin(LIEGE大)や私の研究」と書いている。なので、P. Laubin(LIEGE大)が創始者だね
ただ、問題は理論の創始者ではなく、だれのネーミングかなんだよね

>Microlocalって用語がいつ生れたかは知らない

佐藤幹夫がなにかに書いていたけど、日本のRIMS(京都)で国際会議があって、吉田耕作から「なにか講演しろ」と言われて、Microlocal(層C)を新幹線の中で計算したとか
えーと正確には、「佐藤幹夫の数学」(2014)P16かな
「マイクロ関数」という名前か
新幹線の中は、P16にはないね
「マイクロ関数」から、Microlocal(層C)になったように理解しているんだが・・



111 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/05(日) 22:51:54.30 ID:rk0eH08u.net]
余接空間がマイクロローカルな感じなの感じ取れないと。

112 名前:132人目の素数さん [2015/07/06(月) 00:42:00.82 ID:Rc5hK5a3.net]
4次元ちんこ

113 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/10(金) 22:15:09.39 ID:ym/cJ7xn.net]
どうも。スレ主です。
余接空間がマイクロローカルな感じ?
あんたも王の資格があるね

114 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 09:16:53.64 ID:FKo26YYw.net]
読み返してみると、>>35
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析

「超局所」(microlocal)という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。
(引用おわり)
なんて、書かれてあったりする。

まとまりなく、ランダムに書かせて貰うと
「超局所」(microlocal)がちょっとおかしい
micro=微 でしょ、普通
超=hyper, super or ultra だ

佐藤超関数=hyperfuction
マイクロ関数=Microfunction (hyperfuctionをより細かくした)だったのでは?

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperfunction
In mathematics, hyperfunctions are generalizations of functions, as a 'jump' from one holomorphic function to another at a boundary, and can be thought of informally as distributions of infinite order.
Hyperfunctions were introduced by Mikio Sato in 1958, building upon earlier work by Grothendieck and others. In Japan, they are usually called the Sato's hyperfunctions.

math.stackexchange.com/questions/547292/applications-of-microfunctions
Applications of Microfunctions asked Oct 31 '13 at 20:14

Can anyone suggest good (a) uses/applications or (b) construction of micro-functions (introduced by Mikio Sato in 1971) in analysis?

I am trying to understand the subject better. Suggestions of literature are very welcome, but also, how would one present the basic concept as conc

115 名前:isely as possible if one had to? []
[ここ壊れてます]

116 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 09:37:01.33 ID:FKo26YYw.net]
これ分かり易いね
wikまとめ.com/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析 - ウィキまとめ
[英microlocalanalysis仏analysemicrolocale独mikrolokaleAnalysis]
マイクロローカルアナリシス.
1変数の佐藤超関数f(x)が,xOの近傍でf(x)=F(x+i0)と表わすことができるとき,fは(xO,−idx∞)でマイクロ解析的であるといい,f(x)=F(x−i0)と表わせるときfは(xO,idx∞)でマイクロ解析的であるという.
(xO,−idx∞)および(xO,idx∞)でマイクロ解析的な佐藤超関数は,xOで実解析的である.
δ関数は,(0,−idx∞)でも(0,idx∞)でもマイクロ解析的でない.
このように,実解析性と特異性の間にマイクロ解析性という概念を設けることにより,佐藤超関数の特異性を詳しく調べることができる.
多変数の場合のマイクロ解析性は,余接球面束(cotangentspherebundle)の言葉で表現することができる.
佐藤超関数がマイクロ解析的でない余接球面束の部分集合を,特異スペクトル(singularspectrum)という.
特異スペクトルなどを用いて余接球面束の上で偏微分方程式を解析することを超局所解析といい,偏微分方程式の解の特異性の伝播やファインマン積分の解析性の研究に有効な数学の手法である.
佐藤超関数が,(シュワルツの意味の)超関数の場合,特異スペクトルは,波面集合(wavefrontset)ともいう.

117 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/11(土) 09:40:08.32 ID:JOnsWxz2.net]
スレ主さんちんこでかそう

118 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 09:50:40.37 ID:FKo26YYw.net]
関連
http://ウィキまとめ.com/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0
ワイトマン関数 - ウィキまとめ
[Wightmanfunction]

ハイゼンベルク表示の場の演算子φ(x)(x=(r,t))の積の真空期待値〈Ω,φ(x1)…φ(x?)Ω〉として定まるx1,…,x?の関数(n=1,2,…)]]
Ωは系のハミルトニアンの最低固有値に属する規格化された固有ベクトルで,真空の状態ベクトルに当る]]ワイトマン関数は実際は関数ではなく超関数であると考えられている]]
1つの場の量子論において,これが与えられると,S行列が計算できる(→LSZ形式)フォック空間で作用する場の演算子を用いて摂動論など具体的な計算を進める形の場の量子論が発散の困難に阻まれるのを見て,
ワイトマン,A.S]]は1956年,場の量子論に期待される一般的な性質をワイトマン関数系の言葉で表わす研究を始めた]]
実際,超関数W?(x1,…,x?)の系が正値性など一連の性質をもてば,GNS構成法により適当なヒルベルト空間Hとその上の演算子φ(x)を構成してW?をワイトマン関数の形に表わすことができて(再構成定理),
W?の性質がHとφ(x)のつくる場の量子論に遺伝するのである(Hはフォック空間とは限らない]]
→ハーグの定理)
ワイトマン関数のもつ性質(したがってW?に要求される性質)は超関数であることのほか,
正値性,エルミート性など再構成定理の条件をなすもの,さらに場の演算子の相対論的変換性,局所可換性,状態Ωが最低固有値に属し相対論的不変でかつ一意であることなど,理論に望まれる物理的内容からくるものなどがあり,ワイトマンの公理系とよばれる
(→公理論的な場の量子論)
その公理系からワイトマン関数が相対座標xk+1−xkの超関数で,ある解析関数の境界値になっていることが導かれる]]
これによってワイトマン関数を相対時間について虚軸まで解析接続したものはシュウィンガー関数(Schwingerfunction)とよばれ,ユークリッド場の理論で中心的な役をする]]

119 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 09:52:07.09 ID:FKo26YYw.net]
>>102
客観的にはそうでもないと思うが、君よりはな・・・HaHaHa!

120 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 10:37:34.23 ID:FKo26YYw.net]
>>96
関連
phasetr.com/2013/02/06/%E6%9B%B8%E8%A9%95%EF%BC%9A%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6/
書評:佐藤幹夫の数学: 2013-02-01

佐藤超関数の文脈で超関数の積分があるが, これは超関数微分方程式を考えて, その解を不定積分と呼んでいる.
興味がある向きは Theory of Hyperfunctions, I の P148 を見てほしい.
repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/handle/2261/6027
タイトル: Theory of Hyperfunctions, I.
著者: Sato, Mikio
発行日: 1959年3月28日



121 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 10:47:34.58 ID:FKo26YYw.net]
>>105
「佐藤幹夫の数学」P264が「佐藤超関数と特異スペクトルとマイクロ関数」だ
ここに、マイクロ関数の佐藤幹夫流の直感的説明がある・・・

122 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 10:57:00.05 ID:FKo26YYw.net]
>>106
「佐藤幹夫の数学」P273が「超局所計算法(miclolocal calculus)」だ
"あるとき、「概均質ベクトル空間のフーリエ変換の話はきれいだけれども、実際の計算は全然できなくて、あれは抽象論だ」と新谷(卓郎)君から批判された"という話から始まる
柏原を説得して、論文にしてもらったと
”僕だったら1年も10年も放っといたと思うんだけれども、彼がやってくれたんでアッというまにできちゃったわけだよ”と

123 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 11:17:12.60 ID:FKo26YYw.net]
>>107
「佐藤幹夫の数学」P17
柏原先生の話がある
”彼はブルバキやグロタンディークなんかを18歳か19歳のときに読んでいました。それらを自分ひとりで、先生もいなくて、彼がまだ4年生であったときに勉強していたのです。
ええ、彼はものすごい天才です。今まで会った中で最高の若者です”と

124 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 11:28:10.01 ID:FKo26YYw.net]
>>97 余接空間の話は、>>35-39に書いたけど
実は、まだよく見えない

そこで、もう少し書くことに

1.まず接空間(英語:tangent space)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
多様体上の接ベクトル空間(英語:tangent vector space)あるいは 接空間(英語:tangent space)とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。
接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。
概要
接ベクトル空間は、多様体上の点ごとに定義されるベクトル空間である。
接ベクトル空間の元を接ベクトルという。全ての点で接ベクトルが定まっているとベクトル場というものが定義できる。ベクトル場は多様体の形を調べたり、多様体上の粒子の運動を調べたりするのに非常に役立つ概念である。
物理学でいえば電磁場や重力場などを記述でき、そのベクトル場の中に置かれた粒子はその点での接ベクトルの向いている方向に沿って移動していく。
本項目で扱うのは、そのベクトル場の基礎となるある 1 点の上の接ベクトル空間である。

局所座標系に依存しない速度ベクトルのようなものを探し求めた結果
微分作用素の一次結合(接ベクトル)を用いることで解決できる事が分かる。この接ベクトルの全体を接ベクトル空間という。
作用素をベクトルと呼ぶために、少し抽象的でわかりにくい話になるが、そういう場合は関数 f に具体的な形をいくつか与えてみて多様体の形を感じ取るのがよい。

定義
方向微分と接ベクトルについての定義を与える。接ベクトルは方向微分であるが、 方向微分が接ベクトルとは限らない。
滑らかな多様体の場合にのみ両者は一致するので、滑らかな多様体の話に限るのであれば方向微分の定義は接ベクトルの定義でもある。
(引用おわり)

まあ、物理でいうところの「場の理論」を抽象化したものでしょうか?

125 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 11:37:32.48 ID:FKo26YYw.net]
2.微分と余接
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
関数の微分
m 次元 C^r 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p における 接ベクトル v は、 p の近傍で定義された C^r 級関数 f を実数 v(f

126 名前:) に対応させる関数である。

v(f) は接ベクトル v と関数 f の組であり、 v を固定して、 f に対して値が定まると考えてきた。逆に f を固定して

dfp : v → v(f)

という関数も考えることができる。この dfp を f の p における 微分 (differential) という。

接ベクトルのなす空間 Tp(M) は R 上の線型空間であることから、 Tp(M) から R への線型写像のなす双対ベクトル空間

Tp*(M) = HomR( Tp(M) , R)

が定まるが、 微分 dfp はこの Tp*(M) の元である。 Tp*(M) のことを M の p における余接ベクトル空間 (cotangent vector space) という。
特に p を含む座標近傍 (U;x1,…,xm) があるとき、関数 f として 局所座標系の成分の一つである xk を選べば、その p における微分は (dxk)p となり(略)

ここに現れた dxk という記号は、微分形式として積分 ∫ f(x) dx に現れる dx と、しばしば同一視される。
通常の積分では∫と dx は、一組の記号でありそれぞれを別個の物として扱うことはできないが、各点で余接ベクトルとみなせば、 dx という記号に意味を持たせることができる。
各点に余接ベクトルを与えたものであるので、正確には余接ベクトル場を考えることになる。
[]
[ここ壊れてます]

127 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/11(土) 13:48:44.12 ID:EkTPLFeM.net]
>彼はブルバキやグロタンディークなんかを18歳か19歳のときに読んでいました。
>それらを自分ひとりで、先生もいなくて、彼がまだ4年生であったときに勉強していたのです。
この手の話、真に受けない方がいい。原理的には可能だが、ブルバキを読むのはすごく大変だよ。
読んで中身を理解する訳だろ。少しフランス語の素養が必要で、全部で30〜40冊近くあるんだろ。
中にはいい本もあるが、初期に書かれた本は読むの大変。
グロタンディークは厳密なスタイルでないらしいが、本文については知らん。

128 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/11(土) 14:13:49.78 ID:EkTPLFeM.net]
>>109
接空間は、2次元平面上に描いた尖っていない滑らかな曲線の
グラフの接線を高次元化して一般化したモノなんです。
例えば、球コロの表面に下敷きを置いたらそれが球と下敷き
の接点の接ベクトルになる。紙に滑らかな曲線のグラフの接線
を引いても同様。直観的には大体こんな感じ。

129 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/11(土) 14:21:18.25 ID:5aahM9mN.net]
>余接空間の話は、>>35-39に書いたけど
>実は、まだよく見えない
>そこで、もう少し書くことに

スレ主が「書いた」のは
>>35-39
(なし)
>>109-110
>まあ、物理でいうところの「場の理論」を抽象化したものでしょうか?

130 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 15:35:07.98 ID:FKo26YYw.net]
>>111-112
どうも。スレ主です。
おっちゃんかな?
レスありがとう

>この手の話、真に受けない方がいい。原理的には可能だが、ブルバキを読むのはすごく大変だよ。
>読んで中身を理解する訳だろ。少しフランス語の素養が必要で、全部で30〜40冊近くあるんだろ。

柏原の時代には訳本なかったっけ? えーと、下記だ一番早いので1968年か。だからまだ無かったか・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
邦訳された著作
『位相 第1』 森毅・清水達雄訳、東京図書〈ブルバキ数学原論 第12〉、1968年。

ブルバキの業績
ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Elements de mathematique) の執筆である。
元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。
最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。
彼らはそこで、代数構造・順序構造・位相構造という三つの構造概念、フィルターなどいくつかの新しい概念や術語を導入し、現代数学に大きな影響を与えた。
その完璧な厳密性と一般性を求める叙述はブルバキスタイルと呼ばれるようになる。

ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。
その理由の一つは、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用でなかったためである。
今ひとつには、ブルバキの影響を受けた本が他にも出版されるようになり、ブルバキの本の独自色が失われつつあった。
またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。
ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。
だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。
(引用おわり)
つづく



131 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 15:43:39.49 ID:FKo26YYw.net]
>>114
つづき

>グロタンディークは厳密なスタイルでないらしいが、本文については知らん。

グロタンディークを読んでいるというのはあったかも
柏原は東大だから、図書には本があったろう
一つは、教養の第二外国語で仏語やれば、辞書くらい引ける
一つは、フランス留学も考えていたか、あるいは自分が学者としてやっていくには仏語は必要だと。だから、仏語の勉強も兼ねて読んだというのはありかも

実際に佐藤スクールで役に立つのは、グロタンディーク系の層理論だと思うけど
ブルバキの中身は知らないが、目次見るとそう思うよ

132 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 15:45:07.74 ID:FKo26YYw.net]
>>113
どうも。スレ主です。
レスありがとう

まあ、ここはおいらのメモ帳なんで、メモ(備忘録)を書いたんだよ

133 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 15:46:50.13 ID:FKo26YYw.net]
>>110 つづき
3.双対ベクトル空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間(そうついベクトルくうかん、英: dual vector space)あるいは単に双対空間(そうついくうかん、英: dual space)は、そのベクトル空間上の線型汎函数(一次形式)全体の成す空間として定義される。
有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。
函数の成す(典型的には無限次元の)ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。

一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、
位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。

双対空間
体 F 上の任意のベクトル空間 V の(代数的)双対空間 V^? は V 上の線型写像 φ: V → F(すなわち線型汎函数)全体の成す集合として定義される。
集合としての V^? には、次の加法とスカラー乗法

φ + ψ(x) = φ(x) + ψ(x)
(a φ)(x) = a (φ(x))
(φ,ψ∈ V^*, x∈ V, a∈ F)

を定義することができて、それ自身 F 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 V^? の元を、余ベクトル(共変ベクトル)あるいは一形式と呼ぶこともある。

双対空間 V^? の元である汎函数 φ と V の元との対をしばしば括弧を用いて φ(x) = [φ,x][1] あるいは φ(x) = ?φ,x?[2]で表す。
この対の記法は非退化な双線型形式[3] [・,・]: V^? × V → F を定める。このとき、[,] は V^? とV との間に双対性を定める、V^? と V を双対にする、あるいは V と V^? の双対性を表す内積 (duality pairing) であると言う。

134 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 15:54:54.55 ID:FKo26YYw.net]
>>117 つづき
4.有限次元の場合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
有限次元の場合

V が有限次元ならば、V? は V と同じ次元を持つ。V の基底 {e1, ..., en} から双対基底と呼ばれる特別な V? の基底を定義することができる。それは V 上の線型汎函数の集合 {e1, ..., en} で、係数 ci ∈ F の選び方に依らず

e^i(c_1 e_1+・・・+c_n e_n) = c_i (i=1,・・・,n)

を満たすものとして定義される(上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ)。特に、一つの係数を 1, 残りをすべて 0 とすることにより、関係式は

e^i (e_j) = δ_ij

に帰着される。ここに δij はクロネッカーのデルタである。
例えば V が座標平面 R2 でその標準基底 {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} に選べば、e1, e2 は e1(e1) = 1, e1(e2) = 0, e2(e1) = 0, e2(e2) = 1 を満たす線型形式である。

特に Rn を実数を成分とする n-項「列」ベクトル全体の成す空間と見做すとき、その双対空間は典型的には実数を成分とする n-項「行」ベクトル全体の成す空間として書かれ、その Rn への作用が通常の行列の積によって与えられるものと見做すことができる。

V が平面上の幾何学的なベクトル(有向線分)からなる空間であるとき、V? の元の等位曲線は V の平行線の族からなる。
故に V? の元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。
このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。
イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。
より一般に、V を任意有限次元のベクトル空間とするとき、V? に属する線型汎函数の等位集合は V の平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができる[4]。

135 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 18:12:46.14 ID:FKo26YYw.net]
>>118 つづき
5.無限次元の場合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
無限次元の場合

ベクトル空間 V が有限次元でない場合にも適当な無限集合 A で添字付けられる基底 eα は持つ[5]から、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族 eα (α ∈ A) を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。

例えば、有限個の例外を除く全ての成分が 0 であるような実数列全体の成す空間 R∞ を考えると、これは自然数全体の成す集合 N で添字付けられる標準基底、すなわち各 i ∈ N に対して ei は第 i-項が 1 で他はすべて 0 となるようなものを持つ。
R∞ の双対空間は全ての実数列からなる空間 RN である。数列 (an) の (xn) ∈ R∞ への作用は 蚤nxn で与えられる(これは xn の非零項が有限個しかないことから有限和である)。R∞ の次元は可算無限だが、RN の次元は非可算である。

このような考察は任意の体 F 上の任意の[5]無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。
基底 {eα : α ∈ A} を一つとって V を fα = f(α) は有限個の例外を除く全ての α ∈ A に対して 0 となるような写像 f: A → F 全体の成す空間 (FA)0 と同一視すれば、写像 f は V のベクトル

倍α ∈ A} f_α e_α

と同一視される(f の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意の v ∈ V 箱の形に書ける)。

そして V の双対空間は A から F への写像全体の成す空間 FA に同一視される。実際、V 上の線型汎函数 T は V の基底におけるその値 θα = T(eα) によって一意に決定され、また任意の写像 θ: A → F ( θ(α) = θα) は
(数式がややこしいので略)
は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。

従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。

136 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 18:18:27.18 ID:FKo26YYw.net]
>>119 つづき
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
双線型な乗法と双対空間

二重双対空間への単射

線型写像の転置写像

商空間と零化域

関連項目
双対性
逆格子: 結晶学における双対基底
ベクトルの共変性と反変性

参考文献
Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9
Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-900

137 名前:93-4
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR:1878556
MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2.
Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
Rudin, Walter (1991). Functional analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. edit
[]
[ここ壊れてます]

138 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 18:29:42.68 ID:FKo26YYw.net]
>>117 関連
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル(英: tensor, 独: Tensor)とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
しかし、テンソル自身は、特定の表示系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。

例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。

物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。
いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。

テンソルの応用と重要性

テンソルは、物理学や工学において重要な位置を占めている。例えば、拡散テンソル画像では、さまざまな方向への臓器の水に対する微分透過率を表すテンソル量を用いて、脳の走査像が構成される。
おそらく工学でテンソルが最も活用されているのは応力テンソルとひずみテンソルだろう。これらは2階のテンソルで、4階のテンソルである弾性テンソルによって一般の線型的な素材に関連づけられている。

とくに3次元の物体中の応力を表す2階のテンソルは3次の正方行列によって成分を表示することができる。
物体の中の立方体状の無限小体積要素について3方向の面それぞれ(向かい合う面どうしは十分近いので同一視される)に一定の力がかかっていて、力は3つの方向の要素を持っている。
したがって3×3、つまり9個の成分によってこの立方体状無限小体積要素(最終的には点と見なされる)における応力が記述される。物体の境界内にはこの応力が(場所によって異なった値をとりながら)分布しており2階のテンソル(場)が考えられることになる。

抽象的なテンソルの理論は今では多重線型代数と呼ばれる線型代数の一分野になっている。
つづく

139 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 18:34:42.80 ID:FKo26YYw.net]
>>121 つづき 訂正:”あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略”は、消し忘れです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
歴史
テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)におけるノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは1899年のヴォルデマール・フォークトからである。
テンソルの記法は1890年ごろにグレゴリオ・リッチ=カルバストロによって絶対微分という名の下に発展させられ、トゥーリオ・レヴィ=チヴィタによる1900年の古典的な同名の著作によって多くの数学者たちに知られるようになった。

20世紀に入ってからはこの分野はテンソル解析として知られるようになり、1915年頃のアルベルト・アインシュタインによる一般相対性理論の導入によって広く知られるようになった。
一般相対性理論は完全にテンソルの言葉を用いて定式化される。アインシュタインは苦労の末にマルセル・グロスマンから[1] (あるいはレヴィ=チビタ自身から) テンソルの理論を学んだとされている。
テンソルは連続体力学など他の分野でも使われている。
つづく

140 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 18:38:23.30 ID:FKo26YYw.net]
>>122 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
いくつかのアプローチ

古典的な方法ではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
テンソルの「成分」は配列の要素の値によって与えられることになる。この考えはテンソル場として一般化され、テンソルの成分として関数やその微分が取り扱われるようになる。

物理学における通常のテンソルの定義の仕方は、特定の規則に従って成分が変換されるような対象という言い方を用いるもので、共変変換(英語版)と反変変換(英語版)の概念がもちいられる。

現代的な(成分を使わない)アプローチではテンソルはまず抽象的に多重線形性(英語版)の概念にもとづく数学的対象として定義される。
よく知られているような諸性質が線型写像としての(あるいはもっと一般的な部分についての)定義から導かれる。テンソルの操作規則は線形代数から多重線形代数への拡張の中で自然に現れる。

数学における普通のやり方では、ある種のベクトル空間を用いて、必要なときに基底を考えるまでは特に座標系を指定しないようにされる。
例えば共変ベクトルは一次微分形式として説明できるし、あるいは反変ベクトル空間の双対空間の元として説明することもできる。

現代流の成分によらないベクトルの概念によって、成分表示にもとづく伝統的な(しかし、初学者にベクトルの概念がどんなものかを教えるには有効な)取り扱いが置き換えられるように、
この取り扱いは成分にもとづく取り扱いをより高度な考え方によって置き換えることを目的としている。
「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。

物理学者や技術者たちはベクトルやテンソルが(勝手に選べてしまうような)座標系に左右されない概念としての重要性を認識した。
同様に、数学者たちは座標表示することで簡単に導けるようなテンソルの関係があることを見いだしている。
つづく



141 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 18:43:27.06 ID:FKo26YYw.net]
>>123 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB


テンソルは添字の組に対して対応する成分の値を与えるような関数によって表されていると考えることができる。それぞれの添字について何通りの自由度があるかという数は次元とよばれることがある。
例えば階数3で次元2、5、7のテンソルを考えることにすると、添字の組は<1, 1, 1> から <2, 5, 7>まで動き、70通りの添字の組があることになる。

テンソル場は多様体の各点にテンソルを与えたものである。従って次元が <2, 5, 7> のベクトル場を考えるときは、上の例のようにして単に70個の値を考える代わりに空間内のそれぞれの点が70個の値を付与されることになる。
言い方を変えれば、問題にしている空間を定義域としてテンソルに値を持つ関数を考えることになる。

線形でないような関係もあるが、たいていの関係は微分可能性を満たしており、局所的には多重線形写像を足しあわせたもので近似できる。従って物体の解析に際してたいていの量はテンソルとして表示すると取り扱いが便利になる。

工学では剛体

142 名前:笳ャ体内の応力がテンソルによって説明される。実際のところ「テンソル」という言葉はラテン語の「延びる物」、つまり応力を発生するもの、という意味の言葉からきている。
物体内の特定の面要素に特に注目して考えれば、面の一方の側にある物質が反対側に対して力をおよぼしていると考えられる。

幾何におけるテンソルでは二次形式や曲率テンソルが有名である。

実際のところテンソルの概念はとても一般的なものであり、上の例全てに当てはまっている。つまり、スカラーやベクトルはテンソルの特別なものと見なすことができる。
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[ここ壊れてます]

143 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 19:02:36.71 ID:FKo26YYw.net]
>>109 つづき
大分脱線しましたが、お待たせしました余接束
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E6%9D%9F
数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。
それはまた接束の双対束として記述することもできる。
目次
1 余接層
1.1 余接層の定義
1.2 多様体における反変性
2 相空間としての余接束
2.1 自然 1-形式
2.2 斜交形式
2.3 相空間
3 関連項目
4 参考文献
余接層
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。

余接層の定義
M を滑らかな多様体とし M × M を M の自身とのカルテジアン積とする。
対角写像 Δ は M の点 p を M × M の点 (p, p) に送る。Δ の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。I を対角線上消える M × M 上の滑らかな関数の芽の層とする。
このとき商層 I/I^2 はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。余接層はこの層の M への引き戻し(英語版)である。

Γ T^*M=Δ^*(I/I^2).

テイラーの定理によって、これは M の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは M 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。
多様体における反変性

多様体の滑らかな射 φ: M → N は M 上の引き戻し層(英語版) φ^*T^*N を誘導する。ベクトル束の誘導される写像(英語版) φ^*(T^*N) → T^*M が存在する。
つづく

144 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 19:09:55.44 ID:FKo26YYw.net]
>>125 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E6%9D%9F
余接束は自然 1-形式 (tautological one-form) θ(Poincare 1-形式あるいは Liouville 1-形式とも呼ばれる)をもっている。
)これが意味するのは、T*M をそれ自身多様体と見たときに、T*M 上のベクトル束 T*(T*M) の断面が存在するということである。

この断面はいくつかの方法で構成することができる。最も初等的な手法は局所座標 (local coordinates) を使うことである。
xi を基礎多様体 (base manifold) M 上の局所座標系とする。これらの基礎座標系の言葉で言うと、ファイバー座標系 pi が存在する: T*M の特定の点における 1-形式は(アインシュタインの縮約記法を使って)pidxi の形をしている。
なので多様体 T*M はそれ自身局所座標 (xi, pi) をもっている、ただし x は基礎上の座標で p はファイバーにおける座標である。自然 1-形式はこれらの座標系において

によって与えられる。本質的には、T*M の各固定された点での自然 1-形式の値は引き戻し(英語版)として与えられる。具体的には、π: T*M → M を束の射影 (projection) としよう。
Tx*M の点を取ることは M の点 x と x における 1-形式 ω を選ぶことと同じであり、

つまり、余接束の接束におけるベクトル v に対して、自然 1-形式 θ の (x, ω) における v への適用は v を dπ: TT*M → TM を使って x における接束に射影し ω をこの射影に適用することで計算される。
自然 1-形式は基礎 M 上の 1-形式の引き戻しではないことに注意する。

相空間
多様体 M が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 T*M を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。
振り子の状態は、その位置(角度)と、その運動量(あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから)によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。
シリンダーは円の余接束である。上の

145 名前:Vンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。
より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。
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[ここ壊れてます]

146 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 19:28:13.50 ID:FKo26YYw.net]
補足

・束:代数では、Lattice(格子)なんだが、幾何ではbundle(たばの束)。余接たば、とは言えないだろうね
・”T*M をそれ自身多様体と見たときに、T*M 上のベクトル束 T*(T*M) の断面が存在する”
 M:manifold 【機械】 (内燃機関の吸排気をする)マニホールド,多岐管.
 T:【形容詞】接する,接線の; 〔…に〕接して 〔to〕. 【名詞】【可算名詞】【数学】接線,接面. タンジェント,正接 《略 tan》.
 co-:
1 「共働で」「共に」‖co-operate.
2 「同程度に」「等しく」‖coextensive.
3 「相棒」「パートナー」‖coauthor.
4 「代理」「補助」‖copilot.
5 《数学》《天文》「余」「補」‖cosine.
dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/16833/m0u/CO/ 辞書 英和辞書 goo

147 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 20:54:18.74 ID:FKo26YYw.net]
>>127 補足

co- 《数学》《天文》「余」「補」‖cosine.
なのだが
dual-双対ベクトル空間的見方もありか

ああ、「断面」だったね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_%28%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%29
断面 (位相幾何学)
(断面 (ファイバー束)から転送)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面(だんめん)あるいは切断(せつだん、英: section)若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
目次
1 導入
2 局所切断と切断の層
3 大域切断と特性類
4 滑らかな切断
5 関連項目
6 参考文献
7 外部リンク
導入
切断というのは函数のグラフのある種の一般化である。函数 g: B → Y のグラフは、B と Y の直積 E = B × Y に値を持つ写像
s : B → E; x → s(x) = (x,g(x)) ∈ E

に同一視することができることに注意しよう。ここで π: E → B を直積の第一成分への射影、つまり π(x,y) = x を満たすものとすれば、「グラフ」は π(s(x)) = x を満たす写像 s の総称と捉えることができる。

位相空間 B を底空間とするファイバー束 π: E → B について、その切断とは連続写像 s: B → E であって、B の各点 x において必ず π(s(x)) = x を満たすものをいう。
これは「切断とはすべてのファイバーの各々について点をひとつずつ選ぶことによって定まる写像のことである」といっても同じである(条件 π(s(x)) = x は単に底空間 B の各点 x に対して対応する点 s(x) は x 上のファイバーからとるという意味になることに注意)。

例えば E がベクトル束のとき、E の切断とは B の各点 x で x をそれに付随するベクトル空間 Ex の元に対応させるものである。
特に、可微分多様体 M 上のベクトル場というのは M の各点にその点における接ベクトルを選んで対応付けるものであるから、ベクトル場とは M の接束の切断のことであると言うことができる。同様に M 上の一次微分形式 (1-form) は余接束の切断と言い換えられる。
つづく

148 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:00:26.67 ID:FKo26YYw.net]
>>128 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_%28%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%29
局所切断と切断の層

ファイバー束はその底空間全域で定義される切断(大域切断、global section)を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。
ファイバー束 (E, π, B) の(連続な)局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。
(U, φ) が E の局所自明化(つまり F をファイバー

149 名前:ニして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの)とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。
このような局所切断の(U を任意に動かすときの)全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。

ファイバー束 E の開集合 U 上の連続(局所)切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。

大域切断と特性類

切断はホモトピー論や代数的位相幾何学で扱われるが、そこでは大域切断が存在するか否か、存在するとすればどのくらい存在するかといったことが主要な研究目的の一つであり、層係数コホモロジーや特性類の理論が展開される。
例えば、主束が大域切断を持つ必要十分条件はそれが自明束となることである。
また例えば任意のベクトル束は必ず零切断と呼ばれる大域切断を持つが、至る所消えないような切断を持つのはそのオイラー類が零である場合に限られる。
滑らかな切断

(特に主束やベクトル束の)切断は微分幾何学においても非常に重要な道具である。
この場合は底空間 B が滑らかな多様体 M で、全空間 E が M 上の滑らかなファイバー束(つまり、E は滑らかな多様体で束射影 π: E → M は滑らかな写像)であるものと仮定するのが普通である。
このような設定のもとでは、開集合 U 上の E の滑らかな切断全体の成す空間 C∞(U,E) を考えることができる。

関連項目
ファイバー付け (Fibration)
つづく
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[ここ壊れてます]

150 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:02:19.47 ID:FKo26YYw.net]
>>129 つづき
図がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_%28%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%29

図:束 p: E → B の切断 s は底空間 B と E の部分空間 s(B) とを同一視する方法を与える。

図:R2 におけるベクトル場の例。接ベクトル束の切断とは、実はベクトル場のことである。
おわり



151 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:10:23.18 ID:FKo26YYw.net]
>>130 つづき
ファイバー束
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
ファイバー束(ファイバーそく、fiber bundle、 fibre bundle)とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
目次
1 概要
2 定義
2.1 束(バンドル)
2.2 座標束
2.3 ファイバー束
3 切断
4 ファイバー束の例
4.1 自明束
4.2 メビウスの輪
4.3 クラインの壺
4.4 被覆写像
4.5 ベクトル束と主束
4.6 球面バンドル
4.7 写像トーラス
4.8 商空間
5 関連項目
6 参考文献
概要
単位円 S1 と線分 I = [0, 1] の直積 S1 × I は円柱の側面になる。
円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S1 の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質(局所自明性)を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S1 を底空間といい、線分 I をファイバー(繊維)という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束(じめいそく)という。
自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。

ファイバーはただ束ねられるだけではなく、構造群と呼ばれる位相変換群に従って張り合わされる。
底空間の開被覆 {U}a∈A があり、その 2つの元の共通部分 Ua ∩ Ub が空でないとき、その共通部分に立っているファイバーはどのように張り合わされるべきか?という事、すなわち、直積 Ua × F と Ub × F の重なり方を記述するのが構造群である。
ファイバー束の概念は、ホイットニーに始まる。
ホイットニーは多様体上のベクトル場から接ベクトル空間をファイバーに持つ接ベクトル束を構成し、その一般化としてファイバー束に到達した。

152 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:13:59.42 ID:FKo26YYw.net]
>>109
>実は、まだよく見えない
>そこで、もう少し書くことに

まだ、もやっとしているんだが
一気に分かるところまで行かない
まあ、気長にやりましょう!

153 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:25:03.51 ID:FKo26YYw.net]
>>111
14歳でのドリーニュ伝説がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%8D%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%A5
ピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne、1944年10月3日 - )はベルギーの数学者。
14歳でニコラ・ブルバキの数学原論を読みこなしていたドリーニュは、ブリュッセル自由大学──大学に入るころは既に大学の数学をすべて終えていたとのこと。──と高等師範学校で数学を学び、23歳でIHESの客員教授、26歳でIHES教授、34歳のときフィールズ賞を受賞。
そのドリーニュが師事したのが、アレクサンドル・グロタンディークである。
彼はグロタンディークが数学をしていた間はグロタンディークに忠実であったが、グロタンディークが数学をやめた後は、グロタンディークのプログラムよりヴェイユ予想の早期の解決に向かい、1974年ヴェイユ予想を解決した。
自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。現在ドリーニュは1988年にグロタンディーク還暦記念論文集を刊行するなど和解に向けて努力している。
2013年にアーベル賞を受賞。
業績
Weil予想の解決。
ラマヌジャン予想の解決。
ヒルベルトの第21問題(Riemann-Hilbert問題)の解決。[疑問点 ? ノート]
デヴィッド・マンフォードとの共同研究でモジュライ空間のコンパクト化。
ジョージ・ルスティックとの共同研究で幾何学的な既約表現の構成、既約表現の分類。
Hodge関係の仕事
Hodge分解の代数的証明。
Deligneのホッジ理論。
"重さ"の哲学。
ザリスキ予想の解決。
Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivanでのケーラー多様体の仕事 。
ふたつの変形量子化の間の相対コホモロジーの導入。
Beilinson-Deligne、ほか。
受賞歴
1978年 - 国際数学者会議フィールズ賞
1988年 - スウェーデン王立アカデミークラフォード賞
2004年 - バルザン財団バルザン賞:数学における様々重要な分野(代数幾何学、代数的および解析的整数論、群論、トポロジー、グロタンディークのモチーフ)での貢献。新しい強力な道具によって有限体上のリーマン仮説(ヴェイユ予想)を証明。
2013年 - アーベル賞

154 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:39:00.32 ID:FKo26YYw.net]
>>111
柏原伝説

phasetr.com/2013/08/08/%E3%80%8E%E5%A4%A9%E6%89%8D%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%8C%E3%81%A9%E3%81%86%E3%81%AE%E3%80%8F%E3%81%A8%E3%81%8B%E3%81%84%E3%81%86%E5%9C%B0%E7%8D%84%E3%81%AE%E3%82%88%E3%81%86%E3%81%AA%E8%A8%98/
『天才数学者がどうの』とかいう地獄のような記事を見た数学者の反応を記録する
抜粋
@ken_m123 タオでなくても、堀川穎二さんの「俺は日本で一番頭がいいと思ったら上がいた。柏原正樹だ」程度のネタで十分だと思います。 が、堀川さん早く亡くなられましたからね。#今回は実名にする

柏原先生, 小平先生と飯高先生とか何かその辺の対談みたいなやつで, 「レポートで何か凄まじいの出してきた学生がいたが, その学生が柏原君だった. 」,
「あまりに凄いから柏原君に優を出すのは当然として, その他の学生を優にするわけにはいかないから他の学生の成績下げちゃった」みたいな話があったように記憶している.

柏原先生, その他にも修論がいまだに引用されるとか何とかで本当にやばい.

155 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/11(土) 21:56:05.28 ID:FKo26YYw.net]
>>134
>柏原先生, その他にも修論がいまだに引用される

その話、「佐藤幹夫の数学」P17 柏原先生の話で
D加群についての論文で、鉛筆で書かれた手書きのやつだとか
それを、わざわざ英訳して出版した人がいるという

検索すると下記がヒット 引用元 199
archive.numdam.org/ARCHIVE/MSMF/MSMF_1995_2_63_/MSMF_1995_2_63__R1_0/MSMF_1995_2_63__R1_0.pdf
MASAKI KASHIWARA
Algebraic study of systems of partial differential equations.
(Master’s thesis, Tokyo University, December 1970.
Translated by Andrea D’Agnolo and Pierre Schneiders.
With a foreword by Pierre Schapira)
Memoires de la S. M. F. 2eserie, tome 63 (1995), p.-XIV+1-72.
<www.numdam.org/item?id=MSMF_1995_2_63__R1_0>

156 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 05:38:43.15 ID:si4MyG9v.net]
>>95
がんばってぐぐったよ
archive.is/Sg83
archive.is Saved from www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/hyperfunction.htm (リンク切れ 広島大の大川さん?)
An Invitation to the Theory of Hyperfunctions: (現在作成途中, Last Update 2011/08/17)
(抜粋)
distribution の知識は,もちろんあったほうが良いが,余り前提としないで書く。なお, 「超函数」は,岩村聯(いわむら つらね)が作った訳語。

(実)解析函数の層が A で表されている。 hyperfunction の層 B の導入の約 10 年後,佐藤は microfunction の層 C を導入した。 そして「佐藤の基本定理」を示した。
これには柏原の深い寄与があると言われるが,柏原はきわめて独創的な秀才中の秀才だから,そんな事にはこだわらない。
佐藤は。ほぼ同時に,河合,柏原との共同研究で,micro-local analysis の理論を創始した。
(現在では, microlocal analysis と言われる。
又,佐藤-Bernstein polynomial b(x) 等具体的計算を含む物は, microlocal calculus と言われる。)
文献(佐藤-河合-柏原 : Microfunction and Pseudo-differential Eqations, Lecture Note in Mathematics, No.287, Springer, 1973, pp 265-529)参照。この基本的文献は略して SKK と呼ばれる。
東大にあったその書物は,多くの人がコピーしたので,(僅かの期間内に)既にバラバラになっていた。

初期値問題は導来圏の概念を使って極めて一般的な形に定式化され,又,解の特異性とその伝播については,量子化接触変換(又は量子化シンプレクティック変換)によって,より調べやすい形になった。
つづく 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1322b9cf791dd10729e510ca36a73322)


157 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 05:44:14.85 ID:si4MyG9v.net]
>>136 つづき ”Rock54: Caution(BBR-MD5:1322b9cf791dd10729e510ca36a73322”?

物理的解釈とも関係が深く,偏微分方程式の解の接続に関する Holmgren の定理は,方程式とは無関係な,より一般な形で, hyperfunction の台と singular spectrum の関係に関する一定理と言う形に一般化された。
これは microlocal 因果律と解釈されている。

microfunction は勿論佐藤の造語で,適当な日本語訳がない。

なお,層 C は, S*M 上でと T*M
(といってもこれらは普通の位相と違って, Hausdorff でない。
特に後者は,可換環論や代数幾何で現れる Spec(R) が,最低限の公理である T0 分離公理を満たすのに対して,この場合, T0 ですらない。凸錐を考えると便利だからである。)
上で考える場合と 2 通りあるが,前者は flabby sheaf となるが,後者はそうでない (これが因果律の所以である)。
T*M 上で考える場合は, C ^ と書くこともある。環層 E ∞ , E R , も両者で定義でき,この場合,考えている底空間は, M は複素解析的多様体でよい。
これらの環層は芽の環がネーター環でもなく,更に E R (の芽の環)は零因子も含む複雑な環層なので,O X のような単純な代数的議論は難しい。
E は当然 D の次に来る物として記号が与えられた。 symbol が一つの手がかりである。

※ micro-local なる言葉を最初に発案したのは河合らしい。後述の holonomic system と言う言葉は佐藤が作った。
最初は maximally overdetermined system, 極大過剰決定系(どちらも佐藤による。)だった。

158 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/12(日) 05:58:57.82 ID:RltdaVf0.net]
>>114-115
まあ、書いたのはおっちゃんですよ。そもそも、微分積分には出発点となる
デデキントの公理や平均値の定理とか、幾つかの同値な命題が理論展開の中で
出て来るようになっていて、微分積分の現代的なテキストを書く構想が無謀だったと。
その途中で集合論を基礎にして代数とかが厳密化されて行ったと。そういうこと。
位相の部分を見るとよく分かる。ここでフィルターとかは出て来る。
>>133について、ドリーニュは、語学的弊害が少なく幼いときからフランス語でブルバキを読める
環境にあって、当時はまだ全巻出版されてなく、不可能ではないでしょう。
ただ、14歳で「読みこなしていた」だと「全部読んで理解していた」ことになるが、
本当かはどうかまでは分からない。何しろブルバキは抽象論が主体なのでね。

>>134-135は本当。
論文は、言語は日本語、ノートに鉛筆でもよい訳ね。
まあ、当時は主なボールペンのインクは水性だったようだし、そりゃそうでしょう。
普通、ボールペンや万年筆は、「鉛筆」ではなく「ペン」というでしょう。 
鉛筆でダメだとすると、戦時中の人は何で論文書いたのか? という問いが生じる。
論文は言語は日本語、ノートに鉛筆、これ書き易い。複雑な式や図はフリーハンドに尽きる。
昔は日本語のジャーナルもあった。私もそうしようとは思っているのだが、
ただ、書いたノートを誰に送ればいいのかが分からない。

159 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 06:04:31.21 ID:si4MyG9v.net]
ついで
blog.livedoor.jp/ryou42_shibahama/archives/2014-06-14.html
きまぐれ日記 2014年06月14日10:09 加群/D加群関連の資料

加群/D加群関連の資料。備忘録。
D-加群代数の Picard-Vessiot 理論 www.math.tsukuba.ac.jp/~amano/dvi-pdf

160 名前:/D-module_algebras.pdf

2004年度 応用数学緒論2、応用数学特論2 講義ノート http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/mnishi/note/note20042.pdf
佐藤超関数論と代数解析への招待 http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/math/hyperfunction.htm
Serre と Hazewinkel による局所類体論についての注意 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SS2009_Suzuki_emb.pdf

代数 http://research.kek.jp/people/hkodama/Math/algebra.pdf

代数学の参考書リスト http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Lounge/1030/math/algref.html
簡素にして不可解 http://blogs.yahoo.co.jp/yhakrymd/64580605.html

加群について http://www.wakayama-u.ac.jp/~morisugi/lecture/topology/kagun.pdf
戸田格子とD加群について http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0694-01.pdf

量子旗多様体上の D 加群 http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/agsymkobe07/proceedings/tanisaki.pdf
D加群の表現論への応用 https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/1998/Autumn-Meeting1/1998_Autumn-Meeting1_61/_pdf

加群 http://www.math.titech.ac.jp/~kawachi/maths/2005/Algebra/module.pdf
準ツイスターD加群の研究 日本学士院 http://www.japan-acad.go.jp/pdf/youshi/101/mochizuki.pdf

こちら http://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0056510/img/0056510.pdf
望月拓郎氏講演その2 http://www.ostec.or.jp/pln/pri/kagaku/mochizuki.pdf
[]
[ここ壊れてます]



161 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 06:09:09.23 ID:si4MyG9v.net]
>>138
どうも。スレ主です。
やはり、おっちゃんですね
レスありがとう
また書いてね

162 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 08:05:27.41 ID:si4MyG9v.net]
ついで
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kashiwara/list.html
List of Publications @kashiwara

163 名前:132人目の素数さん [2015/07/12(日) 08:10:52.10 ID:HJ0jnLAu.net]
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164 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 08:25:10.97 ID:si4MyG9v.net]
>>141 ついで

リスト中、下記が分かり易いかも(私は分からんが)
LECTURES GIVEN AT THE UNIVERSITY OF BERN IN JUNE 1984 だから
外国の大学での講義用だから、コンパクトにまとめているように思う
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kashiwara/micro.pdf
Introduction to Microlocal Analysis,
[ps] 196kb | [pdf] 104kb
l'enseignement math\'ematique 32 (1986) 227--259.

