不等式への招待　第７章

1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！ 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 過去スレ ・不等式スレッド　（第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ ・不等式への招待 第５章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/ ・不等式への招待 第６章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/ ・過去スレのミラー置き場　cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ 姉妹サイト（？） キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50 Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学 messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&amp;board=1835554&amp;sid=1835554&amp;type=r&amp;first=1 910 名前：ｼ前：１３２人目の素数さん 2016/11/16(水) 21:02:24.40 ID:8UX5OsVV > 変質者前科持ちと気が触れ合える掲示板 > >11 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 08:36:12.59 ID:6KwDBI7h > 変質者前科持ち＝増田哲也 > >12 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 09:04:39.15 ID:AZB04dZ8 > わざわざ言わんでもええ > >13 名前：出会える掲示板 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/19(土) 15:58:01.20 ID:21LrO2+x > 絶対に… > > ケケケ￥ > >14 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 16:31:33.55 ID:6KwDBI7h > 六十目前で父親逆恨みしたり掲示板逆恨みする根性の腐れっぷりは凄くて困る > [] [ここ壊れてます] 911 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:37.91 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 912 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:13:53.32 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 913 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:14:08.91 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 914 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:14:22.44 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 915 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:14:36.91 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 916 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:14:50.80 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 917 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:15:21.83 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 918 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:15:37.29 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 919 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:15:57.72 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 920 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/03(土) 01:16:21.60 ID:gn3EMfBZ.net] ￥ 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 03:23:03.70 ID:igohLjS8.net] >>866 a = b = √{(5+√13)/6} = 1.197605338 c = -√{(4-√13)/3} = -0.36260572 のとき a+b+c - abc = 2a +(aa-1)(-c) = 2a + ((√13 -1)/6)(-c) = 2.552675308961574826258 かな。 922 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:07.90 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 923 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:28.08 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 924 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:06:45.30 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 925 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:02.34 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 926 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:19.48 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 927 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:37.19 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 928 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:07:54.16 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 929 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:11.85 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 930 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:29.88 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 931 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:08:47.84 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 932 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:21:59.35 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 933 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 06:48:45.55 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/04(日) 07:47:28.84 ID:igohLjS8.net] >>866 ついでに… a=b=c=1 で 2（鞍点？） a=b=0.4820872, c=1.5922260 で 2.1863542858636（極大) a=b=0, c=√3 で √3（極小？) 