- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板 トップ > 科学 > 数学
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/07(木) 11:41:28.21 .net]
- ｷｬｽﾌｨｰから....
〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
等号成立は A=B=C=1.
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/15(金) 01:38:28.47 .net]
- 幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ
- 101 名前：ななし mailto:sage [2013/11/15(金) 15:47:56.27 .net]
- ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２ の じゅー さんへ。
まづはWEBで....
「一般化固有値問題」（明治大）
www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html
「極値としての固有値」（東京大）
www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf
「§１固有値問題」（早稲田大）
www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf
「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf
- 102 名前：ななし mailto:sage [2013/11/21(木) 00:38:50.46 .net]
- 同スレから....
(2) a,b,c >0 のとき
(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
等号成立は a=b=c
(6) x,y,z >0 のとき
xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126～133
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/21(木) 01:47:49.32 .net]
- ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch で ｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？
- 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/24(日) 14:28:07.16 .net]
- >>99
〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/24(日) 20:20:27.12 .net]
- >>99
〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/26(火) 20:40:41.50 .net]
- >>99 (6)
yはxとzの中間にあるとしてよい。
(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。
註) z+x > Max(x,z) > 0, y ≧ min(x,z) > 0, を辺々掛けた。
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/19(木) 20:54:29.76 .net]
- >>99
(1)
a,b,cは相異なる正の実数とする。
ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。
(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/26(木) 01:23:03.85 .net]
- |Aut(L/K)|≦[
- 109 名前：L:K] []
- [ここ壊れてます]
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/02(木) 01:31:00.06 .net]
- >>104 (1)
x>0 のとき
2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
= t/sinh(t)
≦ 1,
より
√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
- 111 名前：１３２人目の素数さん [2014/01/05(日) 07:45:41.88 .net]
- ↓の不等式うまい方法あるかな ？
a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）
- 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/05(日) 11:44:03.96 .net]
- 別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/18(土) 19:41:47.51 .net]
- 〔問題158〕
a,b,c >0,
aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/19(日) 12:23:09.17 .net]
- 〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/19(日) 20:56:00.76 .net]
- >>109
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。
>>110
1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/04(火) 00:05:10.49 .net]
- x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？
普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)
きれいな解法求む。
- 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/05(水) 21:27:47.56 .net]
- >>112
xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,
1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,
最大は q = (√2 - 1)^2 のとき
最小は q = (√2 + 1)^2 のとき
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/05(水) 21:29:49.64 .net]
- 入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）
[1]
|z+1/2| < 1/2 のとき
|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)
[2]
xx+yy+zz=1 のとき
(1) (x-y)(y-z)(z-x)
(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)
[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)
[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)
ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170
- 119 名前：ななし mailto:sage [2014/02/05(水) 21:50:26.43 .net]
- >>114 [3]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴ 3 ≦ s < 4,
4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
≧ 0,
ここに
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)
- 120 名前：ななし mailto:sage [2014/02/07(金) 20:38:22.91 .net]
- >>114
[1] zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴ |1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
< 1 + |z|^2
< √(1+3|z|^2)
- 121 名前：
< √{1 -(z+z~) +zz~}
= √{(1-z)(1-z~)}
= |1-z|,
[2] (1) x≦y≦z とする。
(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2,
等号は y=(x+z)/2 のとき。
∴ (x-z)^2 = 2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2}
≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2}
= 2{1 - (3/4)(x+z)^2}
≦ 2,
等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2)
(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2,
下限も同様に
[4] 軸を45ﾟ回す。
u = (x+y)/√2, v = (x-y)/√2,
与式は
(uu+vv)^2 - 2uv = 0,
ここで、du/dv=0, とおくと、
2v(uu+vv) -u = 0,
u = 8v^3 = (√3)v,
(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8})
2(uu+vv) = u/v = √3, [] - [ここ壊れてます]
- 122 名前：ななし mailto:sage [2014/02/07(金) 21:06:57.69 .net]
- >>114 [4]
連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....