165 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 09:08:55.33 ID:si4MyG9v.net]
>>142
運営乙
おまえがな

166 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 09:45:40.25 ID:si4MyG9v.net]
>>136
参考 広島工業大学らしいが、1974年富山大学卒とすると、退職されたかも。それでリンク切れか
researchmap.jp/read0016930/
研究者氏名 大川 哲介 オオカワ テツスケ
URL iiswww.ce.it-hisoshima.ac.jp/~ohkawa
所属 広島工業大学
部署 工学部 建設工学科
職名 助教授
学位 理学博士(広島大学)
学歴 
1976年東京大学 理学系研究科 位相幾何学
1974年富山大学 文理学部(理科系) 数学

URL省略
佐藤幹夫スレ ログ速 > 板一覧 > 2ちゃんねる(net) > 数学
352 : 132人目の素数さん[] 投稿日:2008/01/08(火) 10:11:33
>>351
昨年の9月にupdateされた
「佐藤超関数論と代数解析への招待」(大川哲介著)が
参考になるだろう

167 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 10:30:58.36 ID:si4MyG9v.net]
>>137 補足

>E は当然 D の次に来る物として記号が与えられた。 symbol が一つの手がかりである。

Dが分からないので、さらに引用しておく
・B は,(complex valued ) real analyitic function の層 A の次に来る物として記号が与えられた。
・hyperfunction の層 B の導入の約 10 年後,佐藤は microfunction の層 C を導入した。 そして「佐藤の基本定理」を示した。
・佐藤超函数を用いた線型微分方程式論の基本問題の一つは, 層 B が,有限階微分作用素のなす環層 D M 上の加群層として,どの程度 injective か,を調べる事と言っても良い。 flabbiness もその一つの表れである。
B の D M ないしは D M∞ 上の解析的に自然な injective resolution はまだ得られていない。
・環層 E ∞ , E R , も両者で定義でき,この場合,考えている底空間は, M は複素解析的多様体でよい。これらの環層は芽の環がネーター環でもなく,更に E R (の芽の環)は零因子も含む複雑な環層なので,O X のような単純な代数的議論は難しい。
E は当然 D の次に来る物として記号が与えられた。 symbol が一つの手がかりである。

168 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 10:50:34.27 ID:si4MyG9v.net]
>>138
>まあ、書いたのはおっちゃんですよ。そもそも、微分積分には出発点となる
>デデキントの公理や平均値の定理とか、幾つかの同値な命題が理論展開の中で

まあ、時代が変わったと思う
1.昔、むやみにデルタイプシロンが礼賛された時代があった。曰く「高校では適当にやっている収束が、大学ではデルタイプシロンで厳密にやるんだ。それが大学の数学だ。えっへん」と
2.で、佐藤幹夫が出て、私の超関数はデルタイプシロンでは扱えませんと
3.ノンスタンダードなんてのも。方程式のガロア理論では、代数的微分を使うが、これもデルタイプシロン不要だと(微分を記号として扱えばそれで良いんだと)
4.なので、デルタイプシロンは大学の数学の中心ではなくなった
5.けど、位相をやるときに、デルタイプシロンやっといたら楽だと言われる。まあ、そんなもんだろう

169 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 11:08:00.08 ID:si4MyG9v.net]
>>147
補足 基本解とデルタ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E8%A7%A3
数学の分野において、線型偏微分作用素に対する基本解(きほんかい、英: fundamental solution)とは、旧来よりグリーン関数と呼ばれている概念の、シュワルツ超函数論を用いた定式化である。
ディラックのデルタ関数 δ(x) を用いて、作用素 L に対する基本解 F は非斉次方程式

LF = δ(x)

の解と定められる。ここで F は、特に理由が無ければシュワルツ超函数(弱い意味での解)として存在すればよい(真の解であることまでは要求されない)。

この概念は、二次元および三次元のラプラシアンに対して長く知られたものであった。任意の次元のラプラシアンに対しては、リース・マルツェルによって調べられた。
定数係数の任意の作用素に対する基本解の存在は、バーナード・マルグランジュ(英語版)とレオン・エーレンプライス(英語版)によって示された。
これは右辺を任意にとった方程式を解くうえで、畳み込みを用いる方法が直接的に結び付く、最も重要なケースであった。

動機付け
基本解が得られれば、元の方程式の求める解を見つけることは簡単である。実際、その方法は畳み込みを用いることで達成される。
基本解はまた、境界要素法による偏微分方程式の数値解においても重要な役割を担う。

信号処理
詳細は「インパルス応答」を参照
信号処理において、同様の微分方程式の基本解は、あるフィルタのインパルス応答と呼ばれる。

170 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 11:38:34.52 ID:si4MyG9v.net]
>>111
>>それらを自分ひとりで、先生もいなくて、彼がまだ4年生であったときに勉強していたのです。
>この手の話、真に受けない方がいい。

別の見方で、天才すぎて人生不幸というのもある
まあ、女優でもあるよね。美人過ぎて、芸能界にスカウトされて、囲い込まれて、気付いたら婚期を逃す

数学で言えば、天才すぎて、数学にのめり込みすぎて、女がいないとか(逆で男がいないとか)
平凡だが、幸せな人生というものある。というか、それも大事だということを知らないといけないんだよな



171 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 12:03:14.76 ID:si4MyG9v.net]
>>127
補足

>M:manifold 【機械】 (内燃機関の吸排気をする)マニホールド,多岐管.

幾何学系では、M:manifold 多様体だが、下記代数系ではvariety(数々の異なったもの,(特に同種のものの)寄せ集め)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
代数多様体(だいすうたようたい、algebraic variety)は、最も簡略に言えば、多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形と述べる事が出来る。
代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。
主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、
20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。

本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。
また議論を簡潔にするのため特に断らない限り体 k は代数的閉体であると仮定する(体 k が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照)。

172 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 12:17:41.49 ID:si4MyG9v.net]
>>125

接束
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束 (tangent bundle) は M の接空間の非交和[note 1]である。
ただし TxM は M の点 x における接空間を表す。なので、TM の元は対 (x, v)、ただし x は M の点で v は M の x における接空間、と考えることができる。π(x, v) = x で定義される自然な射影 (projection)

π : TM → M

が存在する。
接束には(下のセクションで記述される)自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束(ファイバーがベクトル空間であるファイバー束)の典型的な例である。
TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能(英語版) (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。
定義により、多様体 M が framed であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ? E が自明であることは同値である。
例えば、n-次元球面 Sn はすべての n に対して framed であるが、(Bott-Milnor と Kervaire の結果によって)n = 1, 3, 7 に対してのみ parallelizable である。

役割
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。
すなわち、f : M → N が M と N を滑らかな多様体として、滑らかな関数であれば、その微分(英語版) は滑らかな関数 Df : TM → TN である。
つづく

173 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 12:24:15.66 ID:si4MyG9v.net]
>>151 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
位相と滑らかな構造
接束には自然な位相(非交和位相ではない)が入

174 名前:閨Aそれ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である。

n 次元多様体の各接空間は n 次元ベクトル空間である。U が M の開可縮部分集合であれば、TU から U × Rn への微分同相であって各接空間 TxU から {x} × Rn への線型同型に制限するものが存在する。
しかしながら、多様体として、TM は積多様体 M × Rn に微分同相なわけではない。それが M × Rn の形であるときには、接束は自明である (trivial) という。自明な接束は通常 'compatible な群構造' を伴った多様体に対して起こる。
例えば、多様体がリー群のケース。単位円の接束は自明である、なぜならばそれは(積と自然な微分構造のもとで)リー群であるからだ。
しかしながら自明な接束をもったすべての空間がリー群というのは正しくない。自明な接束をもった多様体を parallelizable と呼ぶ。
多様体が局所的にユークリッド空間でモデルされるのとちょうど同じように、接束は U × Rn 上で局所的にモデルされる、ただし U はユークリッド空間の開部分集合である。

接束はベクトル束(これはそれ自身ファイバー束の特別な種類である)と呼ばれるより一般的な構造の例である。
明示的に書くと、n 次元多様体 M への接束は、変換関数が伴う座標変換のヤコビアンによって与えられる、M 上のランク n のベクトル束として定義できる。


別の簡単な例は単位円 S1 である(上の絵を見よ)。円の接束も自明であり S1 × R に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。
容易に視覚化できる接束は実数直線 R と単位円 S1 の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。
非自明な接束の簡単な例は単位球面 S2 の接束である。この接束はつむじ頭の定理(英語版)によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。

持ち上げ
M の対象を TM の対象に持ち上げる(英語版)様々な方法がある。例えば、c が M の曲線であれば、c' (c の接線)は TM の曲線である。
対照的に、M についてさらに仮定をしないと(例えばリーマン計量)、余接束への同様のリフトは存在しない。
[]
[ここ壊れてます]

175 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 13:18:09.40 ID:si4MyG9v.net]
>>152 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
ベクトル場

接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 M 上のベクトル場は滑らかな写像(英語版)

V : M → TM

であって、Vx と表記される x の像が x における接空間 TxM にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。M 上のベクトル場はしたがって M の接束の断面である。

M 上のすべてのベクトル場の集合は Γ(TM) によって表記される。ベクトル場は各点ごとに (pointwise) 足し合わせることができ

(V+W)_x = V_x + W_x\,

M 上の滑らかな関数を掛けることができ

(fV)_x = f(x)V_x\,

別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 Γ(TM) は M 上の滑らかな関数の可換環、C∞(M) と表記される、上の加群の構造をもつ。

M 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場は M のある開集合 U 上でだけ定義され、U の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。M 上の局所ベクトル場全体の集合は M 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。

高次の接束 略

接束上の自然なベクトル場 略

関連項目
Musical isomorphism おやじギャグ

176 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/12(日) 13:33:42.70 ID:8DKOgtXy.net]
Wikipediaコピペするだけの休日って楽しいの?

177 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 13:59:39.33 ID:si4MyG9v.net]
>>153 つづき
Musical isomorphism
https://en.wikipedia.org/wiki/Musical_isomorphism
In mathematics, the musical isomorphism (or canonical isomorphism) is an isomorphism between the tangent bundle
TM and the cotangent bundle T?M of a Riemannian manifold given by its metric. There are similar isomorphisms on symplectic manifolds. The term musical refers to the use of the symbols ♭ and ♯.[1]

It is also known as raising and lowering i

178 名前:ndices.

Contents

1 Discussion
2 Trace of a tensor through a metric
3 See also
4 References

See also

Duality (mathematics)
Raising and lowering indices
Bilinear products and dual spaces
Vector bundle
Flat (music) and Sharp (music) about the signs ♭ and ♯
[]
[ここ壊れてます]

179 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 14:04:03.05 ID:si4MyG9v.net]
>>154
どうも。スレ主です。
まあ、コピペするときに、どこを切り取るか読んでる
目的なしに読むより集中力アップなんだよね、これ
前から、勉強しようと思っていた項目なんだね、これ
「佐藤幹夫の数学」を”つんどく”してた。これを読む動機にもなった

ところで、人のWikipediaコピを見るしか脳(能?)がないのか?

180 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 14:10:01.73 ID:si4MyG9v.net]
>>155 つづき
Duality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Musical_isomorphism
In mathematics, a duality, generally speaking, translates concepts,
theorems or mathematical structures into other concepts,
theorems or structures, in a one-to-one fashion,
often (but not always) by means of an involution operation: if the dual of A is B, then the dual of B is A.
Such involutions sometimes have fixed points, so that the dual of A is A itself.
For example, Desargues' theorem in projective geometry is self-dual in this sense.

Duality can also be seen as a functor, at least in the realm of vector spaces. There it is allowed to assign to each space its dual space and the pullback construction allows to assign for each arrow f: V → W, its dual f?: W? → V?.

Contents

1 Order-reversing dualities
2 Dimension-reversing dualities
3 Duality in logic and set theory
4 Dual objects
5 Dual categories
5.1 Opposite category and adjoint functors
5.2 Examples
6 Analytic dualities
7 Poincare-style dualities
8 See also
9 Notes
10 References
10.1 Duality in general
10.2 Duality in algebraic topology
10.3 Specific dualities



181 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 14:17:37.25 ID:si4MyG9v.net]
ついで
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-24.pdf
数理解析研究所講究録
第1739 巻2011 年251-263
特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか(III)- 2 :20 世紀後半の主題(3) : 後半からの新しいもの (新々概念と応用の系列)
代表例: カタストロフィー理論超局所解析的特異性時空の特異点理論
芝浦工業大学 阿部剛久(TakehisaAbe)

182 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/12(日) 15:04:56.00 ID:si4MyG9v.net]
>>134 ついで
堀川穎二
d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20101025/1288006574
hiroyukikojimaの日記 2010-10-25 読者に優しい数学書を書く技術
抜粋
ここ数日、堀川 穎二『複素関数論の要諦』日本評論社を読みふけっている。そして、めちゃくちゃ感動している。数学書でこんなに興奮するのは久々のことだ。

複素関数論の要諦 堀川穎二 日本評論社 2003/03

 本書は、堀川先生が東大の数学科進学の決まった2年生に行った講義を忠実に収録している。
その忠実さったらすごくて、演習問題も、期末テストも、それについてのコメントも、成績の分布も、成績評価基準も、追試の点数と人数も、学生から採ったアンケート結果までも、なんでもかんでも掲載されている。

 最も感動したのは、解説の方針について書いてある「使用上の注意」の部分。少し長いけど、引用しよう。

「数学の論文は、数式の部分も含めて、文章として読めるように書かなければいけません」と小平邦彦先生によく言われたので、なるべく、日本語として自然に読める文章を心がけた。
そのために、正確さが犠牲にされた部分が少しはあるかもしれない。
内容の配置も、頭で理解していく流れに沿った順序になるように努力した。いずれ、そうでなくとも読めるようになることが必要であるが、初学者はそういった、本質的でないところでつまづく可能性が高いのでその点に配慮したのである。
数学の文章は、''読めば分かる''のではなく、''分かっているから読める''という側面がある。著者が何を言おうとしているのかが分かる文章を読むことによって、''分かる''ための技術を身につけないと''読める''ようにはならない。

「数学の文章は、''読めば分かる''のではなく、''分かっているから読める''という側面がある」とはけだけ名言だと思う。
ぼくは常々、数学書を書く数学者はなんであんなに無機的な書き方ができるんだろう、なんでもっと読者が分かる工夫をしないんだろう、といぶかっていたのだけど、最近その理由に思い当たった。
以下略

183 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/13(月) 04:09:05.25 ID:Y/m8pgDo.net]
ついで
GAGA 代数幾何学と解析幾何学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
数学において、代数幾何学と解析幾何学(フランス語: Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique、略称: GAGA)[1]の2つは密接な関係にある。
代数幾何学は代数多様体を研究することに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数(英語版)の(複素)解析函数のゼロ点で局所的に定義された解析空間(英語版)を扱う。
これら 2つの対象の深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用されたりする多大な応用を持っている。

背景
代数多様体は、局所的には多項式の共通なゼロ点として定義され、複素数上の多項式は正則函数でもあるので、C 上の代数多様体は解析空間と解釈することもできる。
同様に、多様体間の正規写像は解析空間の間の正則写像と解釈することができる。少し驚くべきことであるが、しばしば、解析的対象を代数的な方法で解釈することも可能である。

例えば、リーマン球面からリーマン球面自身への解析函数は、有理函数か、もしくは恒等的に無限大の函数であることが容易に証明できる(リウヴィルの定理の拡張として)。
もしそのような函数 f が定数ではないとすると、f(z) が無限遠点となるような z の集合は孤立していて、リーマン球面はコンパクトであるから、高々有限個の z しか f(z) の値が無限大にならない。
そのような z のあらゆる点でのローラン展開を考え、特異点を取り除くと、C 上に値を持つリーマン球面上の函数は、リウヴィルの定理により、定数函数しか残らない。このようにして f は有理函数となる。
この事実は、代数多様体として、複素射影直線とリーマン球面との間には本質的な差異は存在しないことを示している。
つづく

184 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/13(月) 04:12:14.14 ID:Y/m8pgDo.net]
>>160
GAGA ジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)による Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique Serre (1956)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
GAGA
1950年代の前半に、ホッジ理論のようなテクニックを含む代数幾何の基本を作り上げる一環として、2つの理論の間の多くの関係を基礎づけることが、成し遂げられた。
この理論に寄与している主要な論文は、ジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)による Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique Serre (1956)であり、現在は通常 GAGA と呼ばれている。
この論文では、代数多様体のクラス、正規射(regular morphism)、層といったものを、解析空間のクラス、正則写像、層へ関連付けるという一般的な結果を証明している。
この対応付けは、層のカテゴリの比較において、これらすべてに対して適用される。



185 名前:。日、GAGA-型の結果という用語を使うときは、代数幾何学の対象と射のカテゴリから、解析幾何学の対象と正則写像の作るうまく定義される部分カテゴリへの道を開くような全ての比較定理において使われる。
以下略
[]
[ここ壊れてます]

186 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/13(月) 09:30:18.83 ID:xaurmjN5.net]
>>147
>3.ノンスタンダードなんてのも。
そもそも、超準解析の厳密な扱いには、超積とか基礎論が必要で
普通の解析と全く違うんだが。或る程度の学習は、さほど難しくはない。

>>149
何で今更になってそういう文章を書いたのか分からんが、
>平凡だが、幸せな人生というものある。
これは、何を以って幸せというか? という根本的な問題にかかわることで、
その答えは人それぞれだから、幸せの感じ方は人により異なるとしか。

>>111に書いたような話には裏があって、真実の話と共に、幼いときから難しい本読んでいたけど、
結局その後も余りよく分かりませんでしたっていう類の話もあるんだよ。
自分からマジメにそういうことを書いている方もいる。そういう例があるんだよ。
自らで確認して判断出来ない場合、信憑性が高く感じられて来るのは通常後者になるだろう。
だから、証拠もなく確認せずにそういう話をそのまま信じるのはやめろと。
そういうこと。

187 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:36:00.71 ID:1bZvw6j0.net]
>>162
おっちゃん、どうも
ピエール・ドリーニュへのインタビューがある下記
srad.jp/~taro-nishino/journal/576849/
taro-nishinoの日記: ピエール・ドリーニュへのインタビュー
日記 by taro-nishino 2014年01月17日 20時30分

最終ヴェイユ予想を解決したのは、御存知ピエール・ドリーニュ博士ですが、アホ学部学生が読んで少しは満足するだろう記事"Interview with Pierre Deligne"(PDF)
www.ams.org/notices/201402/rnoti-p177.pdf
がタイミングよくNotices of the AMSの2月号に載っていましたので、以下に私訳を載せておきます。

ピエール・ドリーニュへのインタビュー
2013年5月
Martin Raussen オールボー大学
Christian Skau ノルウェイ科学技術大学

青年時代
Raussen and Skau:貴方はブリュッセルで第2次世界大戦終りの1944年に生まれました。貴方の最初の数学的体験を聞きたいです。どんな点で、貴方自身の家庭または学校により数学的体験が育まれましたか? 最初の数学的体験を憶えていますか?

ドリーニュ:兄が私より7歳年長なことが幸いだった。私が温度計を見て正と負の数があると認識した時、彼は−1×−1が+1であることを私に説明しようとしたものだった。
それは大きな驚きだった。後に彼が高校生の時に、3次方程式に関するノートを私にくれ、奇妙な解の公式があった。大変興味深く感じた。
私がボーイスカウトだった時、驚くべき幸運があった。そこで父親が高校教師のNijs氏である友を得た。Nijsはたくさんの方法で私を助けた。
特に彼は私に最初の実際の数学の本、すなわちブルバキの集合論を与えたが、それは一少年に与える当然の選択でない。その時、私は14歳だった。その本を消化するのに少なくとも一年かかった。こっそり他の講義もあったと推測する。
つづく

188 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:39:00.25 ID:1bZvw6j0.net]
>>163 つづき

自分自身のリズムで数学を学ぶ偶然を持つことは過去の世紀の

189 名前:驚きを復活させる恩典を持つ。整数から始まって有理数、そして実数をどのように定義され得るかを他のどこかで既に私は読んだことがあった。
だが、ブルバキの中を少し進めて、集合論からどのように整数が定義され得るかを驚き、"同数の要素"を持つ2つの集合に対して、これから整数を導出し、それの意味することを先ずどう定義出来るかを感嘆したのを憶えている。
私は家族の一友人に複素変数に関する本も与えられた。複素変数の話が実変数の話ととても異なることを知ることは大きな驚きだった。一回微分可能なら解析的(べき級数展開を持つ)、等々。学校で退屈だったであろう、それらのことすべてがすごい楽しさを私に与えていた。
そうして、この教師Nijs氏は、ブリュッセル大学教授Jacques Titsに私を知らせた。私がまだ高校にいた期間中、彼のコースとセミナーを聞けた。

Raussen and Skau:貴方がブルバキを勉強したと聞いて非常に驚きます。ブルバキは通常その年齢で難しいと考えられています。貴方の正式な学校教育について少し話してもらえますか? 貴方にとって面白かったのか、または退屈だったのですか?
つづく
[]
[ここ壊れてます]

190 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:41:38.04 ID:1bZvw6j0.net]
>>164 つづき

ドリーニュ:私には優れた一人の初等学校教師がいた。高校よりも初等学校で多くのことを学んだと思う。すなわち、読み方、書き方、算術、更にずっと多くのこと。
この教師が数学においてどのように実験したかを私は憶えている。その実験は私に証明、面、長さについて考えさせた。問題は半球面を同じ半径の円板面を比較することだった。それをするために、教師は両方の面を渦巻き状に紐で覆った。
半球は2倍の紐が必要だった。これは私に多くを考えさせた。すなわち、面を長さでどのように測るか? 半球面が実際に円板面の2倍であることをどのように確信するか?
高校にいた時、私は幾何での問題が好きだった。不思議な命題がさほど困難でない証明を持つから、あの年頃で幾何での証明は意味がある。いったん公理を過ぎて、そんな練習問題をすることを私は非常に楽しんだ。
幾何は、高校レベルで証明が意味のある唯一の数学分野だと私は思う。
更に、証明を書くことはもう一つ別の素晴らしい練習となる。これは数学に関するのみならず、何故事柄が真なのかを正しい仏語(私の場合)で書かなければならない。
例えば代数においてよりも、幾何において言語と数学の強い関係がある。代数は方程式の集まりを見る。論理と言語の力はさほど明らかでない。

Raussen and Skau:たった16歳で貴方はJacques Titsの講義に行きました。校外旅行に参加したので、一週間出席出来なかった話がありますが・・・?

ドリーニュ:本当だ。私はこの話をずっと後に言われた。Titsが講義に来た時、彼は訊いた。すなわち、ドリーニュはどこにいるの? 私が校外旅行にいることを説明されて、講義は次週に延期された。
つづく



191 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:44:04.42 ID:1bZvw6j0.net]
>>165 つづき

Raussen and Skau:貴方を輝ける学生として既に認めていたのに違いありません。Jacques Titsもアーベル賞受賞者です。彼は5年前にJohn Griggs Thompson(群論において偉大なる発見に対して)と共に受賞しました。貴方にとって彼は影響力のある教師でしたか?

ドリーニュ:はい。特に初期において。教える際に、最も重要なことは何をしないかとういうことがある。例えば、Titsは群の中心が不変部分群だと教えなければならなかった。
彼は証明を始め、そして止めて、本質的に言った。すなわち、"不変部分群は、すべて内部自己同型を保つ部分群である。中心の定義は出来ている。従ってデータの全対称を保つ。よって、不変であることは明らかだ"。
私にとって

192 名前:、これは意表を突いた事実だった。つまり、対称性の考えのパワーだ。

Titsが証明を一歩一歩進める必要がなく、かわりに対称性が結果を明らかにしているとただ言えたことは私に多大なる影響を残している。
私は対称性を重視し、私の論文のほぼすべてにおいて、対称性ベースの議論がある。

Raussen and Skau:貴方の数学的才能をTitsがどのように発見したか憶えていますか?
つづく
[]
[ここ壊れてます]

193 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:46:09.65 ID:1bZvw6j0.net]
>>166 つづき

ドリーニュ:それを話せないが、彼に私の世話を言ったNijs氏だったと思う。当時ブリュッセルに、本当に活発な3人の数学者がいた。Tits自身を別にして、Franz Bingen教授、Lucien Waelbroeck教授。
彼等は毎年異なる分野のセミナーを組織した。私はこれらのセミナーに参加し、バナハ代数(Waelbroeckが得意とした)、代数幾何学のような異なるトピックスについて学んだ。
それから、私の推測だが、彼等の3人が私がパリに行く時期だと決めた。Titsが私をグロタンディークに紹介し、セールの講義と同様にグロタンディークの講義に出席するように言われた。それは素晴らしいアドバイスだった。

Raussen and Skau:部外者にとって、これは少し驚きとなることがあります。Titsが数学者としての貴方に関心を持っているので、彼自身の利益のために貴方を獲得しようとするだろうと人は思うかも知れない。だが、彼はしなかった?

ドリーニュ:そう。彼は私にとって何がベストか分かっており、それに応じて行動した。

代数幾何学
Raussen and Skau:パリにおける貴方のキャリアに進む前に、貴方の専門分野、代数幾何学の本質を読者にたぶん説明しようとしなければなりません。
今年初めのアーベル賞発表の間に、フィールズ賞受賞者Tim Gowersが観衆に貴方の研究分野を説明しなければならなかった時、これは彼にとって難しい仕事だと白状して始めました。
分野を描く絵画を見せることが困難で、簡単な応用を説明することも難しいです。それでも、代数幾何学の本質のアイデアを話していただけますか? おそらく代数と幾何を相互に結ぶ特定の問題に言及するでしょうが。
つづく

194 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:49:20.52 ID:1bZvw6j0.net]
>>167 つづき

ドリーニュ:数学において、2つの異なる心持ちが一緒に来る時、いつも非常にいい。デカルトは書いた:"幾何学は偽図形について正しい推論をする技術である"。"図形(Figures)"は複数形だ。
つまり、いろいろな見方を持ち、どれが間違っているかを知ることが大変重要だ。
代数幾何学において、代数学(そこでは方程式を操作出来る)と幾何学(そこでは絵を描ける)両方からの直観を使用出来る。円を描き、方程式x2+y2=1を考えるなら、異なるイメージが心に浮かび、一者を他者に対して起用出来る。
円を軌跡するこの方程式は2次だ。これは円が直線と高々2つの交点しかないことを意味する。これは幾何学的にも見る概念だが、代数は更に多くを与える。
例えば、直線が有理方程式で、円x2+y2=1との交点の一つが有理座標を持つなら、他の交点も有理座標を持つだろう。
代数幾何学は数論的応用を持てる。多項方程式を考える時、異なる数システムにおいて同じ式を使用出来る。例えば、加法と乗法が定義されている有限集合上で、これらの方程式は組合わせ論的問題となる。
すなわち、解の個数を数えようとする。だが、絵が偽である方法を心に留めておきながら、同じ絵を描き続けられる。こうして、組合わせ論的問題を見ながら、幾何学的直観を使用出来る。
私は実際には代数幾何学の中心を研究して来ていない。概して分野にタッチしているだけの問題のすべての種類に興味を持って来ている。だが、代数幾何学は多くの議題にタッチしている! 多項式が登場するとすぐに、それを幾何学的に考えようと努められる。
例えば、ファインマン積分を持つ物理学において、または多項式表現の根の積分を考える時。代数幾何学は多項方程式の整数

195 名前:解の理解にも寄与出来る。楕円函数の古い話がある。すなわち、楕円積分がどのように振舞うか理解するため、幾何学的解釈がきわめて重大だ。

Raussen and Skau:代数幾何学は数学の主要分野の一つです。少なくとも初心者にとって、数学の他分野よりも代数幾何学を学ぶことはもっと努力を要すると貴方は言いますか?
つづく
[]
[ここ壊れてます]

196 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:54:39.78 ID:1bZvw6j0.net]
>>168 つづき

ドリーニュ:多くのツールをマスターしなければならないので、その分野に入ることは難しいと思う。先ず、コホモロジーは今や不可欠だ。もう一つの理由は、代数幾何学は時期の連続で発展し、其々が固有の言語を持つことだ。
最初はイタリア学派(悪名高き格言"代数幾何学において、定理への反例は役立つ追加物である"によって示されるように、少し不正確だった)。その次にザリスキーとヴェイユはより良い足場に物を付けた。
後にセールとグロタンディークは新しい言語を与え、その言語は非常にパワーフルだった。このスキーム言語では、多く表現出来る。数論的応用ともっと幾何学的側面の両方をカバーする。この言語のパワーを理解するのに時間を必要とする。
もちろん、多くの基礎的定理を知る必要があるが、これが主な障害だとは思わない。最も難しいのは、グロタンディークによって作られた言語のパワーを理解し、どのように私達の通常の幾何学的直観に関係付けるかである。

パリでの見習い
Raussen and Skau:貴方がパリに来た時、アレクサンドル・グロタンディークとジャン=ピエール・セールに接触しました。これら2人の数学者の第一印象について話していただけますか?

ドリーニュ:1964年11月のブルバキセミナーの間に、私はTitsによりグロタンディークに紹介された。私は本当にびっくりした。彼は頭を剃り、背が大変高く、少し異様な男だった。
私達は握手したが、彼のセミナーに参加するため私が数ヶ月後にパリへ行くまで何も話さなかった。
つづく

197 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 21:57:01.83 ID:1bZvw6j0.net]
>>169 つづき

それは本当に異常な体験だった。彼なりに非常にオープンで親切だった。私が出席した最初の講義を憶えている。その中で、彼は"コホモロジーオブジェクト"という表現を何度も使用した。
アーベル群に対するコホモロジーが何であるか知っていたが、"コホモロジーオブジェクト"の意味を知らなかった。講義の後、この表現で意味したことを私は

198 名前:゙に訊いた。
答を知らなければ話すべきポイントは何もないと他の多くの数学者達が考えただろうと私は思う。彼の反応は全くこれではなかった。アーベル圏において長完全列があって一つの写像の核を見るなら、先行写像の像で割る等々と非常に辛抱強く彼は私に話した。
私は一般的でない状況の中で、以下のことをすぐにわかった。彼は無知な人達に非常にオープンだった。同じアホな質問を3回訊くべきでないが、2回はいいと私は思う。
私は全くアホな質問をすることを恐れなかったし、この慣習は今日まで続けている。講義に出席する時、私は最前列に座り、分からないことがあれば、たとえ私が答えを知っているだろうと思われていても質問する。
前年に行った講義を書き上げないかと彼に頼まれたということで私は幸運だった。彼は私にノートを渡した。多くのこと、ノートの内容と数学を書く方法の両方を学んだ・・・。
これは両方とも平凡な方法、すなわち人は紙の片側のみに書いて、グロタンディークがコメント出来るように余白を残すべきである、だが偽の声明を作ることは許されないとも彼は主張した。
これは極端に難しい。普通人々はショートカットを作る。例えば、符号を保たない。これは彼の基準に合格しないのが常だった。事は正しく、正確でなければならなかった。
私の最初の編集は短すぎる、正確でないと彼は私に言った・・・。完全にやり直しせざるを得なかった。それは私にとって非常にいいことだった。
つづく
[]
[ここ壊れてます]

199 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:01:05.67 ID:1bZvw6j0.net]
>>170 つづき

セールは全く異なる個性だった。グロタンディークは自然な一般論の中に物事を持つことを好んだ。つまり、全ストーリーを理解すること。
セールはこの重要性を認識するが、美しい特殊ケースを好む。彼はコレージュ・ド・フランスで楕円曲線に関するコースをしていた。
楕円曲線では、保型函数を含んで多くの異なる要素が一緒に来る。セールはグロタンディークよりもずっと広い数学的教養があった。
必要な場合グロタンディークは自身ですべてをやり直し、一方セールは文献のこれ又はあれを見よと人々に語れた。
グロタンディークは極端に読まなかった。彼の古典的イタリア学派幾何学との触合いは基本的にセールとデュドネから来た。
セールがグロタンディークにヴェイユ予想の本質とそれが面白い理由を説明したに違いないと私は考える。
セールはグロタンディークのやった大構築を尊重したが、それは彼の好みではなかった。
セールはモジュラー形式のような美しい概念を持つ小さなオブジェクト、具体的な問題を理解すること(例えば係数間の合同)を好んだ。
彼等の個性は非常に違ったが、セールとグロタンディークの共同研究は非常に重要で、それがグロタンディークの研究のいくらかを可能にしたと私は思う。

Raussen and Skau:地に足をつけるために貴方はセールの講義に行く必要があったと仰っている?

ドリーニュ:そうです。グロタンディークと一緒に一般論に夢中になる危険があったからだ。私の考えでは、彼は実りの無い一般論を決してこしらえなかったが、私にとって重要だと分かった異なるトピックスを見よとセールは私に言った。
つづく

200 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:04:11.56 ID:1bZvw6j0.net]
>>171 つづき

ヴェイユ予想
Raussen and Skau:貴方の最も有名な結果は、いわゆるヴェイユ予想の(最も難しい)第3番目の証明です。しかし、貴方の業績を語る前に、ヴェイユ予想がとても重要である理由を話してもらえますか?

ドリーニュ:一次元状況における曲線についてヴェイユの以前の定理がいくつかあった。有限体上の代数曲線と有理数の間に多くの類似がある。有理数上で、中心問題はリーマン仮説だ。
ヴェイユは有限体上の曲線に対するリーマン仮説の類似を証明してしまっており、いくつかの高次元状況も見ていた。これが当時、グラスマニアンのような簡単な代数多様体のコホモロジーを人が理解し始めたところだった。
有限体上のオブジェクトに対するある点計数が複素数上で起こったものと複素数上の関連空間の形を反映すると考えた。
ヴェイユがそれを考察した時、ヴェイユ予想には隠された2つのストーリーがある。第一に、明らかに組合わせ論的問題と複素数上の幾何学的問題の間に何故関係があるべきなのか? 第二に、リーマン仮説の類似と何なのか? 
2つの種類の応用はこれらの類似から来た。最初はヴェイユ自身とともに始まった。すなわち、数論的函数に対する評価。
私にとって、それらは最重要ではない。複素数上のストーリー(そこではトポロジーを使える)と組合わせ論的ストーリーの間に関係があるべき理由を説明する形式論のグロタンディークによる構築がもっと重要だ。
2番目に、有限体上の代数多様体が標準自己準同型フロベニウスを容認する。対称性として見てよく、この対称性は全状況を非常に厳密にする。それから、この情報を複素数上の幾何学的世界へ戻せる。
それは古典的代数幾何学において起こるであろうことに関する制約となり、これは表現論と保型形式論に対する応用の中で使用されている。
最初はそんな応用があることが明らかでなかったが、私にとって、それらがヴェイユ予想が重要である理由だ。
つづく



201 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:08:14.52 ID:1bZvw6j0.net]
>>172 つづき

Raussen and Skau:グロタンディークは最終ヴェイユ予想を証明する方法の計画を立てたが、うまく行かなかった。この計画についてコメント出来ますか? 貴方が証明した方法に影響がありましたか?

ドリーニュ:ない。グロタンディークの計画は人々を一定方向のみに考えさせたから、ある意味で証明を見つける障害だった。計画に従って証明出来たならば、他のいろいろ面白いことも説明しただろうから、もっと満足だったであろう。
だが、全計画が代数多様体で十分な代数的サイクルを探すことに依存し、この問題について1970年代から実質何の進歩も無かった。
私は全く違うアイデアを使った。Rankinの研究と彼の保型形式に関する研究により呼起こされている。まだ多くの応用があるが、グロタンディークの夢を実現

202 名前:しなかった。

Raussen and Skau:グロタンディークはヴェイユ予想が証明されてもちろん喜びましたが、それでも少し失望したと聞きましたが?

ドリーニュ:そうです。かつ、良い理由があって。彼の計画が実現したならば、ずっと結構なことだっただろう。彼はもう一つ別の道があるだろうとは考えなかった。
彼は私が証明したと聞いて、これやあれをしたに違いないと思ったが、私はしなかった。それが失望の理由だと思う。

Raussen and Skau:セールが証明を聞いた時の反応を貴方は語る必要があります。

ドリーニュ:まだ完璧な証明でなかった時に私は彼に手紙を書いたが、テストケースは明らかだった。彼は腱損傷の手術のため病院へ行かざるを得なかった前に、手紙を受けたと思う。
今や証明はほぼなされていると知ったから、手術室へは気分爽快な状態で入ったと彼は後で私に言った。
つづく
[]
[ここ壊れてます]

203 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:12:44.39 ID:1bZvw6j0.net]
>>173 つづき

Raussen and Skau:多くの有名数学者達が最終ヴェイユ予想の貴方の証明を驚異と言って来ています。証明につながるアイデアをどのように得たのか述べてもらえますか?

ドリーニュ:同時に私の自由になる必要なツールを持ったということ、それらのツールが働くだろうと分かったということで私は幸運だった。証明のいくつかの部分はその後Gerard Laumonにより簡略されていて、これらのツールの多くがもはや必要でない。
当時グロタンディークは、代数多様体の超平面切断の族に関するソロモン・レフシェッツの1920年代からの研究を純粋に代数的なフレームワークに加えるアイデアを持った。
特に興味深いのはレフシェッツの命題(後にウィリアム・ホッジによって証明された、いわゆるハード・レフシェッツ定理)だった。レフシェッツのアプローチは位相的だった。
人が考えるかも知れないことと対照的に、もし議論がホッジによって与えられた証明のような解析的であるよりも、議論が位相的ならば抽象代数幾何学へ翻訳する良いチャンスがある。
グロタンディクは私に1924年のレフシェッツによる本L'analysis situs et la geometrie algebrique[訳注: 位置解析と代数幾何学]を見てくれないかと頼んだ。美しく、とても直感的な本であり、私が必要だったいくつかのツールを含んでいた。
私は保型形式にも興味を持った。Robert Rankinによる評価について私に話したのはセールだと思う。私は注意深く調べた。
Rankinは、関連しているL-函数(ランダウの結果を用いるために必要だった)に対して証明することでモジュラー形式の係数に対する自明でない評価を得ていた。その中で、L-函数の極の位置が局所因子の極に関する情報を与えた。
グロタンディークの研究が極に与えたコントロールのために、同じツールがずっと洗練されていないやり方で、ただ平方の和が正であることを使えば、ここで使用出来ると私は分かった。これが十分だった。
極は零点よりもずっと理解しやすく、Rankinのアイデアを用いることが可能だった。
私の自由となる、これらのツールすべてを持ったが、どのようにそれらをまとめたかを語れない。

まだ続くが取りあえず終わる

204 名前:オワコンの mailto:断末魔 [2015/07/17(金) 22:14:32.38 ID:rVdvJffQ.net]
運営乙

205 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:23:04.99 ID:1bZvw6j0.net]
>>163-174をまとめると

1.”ブルバキの集合論を与えたが、それは一少年に与える当然の選択でない。その時、私は14歳だった。その本を消化するのに少なくとも一年かかった。”
2.”たった16歳で貴方はJacques Titsの講義に行きました。”
3.”1964年11月のブルバキセミナーの間に、私はTitsによりグロタンディークに紹介された。”
4.”私は全くアホな質問をすることを恐れなかったし、この慣習は今日まで続けている。講義に出席する時、私は最前列に座り、分からないことがあれば、たとえ私が答えを知っているだろうと思われていても質問する。”

です

206 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:26:39.46 ID:1bZvw6j0.net]
>>175
unei? おまえがな
オワコン? しったことではない
ここは天下のおれのメモ帳、備忘録さ HaHaHa

207 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:32:20.99 ID:1bZvw6j0.net]
>>162
おっちゃん、どうも

>何で今更になってそういう文章を書いたのか分からんが、

人生って、結局巡り会いかなーと最近思うようになった
ピエール・ドリーニュへのインタビューを読んでもそうだ

>>平凡だが、幸せな人生というものある。
>これは、何を以って幸せというか? という根本的な問題にかかわることで、


208 名前:
まあそうだが
平凡は平凡で、不幸な天才より、人生としては幸せかもしれないと
[]
[ここ壊れてます]

209 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/17(金) 22:47:01.65 ID:1bZvw6j0.net]
>>162
おっちゃん、どうも

>>3.ノンスタンダードなんてのも。
>そもそも、超準解析の厳密な扱いには、超積とか基礎論が必要で
>普通の解析と全く違うんだが。或る程度の学習は、さほど難しくはない。

一時の風潮として、「微積はデルタイプシロンでないと数学ではない。ワイエルシュトラス、まんせー!」があった
いまでも残っている
が、ノンスタンダードが出て、そう一面的な見方だけではないよと
超関数でデルタ関数が扱えるようになって、デルタイプシロンだけではだめだろうと

210 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 00:28:37.08 ID:URLGzpCR.net]
コピペが始まれば、土日が始まった気分になる



211 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 00:39:11.93 ID:13aZFE2U.net]
>>179
ガロア原論文まんせー!というスレの趣旨からすると引退宣言のような書き込みだね

212 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 04:49:27.66 ID:Dy2WdOHw.net]
>>180
どうも。スレ主です。ありがとう

>>181
どうも。スレ主です。

>ガロア原論文まんせー!というスレの趣旨からすると引退宣言のような書き込みだね

趣旨がよく分からないんだが・・
なんども書いたが、ガロア原論は学ぶべき価値があると思うんだよね
1.いわゆる抽象代数学の原点
2.ブレークスルーがある
3.いまの整備されたアルティン流のガロア理論 VS オリジナルのガロアのアイデア。その視点が、自分が何か問題に取り組むときの役に立つのではと
4.対して、ワイエルシュトラスの原論文(デルタイプシロン)を読めという人を、寡聞にして知らない
5.デルタイプシロンは、現在の位相の元かも知れないが。しかし、位相を代数的視点で見るならば、ブレークスルーはむしろP進数とp-進付値ではないだろうか
P進数https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0 p-進付値https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4

213 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 04:52:11.10 ID:Dy2WdOHw.net]
>>182 訂正

ガロア原論は学ぶべき価値があると思うんだよね
 ↓
ガロア原論文は学ぶべき価値があると思うんだよね

214 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 04:56:05.34 ID:Dy2WdOHw.net]
補足
私スレ主のガロア原論文に対する思いと、ワイエルシュトラスのデルタイプシロンに対する思いは、真逆なんだよね

215 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:03:25.96 ID:Dy2WdOHw.net]
検索したら、こんなのがヒット
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
ε-δ論法について 質問者:rockman9 質問日時:2005/05/21

大学1年です。題名通りですが微分積分学に出てくるこの論法が全く理解できません。
教授に聞いても教科書に書いてあることをそのまま説明するしかしないので、その教科書を読んでも理解できないのですから全く意味が無いです。
いきなり分けのわからない変数が2つも出てきますし...
どなたか教科書に出てるような抽象的なものよりも理解しやすい説明がありましたら(独自の説明で構いません!)教えてください!お願いします。

また理解しても問題が解けなければならないので、例題として1問だけ載せてみます。説明の際に利用できるようでしたら是非使ってください!


a_n=α+1/n^2 とする。(α>0)
 
lim(n→∞)a_n=α であることをε-δ論法を用いて証明せよ。
つづく

216 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:09:07.12 ID:Dy2WdOHw.net]
>>185 つづき
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
回答4件 No.4 回答者:betagamma 回答日時:2005/05/22
抜粋
大学4年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも

217 名前:多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学1年の時は分かれていました。
3年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて(そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので)、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは?