935 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:08.84 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 936 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:28.71 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 937 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:54:47.04 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 938 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:05.08 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 939 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:25.54 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 940 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:55:42.99 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 941 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:01.86 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 942 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:22.01 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 943 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:56:41.03 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 944 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/12/04(日) 07:57:01.30 ID:l4ny/Yu3.net] ￥ 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 11:42:11.58 ID:9Kv+bmZv.net] xi > 0, A(n) = (x1+x2+...+xn)/n,　　　相加平均 G(n) = (x1･x2･...･xn)^(1/n),　　相乗平均 H(n) = n/(1/x1+1/x2+...+1/xn),　　調和平均 とおく。 [1]　略 [2] A(2) + m･H(2) ≧ (1+m)G(2),　m=1.0 [3] A(3) + m･H(3) ≧ (1+m)G(3),　m=0.90096030150908885 　 (1,1,x3)　x3=0.396257004730747667698678 は 64x^3 +87x^2 -42x -1 =0 の根 [4] A(4) + m･H(4) ≧ (1+m)G(4),　m=0.7761577683742073233 　 (1,1,1,x4)　x4=0.229929540827345357763 は 6561x^5 +18299x^4 +11210x^3 -3210x^2 -91x-1=0 の根 が成り立つか？ 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 14:03:12.44 ID:SKxowvFC.net] >>902 成り立ちます 五変数以上になると厳密な評価は難しそう 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:21:43.32 ID:SKxowvFC.net] >>902 (3) A[3] + m*H[3] ≧ n*G[3] ここで m=0.90096, n=m+1 が最適な係数 等号成立は (1, 1, 0.39625) (4) A[4] + m*H[4] ≧ n*G[4] ここで m=0.77615, n=m+1 が最適な係数 等号成立は (1, 1, 1, 0.39625) または (1, 1, 4.32911, 4.32911) 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:22:42.49 ID:SKxowvFC.net] (4) は 0.39625 じゃなく 0.22992 ね 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 15:42:04.76 ID:SKxowvFC.net] また間違えちゃった (4) は (1, 4.34915, 4.34915, 4.34915) だ 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:41:34.31 ID:SKxowvFC.net] >>902 [4] p=1.444113430416044 は x^5+3*x^4+6*x^3-6*x^2-11*x-9=0 の解 q=0.692466380367298 は 9*x^5+11*x^4+6*x^3-6*x^2-3*x-1=0 の解 等号成立は (p, p, p, 1), (q, 1, 1, 1) のとき 等号を成立させる方程式の係数と符号が反転してて面白いので載せてみた 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/05(月) 23:43:41.41 ID:SKxowvFC.net] (p^4, p^4, p^4, 1), (q^4, 1, 1, 1) でした 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 06:14:40.46 ID:61lM6Ipy.net] >>903-908 thx. >>902 x_3 = t^3 とおくと、 　4t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0, 　t = {2(√5)cosθ -1}/4 = 0.734500874964259 　ただし　θ = (1/3)arccos[1/(5√5)] = 0.49374463978515 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/06(火) 07:59:56.74 ID:61lM6Ipy.net] >>903 n-5 は [5] A(5) + m･H(5) ≧ (1+m)G(5),　m=0.676175 （1,1,1,1,r^5)　r = 0.6897105532534071796 は 16r^7 + 23r^6 +21r^5 +10r^4 -10r^3 -6r^2 -3r -1 =0 の正根。 と予想するが... 