- 123 名前：ななし mailto:sage [2014/02/09(日) 18:15:15.66 .net]
- >>115
出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”
Schur不等式にもそのまま言えそう...
- 124 名前：115 mailto:sage [2014/02/11(火) 22:14:41.65 .net]
- >>118
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0 （じゅー）
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/11(火) 23:21:48.73 .net]
- x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)
結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/12(水) 22:54:44.26 .net]
- 過去問でつが……
〔問題908〕
正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),
2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964
- 127 名前：１３２人目の素数さん [2014/02/15(土) 12:56:22.22 .net]
- 120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/16(日) 15:57:03.91 .net]
- >>121
(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
S = aaa + bbb + ccc,
p = aab + bbc + cca,
q = abb + bcc + caa,
(左辺) = (S+p+q)^2
≧ 9(Spq)^(2/3)
≧ 9(SS･27SU)^(1/3) (← 補題)
= 27Su,
ここに
S = aaa + bbb + ccc,
T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
U = u^3 = (abc)^3,
〔補題〕
pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
(略証)
pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
= T + uS + 3uu
≧ 3(3STU)^(1/3)
≧ 3√(3SU), {← T≧√(3SU)}
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/16(日) 16:05:17.43 .net]
- >>123
〔補題〕
pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),
(略証)
pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
= T + uS + 3uu
≧ T + 2√(3SU)
≧ 3√(3SU), {← T≧√(3SU)}
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/17(月) 18:51:56.53 .net]
- >>112-113
0 < k ≦ (√2 + 1),
極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
下限は q → -∞ のとき
- 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/17(月) 23:49:38.94 .net]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/20(木) 20:58:32.81 .net]
- 〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179
- 133 名前：ななし mailto:sage [2014/02/20(木) 21:12:45.27 .net]
- >>127
Easy の方は
(左辺)－(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...
- 134 名前：ななし mailto:sage [2014/02/21(金) 19:15:17.77 .net]
- >>127
x+y+z = s,
xy+yz+zx = t,
xyz = u,
とおくと Hard の方は
(左辺)－(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s
- 135 名前：-1)
= (ss-4t) +2(u-1) +2s -3
= {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3
= {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s
≧ 0, （天ぷら）
ここに
F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
= sss -4st +9u ≧ 0, （Schur） [] - [ここ壊れてます]
- 136 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/01(土) 10:21:13.88 .net]
- 今年の不等式関連の入試問題
nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/tohoku/zenki/sugaku_ri/images/mon6_1.gif
nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/images/mon2_1.gif
nyushi.nikkei.co.jp/honshi/14/gi1-22p.pdf
- 137 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/01(土) 10:28:30.65 .net]
- 数オリ
www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg
www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/01(土) 12:30:14.33 .net]
- ∧＿∧
( ;´∀｀) ＜興奮してきた…
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/01(土) 18:40:56.44 .net]
- >>131 (2014年JMO本選)
〔問題5.〕
不等式
a/{1+9bc+4(b-c)^2} + b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/03(月) 02:35:18.55 .net]
- >>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/05(水) 21:41:46.78 .net]
- >>133
a+b+c=s のとき、コーシーにより、
{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
≧ ss/(2sss) (← Schur)
= 1/(2s), (じゅー)
- 142 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/09(日) 23:29:23.76 .net]
- この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/10(月) 01:21:57.02 .net]
- 知らんがなｗ
- 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/10(月) 01:30:38.44 .net]
- 自己紹介乙！
- 145 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/10(月) 08:24:33.61 .net]
- 阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな
- 146 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/11(火) 04:31:34.09 .net]
- この人
https://twitter.com/yjjswm
- 147 名前：prime_132 mailto:sage [2014/03/15(土) 21:42:02.66 .net]
- いちょう祭が楽しみ...♪
ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒 だが何か？
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 22:14:50.71 .net]
- >>136-141
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/
へ ﾄﾞｿﾞｰ
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/17(月) 23:38:33.45 .net]
- a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 23:49:29.60 .net]
- >>114 [3] の類題？
>>115
- 151 名前：ななし mailto:sage [2014/03/24(月) 20:20:36.02 .net]
- >>143
s,t,u を >>115 のようにおく。
t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴ 3 ≦ t < 4,
s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
≧ 0, (← s≧√(3t)≧3)
ここに
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 01:38:18.83 .net]
