不等式への招待　第７章

1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！ 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 過去スレ ・不等式スレッド　（第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ ・不等式への招待 第５章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/ ・不等式への招待 第６章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/ ・過去スレのミラー置き場　cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ 姉妹サイト（？） キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50 Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学 messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&amp;board=1835554&amp;sid=1835554&amp;type=r&amp;first=1 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 23:13:36.91 ID:DmeGzA4L.net] >>934　〔応用問題〕 １周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、 (1）　r < 1 < R, (2）　3／(2/R + 1/r) < (RRr)^(1/3) < 1 < (2R+r)/3, を示せ。 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/27(月) 17:58:31.54 ID:tcvWjEXJ.net] >>937 p≦3/2 のとき {ab(1-c)}^(1/p）≦｛ab(1-c)}^(2/3) ≦｛ab+b(1-c)+(1-c)a}/3　　（←相乗･相加平均） =｛1-(1-a)(1-b)+(2ab-bc-ca)}/3 ≦｛1 + (2ab-bc-ca)}/3, 巡回的にたす。 p＞3 - log(4)/log(3）= 1.7381405 のとき不成立 反例　(a,b,c）=（2/3,2/3,2/3） 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/01(水) 18:16:01.30 ID:7mo/d06r.net] >>937 元ネタ（Terence Tao） https://terrytao.wordpress.com/2017/02/05/a-bound-on-partitioning-clusters/ 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/03(金) 07:01:45.16 ID:Fl6w77Qk.net] △ABCについて次を示せ。 (tan(A/2)+tan(B/2))^(-1/2) +(tan(B/2)+tan(C/2))^(-1/2) +(tan(C/2)+tan(A/2))^(-1/2) ≧2+2^(-1/2) 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/04(土) 16:24:50.85 ID:HY67hoMk.net] >>938 (1) 辺の長さ　2π/n, r = π/{n･tan(π/n)} < 1, R = π/{n･sin(π/n)} > 1, 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/05(日) 22:51:16.40 ID:rca0XhBC.net] 〔問題2714〕 a,b,c,p,q,r は正の実数で、abc=1, p≧2, q≧2, r≧2 をみたすとする。 (a^p +p)(b^q +q)(c^r +r) 　≧ (2+aa)(2+bb)(2+cc) 　≧ (2+1/a)(2+1/b)(2+1/c) 　≧ (2+√a)(2+√b)(2+√c) 　≧ {2 + 1/a^(1/4)}{2 + 1/b^(1/4)}{2 + 1/c^(1/4)} 　≧ {2 + a^(1/8)}{2 + b^(1/8)}{2 + c^(1/8)} 　≧ ･････ 　≧ 27, を示せ。（「すうじあむ」の問題を元に改作） suseum.jp/gq/question/2714 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 00:01:03.85 ID:hSPnYqZt.net] 正の数nと、正の実数a_1、…a_nに対し、次式をみたす実数Mの最大値を求めよ。 n・Σ[1≦k≦n] (a_1 + … + a_k)・(a_k)^2 ≧ M・(a_1 + … + a_n)^3 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 07:51:24.09 ID:hSPnYqZt.net] The positive numbers x, y satisfy the equation x^3 + y^3 = x?y. Prove that x^2 + y^2 < 1. The positive numbers a_1,…,a_n satisfy √a_1 + … + √a_n = 1. Show that (a_1)^(a_1)・…・(a_n)^(a_n) ≧ (a_1 + … + a_n)^2. Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] 1/|xi?xj| + 1/{2π?|xi?xj|} ≧ (n^2/π)納k=1 to n?1] 1/k. 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/09(木) 09:14:49.54 ID:3QaTlDUD.net] -が?に文字化けしているな Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] (1/|x_i-x_j| + 1/{2π-|x_i-x_j|} ) ≧ (n^2/π)納k=1 to n-1] 1/k. 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/10(金) 00:46:09.66 ID:VVolMD9v.net] >>944 n=1 のとき M_1 = 1, n=2 のとき M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.73773938 　2{a^3 + (a+b)bb} - M_2･(a+b)^3 = (2-M_2)･(a-tb)^2･(a+b/tt) ≧0, 　t = (1+√7)/3 = 1.215250437 >>945 上 題意より xy ≧ 0, (x-y)y ≧ 0, xx+xy+yy = (x^3-y^3)/(x-y) = 1 - 2(y^3)/(x-y) ≦ 1, 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 03:43:57.83 ID:S/5xVczT.net] >>944 M_n は既知とし、 a_{n+1} = x, a_1 + a_2 + ････+ a_n + x = S, とおく。 a_1 + a_2 + ････+ a_n = S-x, (左辺) = {M(n)/n}(S-x)^3 + Sxx = f(x), f '(x) = -3{(M_n)/n}(S-x)^2 + 2Sx 　= -3{(M_n)/n}{xx - 2(coshθ)Sx + SS}　　{coshθ=1+n/(3M_n) とおいた} 　= -3{(M_n)/n}{x - S･e^(-θ)}(x - S･e^θ), 左辺は x = S･e^(-θ）で最小となる。このとき S - x = S{1 - e^(-θ)}, f(S･e^(-θ)) / S^3 = {(M_n)/n}{1 - e^(-θ)}^3 + e^(-2θ) 　= M_(n+1)/(n+1), ここに、coshθ = 1 + n/(3M_n), これにより M_{n+1} が定まる。 M = lim[n→∞] M_n = 4/9. 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 10:10:59.71 ID:S/5xVczT.net] >>944（補足） e^(-θ) ≒ 1/(2coshθ) = 1/{2(n/3M_n + 1) = (3/2)M_n/(n+3M_n) を使って f(S･e^(-θ)) / S^3 = (1/3)e^(-θ){2+e^(-θ)} ≒ M_n{n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 ∴ M_{n+1} - M_n = M_n*(n+1){n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 - M_n = M_n*{1-(9/4)M_n}/n + O(1/nn), 1/n の係数が0に収束しないと M_n が発散してしまうから、 M = lim[n→∞] M_n = 4/9, 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/13(月) 20:43:05.22 ID:UB++6Hh4.net] >>945　下 k=1,2,…,n-1 とする。 　Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) および Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)} のn項について、相加-調和平均（コーシー）すると、 　Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)} 　≧ nn／{Σ[i-j=k] (x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] {2π - (x_i-x_j)}} 　=（nn/2π)(1/k), k=1,2,…,n-1 でたす。 等号成立は x_i - x_j = (2π/n)(i-j）のとき。 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/15(水) 22:14:08.94 ID:Oh51 ] [ここ壊れてます] 996 名前：f5Dy.net mailto: >>945 下（続き） ･･･ さらに、0<x<2π で f(x)が下に凸のとき Σ[1≦j<i≦n] {f(x_i-x_j) + f(2π-x_i+x_j)} ≧ n Σ[k=1,n-1] f(2kπ/n), f(x)が上に凸のときは、不等号が逆向き。 [] [ここ壊れてます] 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/16(木) 18:00:56.77 ID:/k5pY9BZ.net] >>945 中 0 < a_k < 1 より 　(左辺) > a_1 + a_2 + … + a_n, 　1 = √a_1 + √a_2 + … + √a_n > a_1 + a_2 + … + a_n, 辺々掛ける。 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/19(日) 15:18:46.64 ID:guCpjB2q.net] >>942 R_n = ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx → 1　（n→∞) (R_n)^2 - (r_n)^2 = (π/n)^2 → 0　（n→∞） 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/20(月) 18:16:48.99 ID:ZS4SrzTA.net] For n≧2, let a_1, …, a_n be posithive real numbers. Prove 　{ Π[i=1 to n] (1+a_i) }^{n-1} ≧ { Π[1≦i<j≦n] [1 + (a_i・a_j)/(a_i + a_j)] }^2 1000 名前：１３２人目の素数さん [2017/03/20(月) 22:19:37.49 ID:yRo4d+xZ.net] >>954 a,b>0のとき, a>ab/(a+b)だから (1+a)(1+b)>(1+ab/(a+b))^2 これを使って終わり. >>941も等号が成立しない気がする. 1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/21(火) 06:34:34.56 ID:lHafklKO.net] >>954 a,b>0のとき、√ab ≧ ２ab/(a+b) だから (1+a)(1+b) ≧ (1+√ab)^2≧ {1+２ab/(a+b)}^2 これを使って終わり. 等号成立は a_i = 一定 のとき。 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/23(木) 23:56:17.13 ID:foDcA2jG.net] >>953 1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1) 0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x) より、 1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1, 0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1), 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/24(金) 17:34:59.61 ID:/hdr0DUv.net] >>953 (続き) 辺々たすと n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1), 一方、 >>942 より 1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3), 1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/29(水) 06:28:52.30 ID:qmY7hsva.net] Prove that the inequality 　　　1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) + 2 ≧ 4/√(x+2) + 4/√(y+2) holds for all pairs (x,y) of positive real numbers. 1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/04(火) 08:50:30.08 ID:h0o7Rnkh.net] >>959 f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。 x=y のときは凸性から、 f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0, となる。 f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば... 1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 09:05:18.35 ID:kkWXQg4L.net] (1) Let a, b anc c be the lengths of the sides of a triangle with inradius r. Prove a^6 + b^6 + c^6 ≧ 5184*r^6. (2) Suppose that f : [0,1] → R is a differentiable function with continuous derivative and with 　　　∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1. Prove that 　　　∫[0,1] |f'(x)|^3 dx ≧ {128/(3π)}^2. (3) Calclate lim[x→∞] (Σ[n=1 to ∞] (x/n)^n )^(1/x). (4) Evaluate ∫[0, π/2] (sin x)/(1 + sqrt{sin 2x}) dx. (5) Calclate ∫[0,∞]∫[0,∞] (sin x * sin y * sin(x+y))/{xy(x+y)} dx dy. (6) Calclate Σ[n=1 to ∞] {2^(2n-1)/(2n+1)}*{(n-1)!/(2n-1)!!}^2 = π-2. ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 09:06:02.65 ID:kkWXQg4L.net] (1) anc → and 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 22:09:51.74 ID:kkWXQg4L.net] (7) Find the greatest real number M such that the inequality a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca) holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4. (8) Find the greatest real number M such that (x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y) for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0. (9) Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3} (10) Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1, the following inequality holds: 