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:17:37.77 ID:sgxdKdhy.net] >>910 成り立つよ 一般に，等号成立はn-1 個の変数が等しいとき 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/09(金) 00:40:57.61 ID:sgxdKdhy.net] 最近の不等式の証明技法をまとめようかなと思ってるけど面倒でやる気が起きない 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/11(日) 09:01:03.18 ID:688mVHLv.net] >>911 のとき ｘ = {1,1,････,t^n} A(n) = [t^n + (n-1)] / n, G(n) = t, H(n) = n･t^n / [(n-1)t^n + 1] A-G = (t-1)^2 (1/n) f(t), G-H = (t-1)^2 {t/[(n-1)t^n + 1]} g(t), (A-G)/(G-H) = [(n-1)t^n +1]f(t) / {nt･g(t)} ≧ m, ここで f(t) = [t^n -nt +(n-1)] / (t-1)^2 = t^(n-2) + 2t^(n-3) + ････ + (n-2)t + (n-1), g(t) = [(n-1)t^n -nt^(n-1) +1] / (t-1)^2 = (n-1)t^(n-2) + (n-2)t^(n-3) + ････ +2t +1, (A-G)/(G-H) が極小のとき、 [(n-1)^2･t^n -1]{f(t)/g(t)} + [(n-1)t^n +1]t{f(t)/g(t)} ' = 0, [(n-1)^2･t^n -1]f(t)g(t) - [(n-1)t^n +1]t{f(t)g '(t) - f'(t)g(t)} = 0, ここで f(t)g(t) = Σ[k=0〜n-3] ((k+1)(k+2)(3n-3-k)/6){t^k + t^(2n-4-k)} + ((n-1)n(2n-1)/6)t^(n-2), f(t)g '(t) - f '(t)g(t) = n･Σ[k=0〜n-4] ((k+1)(k+2)(k+3)/6){t^k + t^(2n-6-k)} + n((n-2)(n-1)n/6)t^(n-3), 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/19(月) 03:17:02.97 ID:4qCEI1DC.net] >>902 >>910 Sierpinskiの不等式 　A(n)^(n-1)･H(n)≧G(n)^n を使えば 　A(n) + (1/(n-1))H(n) ≧ (n/(n-1)){A(n)^(n-1)･H(n)}^(1/n) ≧ (n/(n-1))G(n), 　m ≧ 1/(n-1), は簡単に出ます。 しかし掛け算すると、ｘ→（1,1,････,1,0）のとき下限値1/(n-1)に近づくので、これ以上改良できそうにない… というワケで加減で比べてみました。 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 06:49:30.48 ID:9UZFmJjk.net] >>914 〔Sierpinskiの不等式〕 A(n+1)^n･H(n+1)/G(n+1)^(n+1) ≧ A(n)^(n-1)･H(n)/G(n)^n ≧ ･･･ ≧ A(2)H(2)/G(2)^2 = 1, (略証) nについての帰納法で。 n=2のとき、等号成立。 x_{n+1} = x, A(n)=Ao, G(n)=Go, H(n)=Ho, A(n+1)=A, G(n+1)=G, H(n+1)=H, と略記する。 A = (n･Ao + x)/(n+1) G^(n+1) = x･Go^n, 1/H = (n/Ho + 1/x)/(n+1), (A^n･H)/G^(n+1) ÷ {Ao^(n-1)･Ho}/Go^n = {A^n/Ao^(n-1)} H/(Ho･x) ≧{n･A -(n-1)Ao} H/(Ho･x) = (Ao + nx)/(Ho + nx) ≧ 1,　　　(← Ao≧Ho) 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/20(火) 14:43:09.84 ID:9UZFmJjk.net] 〔問題〕 A, B が実対称行列のとき、次を示せ。 　tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)}, 等号成立は AB=BA のとき。 　 （京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。 数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978)　No.96 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 15:20:00.53 ID:N1oFke4u.net] >>902 >>910 >>914 n >>1 のとき、 　m 〜 {1.157*log(n) + 1.111}/(n-1), 　A(n) 〜 (n-1)/n, 　G(n) 〜 1/(1+m), らしい。 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/23(金) 22:29:02.46 ID:N1oFke4u.net] >>914 〔Jacobsthalの不等式〕 　(n+1)(A-G) ≧ n(Ao - Go), (略証) （左辺）= (n･Ao +x） -(n+1)(Go^n･x)^{1/(n+1)} 　≧(n･Ao +x) - (n･Go +x) 　= n(Ao - Go) 　=（右辺）, 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 03:08:58.00 ID:HgkzhkFu.net] >>918 (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n ≧ (n+1)G - nGo, ∴　(n+1)(A-G) ≧ n(Ao-Go), 同様にして 　A^(n+1)/Ao^n ≧ (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n, ∴　(A/G)^(n+1) ≧ (Ao/Go)^n, 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/25(日) 05:29:38.31 ID:HgkzhkFu.net] >>917 nが10〜1000 の辺りでは m 〜 {1.1287*log(n) + 1.2272}/(n-1), 1/H 〜 1.153*log(n), 1/x 〜 1.153n*log(n) - (n-1), A(n) = (n-1+x)/n, らしい。 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/04(水) 00:41:34.36 ID:F1JEFz8G.net] 〔問題567〕 a,b,cを和が３となる正の実数とする。このとき次を示せ。 　√{b/(aa+3)} + √{c/(bb+3)} + √{a/(cc+3)} ≦ 3/2, 高校数学の質問スレPart397(c) rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456656899/567 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/08(日) 06:07:07.63 ID:rl9rb1ia.net] >>921 (注意) 1/(aa+3) + 1/(bb+3) + 1/(cc+3) ≦ 3/4, は成り立ちません。 a = b = 0.29712745268　　　　　(*) c = 2.40574509464 のとき、 0.761405273304 (*)　2a^3 -7a^2 +12a -3 = 0 の根 (1/6){7 + (36√58 -251)^(1/3) - (36√58 +251)^(1/3)}, 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/10(火) 04:33:57.70 ID:FU/1ZKud.net] >>921 (注意) (2√b)/(a+3) + (2√c)/(b+3) + (2√a)/(c+3) ≦ 3/2, も成り立ちません。 a = 0.818145 b = 0.823310 c = 1.358545 のとき 1.500059562452 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/11(水) 12:38:59.99 ID:o5/kKbcv.net] 〔問題〕 a,b,cを正の実数とするとき、次を示せ。 [2]　a + √(ab) ≦ ｛(1+√2)/2}(a+b), [3]　a + √(ab) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)(a+b+c), 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/12(木) 09:21:49.92 ID:OCuLi6LZ.net] a,b,c,dを正の実数とするとき、 [4]　a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d), K(4) = 1.4208443854096138127 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/12(木) 11:12:31.15 ID:OCuLi6LZ.net] >>924-925 〔Carlemanの不等式〕（有限版） 相加-相乗平均をたした形であるが、そのままでは係数が合わない。 そこで正の係数 c_1〜c_n を掛けて K(n)･(a1+a2+････+an) − {a1 + √(a1･a2) + ･････ + (a1･a2････an)^(1/n)} = Σ[L=2〜n] {(c1･a1+c2･a2+･････+cL･aL)/(L･d_L) - (a1･a2･･･aL)^(1/L)}, とおく。ここに、d_L = (c1･c2･････cL)^(1/L), a_L の係数を比べて 1/(L･dL) + 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_L, 　　　　　 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_(L+1), 辺々引いて 1/(L･dL) = K/c_L − K/c_(L+1), ∴　1/c_(L+1) = 1/c_L − 1/(K･L･d_L), により c_Lが定まる。 c_1 = 2 とおくと、 c_2 = 2K/(K-1), c_3 = 2K/{K -1 -√((K-1)/4K)}, ････ また、K(n) は 1/c_(n+1)=0 から定まる。 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/16(月) 05:37:39.15 ID:+viXJ8tP.net] カレーパンマンの不等式キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！ 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/17(火) 10:39:38.76 ID:Qggnth+1.net] 〔Stirlingの公式〕 正の整数ｎについて log(n!) ＞ (n+1/2)log(n)−ｎ＋0.8918 を示せ。 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/21(土) 18:59:32.43 ID:HdECjTmQ.net] 1/2 ≦x≦1、0<a≦y≦2a のとき、x/y + y/x -xy のとりうる値の範 973 名前：囲を求めよ。 [] [ここ壊れてます] 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/22(日) 07:55:35.43 ID:j1H92TDS.net] >>929 ・0＜a≦1/(2√5）のとき［3a＋1/(4a)，1/a］ 　　最小：(x，y)＝(1/2，2a) 　　最大：(x，y)＝(1，a) ・1/(2√5)≦a≦1/(2√2）のとき［2√{1-(2a)^2}，1/a］ 　　最小：(x，y)＝(2a/√{1-(2a)^2}，2a) 　　最大：(x，y)＝(1，a) ・1/(2√2)≦a≦1/2 のとき［1/(2a)，1/a］ 　　最小：(x，y)＝(1，2a) 　　最大：(x，y)＝(1，a) ・1/2≦a のとき［1/(2a)，3a＋1/(4a)］ 　　最小：(x，y)＝(1，2a) 　　最大：(x，y)＝(1/2，2a) 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/01/26(木) 19:21:52.26 ID:wshNWY83.net] >>930 エレガントな解き方あるのん？ 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/11(土) 13:08:49.63 ID:cVU0SCtk.net] 不等式の問題をハッケソ！ www.toshin.com/concours/ 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/14(火) 01:57:11.20 ID:U44OFY/t.net] 単位円（原点Oを中心とする半径1の円）の周上に2点 A,B がある。 ∠AOB = ω の二等分線を OM とすると ∠AOM = ∠MOB = ω/2, また、OMと反対の方向に点Cをとる。 ∠OCA = θ，OC=k とおくと、 tanθ = sin(ω/2)／{k＋cos(ω/2)}, とくに k=2 のとき tanθ = sin(ω/2)／{2＋cos(ω/2)｝< ω/6，（仁平氏による） 数セミ '17年3月号 p.44 NOTE 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/14(火) 02:35:05.63 ID:U44OFY/t.net] >>933 〔補題〕 0<t<π のとき 　sin(t) < 3sin(t)/{2+cos(t)} < t, 　｛sin(t)，sin(t)，tan(t)｝の調和平均はｔより小さい。（B.C.Carlson) (略証) 左側は明らか。 右側はｔで微分して 3cos(t)/{2+cos(t)}＋3{sin(t)}^2/{2+cos(t)}^2 =１−3{[1-cos(t)]/[2+cos(t)]}^2 < 1, 不等式の和書[3] p.45 の式でｘをcos(2t)とおく。 なお、相加平均はｔより大きい。（Snellius-Huygens) 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/18(土) 13:35:55.24 ID:8Xd9SMLI.net] a,b,c≧0の時 a(a-b)(a-2b)+b(b-c)(b-2c)+c(c-a)(c-2a)≧0 を示せ 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/22(水) 16:20:23.47 ID:zQPH35Dc.net] >>935 a,b≧c≧0 としてもよい。 (左辺) = (a-c)(a-2b+c)^2 + b(a-b)^2 + c(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0, 対称式ぢゃないからﾁｮﾄ面倒... 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 18:46:56.98 ID:6Ynn6p4F.net] a、b、c ∈[0,1] のとき、{ab(1-c)}^(1/p) + {bc(1-a)}^(1/p) + {ca(1-b)}^(1/p) ≦ 1 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/26(日) 23:13:36.91 ID:DmeGzA4L.net] >>934　〔応用問題〕 １周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、 (1）　r < 1 < R, (2）　3／(2/R + 1/r) < (RRr)^(1/3) < 1 < (2R+r)/3, を示せ。 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/02/27(月) 17:58:31.54 ID:tcvWjEXJ.net] >>937 p≦3/2 のとき {ab(1-c)}^(1/p）≦｛ab(1-c)}^(2/3) ≦｛ab+b(1-c)+(1-c)a}/3　　（←相乗･相加平均） =｛1-(1-a)(1-b)+(2ab-bc-ca)}/3 ≦｛1 + (2ab-bc-ca)}/3, 巡回的にたす。 p＞3 - log(4)/log(3）= 1.7381405 のとき不成立 反例　(a,b,c）=（2/3,2/3,2/3） 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/01(水) 18:16:01.30 ID:7mo/d06r.net] >>937 元ネタ（Terence Tao） https://terrytao.wordpress.com/2017/02/05/a-bound-on-partitioning-clusters/ 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/03(金) 07:01:45.16 ID:Fl6w77Qk.net] △ABCについて次を示せ。 (tan(A/2)+tan(B/2))^(-1/2) +(tan(B/2)+tan(C/2))^(-1/2) +(tan(C/2)+tan(A/2))^(-1/2) ≧2+2^(-1/2) 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/04(土) 16:24:50.85 ID:HY67hoMk.net] >>938 (1) 辺の長さ　2π/n, r = π/{n･tan(π/n)} < 1, R = π/{n･sin(π/n)} > 1, 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/05(日) 22:51:16.40 ID:rca0XhBC.net] 〔問題2714〕 a,b,c,p,q,r は正の実数で、abc=1, p≧2, q≧2, r≧2 をみたすとする。 (a^p +p)(b^q +q)(c^r +r) 　≧ (2+aa)(2+bb)(2+cc) 　≧ (2+1/a)(2+1/b)(2+1/c) 　≧ (2+√a)(2+√b)(2+√c) 　≧ {2 + 1/a^(1/4)}{2 + 1/b^(1/4)}{2 + 1/c^(1/4)} 　≧ {2 + a^(1/8)}{2 + b^(1/8)}{2 + c^(1/8)} 　≧ ･････ 　≧ 27, を示せ。（「すうじあむ」の問題を元に改作） suseum.jp/gq/question/2714 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 00:01:03.85 ID:hSPnYqZt.net] 正の数nと、正の実数a_1、…a_nに対し、次式をみたす実数Mの最大値を求めよ。 n・Σ[1≦k≦n] (a_1 + … + a_k)・(a_k)^2 ≧ M・(a_1 + … + a_n)^3 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/08(水) 07:51:24.09 ID:hSPnYqZt.net] The positive numbers x, y satisfy the equation x^3 + y^3 = x?y. Prove that x^2 + y^2 < 1. The positive numbers a_1,…,a_n satisfy √a_1 + … + √a_n = 1. Show that (a_1)^(a_1)・…・(a_n)^(a_n) ≧ (a_1 + … + a_n)^2. Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] 1/|xi?xj| + 1/{2π?|xi?xj|} ≧ (n^2/π)納k=1 to n?1] 1/k. 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/09(木) 09:14:49.54 ID:3QaTlDUD.net] -が?に文字化けしているな Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] (1/|x_i-x_j| + 1/{2π-|x_i-x_j|} ) ≧ (n^2/π)納k=1 to n-1] 1/k. 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/10(金) 00:46:09.66 ID:VVolMD9v.net] >>944 n=1 のとき M_1 = 1, n=2 のとき M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.73773938 　2{a^3 + (a+b)bb} - M_2･(a+b)^3 = (2-M_2)･(a-tb)^2･(a+b/tt) ≧0, 　t = (1+√7)/3 = 1.215250437 >>945 上 題意より xy ≧ 0, (x-y)y ≧ 0, xx+xy+yy = (x^3-y^3)/(x-y) = 1 - 2(y^3)/(x-y) ≦ 1, 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 03:43:57.83 ID:S/5xVczT.net] >>944 M_n は既知とし、 a_{n+1} = x, a_1 + a_2 + ････+ a_n + x = S, とおく。 a_1 + a_2 + ････+ a_n = S-x, (左辺) = {M(n)/n}(S-x)^3 + Sxx = f(x), f '(x) = -3{(M_n)/n}(S-x)^2 + 2Sx 　= -3{(M_n)/n}{xx - 2(coshθ)Sx + SS}　　{coshθ=1+n/(3M_n) とおいた} 　= -3{(M_n)/n}{x - S･e^(-θ)}(x - S･e^θ), 左辺は x = S･e^(-θ）で最小となる。このとき S - x = S{1 - e^(-θ)}, f(S･e^(-θ)) / S^3 = {(M_n)/n}{1 - e^(-θ)}^3 + e^(-2θ) 　= M_(n+1)/(n+1), ここに、coshθ = 1 + n/(3M_n), これにより M_{n+1} が定まる。 M = lim[n→∞] M_n = 4/9. 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/11(土) 10:10:59.71 ID:S/5xVczT.net] >>944（補足） e^(-θ) ≒ 1/(2coshθ) = 1/{2(n/3M_n + 1) = (3/2)M_n/(n+3M_n) を使って f(S･e^(-θ)) / S^3 = (1/3)e^(-θ){2+e^(-θ)} ≒ M_n{n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 ∴ M_{n+1} - M_n = M_n*(n+1){n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 - M_n = M_n*{1-(9/4)M_n}/n + O(1/nn), 1/n の係数が0に収束しないと M_n が発散してしまうから、 M = lim[n→∞] M_n = 4/9, 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/13(月) 20:43:05.22 ID:UB++6Hh4.net] >>945　下 k=1,2,…,n-1 とする。 　Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) および Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)} のn項について、相加-調和平均（コーシー）すると、 　Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)} 　≧ nn／{Σ[i-j=k] (x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] {2π - (x_i-x_j)}} 　=（nn/2π)(1/k), k=1,2,…,n-1 でたす。 等号成立は x_i - x_j = (2π/n)(i-j）のとき。 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/15(水) 22:14:08.94 ID:Oh51 ] [ここ壊れてます] 996 名前：f5Dy.net mailto: >>945 下（続き） ･･･ さらに、0<x<2π で f(x)が下に凸のとき Σ[1≦j<i≦n] {f(x_i-x_j) + f(2π-x_i+x_j)} ≧ n Σ[k=1,n-1] f(2kπ/n), f(x)が上に凸のときは、不等号が逆向き。 [] [ここ壊れてます] 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/16(木) 18:00:56.77 ID:/k5pY9BZ.net] >>945 中 0 < a_k < 1 より 　(左辺) > a_1 + a_2 + … + a_n, 　1 = √a_1 + √a_2 + … + √a_n > a_1 + a_2 + … + a_n, 辺々掛ける。 