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで4年にあがれるかどうかは別問題ですw
[]
[ここ壊れてます]

218 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:09:54.89 ID:Dy2WdOHw.net]
>>185 つづき
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
回答4件 No.4 回答者:betagamma 回答日時:2005/05/22
抜粋
大学4年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学1年の時は分かれていました。
3年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて(そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので)、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは?

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで4年にあがれるかどうかは別問題です

219 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:10:43.32 ID:Dy2WdOHw.net]
>>185 つづき
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
回答4件 No.4 回答者:betagamma
抜粋
大学4年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学1年の時は分かれていました。
3年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて(そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので)、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは?

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで4年にあがれるかどうかは別問題です

220 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:14:29.82 ID:Dy2WdOHw.net]
>>185 つづき
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
回答4件 No.4 回答者:betagamma
大学4年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学1年の時は分かれていました。
3年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて(そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので)、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは?

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで4年にあがれるかどうかは別問題です(略)



221 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:15:30.29 ID:Dy2WdOHw.net]
>>185 つづき
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
回答 No.4 回答者:betagamma
大学4年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学1年の時は分かれていました。
3年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて(そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので)、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは?

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで4年にあがれるかどうかは別問題です(略)

222 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 05:16:28.02 ID:Dy2WdOHw.net]
>>185 つづき
oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html
回答 No.4
大学4年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学1年の時は分かれていました。
3年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて(そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので)、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは?

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで4年にあがれるかどうかは別問題です(略)

223 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 05:43:39.81 ID:Dy2WdOHw.net]
どうも。スレ主です。
>>186-191
Jane Style で書き込みに失敗したと出るので、何度もやり直したら、実は失敗でなく多重カキコになってしまいました
申し訳ありません。m(_ _)m

224 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 06:01:56.15 ID:Dy2WdOHw.net]
どうも。スレ主です。しばらく、通常ブラウザで

www.amazon.co.jp/dp/4785314087
微分積分学 (数学シリーズ) 単行本(ソフトカバー) – 1996/12/5 難波 誠 (著)

投稿者 こまおよ 投稿日 2013/1/31
形式: 単行本(ソフトカバー)
ε-δ論法に真正面から取り組むとあるが、かなり丁寧に説明してある。あっさり理解できた。
このシリーズでの制約はあるにせよ、著者の解析学全般をカバーする体系書があったら、と思った。
古典的な教科書と違い、行間のスペースも適切で証明もきれい。標準的な教科書としても、難しければよいというものでもない。良い教科書だと思う。

投稿者 榊弘道 投稿日 2015/1/8
形式: 単行本(ソフトカバー)
この本はかれこれ20年近く前に読んだ解析学の本の自分としては納得のできた第1冊目の本です。問題も全て解きました。

投稿者 泥まみれ 投稿日 2011/6/4
形式: 単行本(ソフトカバー)
大学の微分積分学の教科書はイプシロン・デルタでなければならないといふのが俺の信念だ。最近は高等学校までの教育が最悪で、大学生の学力もずたずただから、大学の教科書でもイプシロン・デルタを使はない場合が多くなつてゐる。
本書はイプシロン・デルタの立場で書いてをり、この姿勢は評価してよい。

225 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 06:08:46.90 ID:Dy2WdOHw.net]
どうも。スレ主です。しばらく、通常ブラウザ使います

taketo1024.hateblo.jp/entry/epsilon-delta
2015-02-08 ε と δ 〜 無限小の代理人
抜粋
どうも、佐野です。


εδ 論法のはじまり

εδ 論法は、19世紀にコーシーやワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンとライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。
18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。
(以下εδ 論法の説明が続きますが、省略)

226 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 06:19:34.14 ID:5C0SnurY.net]
正の実数 ε を任意に取る。
N∋n > [√(1/ε)] ⇒ 1/n^2 < ε であるから、定義により lim[n→∞](1/n^2)=0
すぐわかるように lim[n→∞]α=α だから、
lim[n→∞]a_n=lim[n→∞](α+1/n^2)=lim[n→∞]α+lim[n→∞](1/n^2)=α+0=α

227 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 07:49:37.57 ID:utoKth6A.net]
>>179
>4.対して、ワイエルシュトラスの原論文(デルタイプシロン)を読めという人を、寡聞にして知らない
ε−δをはじめて考え出したのは、ワイエルシュトラスというより、むしろボルツァーノやコーシー。
ワイエルシュトラスより前から、関数をフーリエ級数として展開出来るかやその収束性が問題になっていて、
ε−δを考え出す必要に迫られていたから、コーシーとかがε−δを考え出していた。
ボルツァーノは目立たないところにε−δ関係の論文を出したりしていたから、或る意味で必然の成り行きかと。
抽象代数の原点は、ガロア理論ではなく、ルジャンドルやアーベルとかガウスじゃないか。

228 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 08:44:16.93 ID:Dy2WdOHw.net]
どうも。スレ主です。しばらく、通常ブラウザ使います
(備忘録 役に立ちそうなことをメモっていきますが、私と同じです(^^;)

tfje.seesaa.net/article/125428052.html
ある開発エンジニアの備忘録
役に立ちそうなことをメモっていきます

2009年08月15日
[読書]イプシロン-デルタ
抜粋
イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20) 作者: 田島 一郎 出版社/メーカー: 共立出版 発売日: 1978/05

 久しぶりに、シビレル本に出会いました。
もう今更、ε-δ論法なんて勉強する必要もないけど、この本を読んで、ろくすっぽ勉強せずに過ぎていった学生時代を思い出しました。
あの時、この本読んでたら、もうチョット微分積分を勉強して、理解出来ていたのかもしれません。もう遅いけど。

 イプシロン-デルタ論法自体は、大学の微分積分になって初めて出てきます。高校の数学で、なんとなくやっていた極限操作を厳密に定義します。
考え方自体は、そんなに難しくは無いんですが、応用問題とかになると頭がこんがらがって、訳が判らなくなります。大学に入って、最初につまづく個所です。

 この本は、そのイプシロン-デルタに的を絞って解説した本です。100ページ程度の薄っぺらい本ですが、中身が異常に詰まっています。
少なくとも私は、読んでいて何回も「なるほど」と感心しました。判りにくい数学記号にも、少しは慣れます。

 内容は、イプシロン−デルタ法の必要性から始まり、数列および関数の極限値、実数や関数の連続性と続きます。少しも論理に飛躍が無く、スムーズに話が展開されま

229 名前:キ。
つまづきそうな個所を先取りして、その辺の痒いところを丁寧に説明してくれます。おそらく、高校レベルの数学知識があれば、1週間くらいで読破できると思います。
[]
[ここ壊れてます]

230 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 09:25:30.06 ID:Dy2WdOHw.net]
>>195
どうも。スレ主です。>>185の解答ですね

>>196
おっちゃん、どうも
数学史ありがとう
ε−δ = ワイエルシュトラスと耳たこだったので、そう思っていた

>抽象代数の原点は、ガロア理論ではなく、ルジャンドルやアーベルとかガウスじゃないか。

そこは諸説あるだろう
高瀬 正仁氏なら、ガウスだというのだろうね



231 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 09:38:01.50 ID:Dy2WdOHw.net]
>>196
どうも。スレ主です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法

歴史的背景
アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツが創設した微分積分学は、その根底に無限小(どんな正の数よりも小さな正の数)や無限大(どんな数よりも大きな数)といった実数の範囲では定義できない概念を用いたものであり、
このような状況はレオンハルト・オイラーによって微分積分学が大幅な発展を遂げる18世紀まで継続された。

19世紀に入るとオーギュスタン=ルイ・コーシーやベルナルト・ボルツァーノらによって、厳密な議論に基づいて微分積分学を再構築しようとする試みがなされるようになる。
この時期から収束や連続に関する議論は次第に厳密性を増していく。
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。

なお、ε-δ 論法の登場により一度は数学から追放された無限小や無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化され、超準解析(Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる)という分野で研究されている。

数学教育における取り扱い
ε-δ 論法を用いない微分積分学は厳密性に欠ける部分が多くなるため、教育界などでは高校数学の段階でε-δ 論法を教えるべきである、という意見もある。
一方で、所謂理系分野の学問であっても数学、物理学以外の分野では、ε-δ 論法で記述するほどの厳密性を考慮しなくても、大抵の議論は結果だけ見れば正しい結論に行き着くことが可能であるため、
大学教育においてすらε-δ 論法を不要と見なす意見もあり、ε-δ 論法を教える事の必要性については、数学教育における古くて新しい論争といえる。

232 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 09:41:46.66 ID:Dy2WdOHw.net]
ノンスタンダードと「直感的量の無限小量を考え無限小解析を導入する試み」とは同じと思うが、面白い考えだ
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
授業実践記録 「無限小量とは何か」の問いに答えて 武蔵工業大学付属高等学校 田口哲夫
1.はじめに
 大学の授業において,微分積分における収束発散の議論は,εーδ論法でなされ,高校においても微分積分は,
『直感的に理解しておけ』など,意味をもたせずに dy は『単なる記号』,
さらには,dy/dx (ディy ディx と読む) は有限確定値の極限値であるから dy と dx

233 名前:で切り離すことはできないと教えている先生も多い.
 その後,いくつかの計算,特に逆関数の微分ではあたかも分数のように計算し,置換積分において dy と dx は無理矢理切り離され生徒は記号の魔術にかかり『計算の結果さえあたればよいという』大胆な生徒も出現してくる.
このことで,本来の数学教育が崩壊していくはめにある.ここに,自然現象を捉える学生への解析学の基本定理である無限小解析をオイラーにならって導入してみよう.
まさに,高校生の数学IIIC の授業において,微分積分の想像をかき立てる局所的性質を納得するのに,直感的量の無限小量を考え無限小解析を導入する試みである.
つづく
[]
[ここ壊れてます]

234 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 09:44:02.86 ID:Dy2WdOHw.net]
つづき
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
(中略)
5.終わりに

 高校数学から,一次変換,微分方程式が消え,『線形性』『変数分離形』『同次形』という難解な言葉が教科書や参考書からなくなってから十数年が経過した.
微分のもつ本来の瞬間的な意味も強調されなくなり,さらに,大学入試では数学 II ・Bまでの範囲で受験する生徒やAO入試学生も増える中,『置換積分』『部分積分』の計算すら完全に解答できない生徒も急速に増えている.
 これは,我々教師が数学の微分積分の分野でしか捉えることのできない『無限小の世界』を無視して,極限や計算力に対する詰め込み知識しか学生に与えてこなかったからであろう.
工学や理学者での利用する立場から現象をもう一度考えなおすべき時期にきていると感じる.
高校生に特に想像をかき立てる,数学者コーシー以前の『オイラーの無限小解析』にもどって講議することこそ大切ではないか.
 特に,無限小超実数の定義や,例題1,2で無限小量を利用するときの間違いやすい点,さらに,オイラーの微分は大学1年次の『全微分』につながっていくことを強調しておきたい.
 教科書を早く終わらせることに周知して大学入試のためのパターン問題演習に入るといった高校も今後増えていく一方にある中,『εーδ論法』とはいかないまでも,局所的解析を納得させる授業技術を心掛けていかなければならないと思う昨今である.

[参考文献]
1,dx と dy の解析学 高瀬正仁著
2,無限小解析の基礎 キースラー著 齋藤正彦訳

235 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 09:48:31.22 ID:Dy2WdOHw.net]
このPDFの数学史が面白い
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~yano/biseki2_2014/integral_beamer.pdf
定積分の定義について 2014 年度微分積分学II (担当:矢野充志) 北大
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~yano/

KETpicメモ

KETpicとは、数式処理システム (Mathematica, Maple, Scilabなど) を利用した作図をTeX文書に挿入するためのマクロパッケージである。数式処理システムからの出力と違い、次のような利点がある:

ベクタ形式の図 (PDF、EPSなど) を得られる
白黒の簡潔でわかりやすい図を得られる
3次元空間内の曲面などで、輪郭線や陰線をわかりやすく描画できる
図中に補助線・記号・LaTeX数式を簡単に記入できる
ステレオグラムを作れる

ここでは、フリーウェアの数値計算システムScilabを利用したKETpicに関するメモを残す。Mathematica版やMaple版もあるが、Maple版ではうまく動かないコマンドがあったことと、Scilab版のほう

236 名前:が最新のバージョンのKETpicが使えるのでこちらをおすすめしたい。

なにはともあれ、実例 -> Showcase
[]
[ここ壊れてます]

237 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 09:59:14.04 ID:Dy2WdOHw.net]
これ面白い
wittyzemi.blog.fc2.com/blog-entry-66.html
Wittyブログ 「ε−δ論法」参上! 2015 6/19(金)
抜粋
こんにちは、Wittyゼミ 数学科講師 の宮城です。

大学入試の「受験数学」とはぜんぜんちがうでしょ。だっから、学問としての「抽象数学」はおもしろいのよ! だっから、「受験数学エリート」が数学科で落ちこぼれていくのかもね。

今でも忘れませんよ、大学2年の前期に、よく質問に行く解析学(微積のことさ〜)の教授の教官室にいつものように質問に行きましたよ(教育学部の5階よっ)。
そしたらさ〜、1時間、説教されてさ〜、俺なきそうだったよ、ガチで。

「毎回の質問の内容がくだらなさ過ぎる」と。いちお、数学の質問よ!
まあ〜、予備校だったらさ〜、「良く来たね〜、おりこう、おりこう」言われていますよ。
みなさん、高校や予備校と大学はぜんぜんちがうぜ〜。

そして、こう言われましたね。「あんた、数学やっていておもしろくないだろ!なっ!」
「あんたをみてるとさ、数学っていうわけのわからない重い石を、苦虫噛み潰しながらいやいや押しているようにしかわしには見えんのだがね!なっ、そうだろ!」
「あんたは、受験数学の続きをやっているんだよ、だめだよ、そんなんじゃ」「そんな勉強の仕方するんだったら、今すぐ数学科なんかやめちまえ!」

この時点で、ぼくの目には、うっすら涙が・・・。まだ続くよ。
「数学で遊ぶんだよ、遊ぶ!」「自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの!」「わかる〜?」
「数学っていう重い石を押していたら、数学で遊べないだろ、なっ!」
などなど・・・。

やっぱ、数学科の教授は予備校講師や高校教師とは言うことが違いますね、言うことが・・・。
「数学で遊ぶんだよ、遊ぶ!」「自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの!」
てーげー、レベル高いぜって感じ!やっぱりさ〜みなさん、「大学」って行くに値するところだよ!だって、こんな話普通聞けないでしょ。
ちなみにこの先生、大学卒業するのに5年かかっています。山口大学から京都大学大学院に進学して30代で教授になった人です。

238 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 10:07:56.07 ID:Dy2WdOHw.net]
みんさん、数学やっていておもしろくないだろ!なっ!
あんたをみてるとさ、数学っていうわけのわからない重い石を、苦虫噛み潰しながらいやいや押しているようにしかわしには見えんのだがね!なっ、そうだろ!
あんたは、受験数学の続きをやっているんだよ、だめだよ、そんなんじゃ そんな勉強の仕方するんだったら、今すぐ数学科なんかやめちまえ!
学で遊ぶんだよ、遊ぶ! 自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの! わかる〜?
数学っていう重い石を押していたら、数学で遊べないだろ、なっ!

スレ主は、2chという手のひらで、数学というボールを自由に転がして遊んでだよ
燃料なんていらんよ。遊びだよ、遊び! メモ帳ですよ、メモ帳!
運営なんて関係無い! オワコン? しったことではない!
おれが、遊んでるんだから、他人は関係ないんだよ!

239 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 10:38:38.15 ID:Dy2WdOHw.net]
>>196 ボルツァーノ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E
ベルナルト・ボルツァーノ(Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano,1781年10月5日 - 1848年12月18日)は、チェコの哲学者、数学者、論理学者、宗教学者。ライプニッツの哲学に影響を受け、反カント哲学の立場から、客観主義的な論理学や哲学を打ち立てた。
その成果は、フランツ・ブレンターノやエトムント・フッサールらに影響を与えた。
彼の名前は、ベルナルド・ボルツァーノやドイツ語圏ではベルンハルト・ボルツァーノとも呼ばれている[1]。

最晩年の1848年の暮れにはそれまで哲学的な概念で捉えられていた無限の概念を数学にも取り入れた『無限の逆説 Pradoxien des Unendlichen』を著した。
これも、重要な著作である。『無限の逆説』を執筆し終えた数日後、風邪をこじらせ体調が急速に悪化し、そのまま死去。67歳だった。

後世への影響
生前はその業績はほとんど評価されなかった。数学の分野では、遺著『無限の逆説』は、その後、実無限概念の発展に寄与した[3]。
解析学の分野では「ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理」など、彼の名が冠される定理をいくつか残している。
哲学分野では反カント主義的方法論が災いして同時代の人物からはほとんど注目されなかったが、20世紀初頭のブレンターノやフッサールによってその成果は大いに評価された[4]。
現在では近代期における重要な論理学者・数学者として認識されている。

3.^ カントル(集合論の創始者)は、ボルツァーノを実無限概念の「決定的な擁護者」と呼び、高く評価している。
4.^ フッサールは著書『論理学研究』において、ボルツァーノを「古今最大級の論理学者」と評している

240 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 10:44:13.47 ID:Dy2WdOHw.net]
Jane Style 復活しました
いやー、通常ブラウザは不便だ
エロCMでるし・・・(^^;



241 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 12:38:05.34 ID:3gIMklMT.net]
スレ主さんは祝日は休みなの?

242 名前:自演の mailto:白々しさ [2015/07/18(土) 14:14:42.95 ID:2VQhUOun.net]
運営乙

243 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 14:38:20.71 ID:Dy2WdOHw.net]
>>207
どうも。スレ主です。
休みですが、仕事しようかと思ってます

244 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 14:40:45.64 ID:Dy2WdOHw.net]
>>208
そっちこそ
細かいことは記憶にないが、数年前から、定期的かつ粘着して運営乙と書いているきみ
そちらこそ、運営からの指示があってのことではないのか?

245 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 15:14:02.11 ID:Dy2WdOHw.net]
>>205
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzano
Mathematics
Bolzano made several original contributions to mathematics.
His overall philosophical stance was that, contrary to much of the prevailing mathematics of the era, it was better not to introduce intuitive ideas such as time and motion into mathematics (Boyer 1959, pp. 268?269).
To this end, he was one of the earliest mathematicians to begin instilling rigor into mathematical analysis with his three chief mathematical works 論文1 (1810), 論文2(1816) and 論文3 (1817).
These works presented "...a sample of a new way of developing analysis", whose ultimate goal would not be realized until some fifty years later when they came to the attention of Karl Weierstrass (O'Connor & Robertson 2006).

To the foundations of mathematical analysis he contributed the introduction of a fully rigorous ε-δ definition of a mathematical limit.
Bolzano, like several others of his day, was skeptical of the possibility of Gottfried Leibniz's infinitesimals, that had been the earliest putative foundation for differential calculus.
Bolzano's notion of a limit was similar to the modern one: that a limit, rather than being a relation among infinitesimals,
must instead be cast in terms of how the dependent variable approaches a definite quantity as the independent variable approaches some other definite quantity.

Bolzano also gave the first purely analytic proof of the fundamental theorem of algebra, which had originally been proven by Gauss from geometrical considerations.
He also gave the first purely analytic proof of the intermediate value theorem (also known as Bolzano's theorem).
Today he is mostly remembered for the Bolzano?Weierstrass theorem,
which Karl Weierstrass developed independently and published years after Bolzano's first proof and which was initially called the Weierstrass theorem until Bolzano's earlier work was rediscovered (Boyer & Merzbach 1991, p. 561).

246 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 15:16:09.54 ID:Dy2WdOHw.net]
>>211
補足:en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzanoが充実している。引用のリンクも豊富。論文3 (1817).などは文字数オーバー解消のためなので、原文当たってください

247 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 15:29:01.80 ID:Dy2WdOHw.net]
>>172

>平凡は平凡で、不幸な天才より、人生としては幸せかもしれないと

最近モーツアルトとシューベルトのCDを買ったんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%9E%E3%83%87%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%88 1756年1月27日 - 1791年12月5日
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%84%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88 1797年1月31日 - 1828年11月19日

いずれも30歳そこそこで亡くなっている
音楽の天才であることは間違いない

で、現代の我々、モーツアルトとシューベルトを楽しむ人。歌う人、演奏する人、楽団の指揮をする人、CDを作る人・・、いろいろある。もちろん、それとは別に現代音楽を作曲する人もいる
いろんな人が居ていいんだと。みんなが、モーツアルトとシューベルトのように作曲する必要はない。多くの人はそれを楽しむ。それで良いんだと

248 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 15:32:00.63 ID:utoKth6A.net]
格言:オイラーの公式はこの世のすべてを語る。
   私はオイラーの公式が載っている楽しいコミックを知らないが、スレ主は何かそういうの知ってる?
   オイラーの公式のコミックコミック。すごいマジメなコミックならあるけど、かなりパターン化されているんだよ。
   

249 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 15:41:39.29 ID:utoKth6A.net]
最近知ったけど、JR米原駅って1番線ホームと4番線ホームがないんだって。
1番線ホームと4番線ホームは本来あった筈なんだけど、一体どこに消えんだろうね。
JR米原駅って不思議な駅だよね。

250 名前:132人目の素数さん [2015/07/18(土) 15:44:59.23 ID:URLGzpCR.net]
バッハが好きですね



251 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 15:48:12.10 ID:lMLQBbnG.net]
ハローワークって土日もやってるよな?

252 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 15:55:27.22 ID:Dy2WdOHw.net]
>>206
戻るけど
Jane Style など専用ブラウザ使うと、まさにメモ帳感覚なんだよね、2ch
検索が簡単だし、レスのビューや移動も簡単だし
快適です! 繰り返すがエロCMのでない有料のプレミアム設定入れているし(^^;

253 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 16:04:47.55 ID:Dy2WdOHw.net]
みなさんどうも。スレ主です。

>>214 "格言:オイラーの公式はこの世のすべてを語る。"は、高瀬流でしょう。ガウスは未来の数学を見通していたなど
コミックは、あまり知りません

>>215
JR米原駅は、新幹線の追い抜かれで停車するくらいですが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%

254 名前:B1%B3%E5%8E%9F%E9%A7%85 米原駅 JR化後客車列車の減少とともに機関区・客車区は廃止され、跡地は電留線になっている。
あたりが関係しているのかも

>>216 バッハも好きですね

>>217 ハローワークは幸いまだお世話になっていないんで、良く分からない
[]
[ここ壊れてます]

255 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 16:24:53.41 ID:3gIMklMT.net]
スレ主さんに相談
雪江代数がどうしてもわからないんだけど僕に合った代数の教科書ありますか

256 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 16:47:27.25 ID:utoKth6A.net]
>>219
よく分からんが、高瀬流のいい方になるの?
オイラーの公式って複素平面C上の単位円周S^1についての公式で、S^1はリー群だから、
S^1やリー群を探ることで新たな道が開けることもあると思うんだけど。
それ位にリー群関係のヒルベルトの第5問題は重要だったんだよ。
シュヴァレーやポントリャーギンでも読んでみ。何かが得られるよ。おススメだよ。
ちなみに、コミックって西岡久美子氏の名前を逆読みしてコミックにかけた冗談のつもり。
久美子氏がコミックのつもりで書いたかのような、マジメといわれる超越数論の啓蒙書はあるよ。
手元にはないけど。塩川氏のはよく書けている。まあ、経験上、
女性は冗談が通用しないことが少なくないから、この辺りの冗談については難しいんだけど。
無礼者扱いされて、こういう冗談は笑えなくなって通用しないだろうな。

257 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 18:26:12.55 ID:Dy2WdOHw.net]
>>220
どうも。スレ主です。
一般的な言い方になるが

1.一冊で分かる本って少ないように思う
2.周囲で聞ける人がいないのか? 2ちゃんねるなんかで質問せずに!
3.具体的に、どこが分からないのかね?
4.普通、分からないところはスルーして、最後まで読んでみるもんだよ。そして、分からないところに戻るべし

258 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 18:32:37.26 ID:Dy2WdOHw.net]
>>221
高瀬氏は、オイラー教およびガウス教の熱心な使徒だからね
オイラーの公式は、多数あるよね
具体的に書いてくれれば、別のコメントの仕方があったかも

西岡久美子氏の超越数論の啓蒙書と、シュヴァレーやポントリャーギンと、リー群関係のヒルベルトの第5問題とが繋がってこないんだが・・、はて?

259 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 18:43:35.41 ID:3gIMklMT.net]
>>222


> 2.周囲で聞ける人がいないのか? 2ちゃんねるなんかで質問せずに!

いない

> 3.具体的に、どこが分からないのかね?

冒頭から

> 4.普通、分からないところはスルーして、最後まで読んでみるもんだよ。そして、分からないところに戻るべし

わからないところ多すぎ

260 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 19:56:06.60 ID:Dy2WdOHw.net]
>>224
どうも。スレ主です。
正直なの? 冒頭からわからん本をなぜ買う?

では、さらに質問
1.雪江代数は複数あったように思うが、具体的書名を教えて
2.なんのための代数をやるのか? 数学科か? それとも数学科以外の理系? 文系?
3.大学何回生だい? わからないところ多すぎなら、少し前からやる方が良いとおもうので



261 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 20:03:31.08 ID:Dy2WdOHw.net]
>>223
第5問題 和文と英文でニュアンスが違うね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
第5問題
位相群がリー群となるための条件
「関数の微分可能性を仮定しないとき、リーによる連続変換群(リー群)の概念は成立するか。」
この問題は1930年にノイマンによって証明されたのを皮切りに、ポントリャーギン、シェヴァレー、マルツェフ等により局所ビコンパクト群の理論が発展されていった。
その後1952年にはグリースン、以降モントゴメリ、ズイッピンらによっても解かれた。最終的には1957年にグラスコフが完全な形での証明を発表した。

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_prob

262 名前:lems
5th 1953?
Are continuous groups automatically differential groups?
Resolved by Andrew Gleason, depending on how the original statement is interpreted. If, however, it is understood as an equivalent of the Hilbert?Smith conjecture, it is still unsolved.
[]
[ここ壊れてます]

263 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 20:46:08.52 ID:Dy2WdOHw.net]
>>126
ハミルトン力学関連

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
シンプレクティック幾何学(シンプレクティックきかがく、英: symplectic geometry)とは、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学をいう。
シンプレクティック幾何学は解析力学を起源とするが、現在では大域解析学の一分野でもあり、可積分系・非可換幾何学・代数幾何学などとも深い繋がりを持つ。また、弦理論や超対称性との関わりも盛んに研究がなされている。

目次

1 解析力学とシンプレクティック幾何
2 対称性と可積分系
2.1 定理(ラグランジュ形式)
2.2 定理(ハミルトン形式)
3 量子力学との関わり
4 幾何学的量子化と非可換幾何学
5 シンプレクティックトポロジーへ
6 アーノルド予想とフレアーホモロジー
7 シンプレクティック幾何学に関わる数学者
8 参考文献

264 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 20:48:14.93 ID:Dy2WdOHw.net]
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
数学におけるシンプレクティック多様体(symplectic manifold)は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。
シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。
シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。
実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。

シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H はエネルギー函数(英語版)(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。
どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線(英語版)はハミルトン方程式の解曲線になる。
ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー(ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる)を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。

目次

1 動機
2 定義
3 線型シンプレクティック多様体
4 ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体
5 ラグランジュファイバー構造
6 ラグランジュ写像
7 特殊化および一般化
8 関連項目
9 注
10 参考文献
11 外部リンク

265 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 20:55:17.84 ID:Dy2WdOHw.net]
関連

ameblo.jp/eulerfermat1989/entry-10772518883.html
"symplectic"の語源|トーラスの日常: 2011年01月18日

数学科もしくは物理学科にいらっしゃる方はきっとどこかで聞いたことがあるであろう言葉「シンプレクティック(symplectic)」.この言葉を聞くと「何この言葉?語源は何?」ときっと思うでしょう(←まぁ知らないけどw)

英語版Wikitonary から引用すると,

以下僕のつたない和訳

語源

ヘルマン・ワイル(Hermann Weyl)によって導入された"complex"の訳語である.”complex”はラテン語の"complexus"に由来していて,「結び合わ

266 名前:せる」という意味."com-"は「一緒に」,”plectere”は「織る,結ぶ」を意味している.
[]
[ここ壊れてます]

267 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 21:02:48.06 ID:Dy2WdOHw.net]
関連
oshiete.goo.ne.jp/qa/3942741.html
symplecticの語源 質問者:ojisan7 質問日時:2008/04/12
symplecticの語源(意味)は何でしょうか。symplecticは英語にはない用語ですね。ラテン語系の用語だと思いますが、語源とその意味を教えてください。
また、「symplectic group」の訳語は「斜交群」ですが、この訳語は適切でしょうか。

No.2 回答者:arrysthmia 回答日時:2008/04/13 01:42

www18.ocn.ne.jp/~hchiba/nikki_kako8.htm
12月16日
この回答への補足

ありがとうございます。
symplecticはギリシャ語のsymplegmaに由来するようですね。Weylが数学にこの用語を持ち込んだようです。このへんのいきさつが知りたいですね。
symplectic groupは以前はline complex groupと云っていたようですが、これもマイチ意味がよく分かりません。
解答さんのご意見をお伺いしたいところです。

No.1 回答者:ddtddtddt 回答日時:2008/04/12 18:12

>「symplectic group」の訳語は「斜交群」
 知りませんでした。

 自分が知っているのは、シンプレティック積分です。2階微分方程式である運動方程式を、1階連立微分方程式の位相空間に直して、数値積分する方法です。
少なくとも保存系の場合は、解の発散がない事が保証されているので、非線形かつ長時間積分になる数値天文学と力学系の理論の分野で発展して来たみたいです。
 で。シンプレティックとは位相空間なので、運動の自由度×2となり、「偶数」という意味だと何かの本で読みました。アーノルドだったかな?。
この回答への補足

ありがとうございます。

>「偶数」という意味
もしかしたらそんな意味もあるかも知れませんね。

268 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 21:08:40.48 ID:Dy2WdOHw.net]
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E6%9D%9F
余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。

269 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 21:09:35.13 ID:eVElRF2N.net]
全然和訳になってねーじゃねえかひでえ
symplectic は complex に対応するギリシャ語な

270 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/18(土) 21:18:01.10 ID:eVElRF2N.net]
ちゃんと読んでなかったすまんk



271 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 23:33:34.80 ID:Dy2WdOHw.net]
>>232-233
どうも。スレ主です。
いや、謝るのはこちらです
当方も、ちゃんと読んでなかった

「”complex”はラテン語の"complexus"に由来していて」の部分は前振りになっていて、本題はその次の
「一方"symplectic"は,対応する古代ギリシャ語"sym-plektos"に由来している.」なんだよね
ところが、結びが
「へぇワイルが導入したんですねぇ〜まぁ結局なぜ"symplectic"が「結び合わせる」となるのかよく分からないですがwあれにどういう気持ちをこめたらそんな名前をつけたくなるんですかいねぇ?」で、混乱させられたんだ

つまり、揚げ足取りで悪いが、トーラスの日常さんも混乱していて、「結び合わせる」は、”complex”の方で、"symplectic"じゃないよんだよね。それにつられて”complex”の方だけ引用していた
で、https://en.wiktionary.org/wiki/symplectic トーラスの日常さんの引用元

一方、mathoverflow.net/questions/45159/what-does-the-word-symplectic-mean 別のソース
What does the word “symplectic” mean? MathOverflow Nov 7 '10
23
The term "symplectic group" was suggested in The Classical Groups: their invariants and representations (1939, p. 165) by Herman Weyl:

The name "complex group" formerly advocated by me in allus

272 名前:ion to line complexes,
as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more embarrassing through collision with the word "complex" in the connotation of complex number.
I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective "symplectic." Dickson calls the group the "Abelian linear group" in homage to Abel who first studied it.

Take a look at the Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics web page.
http://jeff560.tripod.com/s.html
edited Nov 7 '10 at 11:59
[]
[ここ壊れてます]

273 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/18(土) 23:57:35.35 ID:Dy2WdOHw.net]
>>231
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
解析力学とシンプレクティック幾何

オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式

と見ることであった。この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。
速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。
それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。
ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。
なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。
一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
つづく

274 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 00:02:37.52 ID:tMoEEhL+.net]
>>235
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
対称性と可積分系

運動方程式は、ラグランジュ形式においては一般化座標と一般化速度とを用いて、2階の常微分方程式系(オイラー・ラグランジュ方程式)として記述された。
それに対して、ハミルトン形式においては、一般化座標と一般化運動量とを用い、1階の常微分方程式系(ハミルトンの正準方程式)により運動が記述された。
しかし、ハミルトン形式において最も特徴的なことは、方程式が対称的であり、かつ、一般化座標と一般化運動量の2つが独立に扱われることである。
この事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合がよいことを意味する。
なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性しか扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間(=配位空間の余接バンドル)上の対称性をも扱うからである。
つまり、ハミルトン形式の方がより多くの変換が許容される。

運動方程式を求積するには第一積分(保存量)が必要である。(ハミルトニアンとは独立な)第一積分の数だけ方程式の自由度を落とすことができるからである。
第一積分を使って、方程式の自由度を削減する方法を一般に簡約化という。

第一積分を見つけることは系における対称性を見つけることに等しい。系が対称性をもてば、その対称性に対応する保存量を見付けられるからである。
例えば、並進対称性があれば運動量が保存し、回転対称性をもてば角運動量が保存する。
このように、系の対称性と第一積分の存在との関係を一般的な状況下で研究したのは、ネーターが最初であるとされる。
彼女は現在ネーターの定理と呼ばれる次の定理を示した。
以下略

275 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 10:08:19.03 ID:tMoEEhL+.net]
>>236
解析力学(下記が充実している)
https://en.wikipedia.org/wiki/Analytical_mechanics
抜粋
Analytical mechanics (or theoretical mechanics), developed in the 18th century and onward, are mathematical physics' refinements of classical mechanics, originally Newtonian mechanics, often termed vectorial mechanics.
To model motion, analytical mechanics uses two scalar properties of motion?its kinetic energy and its potential energy?not Newton's vectorial forces.[1]
(A scalar is represented by a quantity, as denotes intensity, whereas a

276 名前: vector is represented by quantity and direction.)

Principally Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics, both tightly intertwined, analytical mechanics efficiently extends the scope of classical mechanics to solve problems by employing the concept of a system's constraints.
Using these concepts, theoretical physicists?such as Schrodinger, Dirac, Heisenberg and Feynman?developed quantum mechanics and its elaboration, quantum field theory[citation needed].
Applications and extensions reach into Einstein's general relativity as well as chaos theory. A very general result from analytical mechanics is Noether's theorem, which fuels much of modern theoretical physics.

Contents
1 Intrinsic motion
2 Lagrangian mechanics
3 Hamiltonian mechanics
4 Properties of the Lagrangian and Hamiltonian functions
5 Principle of least action
6 Hamiltonian-Jacobi mechanics
7 Extensions to classical field theory
8 Routhian mechanics
9 Symmetry, conservation, and Noether's theorem
10 References and notes
11 See also

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 和文 解析力学(しょぼい)
[]
[ここ壊れてます]

277 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 10:55:53.04 ID:tMoEEhL+.net]
>>230 関連
>>「symplectic group」の訳語は「斜交群」
> 知りませんでした。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
抜粋
数学において、斜交ベクトル空間(英:symplectic vector space)(シンプレクティックベクトル空間ともいう)とは、斜交形式(英:symplectic form)(シンプレクティック形式ともいう)と呼ばれる非退化反対称双線形形式 ω を備えたベクトル空間 V のことである。
これは、斜交行列であることとは同一でない。斜交行列はこれと異なる概念である。
目次
1 標準斜交空間
2 体積形式
3 斜交写像
4 斜交群
5 部分空間
6 関連項目
標準斜交空間
標準斜交空間は、以下の斜交行列により与えられる斜交形式を有する R^2n である。
グラム・シュミットの正規直交化法を修正することにより、任意の有限次元斜交空間はこの様な基底を有することがわかる。これをダルブー基底という。
標準斜交形式を解釈するもう一つの方法がある。
一般化したベクトル空間を使うこととする。 V を n 次元の実ベクトル空間、V^* をその双対ベクトル空間とする。
ここで、以下の形式を持つこれら空間の直和 W := V ? V^* を考える。
V の任意の基底 (v_1, ・・・, v_n) を取り、その双対基底
(v^*_1, ・・・, v^*_n).
を考える。 xi = (vi, 0) および yi = (0, vi^*) と書くと、これら基底ベクトルが W 内にあると解することができる。 これらを一まとめにして考えると、W の完全な基底
(x_1, ・・・, x_n, y_1, ・・・, y_n)
が得られる。
ここで定義した形式 ω は、本節冒頭の形式と同一の特徴を有することを示すことができる。

関連項目
シンプレクティック多様体 は、各接空間で滑らかに変化する閉斜交形式を有する滑らかな多様体である。
斜交表現は、群の各要素が斜交変換として作用する群の表現である。

278 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 11:01:59.53 ID:tMoEEhL+.net]
>>218 補足

話は飛ぶが、2chはgoogleで検索の上位に来るんだ
だから、キーワード検索すると、自分の書いたこと(殆ど引用です)が、上位にヒットする
なので、”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”+キーワード で検索かけると、天下のgoogleさまを、自分のメモ帳の検索に使える
これが便利だね(^^;

279 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 11:11:34.30 ID:tMoEEhL+.net]
>>238
余談

空間の直和 W := V ? V^*
で、直和記号が受け付けられていない(? の部分)
直和記号は、わざわざ自分で学術記号の表から引き直したのに・・

まあ、ことほどさように、2chというのは数学の議論をするには

280 名前:いていない
私スレ主が、引用しかしないというバカが多い
しかし、直和記号も使えない、二行にわたる数式も書けない、斜めの矢印も使えない等々の制約がある場所で、まっとうな数学の議論や証明をしようというバカは狂気としか思えんね
そういう輩は、自分は2chでまともなカキコをした経験がないんだろう・・(理解能力自身に疑問もあるが)
[]
[ここ壊れてます]



281 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 11:28:22.55 ID:tMoEEhL+.net]
>>237 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93_%28%E7%89%A9%E7%90%86%29
物理学における位相空間(いそうくうかん、英語: phase space)とは、力学系の位置と運動量を座標(直交軸)とする空間のことである。数学における位相空間(topological space)と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。
ハミルトン形式においては位置と運動量が力学変数となり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。
1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。d-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ d 成分あり、合わせて 2d 成分となる。
これらを座標とする 2d 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。
d-次元空間を運動する N 個の質点系の運動の状態は 2d 次元位相空間上の N 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。
質点系は上記の分布による表現だけではなく、N 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする 2Nd-次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの 2Nd-次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。

目次
1 一次元調和振動子の例
2 脚注
3 関連項目
4 外部リンク

https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space 英文の方が充実している
The concept of phase space was developed in the late 19th century by Ludwig Boltzmann, Henri Poincare, and Willard Gibbs.[1]
Contents
1 Introduction
1.1 Conjugate momenta
1.2 Statistical ensembles in phase space
2 Examples
2.1 Low dimensions
2.2 Chaos theory
3 Phase plot
4 Quantum mechanics
5 Thermodynamics and statistical mechanics
6 Phase Integral
7 See also
8 References
9 External links

282 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 11:34:58.43 ID:tMoEEhL+.net]
>>241 関連
hooktail.sub.jp/welcome/phaseSpace/
位相空間(言葉の定義)
物理をやっている人と,数学をやっている人では言葉の使い方が違う場合があります.位相空間という言葉はとくに混乱の元になるものです.この記事は,この用語の違いを説明するためだけのものです.

数学における位相空間
数学における位相空間というのは,分かりやすく言うと,みなさんが知っている普通の図形から,長さを取り去ってしまった場合に残る幾何学的性質のある空間のことです.
なんのこっちゃという感じですね.

物理における位相空間
次に,物理に出てくる位相空間とは,どういうものかを説明します.もともと力学から出発した考えかたですが,質点の運動を記述するには位置 (x,y,z) と3成分,速度 (u,v,w) の3成分の計6成分が必要です.
これを二つの3次元ベクトルとして計算する代わりに, (x,y,z,u,v,w) という6次元ベクトルを一つ考える方が簡単です.というのは,質点の運動が,この6次元空間上に,一本の曲線の軌跡として表現できてしまうからです.これが物理における位相空間です.
時間発展する運動を記述するために,さらに高次元に拡張した位相空間を考える場合もありますが,考え方は同じです. [*] n個の変数によって決まる運動の軌跡を,n次元空間上の曲線に対応させる,ということです.

まとめ
数学で位相空間というのは,位相構造のある空間のことで,ぐにゃぐにゃ図形の幾何学を扱うための空間です.
物理で位相空間というのは,運動の状態を一点で対応させることが出来るように考えた高次元空間のことです.
物理の位相空間のことを,数学者は『相空間』と呼び,数学の位相空間と区別しています.
数学の位相空間を,物理学者が使うことはあまりないので,物理学者サイドからの呼び方はありません.(ToT)/~
(あえて区別するために,『トポロジースペース』と呼んだりもするようです.数学寄りの立場で物理をやっている人は,普段から位相空間と相空間を区別して使っています.この辺の事情は色々です.とにかく,みなさんは混乱しないようにして下さい.)