1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c). (11) Find the greatest real number T satisfying (x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1. (12) Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds: (a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a) （*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ 1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/01(月) 11:53:32.30 ID:8wByLQwx.net] (e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3) （*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ 1010 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:09:03.66 ID:Gg+cOD9T.net] >>964 (左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺) 1011 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:11:04.11 ID:Gg+cOD9T.net] >>963 (10)反例 a=b=c=1 1012 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:11:58.65 ID:Gg+cOD9T.net] 萎える 1013 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:57:56.04 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1014 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:58:19.10 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1015 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:58:42.05 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1016 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:07.75 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1017 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:32.20 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1018 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:56.65 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1019 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:00:21.27 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1020 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:00:42.72 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1021 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:01:06.04 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1022 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:01:27.26 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/17(水) 17:57:55.19 ID:+8Z09fzP.net] もげる 1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/20(土) 00:42:07.99 ID:VJhJZ8Xf.net] Bihari?LaSalle inequality 1025 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/10(土) 18:52:40.27 ID:3dLjunNb.net] >>961 (1)　コーシーで 　(1+1+1)(1+1+1)(a^6 + b^6 + c^6) ≧ (aa+bb+cc)^3, 　aa+bb+cc ≧ 36rr　を示す。 >>961 (4)　　 (π-2)/2, >>964 　1/π + 1/π + 1/e ≧ 1, 相加-相乗　または 凸性から 　e^(1/π) + e^(1/π) + e^(1/e) ≧ 3e^(1/3), 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/10(土) 19:06:10.51 ID:3dLjunNb.net] ついでに π + π + e ＞ 9, (π +e+e) π ＜ 27, ππe ＜ 27, 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/11(日) 16:28:29.36 ID:JurbFnaF.net] >>961 (1)　コーシーで 　(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6, 一方、 　a = r {cot(B/2) + cot(C/2)}, 　b = r {cot(C/2) + cot(A/2)}, 　c = r {cot(A/2) + cot(B/2)}, ∴　a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/11(日) 16:52:20.52 ID:JurbFnaF.net] >>963 (7) (a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc = s(ss-2t) - Mst + 12u = F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u　(← Schur) ≧0, ∴　M=2 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/16(金) 12:24:58.16 ID:LCy4Y8vy.net] >>961 (1)　>>982 (a+b+c)/2 = s とおく。 相乗-相加平均で (s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3, r = ��/s = √{(s-a)(s-b)(s-c)/s}　　(Heron) ≦ s/(3√3) = (a+b+c)/(6√3), 1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/17(土) 20:27:24.45 ID:bhb/G+K8.net] 問題と一緒に出典も書いてほしい 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 03:45:08.00 ID:95rGKKjv.net] Flanders' Inequality を検索したら、空っぽだった…。 mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html 1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 16:20:22.03 ID:tfNCpQJl.net] >>986 【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、 　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8, 　(初代スレ.668) 　g(x) = log{sin(x)/x}, 　g '(x) = cot(x) - 1/x 1033 名前：, 　g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0, ゆえ、g(x) は上に凸。 