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/19(日) 15:18:46.64 ID:guCpjB2q.net] >>942 R_n = ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx → 1　（n→∞) (R_n)^2 - (r_n)^2 = (π/n)^2 → 0　（n→∞） 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/20(月) 18:16:48.99 ID:ZS4SrzTA.net] For n≧2, let a_1, …, a_n be posithive real numbers. Prove 　{ Π[i=1 to n] (1+a_i) }^{n-1} ≧ { Π[1≦i<j≦n] [1 + (a_i・a_j)/(a_i + a_j)] }^2 1000 名前：１３２人目の素数さん [2017/03/20(月) 22:19:37.49 ID:yRo4d+xZ.net] >>954 a,b>0のとき, a>ab/(a+b)だから (1+a)(1+b)>(1+ab/(a+b))^2 これを使って終わり. >>941も等号が成立しない気がする. 1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/21(火) 06:34:34.56 ID:lHafklKO.net] >>954 a,b>0のとき、√ab ≧ ２ab/(a+b) だから (1+a)(1+b) ≧ (1+√ab)^2≧ {1+２ab/(a+b)}^2 これを使って終わり. 等号成立は a_i = 一定 のとき。 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/23(木) 23:56:17.13 ID:foDcA2jG.net] >>953 1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1) 0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x) より、 1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1, 0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1), 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/24(金) 17:34:59.61 ID:/hdr0DUv.net] >>953 (続き) 辺々たすと n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1), 一方、 >>942 より 1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3), 1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/03/29(水) 06:28:52.30 ID:qmY7hsva.net] Prove that the inequality 　　　1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) + 2 ≧ 4/√(x+2) + 4/√(y+2) holds for all pairs (x,y) of positive real numbers. 1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/04(火) 08:50:30.08 ID:h0o7Rnkh.net] >>959 f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。 x=y のときは凸性から、 f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0, となる。 f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば... 1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 09:05:18.35 ID:kkWXQg4L.net] (1) Let a, b anc c be the lengths of the sides of a triangle with inradius r. Prove a^6 + b^6 + c^6 ≧ 5184*r^6. (2) Suppose that f : [0,1] → R is a differentiable function with continuous derivative and with 　　　∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1. Prove that 　　　∫[0,1] |f'(x)|^3 dx ≧ {128/(3π)}^2. (3) Calclate lim[x→∞] (Σ[n=1 to ∞] (x/n)^n )^(1/x). (4) Evaluate ∫[0, π/2] (sin x)/(1 + sqrt{sin 2x}) dx. (5) Calclate ∫[0,∞]∫[0,∞] (sin x * sin y * sin(x+y))/{xy(x+y)} dx dy. (6) Calclate Σ[n=1 to ∞] {2^(2n-1)/(2n+1)}*{(n-1)!/(2n-1)!!}^2 = π-2. ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 09:06:02.65 ID:kkWXQg4L.net] (1) anc → and 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/12(水) 22:09:51.74 ID:kkWXQg4L.net] (7) Find the greatest real number M such that the inequality a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca) holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4. (8) Find the greatest real number M such that (x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y) for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0. (9) Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3} (10) Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1, the following inequality holds: 1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c). (11) Find the greatest real number T satisfying (x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1. (12) Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds: (a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a) （*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ 1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/01(月) 11:53:32.30 ID:8wByLQwx.net] (e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3) （*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ 1010 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:09:03.66 ID:Gg+cOD9T.net] >>964 (左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺) 1011 