- >>120
相加-相乗平均
axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),
係数を比べて、
aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617
casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/ [181]
- 153 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/01(火) 22:21:02.29 .net]
- 正数x,y,zが
- 154 名前：xyz = 1 のとき
x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0
って成り立ちますか？ [] - [ここ壊れてます]
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/02(水) 09:59:59.81 .net]
- ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。
- 156 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/05(土) 21:17:36.82 .net]
- 正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき
n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))
が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう
- 157 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:05:40.74 .net]
- (a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ
- 158 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:26:10.23 .net]
- 頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/07(月) 22:52:36.08 .net]
- a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 01:07:10.40 .net]
- 〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),
//twitter.com/Inequalitybot/ [196]
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 11:15:48.14 .net]
- sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:45:13.02 .net]
- √2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:05:01.23 .net]
- 2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。
この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,
√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
ぬるぽ
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:24:20.18 .net]
- >>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
≦ (n-1)G_(n-1) + a, (←相乗･相加平均)
辺々引く。
ぬるぽ
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 04:15:33.55 .net]
- >>114-116
[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]
https://twitter.com/Inequalitybot/
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/07(水) 00:25:04.63 .net]
- >>143-145
(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,
//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] ～172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]
- 167 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:26:52.73 .net]
- > 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.
ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。
定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
- 168 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:27:39.56 .net]
- > 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.
ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。
定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
- 169 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/13(火) 05:50:13.76 .net]
- ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。
定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2
ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (
- 170 名前：3項巡回和)
U = abc [] - [ここ壊れてます]
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/28(水) 03:56:36.47 .net]
- B4638、B4640、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201405&t=mat&l=en
A616、B4626、B4628、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201404&t=mat&l=en
B4620、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201403&t=mat&l=en
A609、B4606、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201402&t=mat&l=en
A605、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201401&t=mat&l=en
B4585、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201312&t=mat&l=en
A593、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201309&t=mat&l=en
C1168、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201304&t=mat&l=en
＿| ::|＿
￣| ::|／| ┌──┐
| ::| | .┌──┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
|文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ）
|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:34:45.87 ID:7o1BupPuA]
- C.1168
Prove that a√(1-bb) + b√(1-aa) ≦ 1,
(略解)
相乗-相加平均から
a√(1-bb) ≦ {aa+(1-bb)}/2,
b√(1-aa) ≦ {(1-aa)+bb)/2,
辺々たす。
あるいは
(左辺)^2 + {ab - √[(1-aa)(1-bb)]}^2 = 1,
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:51:50.47 ID:7o1BupPuA]
- C.1168
三角函数とかは、おくび（曖）にも出さないこと。
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 23:02:24.42 ID:7o1BupPuA]
- [104]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, (a-b)(b-c)(c-a)=⊿ とおく。このとき
(ss-2t)^2 - t^2 ≧（3√3 /2)|⊿|s
を示せ。
(CbM)改 ☆9
//twitter.com/Inequalitybot/ [104]
//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 196～198
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/23(月) 22:50:07.63 ID:AzExtY9jm]
- B.4626
Prove that (1+a)^4･(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2 for all a,b≧0.