283 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 11:46:50.63 ID:tMoEEhL+.net]
>>241-242
余接が、なんとなくイメージ出来てきた
ハミルトン力学で、運動量を変数(p1,p2,p3)の空間と見たときに、運動量の空間=余接空間だと
逆に、接空間がイメージできなくなってきた・・・(^^;

284 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 12:28:56.50 ID:tMoEEhL+.net]
>>243
>逆に、接空間がイメージできなくなってきた・・・(^^;

もう一度勉強すると下記
オイラー・ラグランジュ方程式が、配位空間(普通の空間(x,y,z))の接バンドル上の方程式で、速度を変数として用いるってことか。速度が時間の微分で接ベクトルか
余接バンドルは、ハミルトン形式で、運動量自体を変数として用いる。運動量が余接ベクトルで、それが余接バンドルを成すと・・
そういうことでしょうか
抽象化されると、まだついて行けませんが・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。
それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式
と見ることであった。
この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。
速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。
それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。
ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。
なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。
一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
接束
(接バンドルから転送)
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束 (tangent bundle) は M の接空間の非交和[note 1]である。
TxM は M の点 x における接空間を表す。
なので、TM の元は対 (x, v)、ただし x は M の点で v は M の x における接空間、と考えることができる。

285 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 12:43:41.28 ID:GXPl6x4Q.net]
ガロア理論の話してよ
スレ主さん脱線しすぎ

286 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 13:39:30.00 ID:FuwDSfVa.net]
ガロア気泡はもうお終いw

287 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 15:19:40.77 ID:VbKQaBi2.net]
理解できてない話をただコピペするだけの作業

288 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 16:13:13.87 ID:tMoEEhL+.net]
>>245-247
古典ガロア理論(含むアルティン)は、私スレ主的には、もう卒業なんだよ
グロタン流は、まだ理解できないが

なので、質問があったらなんでも聞いて下さい
私が答えられなくても、他の人が答えてくれるかも知れないしね

289 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 16:19:58.19 ID:GXPl6x4Q.net]
>>248
ガロア理論を掲げた数学板のスレはここしかないんだから
スレ主さんは責任をもってガロア理論を語り続けるべきだと思う

290 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 16:25:52.35 ID:tMoEEhL+.net]
グロタン流のガロア理論
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E5%9C%8F
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、
アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。
古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はグロタンディークのガロア理論と呼ばれることもある。

目次
1 ガロア圏成立の経緯
2 定義
3 その他の話題
4 脚注
5 参考文献
ガロア圏成立の経緯
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体のガロア理論の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、代数幾何学の設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群の研究方法をもたらした。
体論の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数を基礎としたエミール・アルティン(ドイツ語版、英語版)(Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。

どのようにしてこれを体の場合に適用するかを知るには、体のテンソル積を研究する必要がある。



291 名前:トポスの理論の中の体のテンソル積は、原子的トポス(atomic topos)の理論の全体となる。

その他の話題
知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。
[]
[ここ壊れてます]

292 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 16:27:03.28 ID:tMoEEhL+.net]
>>249
あほかおまえは? 責任だと? ばかもやすみやすみに・・・(^^;

293 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 16:28:49.38 ID:5o5PUMVs.net]
だってスレ主阿呆やし

294 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 16:29:09.42 ID:tMoEEhL+.net]
>>250 補足

正直グロタン先生は難しすぎで、理解できてない話をただコピペするだけの作業です、はい

295 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 16:29:57.45 ID:tMoEEhL+.net]
>>252
スレ主阿呆は自明ですよ。証明不要!(^^;

296 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 17:11:40.34 ID:kPLbukU7.net]
スレ主は過去スレで何度かCoxをすすめていたけれども
スレ主がCoxのガロワ理論(上)を語るとかその読書日記をやってみるとか

確か上巻は持っていなかったような気がするから
とりあえず手始めに上巻を買いに行くところから日記をつけてみよう

297 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 18:03:11.97 ID:GXPl6x4Q.net]
読書日記は俺も読みたい

298 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 18:14:09.11 ID:tMoEEhL+.net]
>>255-256
ご期待にそえなくて、私としても非常に残念です・・・(^^;

299 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 18:17:25.81 ID:GXPl6x4Q.net]
>>257
やろうよ。読書日記。

300 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 18:20:33.95 ID:tMoEEhL+.net]
>>257
補足
Coxのガロワ理論(上)は、買ったよ
Coxの原書(英文)も買った (アマゾンで買えたから)
大人買いですよ、大人買い!

いちおう、さらった目を通して、つまみ読みして
で、いま書棚のこやし(つんどく)になってます(^^;
なにかイベントがあれば、読もうと思っています
でも、気分は古典ガロア理論卒業なんだ(含むアルティン、除く位相群とグロタン先生)

やるなら、位相群かな。あとグロタン先生へ
でもいま、気分は佐藤なんだ



301 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/19(日) 18:26:22.91 ID:VbKQaBi2.net]
コピペしてるうちに「ガロア理論は自分は理解した」と思い込みをし始めたのか
Cox読めもしないのに、哀れなやつよ

302 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 18:59:36.56 ID:tMoEEhL+.net]
>>260
どうも。スレ主です。
自分のことを言っているのか?

303 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 20:02:58.09 ID:tMoEEhL+.net]
>>221

西岡 久美子先生関連でこんなのが
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/44/2/44_2_125/_article/references/-char/ja/
Mahler関数と超越数 西岡 久美子 数学 1992
抜粋
(aij(z))が一般の行列の場合を,Mahlerの方法で扱うのは困難であったが,最近超越数論に登場したNesterenko理論を使って次の定理が証明される。
定理1(Nishio:ka[34])。
f1,… ,fm,α は上の通りとする.このとき 略

有限オートマトシとMahler関数との関係はLoxton[13],:Loxton-van der Poorten[16]に詳しい。
定理1の証明の概略は次節で述べるが,その際Nesterenkoの方法が本質的である.

304 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 20:28:22.54 ID:tMoEEhL+.net]
ここら(下記)が参考になるんやろね。内容は正直わかりませんが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 超越数

mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number from Wolfram MathWorld

305 名前:132人目の素数さん [2015/07/19(日) 21:28:47.11 ID:4jiM+KOh.net]
(*゚∀゚)b なかのひとおつw

306 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 21:52:47.26 ID:tMoEEhL+.net]
どうも。スレ主です。
ぼく、ごくろうさん。ひらがなおぼえたんか。さんすうすきか

307 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 22:20:32.05 ID:tMoEEhL+.net]
>>259
Coxのガロワ理論(上)を書棚から出してみたけど、まあ普通だね
でも、数学ノートと歴史ノートが良い
知識としては、すでに知っていることが多いが、まとめてくれているのが良いね
日記を書くほどのことでもない

ついでに、書棚のこやしの現代思想 201104号 「特集 ガロアの思想 若き数学者の革命」を出してきた
検索すると、下記がある
d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20110404/1301921889
hiroyukikojimaの日記 2011-04-04 思想としてのガロア理論
自分も寄稿している雑誌『現代思想』青土社」の4月号、特集「ガロアの思考〜若き数学者の革命」が届いた。

現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命
www.amazon.co.jp/dp/4791712250/?tag=hatena_st1-22&ascsubtag=d-1hlkj
作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫
出版社/メーカー: 青土社
発売日: 2011/03/28

執筆陣が豪華だし、なかなかがんばった特集なので、紹介してみたいと思う。
毎日毎日、「これは悪夢か幻覚ではないか」としか思えない緊迫した状況が続いていて、それどころでないかもしれないけど、(こんなときだからこその)抽象数学でひと時の息抜きをしていただければ、と思う。
以下略

308 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 22:28:08.29 ID:tMoEEhL+.net]
こんなのもあった
d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/201104
hiroyukikojimaの日記 2011-04-16 ミシン機のトポロジー
抜粋
今日も午前中に関東が震源の地震があってびびった。例の地震以来、実は、ジムに行っていない。
プールを歩きながら、論文や著作の構想を練るのを習慣としていたのだが、大きな地震が襲来したときに、さすがに水着いっちょで逃げるのが嫌だから、ジムを我慢してるのだ。
それで、最近は、家でエアロバイクをこいで代替にしている。こいでいる間は、退屈つぶしに、YUIのライブDVDを観るか、YUIのアルバムをかけながら数学書を読むかどちらかを行っている。そんな中、最近読んでいる数学書は「ホモロジー理論」に関するものだ。
昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社を書いたとき、(詳しくは、『天才ガロアの発想力』出ました! - hiroyukikojimaの日記)、「位相空間のガロア理論」というのを再勉強し、それがめちゃめちゃ面白かったので、(ガロアの夢、ぼくの夢 - hiroyukikojimaの日記参照)、
勢い余って、「複体のホモロジー理論」というのを勉強したくなって、学部時代から持っていた田村一郎『トポロジー』岩波全書を30年ぶりに読み始めたのである。

そーしたら、この本がめちゃめちゃよく書けた本なのだ。30年もたった今になって、感嘆の声をあげている。
定理群の構成が実にみごとで、緻密に配列順序が考え抜かれていて、読み進んでいくと、なぜ前にその補題が準備されているのかが明らかになり、なるほどなー、と思わされる。
証明も、いたずらに記号化されているわけでもなく、かといって、飛躍があるわけでもなく、また読者に計算を強いる手抜きをしているわけでもない。名人芸の数学書とはこういう本をいうのだろう。

あいまいな記憶の中だが、期末テストのことはよく覚えている。なんといってもテスト時間が長く、2時間と

309 名前:ゥ3時間とかあったんじゃなかったかな。ぼくは、結局、ほとんど勉強をせずにテストにのぞみ、ひどいことになった。
解き方はおろか、問題の意味さえわからない。しかし、答案を出して早々に退出する勇気が出なかった。当時の数学科では、途中退出するのは、優秀な学生と決まっていた。
天才くんたちは、持ち時間の半分も使わずに問題をすべて解き切り、悠然と退出していくのである。だから、ぼくには退出する勇気が出せなかったのだ。
以下略
[]
[ここ壊れてます]

310 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/19(日) 22:34:12.31 ID:tMoEEhL+.net]
関連
d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20100729/1280411565
抜粋
hiroyukikojimaの日記 2010-07-29 ガロアの夢、ぼくの夢

今、来月(8月)の終わり頃に刊行される新刊のゲラのチェックを終えたところだ。これは、ガロア理論の入門書。遂にガロア理論の本を出すんだよ。とても感慨深い。

 ガロア理論というのは、「5次以上の方程式には解の公式がない」ということの証明を与えた理論だ。「群」と「体」という二つの数学構造を行ったり来たりすることで証明する画期的な定理だった。
ご存じの通り、エヴァリスト・ガロアは来年が生誕200年になるフランスの数学者。20歳の朝、オンナをめぐって銃で決闘して命を落とした。前夜に論文の余白に遺書を書き、それが後にガロア理論と呼ばれる論文だったわけだ。あまりに格好良すぎる。

 もともとこの原稿は、拙著『数学でつまずくのはなぜか』講談社現代新書に入れる予定で書いたものだ。
この本は、「その人が数学を得意としようが苦手としようが、数学はその人個人のパーソナリティと密接な関係を持っている」ということを主張した本で、数学に障害を持った人や落ちこぼれた子どもの話などがふんだんに入っているんだけど、
その一例として、どうしてもガロアのことを入れたかった。
なぜかというと、ガロアの生み出したあまりに画期的な方法論が、不良で学校を退学になったり、革命運動で逮捕されたり、オンナに騙されて愚かな決闘をしたりするガロアの性格と切っても切れない関係にあると思ったからだ。
「理論」というのは、それを生み出した人のものの見方や人生観から生まれてくるものであり、その人のパーソナリティとは不可分だ、という例としてガロアの人生を書きたかったのだ。

 でも、その原稿は残念ながら却下された。それは技術上の問題だった。まず、分量が多すぎて、これを収めると新書にならなくなる。それから、他の章と比較にならないほど数式が多いので、縦組みでは無茶だ、というのもあった。
それで泣く泣くカットすることを承諾したのだ。でもぼくは、この原稿を諦めきることができなかった。だから、生まれて初めて、出版社への企画の持ち込みということを試みた。
以下略



311 名前:132人目の素数さん [2015/07/20(月) 05:45:07.30 ID:4uEs6wJW.net]
毎度毎度の引用業務、ご苦労。
ついでに言うと、ガロワの格好良さ(≒無鉄砲)よりも
ヴァイエルシュトラスの辛抱強さを見習いたい。

312 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 06:30:06.22 ID:HDH1hG65.net]
>>266 関連

以前にも引用した中村正三郎氏
iiyu.asablo.jp/blog/2011/04/09/5790229
青土社、ユリイカ、現代思想。特に「現代思想」が異様に面白そうにみえる ― 2011年04月09日 中村正三郎のブログ

www.seidosha.co.jp/index.php?%A5%AC%A5%ED%A5%A2%A4%CE%BB%D7%B9%CD
現代思想 2011年4月号 ガロアの思考
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4791712250/showshotcorne-22/
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命 [ムック]

 「ガロアの思考」は、面白そう。名前を知っている、文章を読んだことがあ
る人は、黒川信重、小島寛之、佐藤文隆、竹内薫だけだが。
 なんで、いま、ガロアなのかと思ったら、今年2011年は、ガロア生誕200周
年なのか。

313 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 06:38:49.74 ID:HDH1hG65.net]
>>269
どうも。スレ主です。
ありがとうござんす

ここはおいらの雑記帳。ついでにみなさんのお役に立てば幸いです
ここに書くと、天下のgoogleさまを、自分のメモ帳の検索に使えるんだ>>239
まあ、雑記帳のクラウド化です

e-words.jp/w/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%83%89%E5%8C%96.html
クラウド化とは|クラウドマイグレーション|cloud migration - 意味/解説/説明/定義 : IT用語辞典:

クラウド化とは、企業の情報システムなどで、自社内にコンピュータを設置して運用してきたシステムを、インターネットやVPNを通じて外部の事業者のクラウドサービスを利用する形に置き換えること。

クラウド化とはソフトウェアやデータ、あるいはそれらを提供するための技術基盤(サーバなど)を、インターネットなどのネットワークを通じて必要に応じて利用者に提供するサービスで、
専門の事業者が提供するクラウド化上に自社のシステムを構築して従来システムから移行することをクラウド化という。

314 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 07:23:29.97 ID:HDH1hG65.net]
>>255
>スレ主は過去スレで何度かCoxをすすめていたけれども

ここに戻る。過去にも書いたが、和訳上の序文 iii に
「私の信念は、アイデアの真の意味は何なのか、そして、それがどこからきたのか、ということが分かって初めて、理論のエレガントさを十分理解できる、というものである。
 その結果、本書はあきらかに薄くない。それでも、エレガントに仕上がったのではないかと思っているのだが。」とある

この思想はアルティン本の対極ではないかと
あるいはブルバキとも対極か*)

注*)ブルバキは、ユークリッド原論の現代版を目指したと聞く。確かに、ユークリッド原論は見事な書で、19世紀まではモデルたり得た。しかし、21世紀の数学には適合しないように思う。
そこにCoxの工夫がある。アルティン本やブルバキと一線を画し、”理論のエレガントさを十分理解できる”ということを目指した。この視点は、アルティンやブルバキに欠けているものだった
アルティンの薄さと簡潔さを礼賛する者がいる。しかし、それはCoxとは対極だと

315 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 07:45:43.17 ID:HDH1hG65.net]
>>269
もどる

”ガロワの格好良さ(≒無鉄砲)”の意味がわからん
ガロワは、18歳くらいで、正式の論文をポアソンかだれか学会の人に提出して、紛失されてしまった。その後、コーシーだったかに再提出するもまた紛失
結局、決闘前の遺言でメモを書くしかなかったのだった

ワープロもコピー機もない時代。論文を紛失されたら、手元になにも残らない時代だったと思う。それがどれだけダメージになるのか。時間のロスのみならず精神的にも
外から見た格好良さで判断しているのかも知れないが、当人は必死以外のなにものでもない。実際、翌日には決闘で致命

316 名前:傷を負うのだから

ワイエルシュトラスはこれか。辛抱強さというより、単なる幸運だと思うけど
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス(Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日)はドイツの数学者。姓のワイ (Wei) の部分はヴァイと表記するほうがより正確である。

1839年にミュンスター大学の教職課程に入り、クリストフ・グーデルマンに出会い、楕円関数論への関心を持つようになった[1]。
卒業後、26歳で教員として田舎の高校に就職する[1]。教員としての仕事(数学に国語に地理、そして体操まで教えた)をしながら、ニールス・アーベルの定理とカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの二重周期関数の研究の統合を目指した。

1854年、クレレ誌にヤコビ逆問題に関する論文を掲載され[1]、1856年ベルリン大学に招聘される。1864年に正教授に就任[1]、最後までこの地位にあった[1]。

複素解析では、解析接続に基づいた厳密な方法を発展させた。その他、イプシロン-デルタ論法、一様収束の概念の考案など、微分積分学の基礎付けや、一変数複素関数、代数関数のべき級数による理論の整備に業績を残した。
とくにリーマンとともに複素解析の研究を進めたのは有名であり[1]、リーマンが直感的方法を好んだのに対してワイエルシュトラスは厳密な解析的手法を好んだとされる[1]。
[]
[ここ壊れてます]

317 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 07:53:16.41 ID:HDH1hG65.net]
>>273 補足

ガロワにしろ、ワイエルシュトラスにしろ、結局はいずれだれかが、同じことを将来再発見しただろう
ガロワや、ワイエルシュトラスが居なくても
ただ、何年も遅れたかもしれない。ガロアの場合は、その後の経過を見ると、十年以上遅れたろう
アーベルが健在だったら、アーベル流の理論を書いたろうと言われているし

実際ガウスなども、自家用に秘蔵していた理論や定理は、後の時代にすべて再発見されているのだから
一様収束や級数展開と解析接続もいずれだれかが・・、と思います

318 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 08:10:53.93 ID:HDH1hG65.net]
>>270 補足
吉田輝義が書いた「ガロア理論の基本定理」について
blog.livedoor.jp/youseethesun/archives/52334022.html
心の栄養 身体の食べ物 2013年04月09日 「具象の詰まった抽象の世界にこそ数学の生命がある」  高瀬正仁

ガロア生誕200年を記念して特集された「現代思想(4月号)」(特集:ガロアの思考 若き数学者の革命)(2011年)を取り出してきて読む機会がありました。

吉田輝義が書いた「ガロア理論の基本定理」の一文に眼を通してみたいと思ったからです。ガロアを中心に数学とは何かを素人を前提として語りながら、基本定理についても必要最小限の前提から簡潔正確に紹介をしている工夫努力のあとを感じました。

このとき特集号の他の寄稿も読んでみましたが、特に興味を惹かれて読んだのが高瀬正仁の「数学における抽象化とは何か」(副題:アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの)でした。

ガロア理論の立役者であったニールス・アーベル(1802-1829)とエヴァリスト・ガロア(1811-1832)は同時代に生まれともに夭折した天才ですが、この二人を並べて数学における具象と抽象について語り数学の“生命”について論じた文章です。

数学史を専門とする

319 名前:M者らしく鶴亀算に代表される和算と連立一次方程式から説きおこして現代数学を造り出してきた具象と抽象とを対置してみせます。

アーベル                  ガロア
和算(鶴亀算、旅人算等など)     連立一次方程式
具象(のもつ神秘的な深み)      抽象(による強力な汎用性)
発見の喜び                発見の手続き化(従って喜びなし)
虫の目(登攀路を自分で登る)     鳥の目(ヘリコプターの力で登る)

アーベルの代数方程式論とガロアのガロア理論の対比にとどまらず数学の他の領域、例えば岡潔の理論とアンリ・カルタンの理論などにまで広げ例示されます。

最も印象的だったのは、ガウス研究の第一人者でもある筆者が「代数的可解性は根の相互関係で定まる」とガウス自身が強く認識していたという指摘です。夭折の天才二人(ガロア、アーベル)に先行する大天才ガウスの存在があったということです。
以下略
[]
[ここ壊れてます]

320 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/20(月) 08:13:06.26 ID:0zBtAGEv.net]
月曜日もコピペが読めるなんて幸せだなあ



321 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 08:20:39.28 ID:HDH1hG65.net]
>>275 補足

吉田輝義「ガロア理論の基本定理」は、その数学的解説をB5版でわずか6ページで、おそらく圏論をベースに完結させている
なかなか見事なものです

322 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 08:21:47.24 ID:HDH1hG65.net]
>>276
どうも。スレ主です。
ごくろうさまです

323 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 09:06:37.70 ID:HDH1hG65.net]
>>274 補足

reuler.blog108.fc2.com/blog-date-200804.html
日々のつれづれ 2008年04月: 高瀬正仁
抜粋
2008-04-24-Thu (ガウス31)アーベルの三つの言葉−アーベルの書簡より

手紙の主眼は楕円関数論と,代数的微分式の積分の理論,すなわちアーベル積分の理論の報告に置かれていますが、末尾の辺で代数方程式論がわずかに回想されて、

《私は幸いにも、提示された任意の方程式ははたして冪根の助けを借りて解けるのか否かの認識を可能にしてくれる、ある確実な規則を見つけました。私の理論からのひとつの派生的命題として、一般に4次を越える方程式を解くのは不可能であることが示されます。》

という瞠目に値する数語が書き留められました。あの「不可能の証明」は大きな理論から派生する一命題にすぎないというのであり、代数方程式論の領域でアーベルが登攀した高い峯の所在を明示する言葉です。

 このとき、アーベルの目がはっきりと見たのは、「代数的可解性が根の相互関係によって規定されている」という、真に魅力的な数学的情景であったろうと思います。
「アーベル方程式」の概念がそこから取り出され、クロネッカーの「青春の夢」に繋がる代数方程式論の新たな道筋が紡がれていきました。

2008-04-23-Wed (ガウス30)アーベルの代数方程式論(6)

遺稿「方程式の代数的解法について」の中で、アーベルはなお二通りの根の形状を記述しています。
「代数的可解方程式の根の形状の決定」という、アーベルの代数方程式論の魅力の根源をなす問題の端緒がこうして開かれました。アーベルの強靭な思索の果てに、代数方程式の理論はここにまったく新しい局面を迎えたのでした。
つづく

324 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 09:16:28.39 ID:HDH1hG65.net]
>>279 つづき

reuler.blog108.fc2.com/blog-date-200804-1.html
日々のつれづれ 2008年04月: 高瀬正仁
抜粋
2008-04-20-Sun (ガウス27)アーベルの代数方程式論(3)

「代数関数」という言葉が出てきましたが、アーベルの当時の習慣に従うと、係数の代数関数というのは、係数に対して加減乗除の基本四則演算と、冪根を作る演算(これらの五演算を「代数的演算」と総称します)とを適用して構成される表

325 名前:ヲ式を指しています。
 係数に独立変化量が登場する場合を考えなければ、代数関数の概念を把握することはできないとアーベルは言っています。アーベルの数学を理解するうえで本質的な場面ですが、この場合の「代数関数」の一語は重い意味を担っています。
なぜなら、この代数関数は「係数に代数的演算を施して組み立てられる表示式」の範疇をはるかに越えているからです。代数方程式の代数的解法の考察を通じて、代数関数論の壮麗な建築物への通路が開かれていることがわかります。

 アーベルの代数方程式論は、後年のリーマンに通じる一般的な代数関数論を念頭に置いて構想されていることが、はっきりとわかる場面です。
変化量を内包する係数を持つ代数方程式の根に着目することにより、独立変化量の個数がひとつなら一変数代数関数が認識され、複数なら、多変数の代数関数が認識されます。
 とこあれ長い考察を経て、ようやく代数的可解方程式の概念が規定されました。

2008-04-18-Fri (ガウス25)アーベルの代数方程式論(1)

アーベルには  「方程式の代数的解法について」 という未定稿があります。執筆時期は1828年後半と推定されます。フランス語で書かれていて、全二巻のアーベル全集の巻2の巻末に記載されています。
代数方程式に寄せるアーベルの思索がよく表明されています。構成を見ると、長い序文の後に、はじめのふたつの章
 §1 代数的表示式の一般的形状の決定
 §2 ある与えられた代数的表示式が満たしうる最も低い次数の方程式の決定
が続き、さらに
§3 ある与えられた次数の既約方程式を満たしうる代数的表示式の形状について
へと進んでいますが、未完成に終わりました。
[]
[ここ壊れてます]

326 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 09:30:27.66 ID:HDH1hG65.net]
>>280 補足

ガロアが、アーベルの遺稿を読んでいたことをうかがわせる記述がある
『ガロアの時代 ガロアの数学』数学篇 彌永昌吉 P236 に
”この命題はアーベルの楕円関数に関する遺稿の中で、証明なしで引用されている”と書かれている
なので、おそらくアーベルの方程式論の遺稿も読んでいただろう・・

booklog.kinokuniya.co.jp/kato/archives/2013/12/post_377.html
『ガロアの時代 ガロアの数学』時代篇&数学篇 彌永昌吉 丸善出版

327 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 09:40:34.38 ID:HDH1hG65.net]
>>224-225 ご参考
こういう人いるんだ・・。
ベストアンサーなどを読んでみて

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1096807420
pancy_poncyさん2012/11/620:21:26

五次以上の代数方程式に代数的な一般解は存在しないことの証明方法の“道筋”を分かり易く教えて下さい。

「証明方法を教えて下さい」ではなく、その道筋を教えてもらって自分で調べるなり本を探すなりして理解したいのですが・・・。
実はいきなりエムポストニコフの「ガロアの理論」を読んでも1ページ目で挫けてしまいました(^_^;)
かといって矢ヶ部巌の「数V方式のガロアの理論」を読んでも初めの方で止まってしまいました。
また小針?宏の「対話・現代数学入門」もさわりだけで結局分かりませんでした。

328 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 10:46:29.98 ID:HDH1hG65.net]
>>282 補足 なんども引用しているが
d.hatena.ne.jp/nankai/20110805
2011-08-05 ガロア理論 青空学園だより 抜粋
雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している.そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した.
ガロア理論については思い出がある.エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日,東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った.大学に入ったらこの本を読もうと,それを励みに受験勉強した.
この本を本棚に飾って,それを読む日が来ることを励みに苦手な科目も勉強した.群論は高校3年の時,『群論入門』(稲葉榮次著,倍風館)を輪読,8割方読んでいた.
大学1年前期で線型代数もやった.準備は出来た.それで1回生の夏にようやくの思いで『ガロアの理論』を読んだのだ.

ところが,これが読めてしまうのだ.何も難しいことはない.第1部「ガロア理論の基礎」も読めた.代数的生成拡大が代数的単純拡大であることの証明に感心した他はすらすら読める.
第2部「根号による方程式の解法」も読めるのだ.あれだけ憧れていたガロア理論が読めてしまうのだ.基本定理も当たり前のように記述されている.P47〜P48にはガロア対応の意義が書かれてはいるが,それを深くつかむことが出来ていなかった.
そして思った.一体ガロアの理論とは何なんだ.何がそれまでの数学からの飛躍であり,何が新しいのだ.それがわからなかった.ガロア理論は理解出来た.しかし納得は出来なかった.

今回,吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで,若いころの自分の思いを整理することが出来た.また論考の中の基本定理の証明にも,あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに,心を動かされた.内容は各自読んでもらいたい.

今から思えば,あのとき,19歳の夏にガロア理論を読んであのように思ったのなら,
ガロア理論がどのような公理的前提のもとに示されるのかとか,5次方程式の根の公式の不存在の証明に何が用いられるのかとか,その根幹の定理は何かとか,自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ.
つまりガロア理論の構造認識である.それをしなかった,あるいはそのような問題意識は持ちえなかった.これらのことをいろいろ思い起こし考える機会となった若い吉田氏の論考に感謝する.

329 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 10:47:29.32 ID:HDH1hG65.net]
>>283
個人的には、エムポストニコフの「ガロアの理論」は分かり易かった
アルティンよりはるかに

330 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/20(月) 12:07:03.58 ID:0zBtAGEv.net]
やっぱ土日ほどの元気はないね



331 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/20(月) 12:11:06.62 ID:mBLJmW9G.net]
インポか

332 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 12:53:26.60 ID:HDH1hG65.net]
>>274 参考

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB
無限級数の収束に関するアーベルの定理も著名だが、他にも無限級数の一様収束を初めて注意したことで知られる。

reuler.blog108.fc2.com/blog-date-201210.html
日々のつれづれ 高瀬正仁
抜粋
2012-10-31-Wed 近代数学史の成立26 複素対数と解析接続

格段にむずかしいのは複素変数の対数関数、すなわち複素対数ですが、これには無限多価性という、オイラーの発見が伴っていますから、その現象の根源を明らかにすることが課題になります。
複素関数論は解析接続のアイデアをもってこの課題に応えようとするのですが、問題はその応え方です。
今日の複素関数論のテキストを参照すると、ひとつの例外もなくいきなり「複素変数の対数関数を考えることができる」と宣言し、実解析関数を複素平面上に解析接続する道筋が叙述されていきます。
解析接続という考え方そのものにも理解するうえでの困難がひそんでいるのですが、それはひとまず措くとして、示される道筋それ自体は別にむずかしいことはなく、説明に追随していけばおのずと対数関数の無限多価性の認識に到達します。
ではありますが、それで諒解されるのは「複素対数を考えることにするとこのようになる」という状況のみで、そもそも「なぜ複素対数を考えるのか」という根本の説明がありません。「わかってもわからない」という不思議な心情に襲われるのはそのためです。

nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex/complex2014.pdf
複素関数 桂田祐史 2014
0.2 歴史
0.2.7 Weierstrass, Riemann
(準備中: 例えば高瀬[4] のIV「リーマンとヴァイエルシュトラスの時代」. Abel について
も何か書くべきなのかしらん…)
ワイエルシュトラス(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815{1897)楕円関数論、冪級数
による解析接続、代数関数の理論など

333 名前:
リーマン(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 年9 月17 日- 1866 年7 月20 日) Cauchy-
Riemann の関係式を元にした関数論の幾何学的理論、Riemann 面.
[]
[ここ壊れてます]

334 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 12:54:35.84 ID:HDH1hG65.net]
>>285-286
どうも。スレ主です。
ご期待に添えませんが、あしからず

335 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 12:58:18.75 ID:HDH1hG65.net]
>>287 補足

個人的所感だが、Riemann 面.には発想の飛躍というか、天才のひらめきを感じる。Riemann が出なければ、あの発想はもっと時間が掛かったろう
が、冪級数による解析接続は、後からみれば、極めて自然というか、1変数複素関数の自然な性質そのものだから、ワイエルシュトラスがいなくとも、そのうちだれかが気付いたように思う

336 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/20(月) 15:00:28.35 ID:mtpwFLai.net]
>>273
ポアソンでなくフーリエな。
ワイエルシュトラスやカントールは、クロネッカーからフルボッコにされてた。
ワイエルシュトラスはそのクロネッカーのフルボッコに耐えたんだよ。
リーマンとか他の解析やってた同時代の連中も、クロネッカーに遭遇してたら、フルボッコにされてたぞ。
クロネッカーはな、その位に解析学痛烈に批判していたんだよ。有名だと思うのだが、そういう話を知らんか。

337 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 19:35:40.12 ID:HDH1hG65.net]
>>290
どうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんやね
おっちゃん、博識やね

>ワイエルシュトラスやカントールは、クロネッカーからフルボッコにされてた。
>ワイエルシュトラスはそのクロネッカーのフルボッコに耐えたんだよ。
>リーマンとか他の解析やってた同時代の連中も、クロネッカーに遭遇してたら、フルボッコにされてたぞ。
>クロネッカーはな、その位に解析学痛烈に批判していたんだよ。有名だと思うのだが、そういう話を知らんか。

1.メンタル的に打たれ強い性格じゃないのかね、ワイエルシュトラス
2.クロネッカーのフルボッコも、ワイエルシュトラスにしてみれば、かえるのつらにしょうべん程度じゃないの
3.対して、カントールは、解析というより数学基礎論で独創的な分野だったから、性格プラス余計堪えたと思うんだよね
4.まあ、時代がね・・・、例えばガウスは複素数の扱いや、非ユークリッド幾何については、世間の批判を気にして公表には慎重だったというから

338 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 19:52:41.99 ID:HDH1hG65.net]
ワイエルシュトラスの背後には、解析という確固たる基盤がある
クロネッカーが、いくらフルボッコしようが、素手で岩盤を叩くようなものだ

対して、カントールの背後の数学基礎論の基盤は脆弱だ
フルボッコは、もろにカントールを直撃したように思うのだ

339 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/20(月) 20:09:22.49 ID:HDH1hG65.net]
これ検索ヒットしたので、メモしておく

www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/moduli050518.pdf
物理学から幾何学へ 中村郁 北大 数理科学 2005

これ面白いわ

340 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/24(金) 15:01:50.51 ID:lNRybf1J.net]
>>292
ワイエルシュトラスは、クロネッカーのフルボッコをくらって
晩年立つのが苦しい状態になった位だから、決して
>ワイエルシュトラスにしてみれば、かえるのつらにしょうべん程度
とはいえない。カントールの集合論は、広い意味では解析だよ。
元がフーリエ級数に端を発している。



341 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/24(金) 21:59:57.90 ID:XlCc/Kza.net]
>>294
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、博識やね〜
晩年立つのが苦しい状態になった位?
そうなんか! 知らなかったね〜

>カントールの集合論は、広い意味では解析だよ。

それも初耳だね

342 名前:132人目の素数さん [2015/07/24(金) 22:00:46.40 ID:qVmPVR72.net]
コピペが始まれば、土日が始まったと思う

343 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/24(金) 22:26:24.06 ID:XlCc/Kza.net]
>>295
まず、ワイエルシュトラスについて、検索するまえに
記憶を辿ると
1.大器晩成というか、40歳くらいで高校教師(当時高校があった?)をしていて楕円関数だったか超楕円関数だったかの論文が認められて大学教授へ
2.p(ぺー)関数による楕円関数論
3.複素関数論の級数展開と解析接続
4.δ−ε論法
なんだよね

クロネッカーのフルボッコをくらっても、ワイエルシュトラスに賛同する人も沢山いたろうに
そこが、カントールと違うように思うんだよね

344 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/24(金) 22:37:59.74 ID:XlCc/Kza.net]
>>297
カントールは、当時微積の基礎というか、無限大・無限小の数学的

345 名前:ネ位置付けが確立していなかったと思うんだよね
だから、カントールの意識としては、「解析やっている」だったかも
しかし、カントールのあとをついだゲーデルは、基礎論だろう(ゲーデルを解析に位置付ける人はいない)
ゲーデルの位置から、振り返ると、「カントールは基礎論」という視点もありかと

で、カントールの理論は空前だったと
理解してくれる人も、ワイエルシュトラス比で少数だった・・、というかクロネッカーにつく人も多かったんじゃ無いかね?
[]
[ここ壊れてます]

346 名前:132人目の素数さん [2015/07/24(金) 22:57:36.59 ID:paOlVUx1.net]
犯罪者 中野隆一「なかのりゅういち」
美容室 ブルーム コスタ 赤羽 デコラ 池袋 カレン 川口 社長
上記人物はお客様の事を偽証申告して逮捕状をとる
共犯 遠藤孝輔「えんどうこうすけ」
意識の革命家 ザーマスターキーIII
美容師 美容院 中野隆一の店 フジテレビ 荒川区在住
散髪 ヘアメイク ホットペッパービューティー とらばーゆ
タウンワーク アシスタント レセプション

347 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/24(金) 22:58:27.75 ID:XlCc/Kza.net]
検索でこれヒットした。おもしろいわ
pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/tmp/kikaku03.pdf
[PDF]数学の基礎としての集合論 vs. 数学としての集合論 -
渕野 昌 (Saka ?e Fuchino) 中部大学 工学部
2003年の日本数学会秋季総合分科会での私の企画特別講演
kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/ (いま神戸大学システム情報学研究科?)

348 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/24(金) 23:17:19.27 ID:XlCc/Kza.net]
これほんの一部の引用だが、どうよ
homepage3.nifty.com/kyousei/tensai2.html
天才数学者のエピソードで綴るデンジャラス・ストーリー(2)
抜粋
この章は「数学者列伝II」ジェイムス著、蟹江幸博訳、シュプリンガー・ジャパン、と『「無限」に魅入られた天才数学者たち』アミール・D・アクゼル著、青木薫訳、早川書房を骨子としている。

カントール
ワイエルシュトラス(1815〜1897.解析学の父とも言われる)の影響のもとに解析学の研究を精力的に進めていった。
カントールとワイエルシュトラスは互いに相手を高く評価し合い、その関係は生涯続いた。
クロネッカーとは犬猿の仲であった、ワイエルシュトラスの路線に沿った仕事が、旧師であるクロネッカーとカントールの生涯にわたる確執の原因となったことは、間違いないと思われる。 
カントールは数学の中心地の一つであるベルリン大学に戻れることはなく、教授職を引退するまでハレ大学にいることになる。

彼は有理数のように番号が付けられる無限集合(可算集合と言う。
有理数の集合は可算集合であることは、カントールが証明した)と実数(有理数と無理数を合わせた集合)のように今で言う連続体濃度(無限集合なので個数と言う代わりに濃度と言う)の集合について深く思索するようになった。
1873年にはデデキントに、実数の集合は可算でないことを手紙で書き送っている。おなじみのカントールの対角線論法による証明は1874年に初めて行っているが、彼自身はその段階では理解が不十分であり、1891年になって改良を加えた強力なものにしている。

1879〜84年にかけて、今日では超限集合論と呼ばれている一連のこの理論の基礎的論文を発表している。

349 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/24(金) 23:25:04.67 ID:XlCc/Kza.net]
クロネッカー vs ワイエルシュトラス どうよ
femingway.com/?p=1555
第9話 いじめで名を残す | FEMINGWAY: 2001年8月記
抜粋
さて、クロネッカーのいじめは連続概念での“切断論”で有名なデデキント(Dedekind;独1831−1916)にも向けられ、さらには彼の先輩格でもあるワイエルシュトラス(Weierstrass;独1815−1897)にも向けられたといいます。
ワイエルシュトラスといえば数学史を飾るドイツの大数学者です。なんとも恐れ入る行動力ですね。

後世の人はクロネッカーを懐疑派の数学者と呼びます。数学にとって懐疑することは非常に重要なことであります。
彼の死後、その懐疑によって彼がそのいじめのより所としていた自己の数学もまた、根底から揺るがせられることになります。
そのことを知らないでこの世を去ったクロネッカーは幸せであり自信満々の一生を送ったものです。

350 名前:132人目の素数さん [2015/07/24(金) 23:37:15.88 ID:qVmPVR72.net]
集合なき時代の数学



351 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 05:45:01.15 ID:tAJoLOyr.net]
>>137
>可換環論や代数幾何で現れる Spec(R)

ここをちょっと補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環(かかんかん、英: commutative ring)は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。

いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。

可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体

目次
1 導入
1.1 定義
1.2 簡単な例
2 諸概念
2.1 イデアルと剰余環
2.2 局所化環
2.3 素イデアルと素スペクトル
3 環の準同型
4 加群
5 ネーター環
6 環の次元
7 可換環の構成
7.1 完備化
8 性質
9 関連項目
10 注釈
10.1 出典
11 参考文献

352 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 05:54:38.57 ID:tAJoLOyr.net]
>>304 つづき
> 2.3 素イデアルと素スペクトル

素イデアルと素スペクトル
詳細は「素イデアル」および「環のスペクトル」を参照

特に重要な種類のイデアルとして、素イデアルがある(しばしば p あるいは p(ヒゲ文字)などで表す)。
この概念が生じたのは、19世紀の代数学者が('Z と異なり)素因数分解の一意性の成り立たない環をたくさん発見したことによる(素因数分解が一意な環は一意分解環と呼ばれる)。
定義により、素イデアルは真のイデアルであって、環の二元 a, b の積 ab が p に属するならば必ず a か b のうちの少なくとも一方が p に属するという性質を持つものである(逆はイデアルの定義から任意のイデアルにおいて成り立つ)。
このことは、剰余環 R/p が整域となることといっても同じである。
また、p の補集合 R ? p が積閉集合になることと言い換えることもできる。このとき、局所化 (R ? p)?1R は独自の記法 Rp を持つ程に重要なもので、この環はただ一つの極大イデアル pRp を持つ。
このように極大イデアルが唯一であるような環は局所環と呼ばれる。

体は整域ゆえ、すでに述べたように極大イデアルは素イデアルである。
イデアルが素であること、あるいは剰余環を考えれば同じことだが環が零因子を持たないことを示すことは、一般に非常に難しい問題である。
つづく

353 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 06:01:36.74 ID:tAJoLOyr.net]
>>305 つづき
素イデアルは、環 R の素イデアル全体の成す集合である環のスペクトル Spec?R を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵

354 名前:となる概念である。
既に述べたように任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは常に空でない。
R が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。
一方、、有理整数環 Z のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、(素イデアル pZ を生成する)各素数 p に対応する点も持つ。
スペクトルにはザリスキー位相と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 f に対して部分集合 D(f) = {p ∈ Spec R : f ? p} が開となるものとして定義される位相である。
この位相は解析学や微分幾何学に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ Z に対応する点の閉包は Z のスペクトル全体に一致する。

スペクトルの概念は可換環論と代数幾何学に共通する基盤である。代数幾何学は Spec?R に層 ο(実体は、局所的に、つまりさまざまな開集合上で、定義された函数の集合)を付随させることに始まる。
この空間と層からなるデータをアフィンスキームと呼ぶ。アフィンスキームが与えられたとき、基礎となる環 R は層 ο の大域切断全体の成す環として回復される。
さらに言えば、こうして得られる環とアフィンスキームとの間の一対一対応は環準同型と可換になる。
即ち任意の環準同型 f: R → S に対して矢印の向きを逆にする連続写像

Spec?S → Spec?R; q → f?1(q)

が生じる。これはつまり、S の任意の素イデアルは f による原像として R の素イデアルに移されることを言うものである。
スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。
即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は(考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば)相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。

詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非女王によく反映するものである。
つづく
[]
[ここ壊れてます]

355 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 06:09:31.42 ID:tAJoLOyr.net]
>>306 つづき

>非女王に

非常にの誤変換だろう

本題つづき
アフィンスキームは(多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして)スキームの局所モデルになっている(スキームは代数幾何学の主な研究対象である)。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。
(可換環引用おわり)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0
抽象代数学における局所環(きょくしょかん、local ring)は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で、
比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。
局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。

定義

環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ(したがって全て)満たすもののことである:

R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある(特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない)。

これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基 (Jacobson radical) にも

356 名前:一致する。

つづく
[]
[ここ壊れてます]

357 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 06:30:55.21 ID:tAJoLOyr.net]
>>307 つづき

上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。
4 番目の性質は次のように言い換えることができる: R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。
ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。

可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。

文脈によっては、局所環の定義に(左および右)ネーター性を仮定するものもある。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ(本項ではこれを区別しない)。


可換な例

可換(および非可換な)体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。

局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。
まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間(これはいくらでも小さく取って構わない)で一致するような函数を全て同一視する。
この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽(め、germ)または実数値連続函数芽(が)という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。

この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。
これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。

この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。

つづく

358 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 06:38:55.61 ID:tAJoLOyr.net]
>>308 つづき

これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数芽の環でもよいが、
結果として、これらの芽の環は局所環となる。
またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうしてのか特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。

もう少し算術的な例として、分母が奇数となるような有理数全体の成す環は局所環である。その極大イデアルは、分子が偶数で分母が奇数であるような分数全体である。
もっと一般に、可換環 R とその素イデアル P が与えられたとき、R の P における局所化は、P の生成する唯一の極大イデアルを持つ局所環である。

体上の(一変数あるいは多変数の)形式冪級数環も局所環の例である。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。

体上の二元数の成す多元環も局所環である。もう少し一般に、F が体で n が正整数であるならば、商環 F[X]/(Xn) は、定数項を持たない多項式の類全体の成す極大イデアルを持つ局所環となる。
実際に等比級数を使えば、定数項を持つ任意の多項式が Xn を法として可逆であることが示せる。 これらの例では、その元はどれも冪零であるか可逆であるかのいずれかである。

局所環は賦値論では重要な役割を果たす。体 K(これは函数体かもしれないしそうでないかもしれない)が与えられたとき、そこから局所環を見つけることができる。
定義により、K の部分環 R が K の付値環であるならば、K のどの非零元についても、x か x?1 のうちのいずれかが R に属す、という性質を持つ。そのような性質を持つ部分環はどれも局所環である。
K が実際に代数多様体 V 上の函数体であるならば、V の各点 P に対して、「P において定義された」函数の成す賦値環を考えることができるだろう。
V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である:

つづく

359 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 06:44:11.38 ID: ]
[ここ壊れてます]

360 名前:tAJoLOyr.net mailto: >>309 つづき

F および G が V 上の有理函数で F(P) = G(P) = 0 を満たすとする。このとき、函数 F/G の P における値というのは不定形である。
例えば簡単なところで Y/X において、極限を直線 Y = tX にそって近づけるようなことを考えると、「P における値」という概念には単純な定義というものが無いように思われるだろう。
けれども賦値を使えばこのようなことは取り除かれる。

非可換な例

非可換局所環は、環上の加群の直和分解の研究において、自己準同型環として自然に現れる。具体的に、加群 M の自己準同型環が局所環であるならば、M は直既約であり、逆に、有限な長さを持つ加群 M が直既約ならば、その自己準同型環は局所環となる。

k を標数 p の体、G を有限 p-群とすると、その群環 kG は局所環である。
(例おわり)

>またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうしてのか特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。

「どうしてのか特殊な局所環付き空間として定義されるのか」は、日本語がおかしい
これは、おそらくだれかの書いた文を別の人が編集したときに、編集を失敗したためと考えられる

つづく
[]
[ここ壊れてます]



361 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 06:56:23.94 ID:tAJoLOyr.net]
少し休憩

>>309-310

"K が実際に代数多様体 V 上の函数体であるならば、V の各点 P に対して、「P において定義された」函数の成す賦値環を考えることができるだろう。
V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である:
F および G が V 上の有理函数で F(P) = G(P) = 0 を満たすとする。このとき、函数 F/G の P における値というのは不定形である。
例えば簡単なところで Y/X において、極限を直線 Y = tX にそって近づけるようなことを考えると、「P における値」という概念には単純な定義というものが無いように思われるだろう。
けれども賦値を使えばこのようなことは取り除かれる。"

ここ、なんか日本語がおかしい

V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である:
  ↓
特に、V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取ることができる:

くらいの方が意味が通るように思う
これも、だれかの文を他の人が編集したときに、部分だけ手直しして、全体的流れを見ていないからかと想像します

362 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 07:30:06.58 ID:tAJoLOyr.net]
>>307

文字化け修正
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
 ↓
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 − x のいずれかは必ず可逆である。

補足
・あと、可逆→可逆元かな
・逆元の存在( 0 以外の)が、言える環ってことなんかね・・
・「幾何学的直観に由来する多くの概念」というのが、いまいちイメージ湧きませんが

363 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/25(土) 07:47:24.65 ID:VYNPHl5W.net]
スレ主さんってオナニーするの?