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:11:04.11 ID:Gg+cOD9T.net] >>963 (10)反例 a=b=c=1 1012 名前：１３２人目の素数さん [2017/05/01(月) 16:11:58.65 ID:Gg+cOD9T.net] 萎える 1013 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:57:56.04 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1014 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:58:19.10 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1015 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:58:42.05 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1016 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:07.75 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1017 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:32.20 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1018 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 19:59:56.65 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1019 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:00:21.27 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1020 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:00:42.72 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1021 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:01:06.04 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1022 名前：￥ mailto:sage [2017/05/08(月) 20:01:27.26 ID:OR+quqWp.net] ￥ 1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/17(水) 17:57:55.19 ID:+8Z09fzP.net] もげる 1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/05/20(土) 00:42:07.99 ID:VJhJZ8Xf.net] Bihari?LaSalle inequality 1025 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/10(土) 18:52:40.27 ID:3dLjunNb.net] >>961 (1)　コーシーで 　(1+1+1)(1+1+1)(a^6 + b^6 + c^6) ≧ (aa+bb+cc)^3, 　aa+bb+cc ≧ 36rr　を示す。 >>961 (4)　　 (π-2)/2, >>964 　1/π + 1/π + 1/e ≧ 1, 相加-相乗　または 凸性から 　e^(1/π) + e^(1/π) + e^(1/e) ≧ 3e^(1/3), 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/10(土) 19:06:10.51 ID:3dLjunNb.net] ついでに π + π + e ＞ 9, (π +e+e) π ＜ 27, ππe ＜ 27, 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/11(日) 16:28:29.36 ID:JurbFnaF.net] >>961 (1)　コーシーで 　(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6, 一方、 　a = r {cot(B/2) + cot(C/2)}, 　b = r {cot(C/2) + cot(A/2)}, 　c = r {cot(A/2) + cot(B/2)}, ∴　a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/11(日) 16:52:20.52 ID:JurbFnaF.net] >>963 (7) (a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc = s(ss-2t) - Mst + 12u = F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u　(← Schur) ≧0, ∴　M=2 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/16(金) 12:24:58.16 ID:LCy4Y8vy.net] >>961 (1)　>>982 (a+b+c)/2 = s とおく。 相乗-相加平均で (s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3, r = ��/s = √{(s-a)(s-b)(s-c)/s}　　(Heron) ≦ s/(3√3) = (a+b+c)/(6√3), 1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/17(土) 20:27:24.45 ID:bhb/G+K8.net] 問題と一緒に出典も書いてほしい 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 03:45:08.00 ID:95rGKKjv.net] Flanders' Inequality を検索したら、空っぽだった…。 mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html 1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 16:20:22.03 ID:tfNCpQJl.net] >>986 【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、 　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8, 　(初代スレ.668) 　g(x) = log{sin(x)/x}, 　g '(x) = cot(x) - 1/x 1033 名前：, 　g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0, ゆえ、g(x) は上に凸。 【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、 　-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8, 　(初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587) [] [ここ壊れてます] 1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/18(日) 17:14:01.37 ID:95rGKKjv.net] >>987 ありがたき幸せにござる。 1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:32:52.83 ID:P0aRc9y/.net] 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。 