(略証)
相加-相乗平均より
(1+a)(1+b) = (1+ab) + (a+b)
≧ 2√(ab) + (a+b)
≧ 2(4ab)^(1/4)･√(a+b),
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/26(木) 06:32:02.80 ID:h4WLeUXAQ]
- >>166
s≧0, t≧0 が抜けてました。
(左辺) = (ss-t)(ss-3t)
≧ {ss+(ss-3t)}/2・(ss-3t)
≧ s(ss-3t)^(3/2),
なので
(ss-3t)^3 ≧ (27/4)⊿⊿
を示せばOK
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 02:17:03.22 .net]
- 不等式の本が出たな。受験生向けだが… ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 23:17:34.18 .net]
- >>169
ジュンク堂にあったので買ってきた。
大学入試問題から題材を取っているので、
このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、
考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。
おすすめ。
>>2 に追加
[9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013
- 179 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/06(日) 07:21:38.15 .net]
- > このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど
目新しいものがほしい人には、
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
の定理2.4.1c～命題2.4.1f はいかがですか。
なお >162, 163の定理2.4.1a, bは命題2.4.1g, hに変更して証明も変えました。
- 180 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 02:05:03.70 .net]
- 質問なんだが立体の一つの頂点に集まる角度の総和が360ﾟ未満ってどう証明したらいい?
例えば立方体だと90+90+90=270
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 02:27:21.66 .net]
- d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 03:03:40.58 .net]
- >>172
d.hatena.ne.jp/nurs/20130515/1368627894
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
- 183 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 04:04:17.35 .net]
- すまん、読んでみたけど…
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/17(木) 04:15:21.56 .net]
- ガウスボンネの定理の言い換え。
- 185 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/17(木) 04:21:50.42 .net]
- リーマンの不等式、またの名をリーマンの半分age
- 186 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2014/07/17(木) 05:30:15.28 .net]
- 狸
>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 14:46:29.19 .net]
- 分数の不等式とかを証明するときに、項ごとに評価してそれらを加えたらできた！ってのを見たことがあるけど、
そんなやりかたで証明するときって、どうやって気づくんだろうか？
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 15:42:29.18 .net]
- >>179
isolated fudgingならここの説明がわかりやすいかと
mathtrain.jp/fudging
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 16:09:13.94 .net]
- >>180
おおー、ありがとうございます。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 19:00:16.94 .net]
- 同次と斉次の違い、使い分けとかあるんです蟹？
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/02(土) 11:05:59.45 .net]
- 0<x<pi/4 で x+0.5x^3>tan(x) を言うにはどうすればいいでしょうか
- 192 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/10(日) 23:37:22.74 .net]
- 関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f’’(x)をもち，
区間0 ≦ x ≦ 1において， f(x)>0, ｛f’(x)｝＾2 ≦ f(x)f’’(x) ≦ 2 ｛f’(x)｝＾2 を満たしている
f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．
(1)f ( 1／2 ) ≦ （a+b）／2
(2)f ( 1／3 ) ≦ （a^2b）＾（1／3）
(3)f ( 1／4 ) ≧ （4ab）／（a+3b）
(4)∫［0^1］f(x) dx ≦ （a／4）+（√ab／2）+（b／4）
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/11(月) 10:31:55.72 .net]
- おもしろそう！
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/11(月) 10:35:16.82 .net]
- 悪代官「わしは、何より不等式が好きでの」
越後屋「あはは、不等式はかの色に限りますなあ」
悪代官「はてさて、かの色とな？」
越後屋「今回はかように取り揃えました」
悪代官「ほー、今回はまた一段と」
越後屋「お目に叶ってなによりでｗｗｗｗｗ」
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 02:57:28.50 .net]
- x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3yz+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 17:46:52.02 .net]
- >>187
x=z=1/yを満たすとき
f=x/{(1+2)(2+3)(3+1)}=x/60
x>0で動かすとf>0の任意の値をとる
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 17:53:02.88 .net]
- >>187,184
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
の書き間違えじゃないか？
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/14(木) 18:33:21.25 .net]
- (xy+2)(2yz+3)(3zx+1)≧48xyz 等号はx=2/3, y=3, z=1/2の時成立
xyz→+0の時0に収束
ゆえに
0<xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)}≦1/48
- 199 名前： []
- [ここ壊れてます]
|
 |