364 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 08:16:38.27 ID:tAJoLOyr.net]
>>310 局所環つづき

諸事実と諸定義

可換の場合
(R, m) で極大イデアル m をもつ可換局所環をあらわすことにする。可換局所環 (R, m) は m の冪全体を 0 近傍系の基とする位相(これを m-進位相と呼ぶ)により自然な方法で位相環となる。

二つの局所環 (R, m), (S, n) に対して、R から S への局所環準同型とは、環準同型 f : R → S であって、f(m) ⊆ n を満たすもののことを言う。(R, m), (S, n) を m-進位相, n-進位相でそれぞれ位相環と見れば、この位相に関して連続な環準同型が、局所環の準同型である。

位相環として見た場合に、 (R, m) は完備であるかという問いを与えることができるが、これは一般には正しくない。しかしその完備化はやはり局所環となる。

もし、 (R, m) が可換ネーター的局所環であるならば、

∩_{i=1}^∞ m^i = {0}

が成り立つ(クルルの交叉定理)。したがって、R は m-進位相に関してハウスドルフ空間になる。
一般の場合

局所環 R のジャコブソン根基 m(これは R の唯一の極大左イデアルであり、また唯一の極大右イデアルである)は、ちょうど環 R の非可逆元の全体のなす R の唯一の極大両側イデアルである
(非可換環の場合、環が極大両側イデアルを唯一つしかもたないとしても、それはその環が局所環であるという意味にはならないということには注意が必要である)。

局所環 R の元 x について、以下のことはみな同値である:

x が左逆元を持つこと。
x が右逆元を持つこと。
x が単元であること。
x が R の唯一の極大イデアル m に属さないこと。

(R, m) を局所環とすると、商環 R/m は体である。 J が R に一致しない両側イデアルであるなら、商環 R/J は再び局所環で、その唯一の極大イデアルは m/J で与えられる。

アーヴィング・カプランスキー(英語版) の深度定理 (deep theorem) によれば、局所環上の射影加群は自由加群である。

365 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 09:32:07.62 ID:tAJoLOyr.net]
>>306-307 可換環補足
(和)
スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。
即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は(考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば)相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。
詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。

アフィンスキームは(多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして)スキームの局所モデルになっている(スキームは代数幾何学の主な研究対象である)。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。

(英)https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_

366 名前:ring より
The spectrum also makes precise the intuition that localisation and factor rings are complementary:
the natural maps R → Rf and R → R / fR correspond, after endowing the spectra of the rings in question with their Zariski topology, to complementary open and closed immersions respectively.
Altogether the equivalence of the two said categories is very apt to reflect algebraic properties of rings in a geometrical manner.

Affine schemes are?much the same way as manifolds are locally given by open subsets of Rn?local models for schemes, which are the object of study in algebraic geometry.
Therefore, many notions that apply to rings and homomorphisms stem from geometric intuition.

英文の方が分かりやすいね
"「幾何学的直観に由来する多くの概念」というのが、いまいちイメージ湧きませんが">>312 と書いた
英文読むと、”the same way as manifolds”ということで、manifoldsの幾何学で成り立つことが、”the object of study in algebraic geometry”でも成り立つという意味だと

「manifoldsの幾何学で成り立つこと」というのが、まだイメージ湧きません。リーマン・ロッホ(下記)などがその例でしょうか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
[]
[ここ壊れてます]

367 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 10:00:11.77 ID:tAJoLOyr.net]
代数幾何の点

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_algebraic_geometry#immersion
Glossary of algebraic geometry

point
A scheme S is a locally ringed space, so a fortiori a topological space, but the meanings of point of S are threefold:

a point P of the underlying topological space;
a T -valued point of S is a morphism from T to S , for any scheme T ;
a geometric point, where S is defined over (is equipped with a morphism to) Spec(K) , where K is a field, is a morphism from Spec ({ ̄K}) to S where { ̄K} is an algebraic closure of K.

Geometric points are what in the most classical cases, for example algebraic varieties that are complex manifolds, would be the ordinary-sense points.
The points P of the underlying space include analogues of the generic points (in the sense of Zariski, not that of Andre Weil), which specialise to ordinary-sense points.
The T -valued points are thought of, via Yoneda's lemma, as a way of identifying S with the representable functor h_{S} it sets up.
Historically there was a process by which projective geometry added more points (e.g. complex points, line at infinity) to simplify the geometry by refining the basic objects.
The T -valued points were a massive further step. As part of the predominating Grothendieck approach, there are three corresponding notions of fiber of a morphism: the first being the simple inverse image of a point.
The other two are formed by creating fiber products of two morphisms. For example, a geometric fiber of a morphism S^’ → S is thought of as

S^’ ×_{S} Spec({ ̄K}) .

This makes the extension from affine schemes, where it is just the tensor product of R-algebras, to all schemes of the fiber product operation a significant (if technically anodyne) result.

368 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 20:38:27.87 ID:tAJoLOyr.net]
こんなのがありました
note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n85395
代数幾何学入門講座〜スキーム理論入門〜 ライター:sedrft1さん(最終更新日時:2015/1/7)投稿日:2012/6/28

難しい代数幾何が、私のような平凡な頭の者にも少しでも身近なものにならないだろうかと何度も思ったことです。
代数方程式は素朴な対象であるがゆえに、昔から多くの数学者たちの研究の的になってきました。

そもそも一般に幾何学をやるといっても、どこ上で幾何をやるのかというのは問題になります。(C上かR上か。Qやp進体Qpか、はたまたZか。体Fpか。体上か環上か。などなど。)
たとえば代数閉体であるC上なら点もいっぱいつまっているし、どんな代数方程式をもってきても解が中に詰まってるし十分に安心して幾何学の議論として扱えそうです。
しかしZなどの(不毛な)世界に降りてくると、もはや点がただポツポツ並んでるだけといった世界になり、十分満足できるような幾何学と呼べるものにするのが難くなってきます。
しかし数論においても面白いのは何と言ってもZの世界であり、何とか扱えるようにしたいというのがみんなの願いではあります。
つづく

369 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 20:41:27.17 ID:tAJoLOyr.net]
>>317 つづき

そこでちゃんとした幾何学として扱うには(例えばですが)ある程度位相を拡張したり、絶対値や距離をつけたり点を詰めたりするなど今後いろんなアイディアが必要になってきそうです。(○)

GrothendieckはZや体ばかりでなく、一般の環に対しても幾何学を構築することを考えました。それをスキームという視点で書き直そうとしたのです。
スキームは可換環を幾何学的にとらえようという考え方です。そしてそれら異世界を自由に横断できる仕組みがあれば、それをまさに枠組み(スキーム)と呼ぶことにします。

まず代数方程式があれば、局所的にはアフィン空間、大域的には射影空間(アフィン空間を包むような空間)に置くのが普通です。
射影空間の中でコンパクト化が可能で、代数方程式を局所的には可換環論、大域的には後でいうようにコホモロジーに帰着させます。
代数方程式があればそれに伴う座標環が定義できます。これは可換環であって、代数方程式の情報を含んでいます。
それではこの座標環を調べよう。いやそればかりでなく、一般に可換環を調べることができれば、このような代数方程式ばかりではなく、いろんな環を一括して扱うことができます。

可換環を見るという視点によって統一的に見ることが可能ではないか。
そして可換環は幾何学的に見ることでより深く知ることができるのです。このことが代数幾何と可換環論が両足となって一歩一歩進化してきた歴史でもあります。
たとえば代数体の整数環・代数曲線・コンパクトリーマン面はどれも1次元正則スキームというものの例になります。(ここで「次元」は幾何学から来た単語。)

これは幾何学的に見た例です。スキームという見方によって、これら違うものが一つに統一されたのです。歴史的には代数体と関数体との類似をたどって生まれてきたので、必ず代数体を見ながらそれが関数体側ではどう対応しているかを念頭に置いて学んでいくとよいと思います。
(『数論T』Fermatの夢と類体論・「局所と大域」。 たとえばイデアル類群とヤコビ多様体。)
以下省略。(本文を読んでください)

370 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 20: ]
[ここ壊れてます]



371 名前:52:42.05 ID:tAJoLOyr.net mailto: >>318
といいながら、さらに一言

”素イデアルがただ並んでいるだけの空間では十分な幾何学としての考察対象にはなり得ず、ここに空間そのものを扱うのではなくて、その上の層を調べよという考えがあります。
もともと層は多変数関数や複素多様体と言った分野で使われていたのですが、それを代数多様体にも適用しようと試みたのがセールで、Grothendieckはそれなら範囲を広げてスキームにもそれを適用してみようと考えたのです。
したがって、ある程度層の理論になじんでからの方が代数幾何を理解しやすいともいえます。層を扱うことによって、上で言ったような個別の空間ではなく、大きな類別・尺度によって空間を分類できます。(位相幾何のホモロジーのように。)

さて、局所的なものを貼り合わせて大域的な層を構成しようという時に必要になるのがコホモロジーです。(☆)
しかしスキームにはどのような数学的に満足できる層を置くべきか。
素イデアルにザリスキー位相というものを入れ、構造層を定義します。
体Spec Kはもっとも簡単で、ただ1点の上に、体Kを構造層の茎とする空間があると考えられます。
普通のスキームはズラズラと素イデアルが並んでいて、その上に構造層の茎があるようなイメージです。代数幾何においては、まずは層を空間と思えるかどうかが修行になります。なかなか最初は空間からの粘着は頭から離れないものです。”

と、ライター:sedrft1さんは仰います。これは一読の価値ありですね。先に引用したことの良いまとめになっている・・(^^
[]
[ここ壊れてます]

372 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 21:45:01.30 ID:tAJoLOyr.net]
ライター:sedrft1さん、こんなのもある。いいね
note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n24239
ホモロジー? コホモロジー? (空間と関数との関連性)
ライター:sedrft1さん(最終更新日時:2014/9/24)投稿日:2012/1/21

note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n22754
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
ライター:sedrft1さん(最終更新日時:2013/7/20)投稿日:2012/1/17

373 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 21:48:50.24 ID:tAJoLOyr.net]
さわりをご紹介
note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n24239
ホモロジー? コホモロジー? (空間と関数との関連性)
ライター:sedrft1さん(最終更新日時:2014/9/24)投稿日:2012/1/21

私が大学の数学科に入って面食らったのが、このホモロジー、コホモロジーというものです。
なにしろ抽象的で難しい…。何を言っているのかさっぱり分からない…。
とにかく、平凡な頭の私にはさっぱりの内容でした。

私は代数的位相幾何を専門的に勉強してきたわけではないし、もちろん今でもよく分からないのですが、とりあえず出来る範囲で説明したいと思います。
(参考文献:『コホモロジー』安藤・他(著)、日本評論社)

よくホモロジーの習い始めで最初に出てくるのは単体分割のホモロジーです。
直観的にはこれがもっとも分かりやすい、教育的なものではないかと思います。
すなわち、与えられた空間を単体分割(線分や三角形など)という、もっともわかりやすい基本的な要素に分解し、そこに加群をうまく入れて代数的に計算できるようにして、ホモロジーという空間の位相的性質をもつ群を定義するというものです。

特異ホモロジーでは特異単体というものを使って、CW複体においては開球体を使ってホモロジーを構成します。

大雑把にいえばホモロジーとは、空間の中にあるサイクルという各次元の「穴」たちの数を代数的に調べようということです。(森田茂之・著『微分形式の幾何学』岩波書店 p. 101)
つづく

374 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 21:50:10.33 ID:tAJoLOyr.net]
>>321 つづき

では次にコホモロジーとは何か。
線形代数でもやりましたが、ベクトル空間があれば双対空間というのがあります。
双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。

さて、幾何学においては与えられた空間に対し関数を考えることでその空間について調べようという考え方があります。
もし関数を調べることで空間の全体の情報を読み取ることができるなら双対性と呼ばれ(*)、空間を「鏡」に映して関数という形にすれば、空間についてわかるということになります。

逆にいうと空間が姿を変えたものが関数であり、あるいは空間の各点に数を与えて空間を「数化」したものが関数とも言えます(◇)。実際今の幾何学の多くは与えられた空間の上に適切な関数を作ってそれを調べることに力を注いでいます(◆)。

(どのような関数が適当といえるかについて 『シンプレクティック幾何』 深谷、p .15。空間の情報を反映するような関数が、適切な関数であると考えます。)
このように、空間や何らかの数学的な対象があれば、必ずその関数をセットで考えることで数学は発展してきたのです。
そして適当な関数全体(層)で可換化され代数となり、空間が代数によって計算可能となるのです。(多様体の線形化・可換化。これが後にモチーフという思想の原点になる。 『コホモロジー』p.140)
以下省略。(本文を読んでください)

375 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 21:58:38.45 ID:tAJoLOyr.net]
さわりをご紹介
note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n22754
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
抜粋
ガロア拡大(正規・分離拡大)である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。
「方程式の解の背後にある群を調べよ」という思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。

のときやはり被覆変換群という「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。
つまりここでは「ガロア群=基本群」。

このように体の拡大に対し群ができるように、空間の「拡大」に対し群を作ることを意識します。

ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の2つをミックスさせたような形になっています。

体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kはエタールとよばれる、上での局所同相に当たるものになります。

体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。

体ばかりではなく、一般のスキームにおいては局所同型性はエタール(不分岐性と平坦性)をもって定義します。

体ばかりでなく、こういった様々な数学の圏にガロア理論が構成できます。それらをまとめてガロア圏と言います。

また、基本群と同様にコホモロジーも重要です。ガロア群に対して定義される体k のガロアコホモロジーと、Spec k 上(エタールな位相に対し定義される)エタールコホモロジーは一致します。
これもガロア理論とエタール(局所同相)位相のつながりを示すものになっていて、ガロアコホモロジーという代数的なコホモロジーをGrothendieckが幾何学的に見直したとも言えるかもしれません。
Zariski位相をエタールという局所同相にまで引き延ばし拡大して位相を拡張すると、(上でも言ったように)ガロア群が付随するような情報をもった空間となります。

いずれにしろ、こうしてガロア理論はスキーム理論を裏方で支えているのです。

376 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 22:05:14.63 ID:tAJoLOyr.net]
>>322 追加

(*)不分岐についてちょっと説明してみたいと思います。
O_KというDedekind環があって、その分数体がK 、Kの有限次分離拡大をL、
O_Kの整閉包がO_Lとなっているとします。(このときO_LもDedekind環になる)
O_Kの素イデアルpが上のO_Lに行ったとき、素イデアル分解されるわけですが、pが不分岐であるとは各イデアルの指数が全部1であることです。

これをもしスキーム論的に見るなら、pが不分岐かどうかということは、O_Kをスキーム
Spec O_Kとみれば、O_K→O_Lに対する射Spec O_L→Spec O_Kがあって、p?Spec O_KはO_Lの中でどうなるかを観察する必要があるということです。
(スキームにおいては素イデアル p が点。このように数論も代数幾何も素数や素イデアルが常に中心的役割を担い大事なわけですが、代数幾何のスキーム理論は素イデアルを空間とした幾何学を直接作ろうというものです。)
pを分解して、全部指数1ならpは不分岐です。
これも代数的整数論を幾何学的・スキーム論的に見直した形になっています。

より一般の場合も同じです。リーマン面や被覆空間の不分岐性も並べて考えてみると幾何学的イメージがつくかもしれません。不分岐であるところでは普通の被覆になっています。
Dedekind環

377 名前:フスペクトルは滑らかな曲線としてイメージでき、直感的なイメージが可能です。(ノイキルヒ著、『代数的整数論』シュプリンガー p.96)
このとき分岐とはちょうど枝分かれする点になっているわけです。
(あるいは点が重なっているとか、つぶれちゃってると言ってもいいかも知れないけど。)
これがそもそも本来の分岐の定義です。スキームにおいて分岐する点を調べることは比較的最近始まったことですが、重要なテーマとなっています。

(分岐・不分岐性はそのままガロア表現にも応用されるが、フェルマーの最終定理の証明に現れる保型性持ち上げの証明においても、ガロア表現がある素数pで分岐するかどうかはいつも非常にデリケートにチェックされている。)
[]
[ここ壊れてます]

378 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 22:24:39.88 ID:tAJoLOyr.net]
スキーム
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B
概型

数学における概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。
二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。
さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。

スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。
このためヴェイユ・ザリスキ流の代数幾何学(これ自体大幅な形式化によって前の世代の牧歌的なイタリア流代数幾何に引導を渡すものだったのだが)を習得して研究していた同時代の学者たちからは戸惑いのこもった反発を受けた。

目次
1 定義
1.1 環のスペクトル
1.2 アフィンスキーム
1.3 スキーム
2 スキームについての諸概念
3 古典的な代数幾何学との対応
4 歴史と動機
5 代数幾何学の対象の現代的定義
6 スキームのカテゴリ
7 OX 加群
8 一般化
9 関連項目
10 参考文献

379 名前:132人目の素数さん [2015/07/25(土) 22:34:43.96 ID:eepLoFKB.net]
エタールとの用語が指し示す意味内容・対象・事物・概念に対して、
他の用語ではなくて特にエタールの用語と指定・対応・選択された
理由・経緯は存在しますか、仮に、その理由・経緯が存在する場合、
その理由・経緯をわたしに教えてください。

エタールとの用語について既に書いた質問を例えばスキーム、トポス
及びモチーフの各用語についても質問した場合、その質問には一定の
解答があるのでしょうか。

380 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 23:27:16.85 ID:tAJoLOyr.net]
>>326
どうも。スレ主です。
質問の意味が正確に取れない。というか、日本語が奇妙に見える。なにか、翻訳調というか。そもそも、自分で調べろよと。自分で調べて、ここまで分かったがさらにここが疑問とか。でないと、君のレベルがわからん

が、そう切ってしまうのは簡単だ
知っている範囲で堪えてみよう

1.エタール:
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
エタール・コホモロジー(etale cohomology)

etaleは、仏語だからエタールだ。広げるという意味がある https://ja.glosbe.com/fr/ja/%C3%A9taler
グロタン先生が、「広げる」ということを意識して名付けたと思う

2.スキーム:これは>>325にあるように日本語で概型と訳されている通りの意味。英語ではschemeで、仏語とほぼ同じだろう(Schema (geometrie algebrique))
3.トポス:元来は,場所を意味するギリシア語。
 単に物理学的な空間を意味するだけでなく,アリストテレス以来,修辞論上の場所,すなわち何かを論じる際の基本的論述形式,あるいは論題を蓄えている場所をもいう。 https://kotobank.jp/word/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9-161922
  wikipedia もほぼ同じ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9

トポス (数学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
数学におけるトポス(topos)とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。
アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形(スキーム)の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。
その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
つづく



381 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 23:36:46.70 ID:tAJoLOyr.net]
>>327 つづき 訂正 堪えてみよう→答えてみよう

4.モチーフ:これも日本語化している外国語だろう
  芸術用語。芸術作品を構成するうえでの基本的な単位ないし作因をさす。
  主題 subject,テーマとあまり区別なく用いられることもあるが,
  主題が作品全体を貫き,統一する多かれ少なかれ文学的,物語的性格をもち,またテーマがこうした主題をどのように扱い,表現するかという作者の態度,方法とかかわり合っているのに対し,
  モチーフは作品を形成する個々の単位をさすことが多い。ブリタニカ国際大百科事典 https://kotobank.jp/word/%E3%83%A2%E3%83%81%E3%83%BC%E3%83%95-142466
  wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%81%E3%83%BC%E3%83%95 motif - 動機、理由、主題という意味のフランス語の単語。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%81%E3%83%BC%E3%83%95_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
代数幾何学では、モチーフ(motive、ときにはフランス語の使いかたに従い motif とすることもある)は、「代数多様体の本質的な部分を表す。今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。
ピュアモチーフは、三つ組 (X, p, m) で、この X は滑らかな射影多様体、p : X ? X はべき等な(idempotent)対応、m は整数である。(X, p, m) から (Y, q, n) への射(morphism)は、次数 n - m の対応により与えられる。

アレクサンドル・グロタンディークに従い、混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす適切な定義を求めている。
圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏でべき等分解(英語版)(splitting idempotents)を通した定義を意図していた。しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、これを定義することができなかった。
現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を持つことができない。
一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、この期待は完全に証明されてはいない。
他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー(英語版)(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。
以上

382 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 23:43:51.20 ID:tAJoLOyr.net]
>>328

>圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏で

「代数的代数的」はおかしいね

383 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/25(土) 23:50:02.38 ID:tAJoLOyr.net]
>>329

>他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー(英語版)(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。

ここは、訳がこなれていないね

原文
On the other ha

384 名前:nd, by a quite different route, motivic cohomology now has a technically adequate definition. https://en.wikipedia.org/wiki/Motive_%28algebraic_geometry%29

a technically adequate definition を誤訳しているね
[]
[ここ壊れてます]

385 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 00:01:39.54 ID:yHhmJJ+L.net]
>>325 ここに戻る

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B
歴史と動機 抜粋

1920年代のエミー・ネーターは最初にこの概念を評価する方法を示唆した。
多様体の座標環から始めて(多様体上に定義された全ての多項式函数の環)、座標環の極大イデアルが、(適当な条件下で)多様体の点の座標に対応することとなり、非極大な素イデアルは様々な部分多様体の生成点に対応することとなることになる。
従って、全ての素イデアルを取ることにより、通常の点と生成点の全体を得る。ネターはこのアプローチをこれ以上追及しなかった。

1930年代、ヴォルフガング・クルルは見方を変えるような根底的な考え方を提出した。
任意の可換環から始め、素イデアルの集合を考え、ザリスキー位相導入することで素イデアルの集合を位相空間とし、これらの一般的な対象の代数幾何学を研究した。この一般性を持つ点が見いせないとして、クルルは研究を打ち切ってしまった。

アンドレ・ヴェイユは、有限体上やそのほかの環上の代数幾何学に特に興味を持った。1940年代に彼は素イデアルによるアプローチへ戻り、基礎的な理由により彼の必要としたものは(射影空間以外の)抽象多様体であり、特にヤコビ多様体の代数的設定での存在であった。
ヴェイユの主要な基本的な書籍(1946)では、生成点は普遍領域(universal domain)と呼ばれる非常に大きな代数的閉体の中に点を取ることで構成された。

1944年、オスカー・ザリスキーは、双有理幾何学の必要のために、抽象的ザリスキー・リーマン空間(英語版)(Zariski?Riemann space)を代数多様体の函数体から定義した。
この定義は、(ブローアップの下での)通常の多様体の帰納極限のように、構成はロケール理論(英語版)(locale theory)の類似で、点としては付値環を使った。

1950年代に、ジャン=ピエール・セール、クロード・シュヴァレーや永田雅宜は、数論と代数幾何学に関連するヴェイユ予想に大きく動機付けられ、同じように点としての素イデアルをいうアプローチを追及した。
ピエール・カルティエに従うと、用語であるスキーム(scheme)は、シュヴァレーの1958年のセミナーで最初に使われ、そこでシュヴァレーはザリスキーのアイデアを追及し、アンドレ・マルチヌー(英語版)がセールに当時の環のスペクトルへ移行しようと示唆した。

386 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 00:06:18.55 ID:yHhmJJ+L.net]
>>331 つづき

代数幾何学の対象の現代的定義
「環のスペクトル」も参照

アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、決定的な定義を提唱し、実験的示唆と部分的な発展の出発点をもたらした。
彼は可換環のスペクトルをザキルキー位相での素イデアルの空間として定義したが、スペクトルを環の層とともに議論している。全てのザリスキー開集合へ可換環を対応させ、その集合の上に定義された「多項式函数」の環を考えた。
これらの対象は「アフィンスキーム」であり、次に一般的なスキームはいくつかのアフィンスキームを互いに「はり合わせる」ことにより得られる。一般的な多様体はアフィン多様体を貼り合わせることにより得られるという事実の類似である。

スキームの概念の一般性は、最初は批判された。幾何学的な解釈を直接持たないので除かれたスキームもあり、これらがスキームの概念の把握を困難にしていた。
しかしながら、任意のスキームを持つことはスキームの圏全体をより良い振る舞いをもつようになる。さらに、例えばモジュライ空間のように、自然な見方、考え方が「非古典的」なスキームへと導いていった。
多様体ではないこれらスキーム(単純に多様体から構成することができないスキーム)の出現は、古典的なことばで提出可能であった問題に対しても、この問題の新しい基礎付けが緩やかに受け入れられていった。



387 名前:sエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)やデヴィッド・マンフォード(David Mumford)やミハイル・アルティン(英語版)(Michael Artin)による、
本来はモジュライ問題である代数的空間(英語版)(algebraic space)や代数的スタック(英語版)(algebraic stack)でのその後の仕事により、
さらに現代代数幾何学の幾何学的柔軟性を拡大していった。
グロタンディークは、スキームの一般化として、環付きトポスのあるタイプを提唱し、環付きトポスの次に彼が提唱した相対スキーム(英語版)(relative scheme)は、M.ハキム(M. Hakim)により開発された。
最近の高次代数スタック(英語版)(higher algebraic stack)やホモトピックな導来代数幾何学(英語版)(derived algebraic geometry)は、さらに幾何学的直感の到達範囲を拡大する必要があり、
ホモトピー理論に近い精神を代数幾何学へもたらす。
[]
[ここ壊れてます]

388 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 07:17:18.26 ID:yHhmJJ+L.net]
>>322 補足

>双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。

下記が分かり易い。(双対については、>>110微分 >>117-120 >>123テンソル などにもある)
www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/04senke/120snk.html
ときわ台学/線形代数/双対空間(双対ベクトル空間): 2 線形写像と双対空間 f-denshi.com 最終更新日: 07/10/09 (少しだけ説明を追加しました。)
抜粋

ベクトル空間V上の線形写像全体の集合はベクトル空間であり,これをVの双対ベクトル空間(または双対空間)V*といいます。
やや抽象的な概念ですが基礎物理学(量子力学,素粒子論)から工学的な応用(散乱現象,線形応答)まで線形代数の関わるあらゆる分野に登場する重要な概念です。

[5] これまででてきたことを一覧表にして比べます。(一覧表略。本文を見て下さい)
[6] この表からは注目に値する対称性が見てとれますね。この表を基にしてもう一度,写像: 
φ(x )={χ1e^1+χ2e^2+・・・+χne^n }( x^1e1+x^2e2+・・・+x^nen ) 
    = x^1χ1+x^2χ2+・・・+x^nχn 

を, ”左側の{ }は関数,右側( )は変数” に由来するという先入観を捨て去って見てみると,
φ(x ) という関数記号の”読み方”として,

(A) χj を固定して,x^k を変数と見れば,
                  ⇒ 写像φ,変数 x    [φ: V→R]
(B) x^k を固定して,χj を変数と見れば,
                  ⇒ 写像 x ,変数 φ    [x : V*→R]

の2とおりに同等の権利を持たせてもかまわないように見えるでしょう。特に,(B)の見方をすれば,演算+,・のもとで,
  「”写像 x ” は V*上の線形関数」
とみなすと主張することも可能です。

このような対称性を視覚的に強調するために,ベクトルの成分の添え字を x^n と上に書いたり,関数を展開するときの基底を e^j と書くような工夫が凝らされているのです。
なぜ,ベクトルやベクトル成分の添数字を上付きにするような記法が存在するのか分かっていただけたでしょうか?
おわり

389 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 07:30:27.32 ID:yHhmJJ+L.net]
>>333 補足

www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/04senke/120snk.html
ときわ台学/線形代数/双対空間(双対ベクトル空間): 2 線形写像と双対空間 f-denshi.com 最終更新日: 07/10/09 (少しだけ説明を追加しました。)
抜粋
(3) φj(x )=φj(x^1e1+x^2e2+・・・+x^ nen )
   = x^1φj(e1 )+・・・+x^nφj(en )
   = x ^j

等のように変更されます。特に,3番目の射影 φj の定義式はデルタ関数[#]を用いて,

φj(ek )=x ^jδj k

すなわち,

  e ^j(ek )=δj k  

とスマートに表現することができます。
(抜粋引用おわり)

δj k は、デルタ関数とは言わない。クロネッカーのδです。リンクの[#]にはきちんと書いてある。ときわ台学さんも分かっているんだが。初心者が恥じかかないようご注意まで

390 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 07:40:52.99 ID:yHhmJJ+L.net]
>>333
ときわ台学さん、いいね。感動ものです



391 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:01:26.20 ID:yHhmJJ+L.net]
>>332 モジュライ空間

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%A9%BA%E9%96%93
代数幾何学では、モジュライ空間(moduli space)とは(普通、スキーム、もしくは代数的スタック(英語版)(algebraic stack))空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、
もしくは、そのような対象と同型類(英語版)(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。
そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり(例えば、決められた種数を持つ滑らかな代数曲線のような)へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化することができる。
この脈絡では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同じような意味に使われる。モジュライ空間は、初期には、対象の空間というよりはパラメータの空間として理解されていた。
目次

1 動機
2 基本的な例
2.1 射影空間とグラスマン多様体
2.2 周多様体
2.3 ヒルベルトスキーム
3 定義
3.1 詳細モジュライ空間
3.2 荒いモジュライ空間
3.3 モジュライスタック
4 さらなる例
4.1 曲線のモジュライ
4.2 多様体のモジュライ
4.3 ベクトルバンドルのモジュライ
5 モジュライ空間を構成する方法
6 物理学では
7 脚注
8 参考文献
9 外部リンク
つづく

392 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:03:55.29 ID:yHhmJJ+L.net]
>>336 つづき

動機

モジュライ空間は、幾何学的分類の結果を対象とする。つまり、モジュライ空間の点は、幾何学問題の解に対応する。
ここで別な解もあった場合は、この解が同型であるならば(幾何学的に同一ならば)、モジュライ空間の点としては同一の点となる。
モジュライ空間は問題のパラメータの普遍空間を与えるものと考えられる。
たとえば、合同を同一視してユークリッド平面のすべての円を求める問題を考えると、任意の円は一意に 3つの点を与えると一意に決定することができるので、対応は、3 対 1 である。
しかし、円は中心と半径で一意にパラメトライズできるので、2つの実パラメータと1つの正の実数のパラメータである。
ここでは「合同での同一視」にのみ注目しているので、同じ半径を持つ異なる中心をもつ円は同一視するので、半径だけで興味の対象をパラメトライズするに充分である。
従って、モジュライ空間は、正の実数の集合である。

モジュライ空間は、自然な幾何学的トポロジー的性質を持つ場合が多い。
円の例では、モジュライ空間は抽象的な集合ではないが、異なる半径の絶対値が、2つの円が「近さ」を決める計量となる。
モジュライ空間の幾何学的構造は、2つの幾何学的分類問題の解が近いか否かという局所的な構造を持っている一方で、込み入った大域的な構造も持っている。
(動機以下略)
つづく

393 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:06:11.70 ID:yHhmJJ+L.net]
>>337 つづき

物理学では
詳細は「モジュライ (物理学)(英語版)」を参照

モジュライ空間という用語は、時々物理学でも使われ、スカラー場の真空期待値のモジュライ空間を特別に意味したり、可能な弦の背景(英語版)(string background)のモジュライ空間を意味したりする。

モジュライ空間は、物理ではコホモロジカルな場の理論の中にも現れ、そこではファインマン経路積分を使い様々な代数的なモジュライ空間の交点数を計算する。
引用おわり

394 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:10:33.39 ID:yHhmJJ+L.net]
>>338

モジュライ (物理学)(英語版)

https://en.wikipedia.org/wiki/Moduli_%28physics

395 名前:%29
Moduli (physics)
From Wikipedia, the free encyclopedia

In quantum field theory, the term moduli (or more properly moduli fields) is sometimes used to refer to scalar fields whose potential energy function has continuous families of global minima.
Such potential functions frequently occur in supersymmetric systems. The term "modulus" is borrowed from mathematics, where it is used synonymously with "parameter".
The word moduli (moduln in German) first appeared in 1857 in Bernhard Riemann's celebrated paper "Theorie der Abel'schen Functionen"[1]

Contents

1 Moduli spaces in quantum field theories
2 Moduli spaces of supersymmetric gauge theories
2.1 Allowed moduli spaces of 4-dimensional theories
3 References
[]
[ここ壊れてます]

396 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:14:34.72 ID:yHhmJJ+L.net]
>>339 補足

The term "modulus" is borrowed from mathematics, where it is used synonymously with "parameter".
意訳
用語"modulus"は、数学から借りたもので、「パラメータ」と同義的に使用される。

リーマンの論文が初出とありますね

397 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:23:14.90 ID:yHhmJJ+L.net]
>>339 補足

minimaは、minimumの複数形だね
この形で良く知られているのが、、data datumの複数形だね
なお、maxima maximum の複数形

398 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/26(日) 08:28:29.69 ID:zK+eOO2b.net]
どうしてもイデアルとか余剰環とかがわからないです
わかりやすく教えてください

399 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:31:42.12 ID:yHhmJJ+L.net]
>>336 戻る

モジュライ空間を構成する方法https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%A9%BA%E9%96%93#.E7.89.A9.E7.90.86.E5.AD.A6.E3.81.A7.E3.81.AF

モジュライ函手(あるいは、もっと一般的にはグルーポイド(英語版)(groupoid)の中のファイバー化されたカテゴリ(英語版)(fibred category))のことばで、
モジュライ問題の現代的な定式化とモジュライ空間の定義を行うことは、グロタンディェック(Grothendieck)(1960/61)にまで遡る。
その中で彼は、例として複素解析幾何学の中でタイヒミューラー空間(英語版)(Teichmuller space)を使い、一般的なフレームワークやアプローチや主要な問題を記述した。
特に、話の中では、まず第一にモジュライ問題を剛性化することで、モジュライ空間を構成する一般的方法を述べた。

さらに詳しくは、モジュライ空間を分類する非自明な対象の自己同型の存在が、詳細モジュライ空間を持つことを不可能とする。
しかし、もともとのデータに情報を付加し、付加した情報を髪して自己同型のみで同一視する方法をとって分類するという変形されたモジュライ問題を考えることがよくある。
剛性化された情報をうまく選択すると、変形したモジュライ問題は、(詳細)モジュライ空間 T をもつことがあり、適当なヒルベルトスキーム(Hilbert scheme)やクオットスキーム(英語版)(Quot scheme)の部分スキームとして記述されることがよくある。
剛性化している情報をさらに選ぶと、代数的構造群 G を持つ主バンドルと対応する。
このように、剛性化された問題から元来の問題へ、G の作用による商をとることにより戻ることができ、モジュライ空間を構成する問題が (ある強い条件を課した上で)G の作用での T の商 T/G であるようなスキーム(もしくはより一般的には空間)を見つける問題となる。
一般に最後の問題は解をもたないが、しかし、1965年にダヴィッド・マンフォード(David Mumford)により1965年に開発された画期的な幾何学的不変式論で指摘され、適当な条件の下で、実際、そのような商が存在することが示された。
続く

400 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:34:07.51 ID:yHhmJJ+L.net]
>>342
どうも。スレ主です。
良い質問ですね
実は、私も分かっていない
なので、どこまで分かったのか、今の理解状況を書いてくれ。



401 名前:一緒に勉強しよう!(^^ []
[ここ壊れてます]

402 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/26(日) 08:39:13.03 ID:zK+eOO2b.net]
>>344
いや、煽りじゃなくて本気でわからないんです

403 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:41:51.03 ID:yHhmJJ+L.net]
>>343

>しかし、もともとのデータに情報を付加し、付加した情報を髪して

ここは誤変換だ。神だな(^^

つづき
これがどのようにして達成されたかを見るため、種数が g > 2 の滑らかな曲線をパラメトライズする問題を考える。
次数 d > 2g である完備一次系(英語版)(complete linear system)[1]は、射影空間 Pd?g の 1次元部分スキームに同値である。
結局、(ある条件を満たす)滑らかな曲線と一次系は、十分に高い次元の射影空間のヒルベルトスキームに埋め込めるであろうから、このヒルベルトスキームの中の軌跡 H は一次系の要素を変換する PGL(n) の作用をもつ。
滑らかな曲線のモジュライ空間は、従って、射影空間の一次系の群による H の商として再現される。
つづく

404 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:43:44.13 ID:yHhmJJ+L.net]
>>345
だから、どこまで分かったのかと
たしか、イデアルは環の概念だったはず。環論はどこまでやった?