1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:51:31.25 ID:4kCqmLoG.net] >>989 大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ） 1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:56:35.78 ID:P0aRc9y/.net] >>990 それは最小値のみ。改造済み。 1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 00:57:54.04 ID:P0aRc9y/.net] >>989 ちなみに出典は、「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」らしい。 1039 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 03:23:02.02 ID:P0aRc9y/.net] ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。 改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。 1040 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 04:52:54.50 ID:P0aRc9y/.net] >>993 (a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？ 1041 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/23(金) 12:58:33.41 ID:vMBsUZ6Z.net] >>993 　対数とってチェビシェフ >>994 さだまさし (a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc), 1042 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 00:52:20.05 ID:u2QpKHjV.net] >>995 さんくす。さだまさしか…。 1043 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 01:17:12.91 ID:u2QpKHjV.net] （不等式への招待 第５章 698、708より） > a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1 > > (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。 > > 次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。 > > (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき > 　b+c≦1, …, … > 　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。 > 　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x, > 　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式) > x=1/a とおいて > 　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c), > 　循環的にたす。 > > (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき > 　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。 > 　a+b, a+c ≦ b+c = M, > 　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b) > 　　　≧ b^M + c^M > 　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸) > 　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *) > 　　　= 1, > > *)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2), > ∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。 > ∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1) > > 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710〜713 等号成立条件が分かりませんぬ。 1044 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/24(土) 01:19:48.15 ID:u2QpKHjV.net] >>961-962 出典をきちんと記録してなかった。 www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml などから適当に拾ってきたなり。 1045 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 02:29:19.46 ID:dLSgUfzK.net] そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？ 1046 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 08:25:27.08 ID:pKHgR4Is.net] 去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう 1047 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 08:35:04.48 ID:dLSgUfzK.net] >>1000 さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。 1048 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/25(日) 17:20:11.69 ID:dLSgUfzK.net] a,b,c を正の定数、 x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、 min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。 （出典不明） 1049 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:13:09.35 ID:vrMzbwMW.net] >>1002 x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。 X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。 (aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1, ∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc), 1050 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:23:02.89 ID:vrMzbwMW.net] >>989-992 （-1000/√3, 1000/√3）に一票 1051 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 01:24:06.95 ID:xsefyNln.net] 不等式への招待 第８章 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/ 1052 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。 life time: 1569日 3時間 9分 28秒 1053 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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