【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、 　-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8, 　(初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587) [] [ここ壊れてます] 1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 17:14:01.37 ID:95rGKKjv.net] >>987 ありがたき幸せにござる。 1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:32:52.83 ID:P0aRc9y/.net] 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。 1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:51:31.25 ID:4kCqmLoG.net] >>989 大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ） 1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:56:35.78 ID:P0aRc9y/.net] >>990 それは最小値のみ。改造済み。 1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:57:54.04 ID:P0aRc9y/.net] >>989 ちなみに出典は、「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」らしい。 1039 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 03:23:02.02 ID:P0aRc9y/.net] ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。 改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。 1040 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 04:52:54.50 ID:P0aRc9y/.net] >>993 (a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？ 1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 12:58:33.41 ID:vMBsUZ6Z.net] >>993 　対数とってチェビシェフ >>994 さだまさし (a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc), 1042 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 00:52:20.05 ID:u2QpKHjV.net] >>995 さんくす。さだまさしか…。 1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 01:17:12.91 ID:u2QpKHjV.net] （不等式への招待 第５章 698、708より） > a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1 > > (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。 > > 次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。 > > (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき > 　b+c≦1, …, … > 　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。 > 　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x, > 　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式) > x=1/a とおいて > 　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c), > 　循環的にたす。 > > (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき > 　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。 > 　a+b, a+c ≦ b+c = M, > 　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b) > 　　　≧ b^M + c^M > 　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸) > 　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *) > 　　　= 1, > > *)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2), > ∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。 > ∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1) > > 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710〜713 等号成立条件が分かりませんぬ。 1044 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 01:19:48.15 ID:u2QpKHjV.net] >>961-962 出典をきちんと記録してなかった。 www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml などから適当に拾ってきたなり。 1045 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 02:29:19.46 ID:dLSgUfzK.net] そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？ 1046 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 08:25:27.08 ID:pKHgR4Is.net] 去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう 1047 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 08:35:04.48 ID:dLSgUfzK.net] >>1000 さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。 1048 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 17:20:11.69 ID:dLSgUfzK.net] a,b,c を正の定数、 x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、 min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。 （出典不明） 1049 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:13:09.35 ID:vrMzbwMW.net] >>1002 x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。 X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。 (aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1, ∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc), 1050 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:23:02.89 ID:vrMzbwMW.net] >>989-992 （-1000/√3, 1000/√3）に一票 1051 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:24:06.95 ID:xsefyNln.net] 不等式への招待 第８章 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/ 1052 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。 life time: 1569日 3時間 9分 28秒 1053 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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