405 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 08:46:18.42 ID:yHhmJJ+L.net]
>>343 つづき

別の一般的なアプローチとしては、最初に、ミカエル・アルティン(英語版)(Michael Artin)によるものがある。彼のアイデアは、分類された種類の対象から始め、それの変形理論(英語版)(deformation theory)を研究する。
このことは、最初無限小(infinitesimal)を構成し、それから予備表現可能定理(prorepresentability theorem)を示し、これらを形式スキーム(英語版)(formal scheme)の基底の上の対象へ写像する。
次にアレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)のグロタンディークの存在定理(英語版)が完備局所環である基底の上の求めていた対象をもたらす。
この対象は、アルティンの近似定理(英語版)(Artin's approximation theorem)を通し、有限生成環上の対象により近似できる。この後者の環のスペクトルは、求めているモジュライ空間のある種の座標チャートとみなすことができる。
これらのチャートを互いに貼り合わせて、空間を覆うことができるが、スペクトルの合併からモジュライ空間への写像は、一般には、多 対 1 の写像となる。従って、前者の上に同値関係を定義する。本質的にはもし両者が互いに同型な対象であれば 2点は同値である。
これがスキームと同値関係をもたらし、いつもスキームとなるとは限らないが、代数的空間(英語版)(実際は、注意深くすると、代数的スタック(英語版))を与える。

モジュライ空間を構成する方法おわり

406 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 10:02:39.98 ID:yHhmJJ+L.net]
>>347 環論をやってないんじゃ、イデアルの抽象的な定義を読んでもわからんぞ

407 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 10:10:09.16 ID:yHhmJJ+L.net]
忙しいので、書くよ
イデアルは、重要な概念らしい。抽象代数学(古いね言い方が・・)の代表格だ

数学で、わからんときの定石
1.具体例を考えてみる(これができる人はレベルが高い。おそらくすぐ分かる場合が多い)
2.ネット検索してみる(概念的な説明をさがす。あるいは、自分のレベルにあった説明をさがす)
3.歴史を知る。なぜそういう概念が必要になったのかなどを知る(これは結構「納得性」に有効。記憶にも残る)

408 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 10:16:12.37 ID:yHhmJJ+L.net]
ID:zK+eOO2b くんは、おそらく書く気が無いか、書けないか

1は無理なんだろう。で2へ

detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1139020276
2010/4/417:43:43 イデアルとはなんですか?
wikiがややこしすぎるので感覚だけつかめるような説明をお願いします。

ベストアンサーに選ばれた回答 sedrft1さん 2010/4/418:21:43
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1033242415
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1227029167

群で正規部分群って習いませんでした?
正規部分群があれば、もとの群をその正規部分群で割ることができ、剰余群を作ることができました。

これと同じように、環にイデアルが存在すれば、それで割って剰余環を作ることができます。環の割り算ですね。

ベストアンサー以外の回答 javac_a_javaさん 2010/4/418:12:59

いろいろな見方があります。
たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。

体上のベクトル空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
環上のベクトル空間のことを加群といいますが、環自信を加群と見ることができます。

このときの部分加群のことをイデアルというわけです。
(引用おわり)

409 名前:132人目の素数さん [2015/07/26(日) 10:20:59.56 ID:sT4rNuo9.net]
   __           i`:.          __   ウィエッホッホッホッホwwwwww
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      `-;;;;;;;:/i\二二_/" : /\;,;,;,;,;/ `'"  ウッホホwwww
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             `i: :i : : !": : : )         ウッヒャッホーオwwwwwww
            r: :i DK:!-┬"         ウッホッホッホッホwww
            r--`:、 /000          ウッホッホwww
            000O"             ウーホホホホホーwwwwww

410 名前:132人目の素数さん [2015/07/26(日) 11:17:54.30 ID:tiFlv/En.net]
>>327-328
わたしの質問に対して丁寧な返答をわたしに与えたあなたにわたしの感謝をわたしはここに示します。



411 名前:132人目の素数さん [2015/07/26(日) 11:20:15.42 ID:bS1DnfWo.net]
どこかで見たような芸風

412 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 11:50:55.01 ID:yHhmJJ+L.net]
>>353
どうも。スレ主です。
ID:zK+eOO2b くんじゃないね? あるいはIDが変わったが同一人物? どうも前者だと

まだ、回答は終わっていない
というか、これで分かるレベルじゃないと思ったが・・

>>351 つづき

ひどい回答だね。まあ、2件しかないから、どちらかをベストアンサーにしのかね?
まあ、2を続けよう

d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20130217/1361095667
hiroyukikojimaの日記 2013-02-17 整数からイデアルへ

 今年関わる予定の純粋数学の本(単著も共著もある)の何冊かでは、基本的に「数学をその思想面から見る」というテーマがある。
19世紀頃を境に数学は大きく変容したと考えられる。それは単純に「抽象化」と呼んでもいいけど、もっと真相を込めていうなら「その数学的素材に内在している本性をより引き出しやすい表現形式が掘り出されるようになった」ということなんだと思う。

 数学的素材、例えば、数とか図形とかは、当初は人間の生活面から表出してくる。数は、モノを分けたり記録したりすることから、図形は土地や建物の計量から生じたと考えられる。
でも、それらを純粋に研究の対象としてみると、それらの出自とは遠く離れ、出自とは似ても似つかないある種の「本性」を備えていることが見えてくる。それは「何かが宿っている」と言っていいような本性なのである。
数学者たちは、そのような数学的素材に「宿る」本性を素直に引き出し、その本性が「こう操作してほしい」とささやく形式を生み出すようになった、と考えられるのだ。

 「イデアル」が、そのような「本性」の1つだと言っていい。
つづく

413 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:16:15.36 ID:yHhmJJ+L.net]
>>355 訂正 どちらかをベストアンサーにしのかね?→どちらかをベストアンサーにしたのかね?
つづき

イデアルは、19世紀の数学者クンマーがフェルマーの最終定理を証明しようとする試みの中で考え出した素材だが、最初は形式的でわけのわからない存在だったようだ。それに具体的な(とは言っても抽象的ではあるが)目鼻を与えたのが、やはり19世紀のデデキントだった。
イデアルは、簡単にいうと「倍数」という概念を抽象化した素材のことだ。例えば、整数の集合Zにおいて、「Zの部分集合Iがイデアルであること」は次のように定義される。

(イデアルの定義):(i)xとyがIに属するなら、x+yもx−yもIに属する。(ii)xがIに属するなら、Zに属する任意のmに対してmxはIに属する。
要するに、「和と差と倍数に閉じている集合」がイデアル、ということである。

整数の集合Zにおいては、イデアルというのは、単に「何かの倍数の全体」と一致してしまう。つまり、任意の整数mに対して「mの倍数の集合」がイデアルとなり、他にはないのだ。このとき「mの倍数の集合」は(m)とカッコをつけた記号で記されるのが一般的である。
2の倍数から成るイデアルは(2)、3の倍数から成るイデアルは(3)、4の倍数から成るイデアルは(4)、と言った具合である。特に、イデアル(0)は0だけから成る集合{0}で、イデアル(1)は整数全体Zで、これらは特別なイデアルである。
なぜ、(n)というタイプのイデアルしかないか、というと理由は簡単。例えば、(0)でないイデアルIがあったとして、それが含んでいる最小の正の整数をnとすると、(ii)からIはnの倍数をすべて含んでいる。nの倍数以外の整数xを含むなら矛盾が起きることを説明しよう。
いま、xを越えない最大のnの倍数yもIに含まれ、(i)からx−yもIに含まれなければならない。しかし、x−yはnより小さい正の整数(具体的にはxをnで割った余り)となってしまうのでnの最小性に反してしまうのである。

 イデアルの中で、とりわけ重要になるのは、「素数の倍数から成るイデアル」だ。素数をpとし、その倍数から成るイデアルI=(p)は、次の性質を備えている。

(性質1) 整数の積xyがイデアルIに含まれるなら、xかyの少なくとも一方はIに含まれる。
(性質2)イデアルIを包含するI以外のイデアルJ(I⊆JかつI≠Jということ)は整数全体Z(=(1))のみである。
つづく []
[ここ壊れてます]

415 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:19:49.20 ID:yHhmJJ+L.net]
>>350 つづき

(性質1)は素因数分解が一通りしかないから、xyが素数pの倍数ならxかyはpの倍数であることからわかる。(性質2)は、素数pの約数が±1か±pしかないことから、Iを包含するJはpを何かの倍数として含んでいるはずなので、(p)か(1)(=Z)しかないことからわかる。

(性質1)を持つイデアルは、「素イデアル」と呼ばれる。他方、(性質2)を持つイデアルは「極大イデアル」と呼ばれる。

整数の集合においてイデアルを考える場合は、素イデアルも極大イデアルも違いがない((0)という特別な素イデアルを除くなら、どちらも素数の倍数の集合)。
しかし、イデアルは、「足し算、引き算、掛け算という演算を持つ一般的な集合」、これは「環」と呼ばれるのだけれど、環一般で定義できるもので、他の環でイデアルを考えると「素イデアル」と「極大イデアル」には違いが出てくることになるのだ(後述)。

 クンマーがイデアルを導入したのは、整数を複素数に拡張してフェルマー方程式(xのn乗+yのn乗=zのn乗)を通常よりも細かく因数分解したい、という動機からだった。

例えば、ガウスは(整数)+(整数)i(iは虚数単位√(−1)のこと) というタイプの数を「虚数世界の整数」と定義した(ガウス整数と呼ばれる)。
このようなガウス整数の世界では、整数と同じように約数倍数が定義でき、素数も定義できる。しかも、素因数分解が一通り、ということまで成り立ってしまうのだ。
うまいことにこのとき、4次のフェルマー方程式(xの4乗+yの4乗=zの4乗)は、(xの4乗)=(z−y)(z+y)(z-yi)(z+yi)とこなごなに因数分解され、これはガウス整数での掛け算の分解を意味している。
だから、ガウス整数における素因数分解の一意性を使うとxかyかは0でなければいけないことがそれほど大変じゃなく証明でき、フェルマーの最終定理の指数4の場合があっさり解決してしまうのであった。

つづく

416 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:25:20.81 ID:yHhmJJ+L.net]
>>357 訂正 350→356
つづき

 当初は、この方法でフェルマーの最終定理のすべてのケースが解決すると思われてたんだけど、残念ながら、指数nによっては簡単にはいかないことが判明した。
それは、こういう「虚数世界に拡張した整数(1のべき乗根と有理数からなる体の整数環)」では、素因数分解の一意性が成り立たない場合がある、という恐ろしく直観に反するケースが出てきたからだったのだ。
そこで、クンマーは素因数分解の一意性を回復するために、もっと深い分解である「素イデアル分解」というのを編み出したのである。クンマーが導入した「形式的な数」にすぎないイデアルを、集合を使って具体物として成立させたのがデデキントの偉大なる貢献なのであった。

 物語的に言うと、我々の日常の中に息吹く「整数」は、「虚数世界の中にもいるんだよ〜」とささやきかけてくる。そのような整数の本性を捉えるには、素数ではなく「素イデアル」というものを考えるのが「自然な道筋」ということになるのだ。
つまり、素数という素材の本性はむしろイデアルという形式の中にある、ということだ。

 このようにイデアルが数論の中で発展する一方で、代数幾何の中でもイデアルが重要な概念となることがみつかることとなった。これに気がついたのは、19世紀から20世紀にかけての数学者ヒルベルトだった。

当時、多変数の代数方程式たち(例えば、直線の方程式ax+by+c=0とか円の方程式(xの2乗)+(yの2乗)−c=0とか)の共通解の点集合の研究が進められていた。
つまり、高次の連立方程式の解集合が、空間の点集合としてどんな性質を持っているかを探し求めていたのである。例えば、n次方程式とm次方程式の共通解は一般にはmn個になる(ベズーの定理)など。

そこで、「連立方程式を考えるよりイデアルを考えたほうがより適切である」ということにヒルベルトが気付いたのだ。

つづく

417 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:27:31.29 ID:yHhmJJ+L.net]
>>358
つづき

例えば、f(x, y)=ax+by+cという多項式とg(x, y)=(xの2乗)+(yの2乗)−cという多項式を考えると、f(x, y)=0とg(x, y)=0という連立方程式の解は、(直線と円との交点だから)、
一般には2点{P, Q}となる。でも、f(x, y)とg(x, y)という二つの多項式のそれぞれの倍数の和で作られる多項式のイデアルI(つまり、fとgを含み、上記の(i)(ii)を満たす多項式の集合で最小のもの)を考えると、Iに含まれる多項式の共通の解も同じ{P, Q}となる。
なぜなら、多項式たちの共通の解というのは、和や差や倍数ではそのまま解であり続けるからだ。

 ちなみに、高次多項式のイデアルは、整数のときとは異なり、「何かの倍数」だけには限られない。
例えば、1次式f(x, y)=x-1と1次式g(x, y)=y-2を含む最小のイデアルを考えると、それは(fの倍数)+(gの倍数)の集合となるのだけど、これはある多項式hの倍数の集合(h)という形式では書けないから。(だって、hは(x-1)と(y-2)の両方を割り切れなきゃならなくて、それは無理)。

 実は、多項式たちのイデアルを考える利点はいくつもあるのだ。例えば、最初の利点として、次のことが挙げられる。

 まず、高次の多項式の連立方程式の解の集合(何かのイデアルから定まる零点集合)をWとしよう。そして、逆に「Wの点すべてで零となる多項式の集合」を考える。
実は、この集合は上記の(i)(ii)を満たすから、イデアルを成す。このイデアルをI(W)と書くことにする。するとこのイデアルI(W)の共通の零点集合をとると、それはWに戻るのである。
つまり、零点の集合(空間内の図形)Wを定義する最も大きな連立方程式がイデアルI(W)なのである。これは、「飽和方程式系」と呼ばれるとのことである。

 イデアルを考える次の利点は、上記で解説した「素イデアル」と「極大イデアル」がものをいうことにある。

つづく

418 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:29:31.54 ID:yHhmJJ+L.net]
>>359
つづき

まず、極大イデアルのほうの意味。これは、「Wが1点から成る集合であることと、I(W)が極大イデアルであることとが同値」ということに現れる。
つまり、1点を共通の解として持つイデアルのみが極大イデアルだ、いうことなのだ。これはあたりまえ

419 名前:で、WがPとQという2点以上を含むとすれば、
Pだけを共通解とする多項式の集合としてのイデアルJは、明らかにWを共通解とする多項式の集合としてのイデアルI(W)を含んでいるから、I(W)は極大にはなれないからだ。

次に、素イデアルのほう。これは、「Wが図形として既約であることと、I(W)が素イデアルであることが同値」というふうに現れる。Wが既約というのは、Wがイデアルの共通解として定義される図形2つに分解されない、ということをいう。
別の言い方をすれば、WがW1とW2の合併で表されるならW1とW2は一方が他方を含む、ということ。既約じゃないものを可約と言って、可約な例を見るほうが話が早いかもしれない。
例えば、h(x, y)=xyという多項式とすると、h(x, y)=0の解は、xy=0だから、直線x=0と直線y=0を合併したものとなる。これは、多項式h1(x, y)=xの解と、多項式h2(x, y)=yの解をそれぞれ意味するから、h(x, y)=xyの解集合は2つの図形(直線x=0と直線y=0)に分解してしまう。
こういうのは可約であって、既約ではない、ということ。そして、「これ以上、図形が分解しない」ような解集合Wと「素イデアル」が対応する、ということになるのである。これは、まさに整数における素数に対応する性質と考えられるだろう。

ここまでくると、極大イデアルと素イデアルの違い(それは、整数のイデアルでは違いがなかった)がはっきりしてくる。極大イデアルは空間の1点1点に対応するもので、素イデアルは「これ以上、分解しない図形」に対応するもの、ということなのだ。
(1点も「これ以上分解しない図形」なので、当然、極大イデアルは素イデアルの一種となることもわかる)。

つづく
[]
[ここ壊れてます]

420 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:32:01.78 ID:yHhmJJ+L.net]
>>360
つづき

このように、高次多項式の連立方程式の解集合を空間内の図形として分析したい、という気持ちがある場合、それは連立方程式としてよりもイデアルとして扱うほうが自然で、「数学様が、そういうふうにイジッて欲しいようとほのめかしている」みたいだ、ということなのである。

 こんなふうに言い表すと、「大げさだなあ」と言われてしまうかもしれないが、そうじゃない。グロタンディークという数学者は、この「数学様の欲求」に耳を貸してとんでもない着想を得たのだ。
それは、「極大イデアルが空間の1点と対応しているなら、逆に、極大イデアルの集まりが空間だと見なしてしまえる。だとしたら、一歩進めて、素イデアルの集まりを空間だと見なすこともできるのでないか」と。
そうして、素イデアルの集まりを「空間化」する方法に気がついた。これが、いわゆる「スキーム」というものなのだ。
スキームでは、例えば、素数の集合(=素イデアルの集合)を空間化してしまい、それはあたかも遠近感のある一本の曲線のようになっている、というわけなのだ。(というか、やっとそこまで勉強したところ。笑い。続きを勉強したらまた書くね)。

 ブログにこんなに書いてしまって、本にしたとき買ってくれるのか、という心配もあるが、まあ、本にするときはもっと丁寧にわかりやすく説明する(式や図も入れる)から大丈夫だろう、と信じる。(書いてみたらめっちゃ長かった・・・ちかれた)。

まあ、こういう数学の解説が面白いと思うんだったら、以下の新書を読んでみてつかあさい。

数学入門 (ちくま新書)
作者: 小島寛之
出版社/メーカー: 筑摩書房
発売日: 2012/07
メディア: 新書
おわり



421 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:39:45.21 ID:yHhmJJ+L.net]
>>355-361
さすがの小島節だね
分かり易いし、訴えるものがある

ID:zK+eOO2b くんも、小島の数学入門 (ちくま新書)を買って読んでみなさい
大学の図書館にあれば、見てみなさい

422 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 12:50:57.22 ID:yHhmJJ+L.net]
>>362 追加

正確には、クンマーは理想数を考えたと言われる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB
歴史

クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。
そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想(複素)数 (ideale complexe Zahl )

423 名前: あるいは理想因子 (ideal Primfactor ) と名付けて、理想数の理論を築いた。

クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。
歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。

理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p ?進体の理論にも継承されている。
[]
[ここ壊れてます]

424 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 14:12:40.67 ID:yHhmJJ+L.net]
>>362 補足
さすがの小島節、””2.ネット検索してみる(概念的な説明をさがす。あるいは、自分のレベルにあった説明をさがす)”と”3.歴史を知る。なぜそういう概念が必要になったのかなどを知る(これは結構「納得性」に有効。記憶にも残る)”を兼ねた形になっている
ただ、2が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第

>>351は、あまり分かっていない人が書いたのだろう。理解が浅い

425 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 14:31:08.32 ID:yHhmJJ+L.net]
>>364 補足
>2が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第

そこで
hooktail.sub.jp/algebra/Ideal/
イデアルは部分環の一種ですが,とても重要な概念ですので,わざわざ記事を一つ設けました.
[*]イデアルとはなんとも奇妙な名前です.英語では ideal と書きますので,英語式に発音すれば"アイディール"となります.
日本語の用語はドイツ語の Ideal から入って来ていますので,「イデアル」と読むのです.ドイツ語の発音には旧制高校風の趣があり,私はなかなか好きです.

イデアルの定義
環 R の部分環 I が次の性質を満たすとき, I を イデアル と呼びます.
I ⊂ R
環 R の任意の元 x と, I の任意の元 a に対し xa ∈ I がなりたちます.
イデアルは既に部分環なので,加法に関しては環 R の部分群になっています.乗法の条件が,すこぶる変わっています.『環 R に属するどんな元を取って来ても,イデアルの元との積はイデアルに含まれてします』というのですね.
[†]積を取れば何でも自分の元になってしまう,という代数的性質を吸収律と呼びます.そのままの命名ですね.

例2
整数環 Z で,偶数全体からなる集合はイデアルです.偶数同士の和,偶数同士の積は偶数になり,偶数だけで部分環になります.さらに,偶数でも奇数でも,偶数を掛ければ偶数になりますから,イデアルの定義を満たしています.
一般に,整数環 Z で整数 m の倍数の全体 [m] はイデアルになります.

例3
R上の多項式環 R[x] で, x=1 を代入すると 0 になる多項式の全体 I={ f(x)|f(1)=0 \in R[x]} は,イデアルになります.確認してみて下さい.

数の概念を拡張して行けば,素数に相当する『これ以因数上分解できない数』に行き当たるだろうと考えたのです.クンマーはこれを理想数( ideal number )と名づけました.
クンマーの研究自体は当時の数論の延長といったものでしたが,デデキントがクンマーの理想数を抽象的概念にまで拡張しました.その時にイデアルという名前をそのまま継承したのが,この奇妙な名前の由来です.
この脚注で理想数の話題に深入りすることはできませんが,単項イデアルは整数に,単項イデアル以外のイデアルは理想数に対応し,整数の素因数分解の概念はイデアルを素イデアルに分解することに対応した抽象概念です.

426 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 15:54:38.34 ID:yHhmJJ+L.net]
>>365 つづき

体のイデアル

体のイデアルは自明なイデアル,つまり { 0} と体自身のみです.
逆に,環が { 0 } と環自身以外にイデアルを持たないとき,この環は体になります.この定理は環が体になる条件として重要です.
(抜粋引用おわり)

補足
>>365は、”数学で、わからんときの定石 1.具体例を考えてみる(これができる人はレベルが高い。おそらくすぐ分かる場合が多い)”>>350にもなっている優れものだ
おそらく、ID:zK+eOO2b くんは、おそらく書く気が無いか、書けないか

まあ、イデアルは大学で忙しく、大上段に定義から入って行くと、わからんだろう
上記を読んで、>>363で引用したwikipediaを読めば、かなり理解が進

427 名前:むと思われる []
[ここ壊れてます]

428 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 16:10:36.67 ID:yHhmJJ+L.net]
>>355 補足
By hiroyukikojima
"19世紀頃を境に数学は大きく変容したと考えられる。それは単純に「抽象化」と呼んでもいいけど、もっと真相を込めていうなら「その数学的素材に内在している本性をより引き出しやすい表現形式が掘り出されるようになった」ということなんだと思う。"
"数学者たちは、そのような数学的素材に「宿る」本性を素直に引き出し、その本性が「こう操作してほしい」とささやく形式を生み出すようになった、と考えられるのだ。
 「イデアル」が、そのような「本性」の1つだと言っていい。"

現代数学の定石がいくつかある
1.ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える
 (「きちんと対応がつく」ということの数学的定義が必要。”Well-defined”https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined かが問題)
2.商集合(例えば商群)を考える。ある部分集合を考えて、類別する。代数では演算が保存されることを要請する場合が多い。代表元の取り方に寄らないという要請も。
  日常の例では、例えば高校の学年のクラス分けで、代表者に連絡すれば良いとかの類推でも考えて下さい。これも”Well-defined”確認要
3.1や2と関連するけれども、上記に適合する新しい概念を提出する。これも”Well-defined”確認要

「イデアル」は、上記の1〜3が凝集された例なんだ

429 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 16:27:35.66 ID:yHhmJJ+L.net]
>>367 補足

「イデアル」:フェルマー予想 x^n+y^n=z^n で nが3以上の整数のとき、整数解は存在しない
これを、複素数まで範囲を広げて、因数分解を使って解くことを考えたクンマー先生>>365

理想数を導入した。これ、定石3>>367。が、”Well-defined”になるように、改良したのがデデキント先生
これは、定石1>>367の「きちんと対応がつく」だ。例えば、素数p vs "整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] ">>365だな

素数pに、"整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] "という集合が対応する。その類推で、理想数に対応して、イデアルという集合を考えればよかんべよ!と
これが、”Well-defined”かどうか、それは皆さんの宿題だ

そして、「イデアル」さまは、定石2でもあったのだ
>>355で、ひどい回答だねと言ったのはそういうこと。定石2しか言及してないじゃんか!と

430 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/26(日) 17:10:11.26 ID:8eHnD6lX.net]
はい、次は「イデアルを用いたフェルマー予想の特別な場合の証明」のpdfを
検索して貼ろう



431 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 17:36:07.91 ID:yHhmJJ+L.net]
それは趣味じゃないんでね
どうぞ、お願いします

432 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/26(日) 17:46:33.61 ID:8eHnD6lX.net]
正直すまんかった

433 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/26(日) 17:52:36.71 ID:yHhmJJ+L.net]
どうも。スレ主です。
クンマー先生の因数分解アプローチがなぜうまくいかなかったのか?
nが正則な場合と、非正則な場合とで、分かれたと記憶しているけれども

フライ先生の楕円曲線アプローチは、奇想天外というかひらめきだよね
因数分解アプローチは、nが無限大の場合までの射程を持ち得なかった。そういうことなだろうと思うけれども、それがなぜなのか? そこの理由がいまいち理解できないんだ

だれか知っている人います?

434 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 08:29:13.61 ID:7OKG+jU9.net]
>>355
>2010/4/417:43:43 イデアルとはなんですか?
>wikiがややこしすぎるので感覚だけつかめるような説明をお願いします。
という>>351の問いに対しての回答は、分かった人間が書いてる。引用した
>いろいろな見方があります。
>たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
>体上のベクトル空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
>環上のベクトル空間のことを加群といいますが、環自信を加群と見ることができます。
>このときの部分加群のことをイデアルというわけです。
の回答は不正確ではあるが、簡単にするため標数0の条件を加えて
>いろいろな見方があります。
>たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
>(標数0の)体上の線型空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
>単位元を持つ(標数0の)環R上の線型空間Vは、左(右)R加群でVは加群の例になり、
>Vは加群といえますが、更に環R自信を加群と見ることができます。
>このときのRの部分加群Vのことをイデアルというわけです。
とエスパーして読むと、回答として適切になる。
普通は標数が0でない体Kや単位元を持つ環R上の線型空間Vを考えるときは
Vのベクトルの成分が属する環或いは体は、Rの部分環かR自身を部分環に持つ環、
或いはKの部分体か拡大体として、これらの標数は0でないとする。
KやRがVに左(右)から作用したとき、左(右)K(R)加群Vのベクトルは
再びVのベクトルになるから、そうしないとベクトルの計算が出来ない。

435 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 08:46:58.12 ID:7OKG+jU9.net]
>>355
訂正:>>37

436 名前:3の(>>351に書いた)回答やエスパーした部分の「自信」は「自身」の間違い。
何か>>351を書いた人間は漢字間違いしてるみたいだ。漢字間違いまでは確認しなかったわ。
私が書いたときは「じしん」を漢字変換すると「自身」になったんだが。
[]
[ここ壊れてます]

437 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 09:16:46.00 ID:Ci6CVm4I.net]
エスパーしすぎで何言ってんのか全然わかんないわ
「環自信を加群と見ることができます」って
環R自身を左(あるいは右)R加群と見るってことだろ
そのときの部分R加群がちょうどRの左(あるいは右)イデアルになるってことでしょうに

「環上のベクトル空間のことを加群といいますが」は
環上の加群は体上のベクトル空間の一般化だって言いたかったんじゃないの
直すなら「環上のベクトル空間”のようなもの”のことを加群といいますが」かな

438 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 09:18:52.56 ID:7OKG+jU9.net]
>>355
まあ、>>373の下の「普通は…」以降の部分も
>普通は「標数p>0」の体Kや単位元を持つ環R上の線型空間Vを考えるときは
>Vのベクトルの成分が属する環或いは体は、Rの部分環かR自身を部分環に持つ環、
>或いはKの部分体か拡大体として、これらの「標数もp」とする。
>KやRがVに左(右)から作用したとき、左(右)K(R)加群Vのベクトルは
>再びVのベクトルになるから、そうしないとベクトルの計算が出来ない。
と手直しした方がいいわな。「標数が0でない」だと何か不正確だ。

439 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 10:03:42.07 ID:7OKG+jU9.net]
>>375
そうだね。>>373
>このときのRの部分R加群Vのことをイデアルというわけです
と訂正して読んでも、dimV=1を仮定して読んでもいいけど。
イデアルの定義上、後者の読み方の方が適切だろうね。

440 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 13:22:54.64 ID:7OKG+jU9.net]
>>372
クンマーの手法というか、フェルマー予想の証明の詳細は知らんが、
フェルマー予想は或るn≧3なる自然数nに対して(x/z)^n+(y/z)^n=1
なる自然数x,y,zの組(x,y,z)∈N^3は存在するか?
と定式化出来て、そうして考えると、>>365のサイトの
>当初は、この方法でフェルマーの最終定理のすべてのケースが解決する
>と思われてたんだけど、残念ながら、指数nによっては簡単にはいかない
>ことが判明した。それは、こういう「虚数世界に拡張した整数(1のべき乗根
>と有理数からなる体の整数環)」では、素因数分解の一意性が成り立たない
>場合がある、という恐ろしく直観に反するケースが出てきたからだったのだ。
という部分を読む限りでは、文脈上は、クンマーの手法に従うと、有理整数環Zに虚数単位iを添加した
ガウス整数全体からなる環Z[i]上で指数が何れもnの3つの有理整数x^n、y^n、z^nの何れかを一意に
素因数分解する手法を取るのだから、Z[i]の商体、つまり有理数体Qにiを添加した体Q(i)上で1を一意に
素因数分解して考えることが出来るようになるが、この手法で1を体Q(i)上で一意に素因数分解しようとしても、
1=((3/5)+(4/5)i)((3/5)−(4/5)i)=((5/13)+(11/13)i)((5/13)−(11/13)i)
の例からも分かるように、1は体Q(i)上で一意に素因数分解出来ないから、
体Q(i)上で1を一意に素因数分解する手法は通用しないことになる。
なので、元の、環Z[i]上でx^n、y^n、z^nの何れかを一意に素因数分解するという手法も通用しないことになる。



441 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 13:27:17.81 ID:7OKG+jU9.net]
>>372
悪い悪い。>>378
>1=((3/5)+(4/5)i)((3/5)−(4/5)i)=((5/13)+(11/13)i)((5/13)−(11/13)i)

>1=((3/5)+(4/5)i)((3/5)−(4/5)i)=((5/13)+(「12」/13)i)((5/13)−(「12」/13)i)
の間違いね。

442 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 13:41:11.29 ID:7OKG+jU9.net]
>>372
あと、>>378の「素因数分解」は「既約元分解」とか「素元分解」の間違いね。
単純に「因数分解」と訂正した方が簡単だけど。素因数分解は素数のときにいうことを忘れてた。

443 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 14:39:29.59 ID:Ci6CVm4I.net]
>>377
いや意味が分からない……
dimV=1ってどういう意味?
っていうかイデアルの定義分かってる?

444 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:00:12.26 ID:7OKG+jU9.net]
>>381
>dimV=1ってどういう意味?
そのまんま。イデアルの定義?
環Rの部分集合S≠φがRの加群の意味での部分群で、
両方共に任意のλ∈R、a∈Sに対してλa∈S
となるとき、SをRの左イデアルという。右イデアルも同様に定義する。
SがRの左イデアルかつ右イデアルなるとき、SをRの両側イデアル或いは簡単にイデアルという。
あくまでも元の質問者は「感覚だけつかめるような説明をお願いします。」と書いていることをお忘れなく。

445 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:35:54.59 ID:7OKG+jU9.net]
>>381
単位元1を持つ可換環Rの元を成分に持つ
n≧2次の行列の全体M(n;R)のようなモノでも考え出したか?
まあ、そういうことを考えれば、dimV=1を仮定することは
不適切になるけどな。dimV=1を仮定した方が簡単だろう。

446 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:44:20.55 ID:Ci6CVm4I.net]
>>382
え?VってR加群だと思ってたんだけど
>あくまでも元の質問者は「感覚だけつかめるような説明をお願いします。」と書いていることをお忘れなく。
うん,もとのままでいいのにどんどんわかりにくくなってるね
環上の線型空間という独自用語をどういう意味で使ってる?

447 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:45:50.35 ID:Ci6CVm4I.net]
もう1回聞いた方がいいかな?dimV って何?

448 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:50:40.19 ID:7OKG+jU9.net]
>>384
>環上の線型空間という独自用語をどういう意味で使ってる?
そういうことは、回答者に聞かなきゃ分からんよ。
エスパーする限りでは単位元を持つ環R上の両側加群だな。

449 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:54:22.50 ID:7OKG+jU9.net]
>>384
訂正:>>386の「環R上の両側加群」は「環R上の両側R加群」な。

450 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 15:56:56.99 ID:7OKG+jU9.net]
>>385
そのまんま。



451 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 16:14:19.68 ID:7OKG+jU9.net]
>>384-385
>え?VってR加群だと思ってたんだけど
単位元を持つ環R上の両側R加群Vでも、R=V=Z(Zは有理整数環)としたときとか、
dimV=1になる例はちゃ〜んとあるぞ。このときのVつまりZの基底は{1}な。

452 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 16:17:40.56 ID:Ci6CVm4I.net]
だから,dimV って何?ちゃんと定義してみ
できないからって具体例でごまかそうとするなよ

453 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 16:24:19.15 ID:7OKG+jU9.net]
>>390
環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表すだよ。
元の質問者は感覚的な説明を求めていたというのに、何そんなにムキになってんだよw

454 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 16:29:32.41 ID:7OKG+jU9.net]
>>390
>単位元1を持つ環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表す
だな。

455 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 16:30:19.71 ID:oBDrMeTf.net]
お前らスレ主に無断で話を進めるな

456 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 17:14:31.95 ID:Ci6CVm4I.net]
>>393
サーセンwww

>>391
存在すら言えないからwell-definedでない
感覚的な説明なら階数なんて必要ないだろ何言ってんの?
R自身を左/右/両側R加群と見たときの部分加群がちょうど左/右/両側イデアルになるんだから。
一体どこから dimV=1 が出てきたのかさっぱり分からんわ

457 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/27(月) 20:06:33.57 ID:R0dt0iix.net]
エスパーすると dimV=1 って単項イデアルじゃないの?
一般にはイデアルは単項生成とは限らないんだけど

458 名前:132人目の素数さん [2015/07/27(月) 22:25:24.94 ID:tIT3iorb.net]
>>1-1000

運営乙

459 名前:132人目の素数さん [2015/07/27(月) 23:25:24.10 ID:JllBytNl.net]
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460 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 05:41:50.40 ID:WIyR/jG2.net]
>>394
>存在すら言えない
あ〜、単位元1を持つ環が非可換環のとき不適切な定義になるか。じゃ〜、>>392の定義は
>単位元1を持つ「可換」環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表す
と再度訂正な。これなら問題ないだろ。まあ、>>373では「標数0の条件を加えて 」エスパーしている訳で、
完備なアルキメデス付値体は実数体Rか複素数体Cに同型で、「単位元1を持つ(標数0の)環R」は、
アルキメデス付値体C(或いは実数体R)の単位元1を持つ部分環R'と同型になるから、
文脈上、>>392でも分かると思ったけどな。



461 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/07/28(火) 13:11:37.01 ID:TG1SjIeU.net]
エスパーすると両側は自由のつもりなんだろうな

462 名前:132人目の素数さん [2015/07/30(木) 13:53:44.50 ID:v8Ed3tsX.net]
いくら低レベルにしても
名無しは釣れな〜いw

463 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/31(金) 22:56:27.22 ID:qMTIsPL/.net]
どうも。スレ主です。
いや〜、難しい議論していますね
正直難しすぎで、つ

464 名前:「ていけません []
[ここ壊れてます]

465 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/31(金) 22:57:41.34 ID:qMTIsPL/.net]
エスパー元祖は、おっちゃんやね
おっちゃんの添削は、例のメンターさんかな?(^^

466 名前:132人目の素数さん [2015/07/31(金) 22:59:47.60 ID:EBMyh9qA.net]
コピペの始まりは、土日の始まりです

467 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/31(金) 23:07:23.11 ID:qMTIsPL/.net]
>>367 By hiroyukikojima
これ買った
www.amazon.co.jp/dp/4569818706
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 ? 2014/5/16 小島 寛之 (著)

3 人中、3人の方が、「このレビューが参考になった」と投票しています。
可換環とホモロジー論の最高におすすめの名著です。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/6/16
たいがいの代数学の参考書は抽象的な定義・定理の羅列で無味乾燥で読んでもわかった気がしませんが
本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
高校生の時に円が方程式で表わされることを学んだように、
図形という幾何学的な「対象」を考察するのに代数学的な方法で方程式を調べる。
幾何学的な図形を方程式を使って調べるのが、環というものです。
方程式の「変数」は環の生成元に化け、「方程式」は生成元の交換関係に化けたと解釈する。
モノの対称性をあらわす(適切な)変換全体が群をつくるように、図形上の(適切な)関数の全体が可換な環をつくる。
単に集合の1対1かつ上への(対称)変換なら置換群で十分だが、ユークリッド幾何学の図形としての対称性では、ずらし(移動)や回転という変換群を考察することになる。
代数幾何学では幾何と代数で同じ対象を双対的にとらえて考察する。ここでは幾何(図形、つまり代数曲線)=代数数方程式の解集合としてみる。代数曲線(2次元)、代数曲面(3次元かそれ以上)という幾何的な対象の研究が可換環という代数的対象の研究に帰着される。
平面の2次曲線、空間の球面、超平面などは代数的集合とよぶと
代数曲線や代数曲面をも含んだのがアフィン空間の代数的集合である。
『代数的集合とは有限個の多項式の共通零点の集合である』代数幾何学とはこのような集合の性質を研究することです。
なお可換環の中心概念はイデアルという倍数概念です。「21世紀の新しい数学」黒川と共著も解かりやすい。
可換環の二つ具体的対象物は代数幾何(多項式環)と整数論(代数体の整数環⇒Dedekind環)がある。
ネットで明治大「後藤研究室」の教科書PDFは必読です。
うれしいことに最近はyou tube動画で 整数・群論・方程式のやさしい解説が沢山あります。
他にも「なっとくする群・環・体」野崎、「ガロア理論の頂を踏む」石井 俊全、「線形代数のコツ」梶原 健が非常にわかりやすいので併読をおすすめします。

468 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/31(金) 23:09:12.27 ID:qMTIsPL/.net]
>>404 補足

>本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。

さすがの小島節です。良いですよ

469 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/07/31(金) 23:22:54.61 ID:qMTIsPL/.net]
>>404 >ネットで明治大「後藤研究室」の教科書PDFは必読です。

これか (PDFへのリンクあり)
www.commalg.jp/~goto/teachings/textbook/
教科書 | 後藤研究室(明治大学理工学部数学科):

学部向け
ガロア理論

可換環論

代数学I(群論)

代数学3 2007年度明治大学代数学3講義用テキスト

入門代数学 2004年度北海道教育大学集中講義

代数概論 2005年度北海道教育大学集中講義

線形代数の手引き
2004年度卒業研究

大学院向け
正準加群

ホモロジー代数

その他
書評(Algebra, I. M. Gelfand and A. Shen著)

Knowledge Station 掲載
簡易辞書

470 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 07:38:57.95 ID:tftR4opy.net]
検索でヒットしたので、アップしておきます

www.math.titech.ac.jp/~kawachi/maths/2005/A2.html
川内 毅 東京工大
2005代数学演習A第二

よく使われる記号 (pdf 33KB) www.math.titech.ac.jp/~kawachi/maths/notation.pdf

2年次代数の内容を解説した文書を作成しました. とりあえず環論の部分(増える可能性あり.形式的ベキ級数環とか,その他応用とか)で, いきなり第2章となっていますが,第1章は群論の予定です. 第3章の「加群」がようやく出来上がりました.

環論 (preview3, DVIPDFMx, 351KB, 2006/12/14)www.math.titech.ac.jp/~kawachi/maths/2005/Algebra/ring.pdf
加群 (preview1, DVIPDFMx, 605KB, 2007/1/31)www.math.titech.ac.jp/~kawachi/maths/2005/Algebra/module.pdf



471 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 11:59:31.65 ID:f7CtCI4L.net]
極大イデアルについて解説お願いします

472 名前:132人目の素数さん [2015/08/01(土) 12:31:44.14 ID:/40VUnYS.net]
それで割ったら体、以上の解説は要らないだろ

473 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 12:41:58.14 ID:91w/ecbh.net]
その証明がわからないんですよ

474 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 13:50:31.60 ID:b6y7ka94.net]
代数の入門書嫁

475 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 14:06:09.86 ID:f7CtCI4L.net]
読んでますよ
でもわかんない
そもそもイデアルってのがわからない

476 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 18:57:38.79 ID:tftR4opy.net]
>>412
どうも。スレ主です。

悪いことはいわんから、ともかく、数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)>>404を手にとってみな
買えと言いたいが、まあ、図書館なり書店でも。あるいは友人に借りる
それが、一番の近道だと

477 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 18:59:34.67 ID:tftR4opy.net]
>>413 つづき
それが結論だ
が、まあ、こんな不便な場所だし、どこまで語れるか分からないし、どこまであなたの理解が進むのかも分からないが、少し語ってみようか

478 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 19:14:24.98 ID:tftR4opy.net]
>>367で書いたが”現代数学の定石がいくつかある 1.ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”だ

昔、クンマー先生が、x^n+y^n=z^nの因数分解を考えて、理想数を導入したと>>368
それを見た、デデキント先生は、因数←→イデアル(因数の倍数*の集合))という対応を考えれば、理想数を理解するのに良いんだと発想した
注*)”イデアル=因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚で大体良いんだ。細かい点では、少し異なるが

だから、イデアルが分からなくなったら、”イデアル=因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚に戻ること
Aを考える代わりにBで考える→因数を考える代わりにイデアル(因数の倍数*の集合))で考えるのが良い

が、イデアルが分からなくなったら、逆の対応を考えるんだ

479 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 19:26:43.97 ID:tftR4opy.net]
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)(P25あたり)に書いてあることだが、少しかみ砕いて書く

6は、2x3と因数分解される。だから、6という数には、因数2と因数3が含まれていると考えることができる
しかし、イデアルで考えると、包含関係は逆転するんだ

イデアル6は、イデアル2とイデアル3の両方に包含されている
まあ、イデアル2とイデアル3の重なり部分が、イデアル6だという見方もできる

ここで気がつくことだが、ある数の因数が多いと集合としてのイデアルは小さいってことだな
そこで、少し賢い人は気付く。自然数の世界では素因数に対応するイデアル(例えば上記のイデアル2やイデアル3)は、自然数以外の他のイデアルには含まれないってことを
つまり、これが極大イデアルの一番素朴な例だ。まずここを理解して、極大イデアル→その世界での素因数を考えること
そういうイメージを持ってみな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%A4%A7%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB

整数環 Z の極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。

480 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 19:27:11.59 ID:tftR4opy.net]
これで分からなければ、小島本よめ



481 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/01(土) 19:58:39.77 ID:b6y7ka94.net]
素因数の対応物は素イデアルだろ
単項イデアル整域では極大イデアルとの区別は無くなるが

482 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 21:28:22.76 ID:tftR4opy.net]
>>418
どうも。スレ主です。良い質問ですね。それ本質的ですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB
素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数(素元)の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された[1]。
このときすべてのゼロでない(整)イデアルは素イデアルの有限個の積として一意的に書ける(イデアル論の基本定理)。
概型(スキーム)の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。

可換環に対して
局所化
A を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=A\ P は積閉集合となる。S による A の局所化 S^{-1}A を A_P と書く。
これは PA_P を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 A_P/PA_P を k(P) などと書くこともある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E6%95%B4%E5%9F%9F
単項イデアル整域
代数学において単項イデアル整域(たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID)あるいは主環(しゅかん、仏: anneau principal)とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような(可換)整域のことである。

より一般に、任意のイデアルが単項イデアルであるような(零環でない)可換環を単項イデアル環と呼ぶ
(この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない)が、文献によっては(例えばブルバキなどでは)「主(イデアル)環」という呼称によって、ここでいう「単項イデアル整域」のことを指している場合があるので注意が必要である。

可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体


単項イデアル整域の例を挙げる。以下では可換環 R の元 a1, … an の生成するイデアルを (a1, …, an) = { r1a1 + … + rnan | ri ∈ R } と表す。

Z: 整数環[1]。

単項イデアル整域とならない整域の例を挙げる。
Z[X]: 整数係数の一変数多項式環。たとえばイデアル (2, X) は単項イデアルでない。

483 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/01(土) 21:42:07.24 ID:tftR4opy.net]
>>419 つづき

”現代数学の定石がいくつかある 1.ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”>>415と書いた
Aを考える代わりにBで考える利点があるんだよ、実は・・

整数環 Z がわれわれが一番なじみのある世界だ。だから、ここに戻ってくるのが良いんだ。この世界は、単項イデアル整域>>419で、
”極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。”>>416

つまり、素数Pから生成されるイデアルは、素イデアルでもあり、極大イデアルでもある。言い換えると、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とは分離されていない世界なのだ
だからこそ、というか逆に、素数(あるいは素因子)の概念を、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とに分離して考えることができる。それこそが、イデアルを考える利点なんだ

詳しくは小島本を読んでください

484 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 06:53:51.45 ID:RAFKMDP7.net]
コピペが少ない週末だな

485 名前:132人目の素数さん [2015/08/02(日) 11:12:28.25 ID:DqCbe0dU.net]
熱暴走

486 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 16:32:27.12 ID:RNEBrpg2.net]
どうも。スレ主です。
小島本を読んで貰えれば、ここで書く必要もないのでね・・

小島本の良いところは、コンセプト(概念や思想)を書いてあるところだ
その対極が、ブルバキや和歌山大学教育学部 佐藤英雄か

例えば、「直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。それが本稿の立場である。」wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/124
あるいは、論理の厳密性命(下記)

www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html
ブルバキと「数学原論」 pdf 斎藤毅 (数学セミナー2002年4月号)
www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
「数学原論」のページを開いてみることにしましょう. まず本文をみてみると,
そこにあるのは, 定義, 定理, 命題とその証明の羅列です. いくらページをめくっても,
それが延々と続き, 目を休ませてくれるような図や表といったものもほとんどありませ
ん. 何故そういう定義をおくのかとか, どうしてこの定理は大事なのかとか, この命題
はどんな使い道があるのかといった説明もありません. 数学の厳密で正確な記述だけ
が, 淡々と続きます.

なぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし
た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうもので
あるかは, 各分冊の最初のページにある, 「この本の使い方」に書かれています. いく
つか抜粋します.
「この原論は数学をその第一歩から取扱い, 完全な証明をつける」
「叙述の仕方は公理的, 抽象的であり, 原則として, 一般から特殊へと進む」
「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」
「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も
含まれている」
完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.

487 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 16:34:42.36 ID:RNEBrpg2.net]
>>423
いま、ブルバキ命という人は減った
が、まだ数学は厳密性命と思っている人もいる
それは半分正しい

が、ブルバキ(厳密性命)の限界も見えてきたのが21世紀だ

488 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 16:39:02.24 ID:RNEBrpg2.net]
>>424

これが正しいかどうかは別として引用する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。その理由の一つは、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用でなかったためである。
またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。
ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。

489 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 16:52:23.36 ID:RNEBrpg2.net]
>>425
"ブルバキ(厳密性命)の限界も見えてきたのが21世紀"の例として、やはり大きなものは物理からの影響だ

いろいろありすぎで、いちいち例示するのも大変
まあ、要するに、ブルバキ(厳密性命)の発想を超えた世界があるということを示す人たちが現れたってことかな
その代表者がWittenだろう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%89%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%86%E3%83%B3

mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/
mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/sugaku4301051-058.pdf
1990年 ICM-90--数学 第43巻第1号(1991)から

フィールズ賞受賞者紹介 E. Witten 氏の業績I 江口 徹 mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/sugaku4301051-058.pdf
E. Witten 氏の業績II 深谷賢治 mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/sugaku4301058-066.pdf

490 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 17:23:59.46 ID:RNEBrpg2.net]
>>426 つづき
乏しい見聞の記憶を辿れば
・リーマン予想のゼロ点の分布がガウス型ユニタリ・アンサンブル(GUE)にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%82%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
・ドナルドソンのYang-Millsゲージ理論を用いた理論 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3
・ミラー対称性 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7%E4%BA%88%E6%83%B3
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7_%28%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96%29
・AdS/CFT対応(これはまだ数学になってないかも) https://ja.wikipedia.org/wiki/AdS/CFT%E5%AF%BE%E5%BF%9C
・ソリトンも物理から https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%B3
英語版が詳しい https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton
・作用素環論(数理物理(特に量子力学)の定式化に使われる) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E7%92%B0%E8%AB%96

その他、佐藤超関数も物理の影響大。そういえば、元のデルタ関数も物理からの輸入だし
これらは、ブルバキ(厳密性命)流では、到達はずっと後だったろう
山登りで言えば、山の頂が先に見えて、そこを目指して登っていった
ブルバキ(厳密性命)のやり方は、一歩ずつ歩けば、いずれ頂きには到達するんだと
確かに、ギリシャの原論(ユークリッド)の時代は正しいよ。低い山に登るならね

が、21世紀に登る山は、富士山以上。場合によれば、アルプスやエベレスト級。無防備にふもとから徒歩で登る人はいない。そんなことをしたら人生を棒に振る
地図を見て、シェルパが居て、酸素ボンベや登山用具準備してという時代だと思うんだよね

繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論(ユークリッド)モデルは、低い山には通用する



491 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 17:26:52.61 ID:RNEBrpg2.net]
>>427 つづき

その点、小島本>>423や、ガロア本のCox>>272は、ブルバキの対極ではないかと

492 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 17:33:38.51 ID:pqOpLLOt.net]
スレ主さんってオナニーするの?

493 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 17:41:47.76 ID:BI6sMQ4i.net]
なんかブルバキを勘違いしてないか?

494 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 17:42:37.67 ID:RNEBrpg2.net]
>>428 つづき

あと、20世紀に発展した脳科学(下記)。「90%以上の人では言語野は左半球にある」という
まあ、ブルバキ(厳密性命)流は、言語野だけで数学をやろうということだ
が、もっとイメージや概念(コンセプト)を大事にというのが、脳科学からのメッセージではないだろうか?
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%84%B3%E6%A9%9F%E8%83%BD%E5%B1%80%E5%9C%A8%E8%AB%96
脳機能局在論
90%以上の人では言語野は左半球にある。

右脳・左脳論
脳機能局在論に関して、一般に広く知られる右脳・左脳論があり、これは左半球が言語や論理的思考の中枢であり、右半球が映像・音声的イメージや芸術的創造性を担う、という観念である。

発達心理学者のサイモン・バロン=コーエンは、著書『共感する女脳、システム化する男脳』の中で、
男性は平均的に分析能力が高く、女性は平均的に共感能力が高いとしたうえで、
男性は大脳の右半球が早い時期から急速に発達するため空間把握・分析能力が高くなること、
一方、女性は幼児期の早い段階から言語認知に関して左脳の優位を示すため、コミュニケーションに長けて共感能力が高くなることを示した。

右半球と左半球をつなぐ脳梁を切断した分離脳の状態では、右半球を使う左目に絵を見せられても、見えるだけでそれが何かという論理的な認識ができない。
脳の右半球と左半球は脳梁に結合されて協調して認識を行う。

495 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 17:43:32.58 ID:RNEBrpg2.net]
では

496 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 17:48:18.53 ID:RNEBrpg2.net]
そうそう、補足
>>427

>繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論(ユークリッド)モデルは、低い山には通用する

数学の厳密性を否定するつもりはないんだよ
ギャップがあれば、証明は完成していない
だから、厳密性は数学の基礎体力であることは確かだ
が、何人かの共同研究とか、佐藤幹夫みたく優秀な弟子を獲得して、共同でやるとかもありだろうね

497 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 17:53:33.86 ID:BI6sMQ4i.net]
山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない

498 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 18:12:18.31 ID:RNEBrpg2.net]
おっと、これも、検索でヒットしたので、備忘録にメモしておきます。なのかのご参考まで
ソリトンと逆散乱法のRobert M. Miura (Robert Mitsuru Miura)(日系人か)
https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton 日https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%B3

In 1967, Gardner, Greene, Kruskal and Miura discovered an inverse scattering transform enabling analytical solution of the KdV equation.[6]

6. Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967).
"Method for Solving the Korteweg?deVries Equation". Physical Review Letters 19 (19): 1095?1097. Bibcode:1967PhRvL..19.1095G. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095.

https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_M._Miura
Dr. Miura's research has spanned many subjects in the mathematical sciences.
His earliest contributions were on the topic of conservation laws for nonlinear wave equations.
Dr. Miura discovered an inverse scattering transformation known as the Miura Transformation for analytically solving the modified Korteweg?de Vries equation. This work helped establish the theory of solitons.

genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=17763
Mathematics Genealogy Project - Robert Mitsuru Miura

参考
The Korteweg-de Vries Equation: History, exact Solutions, and graphical Representation 2000 people.seas.harvard.edu/~jones/solitons/pdf/025.pdf
Korteweg-de Vries Equation - The World of Mathematical 2004 eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde5101.pdf

499 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 20:05:12.57 ID:RNEBrpg2.net]
>>434
どうも。スレ主です。

”山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない”

これは、当たっていると思う。が、ブルバキに対する批判にもなっていると思う
その当時では最新の(しかし過去の)数学を、過去の言葉で語ったものだと

でも、おそらくは、彼らの意図はそうではなくて、「現代的な教科書」の決定版のつもりだったろう
そうでなければ、「定年」は重視されなかったはず。単に過去を書くだけならね

しかし、私もブルバキの和訳を手に取ったことがあるが、「読めん」というか「合わない」と感じ

500 名前:
”厳密かつ公理的”というキーワード。これが、未来の数学でも最重要。彼らはそう思って、「現代的な教科書」の決定版を書こうとしたのだろうと思うのだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Elements de mathematique) の執筆である。
元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。
最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。

定年
一説には、年齢を重ねたメンバーに対するテストとして、論理的には正しいが数学的には何の面白みもない「新理論」の話をもちかけ、「面白くない」と判断できないようであれば定年とする、という了解があった、という。
[]
[ここ壊れてます]



501 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/02(日) 20:15:03.17 ID:RNEBrpg2.net]
>>436 つづき
一方で、20世紀後半から21世紀にはっきりしてきたこと
例えば、ゲーデルの不完全性定理=集合論と厳密性と公理だけでは到達できない世界があるよと(下記)
人を取り巻く物理的な世界(素粒子論、超弦理論、ブラックホール理論など)と、人の思考(それは素朴な集合論を超えている・・)など、これらはブルバキの想定範囲を超えているということがはっきりしてきた21世紀だと思うよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86#.E3.81.9D.E3.81.AE.E5.BD.B1.E9.9F.BF.E3.83.BB.E5.BF.9C.E7.94.A8
ゲーデルの不完全性定理

ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。
連続体仮説はZFC(集合論における標準的な公理系)の下では証明も否定の証明もできない。
また、選択公理もZF(ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの)では証明も否定の証明もできない。
これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。
1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。

1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題(英語版)が標準的な集合論では決定不能であることが示された。

計算機科学で応用される Kruskal の木定理(英語版)はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。

502 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 20:54:05.82 ID:BI6sMQ4i.net]
>>436
結果は“過去の”ものかもしれないが言葉は新しいのを作ってるよ
例えば全単射とかフィルターとかはブルバキによるもの
過去の数学を現代的に書きなおすと言えばいいのかな
ただ原論のスタイルはそれを学ぶ動機付けに欠くものだから
そこを補わずに読むのはつらいだろうね

ブルバキについては高橋先生の訳した
シュプリンガー数学クラブのやつを読んでみるといいかも?

503 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 21:34:34.15 ID:oNpiAI89.net]
小島本よめwwwwwwwww

504 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/02(日) 21:39:35.67 ID:oNpiAI89.net]
小島本最近読んだ程度が人に教えたがるのって病的だよなw
一生教わる側確定のゆとり力を感じるww

505 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/03(月) 12:56:17.97 ID:tDmzUm8X.net]
スレ主さんは
新しい何かを発見する過程と
その何かを

506 名前:論理的に説明することとを
混同しているように見える
[]
[ここ壊れてます]

507 名前:132人目の素数さん [2015/08/04(火) 19:35:28.30 ID:u7OQO+2c.net]
コピペはどちらでもない

508 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/04(火) 23:09:49.79 ID:PsAOX+j6.net]
ガロア理論のpdf読んだけど、訳が分からない表現が出てきた…

Gal_M (f) ってどんな意味なの?解説が全く書かれていないんだけど…

_M は添え字みたいに右下に小さく書くヤツね

509 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/05(水) 11:15:30.89 ID:dg2UNPjG.net]
見たところ「Gal_M (f) 」は見当たらんが、>>406のpdfのことか?
もしそうなら、悪いこといわないから、講義用のpdfなんか読まないで
そのサイトに挙げった自習用テキストでも読んだ方がいい。

おススメは「環と加群」と「体とGalois理論」コースね。かなり丁寧。
2つを全部読みこなすのは大変で、環と加群だけでも十分お釣りが来る位。
それ位代数の基礎は身に付く。あれら2つの演習の多さだけでも
呆れる程凄まじい。全部解いてたら時間がなくなるわ。
副有限群や無限次拡大のガロア理論について余り載ってないのが唯一難点なのだが。

510 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/05(水) 11:22:46.74 ID:dg2UNPjG.net]
>>444の訂正:「そのサイトに挙げった」→「そのサイトに挙がった」



511 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/07(金) 17:13:06.34 ID:rOkYf8b3.net]
そう。ネットに落ちていた講義用の pdf ファイルを自分で暇なときにポチポチ読んでいたw

でも、誤字はもの凄くあるし、意味不明な証明は多々あるし、他のもっと明確な証明はネットに落ちているしで
ホント心が折れそう。でも、ガロアの定理2まで延々プリントアウト&書き込みして最後まであと少しなんだよなあ…

ちなみに、Gal_M (f)って、本文に全く解説かいていないし、ネット探しても同様な表現は無いのだが、多分
多項式 fのM上のガロア群だろう。そう考えないと意味が合わない。

自学でこんな思考延々やっていると、ちっとも読み進むことできんよw

512 名前:132人目の素数さん [2015/08/08(土) 00:17:29.07 ID:KGyL8E6M.net]
コピペの始まりは、土日の始まり

513 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 10:42:51.57 ID:JPtSuWhm.net]
>>440-441

www.amazon.co.jp/dp/4535786755
難解といわれる代数幾何学って何かを概観するための本です
投稿者 雑学家 投稿日 2012/9/19
形式: 単行本(ソフトカバー)
この本を読む前にまず
代数的集合、飽和方程式、開集合、剰余環、同値類、イデアルやザリスキー位相などを超わかりやすく具体例で書かれた「数学は世界をこう見る」小島寛之を読むのが一番のお薦めです。
代数幾何の根底の環論に可換環=イデアル論と非可換環=線形代数がある。

514 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 10:49:28.80 ID:QF+gjJ4a.net]
スレ主さんは盆休みないわけ?

515 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 10:51:05.08 ID:JPtSuWhm.net]
>>440-441

www.amazon.co.jp/dp/4535786755
ユニークな好著 馬頭観音 投稿日 2013/1/3

私は多変数複素解析を研究しているが、1変数の代数幾何(コンパクトリーマン面の理論)は大体であるが知っているし、大いに使っている。
だからこの本を読んで事始めをしたのではなく、独学でやった。

代数幾何といえば、まず物は(多変数)多項式で(簡単のためと私はそれ以外考えないということで、係数は複素数体、変数は複素変数にしておく)、
その共通ゼロ点で表される代数的集合(A)、その上の(多項式または有理関数)環(B)、(A)と(A’)の間の多項式(準)同型写像(C)などを考え、(A)(B)(C)の関係を述べる

516 名前:アとが大体のこの本でいう事始めになっている。

私は射影空間を使えるようになるには大分年数がかかった。アホだからですが。

この本で主として使う道具は私などの学生時代(45年前)は3回生で習う抽象代数学の環、イデアル、剰余環、体、(準)同型写像などである。
特にイデアルが重要な役割を果たす。私は講義は初めの数回しか出ていないが、やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった。
(それはアホだからしょうがないかも。昔はそういうのは自分で考えろ、ということで教えない先生も多かったように思う。)
要するに1個の素数で生成される(単項)イデアルであり、代数的集合でゼロになる多項式はイデアルを成すが、それが素イデアルということは、代数的集合が既約(幾つかの成分に分解しない。
素数も幾つかの素因数に分解しないように)ということである。この本のようにそう言われれば良く分かるが、講義でもちょっとぐらいは触れてしかるべきと今は思うが、私が講義に出なくなってから教えていたのかも。
しかし代数学とは本当に抽象的なもんだなぁ?、イメージがわかない、わからん!!と間違った固定観念を持ってしまった。
  
ということで私は研究の息抜きに6日でさっと読んだが、この本が読者として想定している、抽象代数学を勉強したがイマイチピンと来ない、代数幾何を知りたいがどうも取っつきにくい学生さんにはユニークな好著と思うので、一読をおすすめする。
[]
[ここ壊れてます]

517 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 10:52:01.29 ID:JPtSuWhm.net]
>>448-450
これらは抜粋なので、全文読みたい人はURLを辿って下さい

518 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 11:02:52.21 ID:JPtSuWhm.net]
>>440-441
最近また、天狗さまが、出没するようになった・・
天狗さま、このガロアスレで以前から問題になっている下記があります
どうか、一言ご教示ください(笑い)HaHaHa

wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/532
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
532 :現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日:2015/05/29(金) 23:30:47.86 ID:Cd6YJUHF [3/4]
えらそうにのたまう雑魚つぶし
おっちゃんの出題を少しひねった問題を私スレ主が考えたんだ

それが>>33
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

複素数の成す乗法群なんて、なんの予備知識もいらない
数学的思考力のみで問題が解けるだろうさ

上から目線で物をいうあなた>>522 >>524 >>527
ど う ぞ(笑い)HaHaHa

519 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 11:10:48.14 ID:Hzl+AlI6.net]
おっちゃんです。お久しぶりです。いや〜、暑いですね〜。ばててます、ばててます。
参ってます、参ってまっす。何かヤバいことが分かりました。
どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。
最初証明をここに晒そうかと思いましたが、晒すとフルボッコにされそうで
よろしくないことになりそうですから、やめることにしました。
以前書いたζ(3)の無理数度は未だ何かは分かりません。それについては悪しからず。

520 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 11:19:19.18 ID:JPtSuWhm.net]
検索でヒットしたので
www.amazon.co.jp/gp/product/4163902805?redirect=true&ref_=s9_newr_co_d76_g14_i6
数学の大統一に挑む 単行本 ? 2015/7/13 エドワード・フレンケル (著), 青木 薫 (翻訳)

商品の説明

xのn乗 + y



521 名前:のn乗 = zのn乗

上の方程式でnが3以上の自然数の場合、これを満たす解はない。
私はこれについての真に驚くべき証明を知っているが、ここには余白が少なすぎて記せない。

17世紀の学者フェルマーが書き残したこの一見簡単そうな「フェルマーの予想」を証明するために360年にわたって様々な数学者が苦悩した。

360年後にイギリスのワイルズがこれを証明するが、その証明の方法は、谷村・志村予想というまったく別の数学の予想を証明すれば、フェルマーの最終定理を証明することになるというものだった。

私たちのなじみの深いいわゆる方程式や幾何学とはまったく別の数学が数学の世界にはあり、それは、「ブレード群」「調和解析」「ガロア群」「リーマン面」「量子物理学」などそれぞれ別の体系を樹立している。
しかし、「モジュラー」という奇妙な数学の一予想を証明することが、「フェルマーの予想」を証明することになるように、異なる数学の間の架け橋を見つけようとする一群の数学者がいた。

それがフランスの数学者によって始められたラングランス・プログラムである。

この本は、80年代から今日まで、このラングランス・プログラムをひっぱってきたロシア生まれの数学者が、その美しい数学の架け橋を、とびきり魅力的な語り口で自分の人生の物語と重ね合わせながら、書いたノンフィクションである。

内容(「BOOK」データベースより)
憧れのモスクワ大学の力学数学部の試験に全問正解したにもかかわらず父親がユダヤ人であるために不合格。
それでも少年は諦めず、数学を学び続けた。「ブレイド群」「リーマン面」「ガロア群」「カッツ・ムーディー代数」「層」「圏」…、まったく違ってみえる様々な数学の領域。
しかし、そこには不思議なつながりがあった。やがて少年は数学者として、異なる数学の領域に架け橋をかける「ラングランズ・プログラム」に参加。それを量子物理学にまで拡張することに挑戦する。
ソ連に生まれた数学者の自伝がそのまま、数学の壮大なプロジェクトを叙述する。
[]
[ここ壊れてます]

522 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 11:22:54.63 ID:QF+gjJ4a.net]
>>454
この本は俺も気になってた

523 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 11:24:23.41 ID:JPtSuWhm.net]
>>453
おっちゃん、どうも。スレ主です。
お元気そうでなによりです

>どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。

そうなんですか!

>最初証明をここに晒そうかと思いましたが、晒すとフルボッコにされそうで
>よろしくないことになりそうですから、やめることにしました。

こんなところに書くともったいない
年齢的にF賞はだめでも、金額の高いA賞は狙えるかもね(^^;

524 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 11:25:49.27 ID:JPtSuWhm.net]
>>455
どもです

525 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 11:41:58.44 ID:JPtSuWhm.net]
>>438 >>441

ブルバキが念頭に置いていたのは、ユークリッド原論だと思う
理論体系が少数の公理系から構築されている
基本はロジックのみ。概念的な説明はほとんど無かったと記憶している
その対極が、小島本
そして、ブルバキ流スタイルに同意しないのがCoxのガロア本と思うのだが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A6%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%B9
英語: Euclid ユークリッド
数学史上最も重要な著作の1つ『原論』(ユークリッド原論)の著者
線の定義について、「線は幅のない長さである」、「線の端は点である」など述べられている。
基本的にその中で今日ユークリッド幾何学と呼ばれている体系が少数の公理系から構築されている。
原論では平面・立体幾何学、整数論、無理数論などの当時の数学が公理的方法によって組み立てられているが、これは古代ギリシア数学の一つの成果として受け止められている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96
ユークリッド原論

526 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 12:02:46.46 ID:sEWb1pmo.net]
>「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
もう少しきちんと定式化して書かないと何通りにも解釈できてしまう。
君のレベルがわかるよ。

527 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 14:26:06.16 ID:Hzl+AlI6.net]
>>456
理論物理のパウリは手紙で結果のやり取りを好み、誰の結果かはど〜でもいいみたいだったから、
結果をノートに鉛筆で書いて誰かに見せるという方法はありみたいですね。
まあ、送った人が読んでくれるか単なるゴミになるかは知りませんけど。
パウリに倣えば2チャンへの晒しという手法もありな気がしないではないが、
おっちゃんは、ここしばらく雲隠れします。ドロ〜ンします。

528 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 14:50:23.52 ID:JPtSuWhm.net]
>>459
どうも。スレ主です。

>もう少しきちんと定式化して書かないと何通りにも解釈できてしまう。

どうぞ、あなたの解釈で結構だ
書いてみたらどうですか?
君のレベルがわかる

529 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 14:59:53.97 ID:JPtSuWhm.net]
>>460

おっちゃん、英文にしてarXiv投稿という手があるよ。英訳は google翻訳が使えるよ→ https://translate.google.co.jp/?hl=ja&tab=wT
https://ja.wikipedia.org/wiki/ArXiv
arXiv

arXiv(アーカイヴ、archiveと同じ発音)は、主に物理学、他に数学、計算機科学、量的生物学などの、プレプリントを含む様々な論文が保存・公開されているウェブサイト。
論文のアップロード(投稿)、ダウンロード(閲覧)ともに無料。論文はPDF形式。1991年にスタートして、プレプリント・サーバーの先駆けとなったウェブサイトである。大文字のXをギリシャ文字のカイにかけてarchiveと読ませている。

査読

arXivは時間のかかる査読プロセス(平均して数ヶ月、長いと一年以上かかる)を避けて、素早い情報交換を行なうことを目的として設置されている。そのため、基本的に登録された論文の内容を精査してから公開・非公開を決める、という作業はしていない。
とはいえ完全にフリーパスだという事ではない。あまりにひどい論文は削除されたり、登録分野から移動させられたりする。

例えば2001年にアメリカのテネシー州在住の創造論者が、神による宇宙の創造を説く十篇の論文をarXivに登録した事がある。
この論文はarXivのスタッフによって全てサーバから削除され、登録者のアカウントは停止された。ただ論文の登録者はこれを不服としてarXivの管理者を相手取って訴訟を起こした[4]。

530 名前:132人目の素数さん [2015/08/08(土) 15:22:12.34 ID:KGyL8E6M.net]
現代の異端審問www



531 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 18:33:40.84 ID:JPtSuWhm.net]
>>444-446

津山高専 松田 修先生のガロア理論入門ノート(詳細)だね
www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/gals.pdf
ガロア理論入門ノート(詳細)Osamu MATSUDA
www.tsuyama-ct.ac.jp/
津山高専
www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/
 松田 修 : e-mail : matsuda 略
www.tsuyama-ct.ac.jp/honkou/kojin/gen/matsuda/matsuda-db.htm
教員基本データ
 (フリガナ)マツダ オサム
 氏名: 松田  修
 生年: 1963
 学歴: 1994. 3 学習院大学理学部数学科卒業
     1996. 3 学習院大学大学院自然科学研究科博士前期課程修了
     1999. 3 学習院大学大学院自然科学研究科博士後期課程修了
 学位: 1999. 3 博士(理学)(学習院大学)
 所属学会: 日本数学会

532 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 18:58:37.93 ID:JPtSuWhm.net]
>>464 適当に抜粋
2.8 ガロアの定理2

533 名前:(方程式の可解性)

定義
K を体, f(X) = a0X^n + a1X^n?1 + ・ ・ ・ + an (a0 ≠ 0) をK 係数の多項式とし, Q(a1/a0, ・ ・ ・ , an/a0) 上のf(X) の最小分解体をL とする.
L がQ(a1/a0, ・ ・ ・ , an/a0) 上べき根によって構成されるとき, 方程式f(X) = 0はべき根によって解ける, または代数的に解ける, という.

定義
f(X) = a0X^n + a1X^n?1 + ・ ・ ・ + an をK = Q(a1, ・ ・ ・ , an) 係数の多項式とし, L をK 上のf(X) の最小分解体とする.
このとき, Gal(L/K) を方程式f(X) = 0 のガロア群, または, 多項式f(X) のガロア群という.

補題35 K を体, f(X) ∈ K[X] とする. M をK の拡大体とするとき, GalM(f)はGalK(f) の部分群に同型である.
証明
L をf のK 上の最小分解体とする. L の分解をf(X) = a(X ?α1) ・ ・ ・ (X ? αn) とすると, L = K(α1, ・ ・ ・ , αn) である.
したがってLM =M(α1, ・ ・ ・ , αn) である. これはLM がf(X) のM 上の最小分解体であることを示す.
すなわちLM はM のガロア拡大である. よって, Gal(LM/M) = GalM(f).
ガロア群G = Gal(LM/K) = GalM(f) の元のL への制限を考えることにより, これはもちろんK の元を固定するので,
準同型写像φ : G → Gal(LM/M) ∋σ → σ|L ∈ Gal(L/K) が得られる.

GalM(f) = Gal(LM/K) ≡ H = Gal(L/L ∩M) ⊂ GalK(f) となる. (証明終)

補題36 K を体, L をK の拡大体, L1, L2 をL とK の中間体とする. L1, L2がK の有限次アーベル拡大であれば, L1L2 もK の有限次アーベル拡大である.
証明
L1L2 がK のガロア拡大であることは, 補題35 の証明の中で述べた.

定理37 (ガロアの定理2) K を体とし, f(X) ∈ K[X] とする.
方程式f(X) = 0 が代数的に解ける. ⇔ f(X) のガロア群が可解群である.
証明
f(X) = X^n + c1X^n?1 + ・ ・ ・ + cn = (X ? α1) ・ ・ ・ (X ? αn) とし,
Q(c1, ・ ・ ・ , cn) を改めてK とおき, L = K(α1, ・ ・ ・ , αn) とおくと,
f(X) = 0 が代数的に解けるとは, L がK 上べき根によって構成されることで,
このとき方程式f(X) のガロア群Gal(L/K) について, ’L がK 上べき根によって構成される. ⇔Gal(L/K) が可解群である.’
[]
[ここ壊れてます]

534 名前:群馬大学病院腹腔鏡手術後8人死亡事故 [2015/08/08(土) 20:14:51.35 ID:NXjIA6vZ6]
                                                          .

【芸能】真夏の最強おっぱい決定戦「P―1グランプリ」開幕!あの人気アイドルグループからも続々参戦【グラビア】

https://www.youtube.com/watch?v=0U15dDLipOw

535 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 19:19:10.38 ID:JPtSuWhm.net]
>>465 つづき

あまりにも記号が混乱し、記載が錯綜しているので、意味が判然としないが・・

1.まず、問題の「Gal_M (f) 」は、”補題35 K を体, f(X) ∈ K[X] とする. M をK の拡大体とするとき, GalM(f)はGalK(f) の部分群に同型である.”と出てくる
2.その証明からすると、まずGalK(f)=Gal(L/K) (すぐ上の定義の「方程式f(X) = 0 のガロア群, または, 多項式f(X) のガロア群」)のことでしょうね
3.で、K ⊂ M ⊂ L (Lはすぐ上の定義で「L をK 上のf(X) の最小分解体」)で、Mは中間拡大の意味だろう
4.だから、Gal_M (f) は、中間拡大体のガロア群と解釈できる(というかそれしかない)。それで補題36につながる。
5.で、定理37 (ガロアの定理2)の証明になるけれども、ここではGal_M (f) は使わずに、ガロア群Gal(M/K)を使っているみたい。補題36ではL1,L2を使っているんだが

ということで、この部分は別のテキストをお勧めします。

536 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 19:53:12.03 ID:JPtSuWhm.net]
>>467 つづき
おちているPDFは良く知らないが
まあ、前にも紹介したが、自称東大数学科落ちこぼれのhiroyukikojima氏お薦め、草場公邦先生の「ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)」
d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080327
2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば hiroyukikojimaの日記

最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。

ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07

他略

どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。

ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった!」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。( そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。

ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

537 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 19:57:40.27 ID:JPtSuWhm.net]
>>468 つづき

個人的にはCoxおすすめだが、草場公邦先生も手元にある
6.2 固定体と固定群だな
「定理6.7 ガロワの対応」とかが、該当箇所だよ
足立本でも、ガロワの対応の話はある(当然だが)

538 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 20:21:48.44 ID:JPtSuWhm.net]
>>450

>この本で主として使う道具は私などの学生時代(45年前)は3回生で習う抽象代数学の環、イデアル、剰余環、体、(準)同型写像などである。
>特にイデアルが重要な役割を果たす。私は講義は初めの数回しか出ていないが、やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった。
>(それはアホだからしょうがないかも。昔はそういうのは自分で考えろ、ということで教えない先生も多かったように思う。)

馬頭観音=足立幸信氏。45年前=1968かな。京都大学理学部数学科。「やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった」という
homepage3.nifty.com/kyousei/
馬頭観音の気まぐれ何でも館
(足立幸信のホームページ = Home Page of Y.Adachi)

www.amazon.co.jp/%E6%9C%AC/dp/4864500428/ref=cm_cr-mr-title
著者について
1947年、兵庫県の生まれ。
1969年、京都大学理学部数学科卒業。
1974年、京都大学理学研究科修士課程数学専攻修了。
同年、ユニチカ入社(システム部在籍)。
1982年、依願退社。
1983年より3年間、九州大学工学部研究生。
1986年、専門学校甲山国際文化学館講師。
1988年、姫路学院女子短期大学児童教育科専任講師。
現在、神戸大学、兵庫県立大学、各非常勤講師。
数学者。多変数複素解析学専攻。博士(理学)。

539 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 20:35:26.09 ID:JPtSuWhm.net]
>>439-440
小島本をばかにする ID:oNpiAI89 くんか・・
こいつどこまで分かっているのねー?

東大数学科 hiroyukikojima氏や、京都大学理学部数学科 馬頭観音=足立幸信氏が
「やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった」と独白しているのに・・

hiroyukikojima氏や足立幸信氏より良く分かっているといいたいのかねー?
私は、hiroyukikojima氏や足立幸信氏よりも分かってなかった

だから、小島本は良かったよ
東大数学科や京都大学理学部数学科でも、イデアルの定義を読んですらすら分かるトップクラスは別として
それ以外で悩んでいる人なら、小島本は一度は手にとって見ることをお薦めするよ。

読む読まないはそれから決めれば良い

540 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 20:57:14.58 ID:JPtSuWhm.net]
>>454 関連

toyokeizai.net/articles/-/75853?page=3
「フェルマーの最終定理」は、序章にすぎない
青木薫が「数学の大統一に挑む」を読む
青木 薫 :翻訳家 2015年07月11日
(抜粋)
数学には、数論、幾何学、解析学などさまざまな分野があり、長い歴史のなかで徐々に細分化が進んで、異なる領域で研究する数学者たちのあいだでは、使う言葉までも通じないような状況になっていた。
たとえて言えば、異なる「星系」に属する惑



541 名前:星上で、それぞれ別の生き物が独自の暮らしを営んでいるようなものだ。ところが、一見何の関係もなさそうに思える領域のあいだに、不思議なつながりがあることがわかってきたのである。
いったいなぜそんなことが??フレンケルは、もしかすると数学のすべての領域をつなぐ、何か普遍的な構造があるのかもしれないと言う。その数学の大統一を目指す試みが、拡張されたバージョンのラングランズ・プログラムである。

しかし現代数学のそんな最先端の話を、はたして一般向けの読み物にできるものだろうか??数学の異なる領域間のつながりを語る以上、当然ながら、多彩な概念が出てくる。
ガロア群、多様体、カッツ・ムーディー代数、ヒッチン・モジュライ空間、Dブレーン、層、圏、等々。どれひとつをとっても、相当にハードルが高い。全部となれば、数学者を相手にしてさえ、かなり骨のある話題になってしまうだろう。

しかし、フレンケルは諦めない。彼は、きっと伝えられると信じている。

しかし、具体的にはどうすれば??フレンケルはそのための方法を懸命に考えたことだろう。そして彼が持ち出したのが、ヴェイユのロゼッタストーンだった。それを選んだことが、本書の成功の鍵だったと私は思う。

本書の翻訳に取り組んでいた時期、私は本当に楽しく幸せだった。
[]
[ここ壊れてます]

542 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 20:57:53.53 ID:sJlPbQYh.net]
読めてない本をあとがきとか読んで読めてた気分に浸る低能読者にはなりたくないものだ

読めてない本を批評するのはジャンク情報が増えるからやめていただきたいものだな

543 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 21:00:49.70 ID:sJlPbQYh.net]
イデアルわかるぐらいが辛うじて可じゃないかな?

それ以下は受験対策が数学だと死んだ後も幸せに思い込んでる方が良かろう

544 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 21:06:28.96 ID:sJlPbQYh.net]
読めてない本にはこう感想文を書くべきだろう「読んでも僕には分かりませんでした一生バカのままです死んでもわかるようになりませんずっと永遠に救われないままです…」とね。

545 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 21:08:33.28 ID:sJlPbQYh.net]
他人にどんだけ分かってるふりをしようが所詮読めてないものは読めてないのだ!。
分からないのは一生だけではないぞ永遠に所詮バカにはわからないのだ!。

546 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 21:46:00.80 ID:JPtSuWhm.net]
>>473-476
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
面白いよ

ああ、勘違い
ここをどこだと?

日本のMathOverflowかStack Exchangeだと?
https://en.wikipedia.org/wiki/MathOverflow
https://en.wikipedia.org/wiki/Stack_Exchange

たんなる2ちゃんねる!
それ以上でもそれ以下でもない!

いやさ、おいらのメモ帳だよ
何を求めて、この板に・・・。あれしてくれこれしてくれの、「くれくれ」くんかい?

落ちこぼれた数学の救いを求めてか? なら来ることろを間違えているよ。英語の板へ行くんだな

547 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 21:56:34.03 ID:sJlPbQYh.net]
一生コピー機でコピー取りの派遣のおねーちゃんのお仕事してても読めないお経をあほだらきょうに劣化コピーし続けても
読めてないのは永遠に読めてないままだぞ

548 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 22:32:56.53 ID:JPtSuWhm.net]
分かってないね

ブレストを知っているか?(下記) 君がしているのは、他人への批判だ
それは、2ちゃんねる数学板の風土とは合わない
というか、「自らはなんら積極的貢献をせずに、批判だけか?」ということさ

www.d1.dion.ne.jp/~ppnet/prod083.htm
1,メンバーの発言への批判禁止

2,自由奔放な発言

3,質より量

549 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 22:50:01.06 ID:JPtSuWhm.net]
「批判は簡単、実践は難しい」
自分ではなんら有益

550 名前:なカキコをせず、批判だけ
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1329444298
2009/8/1507:28:15
「批判は簡単、実践は難しい」。最近、この言葉の意味を痛く痛感しています。そもそも、何故、批判は簡単で実践は難しいのでしょうか?説明できる方いらっしゃいますか?


ベストアンサーに選ばれた回答 kabukiage001さん 2009/8/15
もう一つの理由として、「出来る」とは、「知っている」より上位段階・上位能力であるからでしょう。
「知っている」だけではできないことって沢山あります。映画の良し悪しはわかっても自分で作れない、野球の名プレーはわかっても名プレーはできない等々。
批判は知っていればできますが、批判者が実践できるとは限りません。

一方、実践として「出来る」人は、何が良いかを大概知っています。当然批判しようと思えば批判もできます。
つまり「出来る」とは「知っている」よりも上位段階・上位能力なのです。

よって、実践の方が批判より難しい、ということになります。
[]
[ここ壊れてます]



551 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/08(土) 22:59:43.58 ID:JPtSuWhm.net]
>>464-469を書いた。津山高専 松田 修先生のガロア理論入門ノート(詳細)が分からんと>>444-446があったから
これが、wikipediaやどこかのサイトからのコピペでないことは明らか
これが合っているか間違っているか、見る人が見れば分かるだろう

私スレ主がガロア理論を分かっているかって? まあ、この程度を書けるくらいには、分かっているってこと
イデアルはまだこれからだが、この程度にはいけるんじゃないですかね(^^;

552 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/08(土) 23:10:49.59 ID:sJlPbQYh.net]
>>イデアルはまだこれからだが、この程度にはいけるんじゃないですかね(^^;
だめです。

553 名前:132人目の素数さん [2015/08/08(土) 23:17:44.97 ID:nRjrxFGx.net]
中間体と部分群が対応するだけの話で実に当たり前でくだらないと思った。

554 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 05:56:01.40 ID:+PUkznvl.net]
>>482
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
君には、次の言葉を贈ろう

eow.alc.co.jp/search?q=%E8%87%AA%E5%88%86%E3%81%AE%E5%B0%BA%E5%BA%A6%E3%81%A7%E4%BB%96%E4%BA%BA%E3%82%92%E6%B8%AC%E3%82%8B
英辞郎 on the WEB:アルク:
自分の尺度で他人を測る measure others by one's own standard

structure.cande.iwate-u.ac.jp/miyamoto/ground/kyoryuchorui.htm
自分の尺度でしか見ようとしない人間 国立科学博物館・地学研究部主任研究官 真鍋 真

 恐竜の化石は、発見され岩石の中から削り出された瞬間、初めて人間と出会う。
化石が自己紹介をしてくれたり、分類ラベルが付いてくるわけではないので、古生物学者は、
化石を目で見、ときには複雑な形を手で触り理解し、まずは、その骨が体のどの部分の骨
なのかを知ろうとする。それが太股の骨(大腿骨)であるならば、それがどんな恐竜の大腿骨
なのかを知ろうとする。分からなければ分からないほど、恐竜に自分の古生物学者としての
能力が試されているような気になる。博物館に収蔵されている標本と比較したり、文献を
調べたり、自分のノートや写真といった記録や記憶を総動員して、来る日も来る日も標本と
向かい合うことも少なくない。ずっと分からないこともあれば、何年もして忘れた頃にひょん
なことから分かることもある。

 私の大学院時代の指導教官のジョン・オストロム教授(米・イェール大学)は、苦しみに
苦しみ抜いた後に、急に霧が晴れるように理解できる瞬間の快感こそが研究者の喜

555 名前:ムだと常々
語っている。オストロム教授は、始祖鳥という最古の鳥類の標本を見続けたある日、突然、
「始祖鳥は羽毛さえなかったら、骨格は恐竜じゃないか」と気がつき、一九七〇年代に鳥類の
恐竜起源説を提唱した。その後、この説を裏付ける証拠が次々と発見され、今では大多数の
古生物学者に受け入れられている。今から六、五〇〇万年前の中生代末に、環境変化に適応
できずに絶滅したと思われていた恐竜は、鳥に姿を変えて現在も繁栄し続けているのだ。
以下略
[]
[ここ壊れてます]

556 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:02:37.82 ID:+PUkznvl.net]
>>484
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
自分の尺度で他人を測る measure others by one's own standard

思うに、君はイデアルで苦労したか、あるいはひょっとしてまだ苦労中かと見たね。で、おそらくいまなにか苦労していることがあるんだろう。だから、ここに来て同類を探していたのか・・
ジョン・オストロム教授(米・イェール大学)
苦しみに苦しみ抜いた後に、急に霧が晴れるように理解できる瞬間の快感こそが研究者の喜びだと常々
語っている。

君にはこの言葉を贈ろう。勉強頑張って下さい

557 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:10:35.76 ID:+PUkznvl.net]
>>483
「実に当たり前でくだらないと思った」と言えるレベルに君が達していることは認めよう
が、大口たたくのは、私よりさきにカキコをしてからにしてほしいね

コロンブスの卵、手品の種明かし
分かってしまえばな〜んだということは、世間では多い

ガロア理論を理解していれば、別になんということもない
正解のお墨付きを貰ったということで良いかな・・

558 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:22:38.69 ID:+PUkznvl.net]
>>448-450 補足

www.amazon.co.jp/dp/4535786755
14日間でわかる代数幾何学事始 単行本(ソフトカバー) ? 2011/9/16 海老原 円 (著) 日本評論社

d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20121227/1356623142
2012-12-27 数学って「思想」なんだよな hiroyukikojimaの日記

 最近、代数幾何を勉強し始めた。来年出す新書の準備の一環としての勉強だ。

代数幾何というのは、多変数の多項式の解(零点)の点集合(放物線とか、円とか、球などの空間図形はその一種)の性質を分析する分野のことだ。高校で教わる「代数・幾何」を化け物のようにしたような分野だと思えばいい。(間に「・」があるかないかで雲泥の差なのだ)。

実は、ぼくは昔、数学科に在籍したときは、代数幾何が専攻だった。数論を専攻したかったのだけど、成績が悪くて希望のゼミに入れなくて、同級生の「数論をやるなら代数幾何は勉強しておいたほうがいいよ」という一言で、代数幾何のゼミに入れてもらうことにしたのだ。
でも、そのゼミでは、代数幾何をほとんど勉強しないまま終わった。ゼミのときは毎週、準備してきたことが10分で先生に撃墜されて、残りの時間はずっとお説教をされていたからだ。(読者に優しい数学書を書く技術 - hiroyukikojimaの日記参照)。

最近になって、代数幾何に生まれて初めてすごく興味が出てきた。それはグロタンディークが生み出した「スキーム」と呼ばれる分野だ。なぜ、スキームに興味があるか、といえば、それが一種「思想的なもの」だと思えるからなのだ。

そんなこんなで、ほんとに初歩から代数幾何の勉強を開始した。まず、読んでみたのが、海老原円『14日間でわかる代数幾何学事始』日本評論社だ。はっきり言って、これは掘り出し物と言っていい本だった。
つづく

559 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:25:25.80 ID:+PUkznvl.net]
>>487つづき

この本の何がいい、って、それは「思想臭むき出し」で書いている、ってことだ。なんでだかわからないが、数学者の書いた数学書は無味無臭なものがほとんどだ。
まあ、そもそも数学に思想的なナニカを感じていないのか、感じていても

560 名前:uそんなことは自分で掘り出せ」とばかり無視してるのかもしれない。
かに、プロの数学者になって一生数学で飯を食っていく気なら、数学が内包しているナニカは自分で苦労して理解すべきなのかもしれない。
でも、数学って、数学者(及び、それを目指す人)だけのものだろうか。彼らの独占物なのだろうか。ぼくはそうじゃないと思う。
数学は、人類全体の成果であり、文化であり、宝なんじゃないか、と思う。ならば、数学者(及び、それを目指す人)以外のたくさんの一般人にもその意義が伝えられることが望ましい。
そのためにてっとりばやいのは、数学の持つ「思想」を伝えることである。「思想」というと大仰だというなら、「いったいそれは何をやっているのか」ということを伝えること、と言い換えてもいいだろう。

そういう意味で言えば、海老原円『14日間でわかる代数幾何学事始』日本評論社は、徹頭徹尾、「それはなにをやってるのか」ということを訴え続けるスタイルで書かれている。それはそれはみごとと言っていい。
登場する多くの定理に対して、「それはこういう意味を持っている」という「解釈」を補足してくれている。また、それが何処を目指しているのか、という「少し先の風景」を常に与えながら書いてくれるのだ。

 本書は、まず、多変数の多項式の解(零点)の集合である「代数的集合」が、多項式たちの方程式たちよりも「イデアル」と呼ばれる集合で捉えるのが本質的であることを述べている。
「イデアル」とは、「和に閉じていて、倍数に閉じている」ような集合のことで、もとはと言えば整数の集合を扱う中で発見された概念だ。イデアルには、極大イデアルと素イデアルというのがあるのだが、その双方が代数的集合を表現する上で非常に本質的であることがわかる。
これらのことを本書では、次のように説明している。
以下略 引用おわり
[]
[ここ壊れてます]



561 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:30:33.94 ID:+PUkznvl.net]
>>488 補足

>この本の何がいい、って、それは「思想臭むき出し」で書いている、ってことだ。なんでだかわからないが、数学者の書いた数学書は無味無臭なものがほとんどだ。

・数学者の書いた数学書は無味無臭の典型例が、ブルバキでありアルティンのガロア本だろう
・その対極が、小島であり海老原円
・ブルバキやアルティン本に批判的なのがCoxのガロア本だと>>458

562 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:36:51.70 ID:+PUkznvl.net]
>>487 補足

s-read.saitama-u.ac.jp/researchers/pages/researcher/FZzmsmBx
海老原 円 エビハラ まどか
理工学研究科 数理電子情報部門 | 埼玉大学研究者総覧

プロフィール
兼担研究科・学部 理学部 数学科
研究分野 代数幾何学

現在の研究課題
代数多様体の研究
代数多様体,特に小平次元が負のものの構造について研究している。
学位論文(J. Fac. of. Scf, Univ, Tokyo, SecIA, 39, 1992)では,トーリック曲面を豊富に含む3次元代数多様体が単有理的であることを証明し,その後,さらに一般次元へ拡張した(J. Math. Soc. Japan, 46(1994)),
現在は,単有理性の問題に視点を置きつつ,有理曲面上の二次曲線束の変形理論を,特にその判別因子の変位との関連づけにおいて構築しつつある(Saitama Math. J. 18(2000))。

学歴
出身大学院・研究科等
1989 , 東京大学 , 博士 , 理学系研究科 , 数学専攻 , 中退
1987 , 東京大学 , 修士 , 理学系研究科 , 数学専攻 , 修了
出身学校・専攻等(大学院を除く)
1985 , 東京大学 , 理学部 , 数学科 , 卒業
取得学位
博士(理学) , 東京大学 , On Unirationality of threefolds which contain toric surfaces with ample normal bundles(J. Fac. Sci Univ Tokyo Sec. IA, 39(1992), PP87―139)

563 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 06:52:43.88 ID:+PUkznvl.net]
>>487 補足

>>448-450にもあるように、私は「数学は世界をこう見る」小島寛之を先週一週間かけて

564 名前:読んだ
だから、14日間でわかる代数幾何学事始 海老原円 が今週来て、昨日から今日にかけて読んだが、小島本のおかげで結構読めるんだよね、これ
スレ主レベルの能力でも分かるから、小島本→海老原円本という流れがお薦めです
[]
[ここ壊れてます]

565 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 08:03:16.59 ID:jTESFcpf.net]
>>491から先に書けっつーの。無駄に知ったかが長すぎる。

566 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 08:31:27.22 ID:+PUkznvl.net]
>>492
どうも。スレ主です。
すんません
実は、海老原円が来たのが、昨晩なのよ。アマゾンで、小島本の参考文献10に海老原円があったので、昨日の午前中に注文したら、晩に届いた
それで、昨晩から今日にかけて読んだわけ
これが不思議に読めるんだわ。小島本のお陰で
というか、小島本が海老原円からぱくってんだ。それで、それをかみ砕いて、小島節をまぶして、私スレ主にも分かるレベルに落としてくれているわけですよ
だから、海老原円を読むと、「ああ、これ、小島本あったやつだー」と進む訳です、はい。それで、最後まで行きました

567 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 09:00:01.13 ID:+PUkznvl.net]
>>492 補足
ザリスキー位相がちょっと分からなかった

海老原円では、P73ザリスキー位相の導入辺りから
小島本では、「位相は開集合で定義するのだ!」と。しかし、海老原円では、ザリスキー位相は閉集合で定義するという
あれれと思っていると、海老原円の後の方で、ザリスキー開集合が大事だというので、やっぱ話があってきたなと
で、海老原円P130辺りに良いこと書いてあるんだなー。「層の理論では開集合が主役となる」って・・、やっぱりそう(層)なんだ・・

で、位相空間の定義で
「歴史的にみると、以前は近傍の公理のほうが良く使われていたようである。」
「現在・・、開集合の公理が多く採用されている。このことは層の理論の成功と無関係ではなく、どうやら、位相空間の定義も、数学の発展に伴って変化してきた・・」


なるほどねー、目からうろこです。”なんで開集合だけがそんなに偉いのか!”と思ったら、裏にもっと偉い僧(ソウ)がついていたんだ!
層がわからんと、開集合の偉さがわからんのか・・。が、層理論がまた抽象的なんだよね・・

「14日間でわかる層・Spec・スキーム」を、海老原円ちゃんが書いてくれると良いのだが

568 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 09:32:19.39 ID:+PUkznvl.net]
>>494 補足
ザリスキー位相でちょっと

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E4%BD%8D%E7%9B%B8
ザリスキー位相
目次
1 古典的定義
1.1 アフィン多様体
1.2 射影多様体
1.3 性質
2 現代の定義
2.1 性質
2.2 例
3 参照項目
4 参考文献
5 関連書籍
(引用おわり)

以前読んだときはさっぱり分からなかったが、小島本−海老原円本を読んだのでちょっと分かる

古典的定義:トポロジーは開集合というより、閉集合を特定することにより定義され、{A}^n の中の全ての代数的集合を単純に閉集合とすると定義する。
海老原円本は、この古典的定義で書いているんだ!

現代の定義:現代の代数幾何学は、出発点として環のスペクトル(素イデアルの集合)を取った。(性質)トポロジーの古典的描像と新しい描像の最も劇的な変化は、点がもはや閉じている必要はないということである。
小島本は、スペクトル(Spec)でザリスキー位相を説明している。だけど、小島本ではこれを開集合としている*)
が、wikipediaの説明は閉集合だと。でも後で、(性質)点がもはや閉じている必要はないなどとあるね

で、スペクトル(Spec)→層理論へ移るときに、どこかで位相を開集合で定義しなおすのでしょうね*)

*)開集合の補集合が、閉集合だ。海老原円本のP74-75に詳しい定義と説明とがある。開集合←→閉集合で、位相の定義の変更ができるんだろうね
おそらく、位相に習熟している人は、開集合で考える方が慣れているような気がする

569 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 09:38:36.1 ]
[ここ壊れてます]

570 名前:8 ID:+PUkznvl.net mailto: >>495 補足
書いていて気付いたが
そういえば、小島本 P212からのスペクトル(Spec)でザリスキー位相を説明しているところ
wikipediaみたく閉集合で定義すればすっきりしていたんだ!
それを無理に開集合に直して解説しているから・・
小島本読んでて、「???」となったけど、これですっきり!(^^;
[]
[ここ壊れてます]



571 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 09:54:27.89 ID:+PUkznvl.net]
>>495 補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E4%BD%8D%E7%9B%B8
ザリスキー位相

これ、英文版の訳だが、熟れていないし、変なところが多い

例えば、下記

性質 抜粋
閉点は A の素であるに対応する。

Properties
The closed points correspond to maximal ideals of A.

<コメント>
素である→素イデアルと書こうしたんだろうが、誤変換。さらに、英ではmaximal idealsだから、極大イデアルが正解なんだよね・・

572 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 10:43:16.67 ID:+PUkznvl.net]
>>497 さらに補足

以前にも書いたが、日wikipediaで、左のEnglishのリンクをクリックすると、対応するその言語の記事に飛べる
だから、できるだけ英文記事をチェックするようにした方が良い。で、Zariski_topologyは下記URLなんだ
https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_topology

で、対訳検討を続ける

Just as in classical algebraic geometry, any spectrum or projective spectrum is compact, and if the ring in question is Noetherian then the space is a Noetherian space.
However, these facts are counterintuitive: we do not normally expect open sets, other than connected components, to be compact,
and for affine varieties (for example, Euclidean space) we do not even expect the space itself to be compact.


まさに古典代数幾何学のように、任意のスペクトルや射影スペクトルはコンパクトであり、問題にしている環がネーター的であれば、空間はネーター的な空間である。
しかし、これらの事実は、直感とは食い違い、連結空間であること以外に、開いた集合をコンパクトとすることを期待することはできなく、アフィン多様体(例えば、ユークリッド空間)に対しては、空間自体がコンパクトであることすら期待できない。

<コメント>
1.前半の文は、”to be compact”が、classical algebraic geometryの場合と違って、期待できないという。これは、ザリスキー位相では良く語られることではある。
  日文では、ここ、いまいち訳がこなれていない。開いた集合→開集合だし
つづく

573 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 10:45:10.25 ID:+PUkznvl.net]
つづき


This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.
Grothendieck solved this problem by defining the notion of properness of a scheme (actually, of a morphism of schemes),
which recovers the intuitive idea of compactness: Proj is proper, but Spec is not.


これは、ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。
グロタンディエクは、この問題をスキームの固有性(英語版)(properness)という考え方(実際、スキームの射)を定義することにより解決した。
この考え方は直感的なコンパクト性という考え方を再現する。
しかし、Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。

<コメント>
1.”ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。”は、もとの英文も悪い
  ”This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.”で、the geometric unsuitabilityは、in classical algebraic geometryを補わないとすんなり読めない
2.”Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。”は、proper=固有としているが、誤訳だろう。proper=適切じゃないかな
  で、Projは、英版では上の方でProjective varietiesという項目があるから、これ

574 名前:セろうと。が、日版だと、射影多様体とあるから、分かるうやつしか分からん
  Proj(Projective varieties(射影多様体))くらい補ってやると、サル(おいら)でも分かるとなるだろうさ
(recover→再現という訳も微妙(別の適切な表現がありそう)という気がする)
対訳検討おわり
[]
[ここ壊れてます]

575 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 10:52:18.77 ID:+PUkznvl.net]
>>497-499
申し遅れたが、ザリスキー位相の最初の和訳起こしをした人に敬意と感謝の意を表したい
最初に訳起こしをする人は大変なんだ

が、それをみんなが読んで、「おかしいね、こうした方が良い」という意見をみなが出すことも大事なんだ
それで、wikipediaの質が上がる

以前読んだときはさっぱり分からなかったが、小島本−海老原円本を読んだのでちょっと分かるようになった
そしたら、日版のザリスキー位相wikipediaの意味が通らないよーってところが指摘できるようになったんだ

576 名前:132人目の素数さん [2015/08/09(日) 10:57:37.16 ID:XfHjAtzY.net]
普通はハーツホーンとか読む
ウィキなんか知るかって態度が正解

577 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 10:59:11.89 ID:+PUkznvl.net]
>>498 訂正

前半の文は、→削除
(ここ、文字数オーバーで前半と後半とを別投稿にしたんだ。だから、削除すべきところが残ってしまったのだ)

578 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 11:30:48.34 ID:+PUkznvl.net]
>>501
どうも。スレ主です。
記念すべき500番目、祝!

>普通はハーツホーンとか読む
>ウィキなんか知るかって態度が正解

東大京大上位で、代数幾何志望ですか? ハーツホーンくらいすらすら読める、なら、正解でしょう
では、みなさんに聞きます。「ハーツホーンくらいすらすら読めるという人手を上げて〜」・・・、ほら、殆ど居ないでしょ

579 名前:132人目の素数さん [2015/08/09(日) 11:42:10.13 ID:h5MWz7Fz.net]
>>499
>2.”Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。”は、proper=固有としているが、誤訳だろう。proper=適切じゃないかな
ここでのproperは、固有性を満たすという意味で使っているので
固有と訳せばいいと思います。

>  で、Projは、英版では上の方でProjective varietiesという項目があるから、これだろうと。が、日版だと、射影多様体とあるから、分かるうやつしか分からん
>  Proj(Projective varieties(射影多様体))くらい補ってやると、サル(おいら)でも分かるとなるだろうさ
Projはprojective varietyの略という意味では無いですよ。
次数付き環に付随するスキームのことです。

580 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 12:01:36.37 ID:JN0ncp3e.net]
スレ主さんまたイデアルについて質問していい?



581 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:04:33.70 ID:+PUkznvl.net]
Hartshorne
1997版というけれど、496ページは手元の1st ed. 1977と変わらんじゃんか、おい
www.amazon.co.jp/Algebraic-Geometry-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387902449/
Algebraic Geometry Graduate Texts in Mathematics Hartshorne 1997
ハードカバー: 496ページ
出版社: Springer; 1st ed. 1977. Corr. 8th printing 1997版 (1997/4/1)

和訳があるのか?丸善出版 (2012/09)
読むなら、和英併読をお薦めする。どちらか一つなら英を

582 名前:132人目の素数さん [2015/08/09(日) 12:04:36.35 ID:XfHjAtzY.net]
ガロア理論のスレなのに
代数幾何の基本事項を
gdgdと書き連ねる

ああ運営乙

583 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:06:57.92 ID:+PUkznvl.net]
>>504
どうも。スレ主です。
レスありがとう
レベル高いですね〜
あとで確認しておきます(時間があれば)

584 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:08:22.45 ID:+PUkznvl.net]
>>505
質問良いよ
但し答えられるかどうか分からんけど
が、おいらが答えられないなら、だれか別の人が答えてくれるかもね

585 名前:132人目の素数さん [2015/08/09(日) 12:08:41.40 ID:XfHjAtzY.net]
このすれはほとんど母ちゃんの自演のようですね

586 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:12:59.53 ID:+PUkznvl.net]
>>507
>代数幾何の基本事項をgdgdと書き連ねる

>>479を読んだか?ブレストを知っているか?(下記)それに、運営なら逆効果のことはやらんだろうさ。ここはおいらのメモ帳なので、なんでも備忘録で書く。運営運営と粘着するあんたが運営と思っているのだが
www.d1.dion.ne.jp/~ppnet/prod083.htm
1,メンバーの発言への批判禁止

2,自由奔放な発言

3,質より量

587 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:14:35.12 ID:+PUkznvl.net]
>>510
おっちゃんの自演? おっちゃんは別人だよ

588 名前:くだらねえw [2015/08/09(日) 12:41:29.87 ID:XfHjAtzY.net]
【6:6】上杉謙信公がナチス党員だったら [転載禁止]©2ch.net
beチェック
1 名前:Ψ 2015/08/09(日) 12:16:52.67 ID:VOiXPYBB0
ユダヤ人に塩!


2 名前:Ψ :2015/08/09(日) 12:18:56.78 ID:pXRqO59x0
それは今川義元だろw

3 名前:Ψ :2015/08/09(日) 12:19:49.50 ID:b7aVxrNo0
>>1
それ、ナチズムいうよりシオニズムな 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:405b7f1af0f5a85b432d79fa769e9aeb)


589 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:46:39.67 ID:+PUkznvl.net]
>>506
1977版より引用
8 What Is Algebraic Geometry?
Now that we have met some algebraic varieties. and have encountered some
of the main concepts about them. it is appropriate to ask. what is this subject
all about? What are the important problems in the field, and where is it
going?
To define algebraic geometry, we could say that it is the study of the
solutions of systems of polynomial equations in an affine or projective
n-space. In other words, it is the study of algebraic varieties.

One caution about working in extreme generality. There are many advantages
to developing a theory in the most general context possible. In
the case of algebraic geometry there is no doubt that the introduction of
schemes has revolutionized the subject and has made possible tremendous
advances. On the other hand, the person who works with schemes has to
carry a considerable load of technical baggage with him: sheaves, abelian
categories, cohomology, spectral sequences, and so forth. Another more
serious difficulty is that some things which are always true for varieties may
110 longer be true. For example, an affine scheme need not have finite dimension,
even if its ring is noetherian. So our intuition must be supported
by a good knowledge of commutative algebra.
In this book we will develop the foundations of algebraic geometry using
the language of schemes, starting with the next chapter.
(引用おわり)

要は、”In this book we will develop the foundations of algebraic geometry using
the language of schemes, starting with the next chapter.”ってことか・・

590 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 12:54:24.05 ID:+PUkznvl.net]
>>513
どうも。スレ主です。
へー、面白いね。センスあるよね

ところで、Hartshorne 読み終わったから暇になって来たのか?
いや、そもそもHartshorne 読んだのか? 1977年版じゃ、古くないかい? 1997年版でも本質は1977だろ?
代数幾何を良く知らないが、1977年から発展してないのか?
グロタン先生いなくなって、発展が止まった?
意味わかんないんだよね、「普通はハーツホーンとか読む ウィキなんか知るかって態度が正解」という意味がさ



591 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 13:11:36.83 ID:+PUkznvl.net]
>>514 つづき

1977版より引用。Deligne (1974)のヴェイユ予想解決までは入っているんだね
Appendix C The Weil Conjectures
Theorem 4.5 (Deligne [3])略

This result completes the solution of the Weil conjectures. Note that it
implies that the polynomials ?j(t) of (4.2) are the same as those of (1.3

592 名前:), and
hence the two definitions of the Betti numbers agree.
We cannot describe the proof of Deligne's theorem here, except to say
that it relies on the deeper properties of I-adic cohomology developed in
[SGA 4J, [SGA 5J and [SGA 7]. In particular it makes use of Lefschetz's
technique of fibering a variety by a "Lefschetz pencil," and studying the
monodromy action on the cohomology near a singular fihre.

3. La conjecture de Weil, I, Publ. Math. IHES 43 (1974),273-307.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3
ヴェイユ予想(Weil conjectures)は、有限体上の代数多様体の上にある点を数えることから導出される(合同ゼータ函数として知られる)母函数についての、非常に広い範囲に影響のある提案で、Andre Weil (1949)によりなされた。
リーマン予想の類似はDeligne (1974)により証明された。

新しいホモロジー論を構成するというアレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)と彼の学派の仕事の中心的な目的を果たすことに、20年を要した。

グロタンディークは代数的サイクルの標準予想を基礎とした証明を展望した。(Kleiman 1968)
しかし、グロタンディークの標準予想は、未解決(ただし、ドリーニュによりヴェイユ予想を拡張することで証明された強レフシェッツ定理を除く)であり、
リーマン予想の類似は Deligne (1974)でエータル・コホモロジーを使うことにより、ドリーニュの独創的な議論により標準予想を使うことを避けて証明された。

Deligne (1980)ヴェイユ予想の一般化が証明され、層のプッシュフォワードのウェイトが有界であることが示された。
[]
[ここ壊れてます]

593 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 13:14:07.11 ID:+PUkznvl.net]
>>516
でもさ、1974以降の代数幾何の大きな発展ってないのかね?
繰り返すが、グロタン先生がいなくなって、発展が止まった?
そんなことないでしょうよ

だったらさ、「普通はハーツホーンとか読む ウィキなんか知るかって態度が正解」と言えるのかね?

594 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 13:20:36.68 ID:vwk+jiXm.net]
馬鹿だね、Hartshorneは代数幾何をやっていくための基礎みたいなもんだよ

595 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 13:25:39.71 ID:+PUkznvl.net]
>>517 つづき
お嫌いですか、en.wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry
Algebraic geometry
ontents

3 Computational algebraic geometry
3.1 Grobner basis
3.2 Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD)
3.3 Asymptotic complexity vs. practical efficiency
4 Abstract modern viewpoint
5 History
5.1 Prehistory: before the 16th century
5.2 Renaissance
5.3 19th and early 20th century
5.4 20th century
6 Analytic geometry
7 Applications
8 See also
9 Notes
10 Further reading
11 External links
History 20th century 1970以降抜粋
After a decade of rapid development the field stabilized in the 1970s, and new applications were made, both to number theory and to more classical geometric questions on algebraic varieties, singularities and moduli.

An important class of varieties, not easily understood directly from their defining equations, are the abelian varieties, which are the projective varieties whose points form an abelian group.
The prototypical examples are the elliptic curves, which have a rich theory. They were inst

596 名前:rumental in the proof of Fermat's last theorem and are also used in elliptic curve cryptography.

In parallel with the abstract trend of the algebraic geometry, which is concerned with general statements about varieties,
methods for effective computation with concretely-given varieties have also been developed, which lead to the new area of computational algebraic geometry.
One of the founding methods of this area is the theory of Grobner bases, introduced by Bruno Buchberger in 1965.
Another founding method, more specially devoted to real algebraic geometry, is the cylindrical algebraic decomposition, introduced by George E. Collins in 1973.
[]
[ここ壊れてます]

597 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/09(日) 13:29:12.65 ID:+PUkznvl.net]
>>518
数学科の全員が代数幾何専攻じゃないんだろ?
でも、代数幾何の講義があったりして
それでも、「普通はハーツホーンとか読む ウィキなんか知るかって態度が正解」と言えるのかね?
その”普通”はwell-defined

598 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 13:35:25.05 ID:vwk+jiXm.net]
代数幾何や数論幾何を真面目にやりたい人にとっての“普通”ってことだったんじゃないの

599 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 13:46:18.05 ID:vwk+jiXm.net]
ついでに、enyokoyamaの翻訳記事は誤訳がひどいからあてにしてはいけない

600 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 14:13:22.85 ID:lavyZ2ql.net]
・wikiなんて誰でも編集できる。
・「理論」と「命題の集合」の違いがわかる?wikiは理論の記述に向いていない。それは書籍の役割だ。
 そういうことがわかってないから正規部分群のようなことになる。



601 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/09(日) 19:46:32.36 ID:JN0ncp3e.net]
スレ主さん、イデアルの商について教えてください
I:Jって書くやつです

602 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 07:57:11.93 ID:4fDg4Ogv.net]
>>456 補足
おっちゃん、どうも。スレ主です。

>どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。

こんなサイトがあったので紹介しておきます
www5b.biglobe.ne.jp/sugi_m/page021.htm
数学の研究

 数学の研究途上で発見したオリジナルな結果について記しています。不明とされてきた奇数ゼータ特殊値を独自の手法
で見出しました。(ゼータの特殊値問題は現代数学の難題)
「ゼータ惑星」で2次体との関連を発見。2次体に付随するL(χ,s)の全ての特殊値を正確に求める方法(予想)を見出した。
 数学の巨人・佐藤郁郎氏が本結果を紹介して下さっています!
 「奇数ゼータと杉岡の公式」他--->コラム2003年,2004年,2006年,2007年,2008年,2009年
 「ゼータの香りの漂う式」、「作用素の定理」など---->コラム2010年、2011年、2012年

 独自の手法 テイラーシステム と フーリエシステムを開発。-->ゼータ系の彗星群
テイラーシステムとフーリエシステムは、超難問ゼータ特殊値をいとも簡単に出す強力な手法である。

本結果が研究者によって拡張されていくことを願っています。論文、Web等で引用された場合はお知らせください。
当サイトの結果が既に知られている場合はお知らせください。その旨を明記します。ご意見ご感想もお待ちしています。

■ゼータ系の彗星群 (2012/8/16更新) 
■ゼータ惑星 (2005/7/17更新) 
●その1〜その14までのまとめ (2004/2/7追加)               フローチャートにまとめた
●ゼータ関数のいくつかの点について その14 (2004/2/1追加)    奇数ゼータ、L関数、無理数性、問題
●ゼータ関数のいくつかの点について その13 (2004/1/10追加)    偶数L関数と奇数ゼータ、奇妙な現象
●ゼータ関数のいくつかの点について その12 (2003/12/20追加)   L関数、統一的法則、予想

603 名前:類似
●ゼータ関数のいくつかの点について その11 (2003/12/12追加)   中心母関数、予想
●ゼータ関数のいくつかの点について その10 (2003/11/25追加)   オイラー式との逆類似式
中略
●予想2の提示(2003/1/16更新)  ---ゼータ関数ζ()に関する予想------ 解決
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[ここ壊れてます]

604 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 07:59:10.72 ID:4fDg4Ogv.net]
つづき

www5b.biglobe.ne.jp/sugi_m/page113.htm
数学関連リンク集

homepage3.nifty.com/y_sugi/index.htm
■数学研究ノート   Sugimoto氏の数学研究の成果。ゼータ関数その他に関してじつに興味深い式を導出されている。
               ゼータの零点と素数分布、カオスの研究は圧巻!
www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm
■佐藤郁郎氏のサイト 日本最大の数学サイト。佐藤氏は”日本のオイラー”と言っても過言ではない。人間業とは
                思えないサイト。こんな天才的な人がいたのだ。私の結果も載せてもらい、感謝!

605 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 08:05:27.13 ID:4fDg4Ogv.net]
つづき

■佐藤郁郎氏のサイト より
www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1437_ki.htm
■クンマーの理想数
抜粋
扱う数の範囲を整数から,
  Z(√−5)={a+b√−5|a,bは整数}
にまで拡げると,
  6=2・3=(1+√−5)(1−√−5)
 2,3は素数ですし,
  1+√−5,1−√−5
はいずれも
  a+b√−5
のなかには±1と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です.
 このように,もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が2通り存在してしまう現象が起こります.Q(√d)の整数環A(ω)が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは,ディリクレでした.
 この状況に対して,これはまだ分解が足りないためだと考えることもできます.すなわち,2,3,1±√−5は素数でなく偽物の素数である,さらに究極の数α,β,γ,δがあって,
  2=αβ,3=γδ,1+√−5=αγ,1−√−5=βδ
となっていて,
  6=αβγδ
が6の素因数分解となるという考え方をクンマーの理想数の理論といいます.
 もちろん,α,β,γ,δはZ(√−5)の中には存在しません.素因数分解したときの素因数がすべて含まれている集合を考えるのです.
  {√2,(1+√−5)/√2,(1−√−5)/√2}
 これらが理想素元であって,
  6=2・3=√2・√2・(1+√−5)/√2・(1−√−5)/√2=αβγδ
  6=(1+√−5)(1−√−5)=√2・(1+√−5)/√2・√2・(1−√−5)/√2=αδβγ
が成り立ち,いまや6の素因数分解は一意的です.
  {√2,(1+√−5)/√2,(1−√−5)/√2}
を選んだのは一見場当たり的に思えますが,のちにイデアルが導入されるとこの選択はごく自然なものだったことがわかります.イデアルの世界に至れば,ただ1通りの素因数分解が成立するようになるのです.

606 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 08:09:49.01 ID:4fDg4Ogv.net]
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB
イデアル
歴史
抜粋
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。
歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。
イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。

現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。

A = 2R + (1 + √5 i )R,
B = 2R + (1 - √5 i )R,
C = 3R + (1 + √5 i )R,
D = 3R + (1 - √5 i )R

とすれば、

6R = A × B × C × D

であり、

2R = A × B,
3R = C × D,
(1 + √5 i )R = A × C,
(1 - √5 i )R = B × D,



607 名前:キなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。

また、現代の環論では 2, 3, 1 + √5 i, 1 - √5 i はそもそも R における 6 の素因数ではない。これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p ?進体の理論にも継承されている。
[]
[ここ壊れてます]

608 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 08:21:37.15 ID:4fDg4Ogv.net]
>>524
どうも。スレ主です。

イデアルの商は、詳しくないのでよくわかりません
イデアル商、剰余環(商環)、分数イデアル、可逆イデアルと紛らわしい用語がたくさんあるね
こういうときは、しっかり区別して覚えることが大事だ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E5%95%86
抜粋
抽象代数学において、I と J が可換環 R のイデアルのとき、それらの イデアル商(英: ideal quotient) (I : J) とは集合

(I : J) = {r ∈ R | rJ ⊂ I}

である。すると (I : J) も R のイデアルである。イデアル商は商と見ることができる、なぜならば IJ ⊂ K であることと I ⊂ K : J であることが同値だからだ。イデアル商は準素分解の計算に役立つ。また代数幾何において差集合の記述で現れる(下記参照)。

(I : J) はその表記により コロンイデアル(colon ideal)と呼ばれることがある。分数イデアルの文脈では、分数イデアルのインバースに関連した概念がある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB
抜粋
イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環(商環)の構成にも用いられる、この点において群論で剰余群(商群)の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。

必ずしも環の中で閉じているわけではないが、「イデアル」と呼ばれる重要な例を二つ挙げる。詳細はそれぞれの項を参照。

・分数イデアル: 通常は R が商体 K を持つ可換整域である場合に定義される。名前が示唆する通り、分数イデアル (fractional ideal ) は K の特別な性質を持つ R ?部分加群である。分数イデアルが完全に R に含まれる時には、真に R のイデアルを成す。
・可逆イデアル: 通常は、可逆イデアル (invertible ideal ) A は分数イデアルであって、別の分数イデアル B で AB = BA = R を満たすものが取れるものと定義される。
文献によっては、R が整域ではなく一般の環で、通常のイデアル A, B が AB = BA = R を満たすときに、「可逆イデアル」と言う呼称を用いるものがある。

609 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 08:44:16.96 ID:4fDg4Ogv.net]
>>521-522
どうも。スレ主です。
まとめレスご容赦

1.ハーツホーンの代数幾何について:
  証明が省略されているという批判があると聞いたけど、ハーツホーンながめて(>>514など)、証明が省略されていることが礼賛の要因の一つかなと思った
  つまり、「ここらの細かい証明は飛ばして先に進もう」精神かなと。それで、一度最後まで読んで下さいと。証明知りたい人はEGAへと
  なるほどと納得した次第
2.wikipediaについて:
  「wikiなんて誰でも編集できるから・・」という批判は、wikipedia発足当初からあった。でも、wikipediaはクラウドなんだよね。そこがキモだな
  昔ブリタニカや岩波数学辞典が珍重された。でも、いま英語版含むwikipediaは便利だよね。内容豊富で新しいし
  (ブリタニカや岩波数学辞典は、紙面制約があり時間的にタイムラグ大なんだ)
3.wikiは理論の記述に向いていない。それは書籍の役割だ:
  「昔ブリタニカや岩波数学辞典が珍重された」という事実。つまり、現代では辞書を使わず英語を学習する人はいない。おそらく数学も同じだろう
  wikipediaいやなら、別のオンライン数学辞書も有るよ。たまに読み比べるが、だいたいwikipediaの方が内容豊富で充実していると感じる。クラウドだからだろうね

余談だが、正規部分群より共役変換が分かってなかったんだね。共役変換がきちんと消化できてなかったんだ。共役変換が分かったら、正規部分群もすっきりしました。はい

610 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 08:57:49.50 ID:4fDg4Ogv.net]
>>527 補足

■佐藤郁郎氏のサイト より
www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1437_ki.htm
■クンマーの理想数
つづき

【2】類体論

 2次体における素数の分解

  Q(i),Q(√−2),Q(√2),Q(√−3),Q(√3)

はいずれも類数が1であって,これらの体の整数環は一意分解整域となります.したがって,素数は素イデアルの積としてただ1通りに表されます.

 それに対して,Q(√−5)やQ(√−6)は類数が2であり,Z(√−5)やZ(√−6)は一意分解とは限らないことを意味しています.

  6=2・3=(1+√−5)(1−√−5)



611 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 09:02:04.84 ID:YNbcLEHA.net]
ユークリッド環が単項イデアル整域になる証明がいまいちわかりません
わかりやすく解説してくれませんか?

612 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 10:13:57.48 ID:4fDg4Ogv.net]
そんな難しいことを聞かれても分からんよ、正直(^^;

613 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 10:15:54.19 ID:YNbcLEHA.net]
いやいやwご謙遜をw

614 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 10:21:26.25 ID:4fDg4Ogv.net]
ユークリッド環とは?
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0
数学の特に抽象代数学および環論におけるユークリッド整域あるいはユークリッド環とは、「ユークリッド写像(次数写像)」とも呼ばれるある種の構造を備えた環で、そこではユークリッドの互除法を適当に一般化したものが行える。
この一般化された互除法は整数に対するもともとの互除法アルゴリズムとほとんどど同じ形で行うことができ、任意のユークリッド環において二元の最大公約数を求めるのに適用できる。
特に、任意の二元に対してそれらの最大公約数は存在し、それら二元の線型結合として書き表される(ベズー恒等式)。
また、ユークリッド環の任意のイデアルは主イデアル(つまり、単項生成)であり、したがって算術の基本定理の適当な一般化が成立する。すなわち、任意のユークリッド環は一意分解環である。

ユークリッド環のクラスをより大きな主イデアル環 (PID) のクラスと比較することには大いに意味がある。
勝手な PID はユークリッド環(あるいは実際には有理整数環を考えるので十分だが)と多くの「構造的性質」を共有しているが、しかしユークリッド環には明示的に与えられるユークリッド写像から得られる具体性があるのでアルゴリズム的な応用に有用である。
特に、有理整数環や体上一変数の任意の多項式環が容易に計算可能なユークリッド写像を持つユークリッド環となることは、計算代数において基本的に重要な事実である。

そういったことから、整域 R が与えられたとき、R がユークリッド写像を持つことがわかるとしばしば非常に便利なのである。
特に、そのとき R が PID であることが分かるが、しかし一般にはユークリッド写像の存在が「明らか」でないときに R が PID かどうかを決定する問題は、それがユークリッド環であるかどうかの決定よりも容易である。

可換環 ⊃ 整域 ⊃ 正規環 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E6%95%B4%E5%9F%9F
代数学において単項イデアル整域(主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID)あるいは主環とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような(可換)整域のことである。

615 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 10:28:48.40 ID:4fDg4Ogv.net]
つづき
ああ、この性質”整域 R とその上のユークリッド函数 f について””R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ? {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される[12]。”か
[12]^ Fraleigh & Katz (1967), p. 377, Theorem 7.4 だと
まあ、URL原文と、[訳語疑問点]とあるから英文版と、[12]の文献か類似文献、それに例があがっているから、例を考えてみたらどうですか?
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0
性質
整域 R とその上のユークリッド函数 f について:
R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ? {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される[12]。
ここから R が一意分解環かつネーター環でもあることが帰結される。
一般の主イデアル整域に比べ、分解の存在性(つまり R が分解不能整域[訳語疑問点] (atomic domain) であること)は、ユークリッド環の場合には特に容易に示せる。
ユークリッド函数 f を (EF2) を満たすように取り、x は f(x) 個よりも多くの非単元因子に分解できないものとして、x から繰り返し既約因子に分解していけば、必ず既約元への分解が得られる。

616 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 10:31:42.59 ID:YNbcLEHA.net]
>ああ、この性質”整域 R とその上のユークリッド函数 f について””R は主イデアル整域を成す。実は、I が R の非零イデアルならば、I ? {0} の各元 a のうち f(a) が最小となるもので I は生成される[12]。”か

そうです。ここがわからないんです。なんでこういう性質になるんですかね。

617 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/13(木) 10:37:54.92 ID:4fDg4Ogv.net]
>>527-528 補足

>>527
α=β=√2、γ=(1+√−5)/√2、δ=(1−√−5)/√2
だな

ところで、>>528から
A = 2R + (1 + √5 i )R vs √2
B = 2R + (1 - √5 i )R, vs √2
C = 3R + (1 + √5 i )R, vs (1+√−5)/√2
D = 3R + (1 - √5 i )R vs (1−√−5)/√2

となるんだろうね・・・

618 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 11:02:53.88 ID:HolOcI9x.net]
>>537(>>532)
Rをユークリッド整域とする。Rの零元を0で表わす。RのI≠(0)なるイデアルIを任意に取る。
Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
b∈Iを任意に固定する。Rはユークリッド整域であり、Nは自然数全体だから、
ユークリッド整域の定義から、両方共に或るq,r∈Rが存在してb=qa+r、r≠0またはδ(r)<δ(a)。
しかし、r≠0とするとδ(r)<δ(a)となり、r=b-qa∈Iだから、δ(a),a∈I\{0}が最小と仮定したことに反する。
従って、r=0であって、δ(r)は定義されず、b=qa+r=qa+0=qaを得る。
aが生成する単項イデアル(a)は両側イデアルで、qa∈(a)だから、b∈(a)。
Iの元bは任意だったから、I⊂(a)。ここで、仮定から、I⊃(a)。従って、I=(a)。
RのI≠(0)なるイデアルIは任意に取っていたから、Rの任意のイデアルは単項イデアルである。
従って、定義から、ユークリッド整域は単項イデアル整域である。

619 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 11:46:18.61 ID:YNbcLEHA.net]
>Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。

これは、こう仮定しても一般性は失われないってことですよね?
なんでこんなふうに写像をとるのか意味がわからなかったんですが。

自分の本もここまで丁寧に解説してくれると助かるんですけどねぇ・・・
でも、ありがとうございました。なんとなくわかったかもです^^

620 名前:132人目の素数さん [2015/08/13(木) 11:54:04.19 ID:1z8vHQ0i.net]
この程度の奴でも数学やるんだな



621 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 11:56:48.76 ID:YNbcLEHA.net]
^^;
サーセンww

622 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/13(木) 14:59:55.95 ID:xBgmYnaS.net]
>>533
代数入門の必須内容を難しいと思うということは、代数入門をすっ飛ばしていきなりガロア理論やったの?

623 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/14(金) 00:40:43.93 ID:d8aNhaKp.net]
何も分かってなくてもコピペくらいならできるからな

624 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/15(土) 09:43:49.92 ID:oFhU3AyR.net]
土曜日なのにスレ主さんが来ない・・・

625 名前:132人目の素数さん [2015/08/15(土) 20:02:55.88 ID:n1b9UPzl.net]
コピペの始まりは、土日の始まり

626 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 20:08:20.67 ID:BibK/cXU.net]
>>545
どうも。スレ主です。
旅に出ていました。はい

627 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 20:20:59.92 ID:BibK/cXU.net]
>>543-544
サーセンww(^^:

難しいというより、ユークリッド環は初耳
つーか、環論あまりやってないってのが正直な話です
これから勉強します、はい

でもね。「代数入門の必須内容」の定理は未証明では。だから、ID:xBgmYnaS予想。でも、容易に反例が見つかりそうですね(「代数入門」でユークリッド環を扱っていない本が一つあれば良いのだから)
だから、「代数入門をすっ飛ばして」ではないんだよね。かつ、代数方程式のガロア理論には、ユークリッド環は必須ではないと思うのだが

>何も分かってなくてもコピペくらいならできるからな

この定理はトリビアル(ほぼ自明)
だが、ある話題Aに対して、あるコピペBをしたときに、1)コピペBが適切かどうか 2)2KB制限の中でURLなどから適切に抜粋されているか
そこらが、コピペする人のセンスが出るんだよね

628 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 20:41:01.88 ID:BibK/cXU.net]
>>541-542

kotowaza-allguide.com/ki/kikanuwaissyounohaji.html
聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥 - 故事ことわざ辞典
(引用おわり)

むかーし読んだ話で、外国(米?)の大学では、結構初歩的な質問でもどうどうとするとか。教える側も丁寧に教えるとか
グロタン先生も、結構初歩的な質問をして、おまいら答える義務があるという態度だったとか
これも米だったと思うが、ある質問魔の学生がいて、それがぐんぐん伸びて立派な数学研究者になったとか
読んだ記憶がある

実際質問すると、記憶に残るし
質問に教えてあげると、もっと記憶に残るんだ(^^;

629 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 21:00:29.87 ID:BibK/cXU.net]
>>454>>472
www.amazon.co.jp/gp/product/4163902805?redirect=true&ref_=s9_newr_co_d76_g14_i6
数学の大統一に挑む 単行本 ? 2015/7/13 エドワード・フレンケル (著), 青木 薫 (翻訳)

これ、旅の行き帰りに読みました
面白かったです
全体的にめちゃ面白い。おすすめです

が、一点おかしいところがある
P188『「層」という一九八〇年代に発見された数学』
P188「層は、一九八〇年代にウラディーミル・ドリンフェルトによって提唱された概念である。」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%92%E6%9C%A8%E8%96%AB
青木 薫(あおき かおる、女性、1956年 - )は、翻訳家。
山形県生まれ。京都大学理学部卒業、1984年同大学院博士課程修了、「原子核間ポテンシャルのパリティ依存性及び角運動量依存性に関する微視的研究」で理学博士。
専門は理論物理学。2007年度日本数学会出版賞受賞。

630 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 21:11:21.05 ID:BibK/cXU.net]
>>550 つづき
ところで
P383『父はこれまでの話を読んで、「内容を詰め込みすぎだ」と言った。』

「確かに本章では、ヒッチン・モジュライ空間、ミラー対称性、Aブレーン、Bブレーン、保型層といった概念が登場した。」

著者エドワード・フレンケルの父って・・・、なにものだ・・・



631 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 21:18:04.33 ID:BibK/cXU.net]
>>551 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Frenkel
Edward Frenkel

Mathematical work

Jointly with Boris Feigin, Frenkel constructed the free field realizations of affine Kac?Moody algebras (these are also known as Wakimoto modules),
defined the quantum Drinfeld-Sokolov reduction, and described the center of the universal enveloping a

632 名前:lgebra of an affine Kac?Moody algebra.
The last result, often referred to as Feigin?Frenkel isomorphism, has been used by Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld in their work on the geometric Langlands correspondence.
Together with Nicolai Reshetikhin, Frenkel introduced deformations of W-algebras and q-characters of representations of quantum affine algebras.

Frenkel's recent work has focused on the Langlands program and its connections to representation theory, integrable systems, geometry, and physics.
Together with Dennis Gaitsgory and Kari Vilonen, he has proved the geometric Langlands conjecture for GL(n).
His joint work with Robert Langlands and Ngo B?o Chau suggested a new approach to the functoriality of automorphic representations and trace formulas.
He has also been investigating (in particular, in a joint work with Edward Witten) connections between the geometric Langlands correspondence and dualities in quantum field theory.
つづく
[]
[ここ壊れてます]

633 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 21:24:53.16 ID:BibK/cXU.net]
>>552 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Frenkel
Edward Frenkel

Love and Math: A Mathematical Memoir

Frenkel's book Love and Math: The Heart of Hidden Reality was published in October 2013.[2]
It was a New York Times bestseller[11] was named one of the Best Books of 2013 by Amazon and iBooks, and was the 2015 winner of the Euler Book Prize.[12]

In a review published in The New York Review of Books,
Jim Holt called Love and Math a "winsome new memoir" which is "three things: a Platonic love letter to mathematics; an attempt to give the layman some idea of its most magnificent drama-in-progress;
and an autobiographical account, by turns inspiring and droll, of how the author himself came to be a leading player in that drama.”[13]

The New York Times review called the book "powerful, passionate and inspiring."[14]

Keith Devlin wrote in The Huffington Post: “With every page, I found my mind's eye conjuring up a fictional image of the book's author,
writing by candlelight in the depths of the Siberian winter like Omar Sharif's Doctor Zhivago in the David Lean movie adaptation of Pasternak's famous novel.
Love and Math is Edward Frenkel's Lara poems... As is true for all the great Russian novels,
you will find in Frenkel's tale that one person's individual story of love and overcoming adversity provides both a penetrating lens on society and a revealing mirror into the human mind.”[15]
抜粋おわり

634 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 21:27:05.73 ID:BibK/cXU.net]
>>553
"It was a New York Times bestseller[11] was named one of the Best Books of 2013 by Amazon and iBooks, and was the 2015 winner of the Euler Book Prize.[12]"
か・・・
こんな難しい本がね〜

635 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/15(土) 22:32:46.71 ID:CRUPVEKQ.net]
初耳だから容易に反例が見つかると?頭悪すぎ

636 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 22:33:02.39 ID:BibK/cXU.net]
新スレ立てたので、あとはこちらで

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/

637 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 22:33:57.21 ID:BibK/cXU.net]
>>555
自分の持っている本が全てだと思っているのか?

638 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 22:59:18.47 ID:BibK/cXU.net]
>>539
どうも。スレ主です。

類似の証明が落ちていました・・
d.hatena.ne.jp/corollary/20130126/p2
corollaryの数学日記 <[代数学] ユークリッド整域 (ユ... | [代数学] 単項イデアル整域>
01-26-2013 単項イデアル整域

■[代数学] ユークリッド整域 ⇒ 単項イデアル整域

Rをユークリッド整域、I ≠ (0)をRのイデアルとし、Iの0でない元aをφ(a)が最小となるようにとる。

b∈ Iを任意にとる。

仮定よりRはユークリッド整域なので

b=aq+r
r≠ 0またはφ(r) < φ(a)

を満たすq,r∈ Rが存在する。

ここでr≠ 0とすると、φ(r) < φ(a)となるが、これはr=b-aq ∈Iよりaの最小性に反する。

従って、r=0である。

よって、b=aq∈(a)となり、I=(a)が示せた。

代数系入門
作者: 松坂和夫
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 1976/05/27

639 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 23:03:42.63 ID:BibK/cXU.net]
>>558 つづき

”b=aq+r
r≠ 0またはφ(r) < φ(a)”

ここね

”b=aq+r
r=0 またはr≠ 0かつφ(r) < φ(a)”
が正解じゃないでしょうか?(>>539に同じ)

640 名前:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2015/08/15(土) 23:04:22.10 ID:BibK/cXU.net]
あとは新スレで



641 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2015/08/15(土) 23:14:01.49 ID:l5BiiSrC.net]
>>558

君が自分の主張を正当化したいなら、その証明が乗ってない代数入門書を探しなさい

>>559
これだから教養の無い人は困る
φの定義を確認しなさい

642 名前:『佳子様』の『秘密』を『暴露』 mailto:age [2015/08/20(木) 21:59:16.84 ID:2mI8wqKu.net]
.
Σ(Д・;)"プチエンジェル事件"!(小学生売春事件)
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼
プチエンジェル事件に隠された日本の闇を暴露する!

■実は、『女性皇族』の『男遊び』と、
 女性皇族がおこなったハニートラップだった!!

■その『男遊び』と『トラップ』を誤魔化す為の、
『プチエンジェル事件』が真相だったのだ!!

■闇に包まれた真相を、私が『暴露』する!!

※知る覚悟はできていますか?
下記を『Google』か『Yahoo』で検索して下さい。

+++++++++++++++++++++++++++++++++
検索⇒『佳子様 真子さま kare氏』
+++++++++++++++++++++++++++++++++

※上記で検索しますと、1ページ目の5番目以内に、

〔懇約】秋條宮家の佳子様と・・・・・・・
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑が表示されます。

※世の中、知らない方が良い事もあるんです・・・。
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
http://matome.naver.jp/odai/2143960880970769001
.

643 名前:132人目の素数さん [2015/08/20(木) 22:01:21.91 ID:dzi0fD1q.net]
土日はまだだよ

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