- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
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- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 20:03:05.61 ID:RC5mmS3F.net]
- >>509-510
weighted Popoviciuの略証
(px+qy)/(p+q)=X,
(px+rz)/(p+r)=Y,
(qy+rz)/(q+r)=Z,
(px+qy+rz)/(p+q+r)=m とおく。
(i) x,y<m<z のとき
X<m<Y,Z
p･f(x) + q･f(y)≧(p+q)f(X),
r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z),
辺々たす。
(ii) x<m<y,z のとき
X,Y<m<Z
p･f(x) + (p+q+r)f(m)≧(p+q)f(X) + (p+r)f(Y),
q･f(y) + r･f(z)≧(q+r)f(Z),
辺々たす。
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店、演習問題1.89
- 553 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:13:17.88 ID:W/Uj9dP4.net]
- >>461
a≧b≧c として一般性を失わない。
斉次化して整理すれば不等式は
27Σa^4b^4(a^4+b^4) + 54Σa^6b^6 ≧ 46a^2b^2c^2Σa^6 + 30a^2b^2c^2Σa^2b^2(a^2+b^2) + 6a^4b^4c^4
と同値。b = a + p, c = a + q (p, q≧0) を代入すれば不等式は
(27*p^4*q^8+54*p^6*q^6+27*p^8*q^4)
+a*(108*p^3*q^8+216*p^4*q^7+324*p^5*q^6+324*p^6*q^5+216*p^7*q^4+108*p^8*q^3)
+a^2*(116*p^2*q^8+864*p^3*q^7+1536*p^4*q^6+1944*p^5*q^5+1536*p^6*q^4+864*p^7*q^3+116*p^8*q^2)
+a^3*(16*p*q^8+928*p^2*q^7+3984*p^3*q^6+6192*p^4*q^5+6192*p^5*q^4+3984*p^6*q^3+928*p^7*q^2+16*p^8*q)
+a^4*(8*q^8+128*p*q^7+3848*p^2*q^6+11808*p^3*q^5+15024*p^4*q^4+11808*p^5*q^3+3848*p^6*q^2+128*p^7*q+8*p^8)
+a^5*(64*q^7+592*p*q^6+10096*p^2*q^5+22848*p^3*q^4+22848*p^4*q^3+10096*p^5*q^2+592*p^6*q+64*p^7)
+a^6*(272*q^6+1760*p*q^5+17360*p^2*q^4+28800*p^3*q^3+17360*p^4*q^2+1760*p^5*q+272*p^6)
+a^7*(736*q^5+3232*p*q^4+19456*p^2*q^3+19456*p^3*q^2+3232*p^4*q+736*p^5)
+a^8*(1268*q^4+3584*p*q^3+11724*p^2*q^2+3584*p^3*q+1268*p^4)
+a^9*(1360*q^3+1560*p*q^2+1560*p^2*q+1360*p^3)
+a^10*(720*q^2-720*p*q+720*p^2)
≧0
となるが，これは明らかに成り立つ。
- 554 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:13:57.50 ID:W/Uj9dP4.net]
- 明後日 TOEIC があるというのに何をやっとるんだ！
- 555 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:19:41.98 ID:W/Uj9dP4.net]
- こんな解き方（？）じゃ証明力つかなくてもしょうがないな…
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 20:22:13.49 ID:JzDlPDy9.net]
- ５月にTOEICを初めて受けた。
リスニングは全く聞き取れず、リーディングは１問だけ分かった。残りは適当に埋めた。
Lis130、Read170、合計300点。
４択をランダムに埋めても990÷4≒250なのに、300点。
１問しか分からないのに300点とは、いかに検定試験が当てにならないものかよく分かった。
>>525
( ﾟ∀ﾟ)ｷﾀｺﾚ
- 557 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:41:33.98 ID:W/Uj9dP4.net]
- >>525
こういうスマートな解き方できるのはいいね
- 558 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 21:49:56.15 ID:W/Uj9dP4.net]
- >>526
符号気にしないで分母払ったから間違えてるな
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/25(土) 02:19:54.44 ID:KQNANX1m.net]
- >>461
aa=bb→1/2, cc→0の時成り立たなさそう…
>>526はバンチングで良いかと
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/25(土) 03:47:35.78 ID:bGJ+ot70.net]
- >>525
> (i) x,y<m<z のとき
> X<m<Y,Z
> r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z),
ちょっと分からないので、教えてください。
疑問(1)
x、y<m<z のとき、X<mは分かるけど、m<Y、Zはどうやって示すのですか？
疑問(2)
r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z) はどこから？
- 561 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/25(土) 05:34:40.62 ID:loQiTtfh.net]
- >>532
それも面白みがないじゃん
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/25(土) 05:41:14.30 ID:loQiTtfh.net]
- [2]の数オリ本でも書いてあるけどバンチという言葉って使われてるの？
Schurheadの方が多い気がするけど…
- 563 名前：521 mailto:sage [2016/06/25(土) 18:12:23.22 ID:nJzcBttQ.net]
- >>533
回答(1)
(pX+qX+rz)/(p+q+r) = m, より m-X ～ z-m,
(pY+qy+rY)/(p+q+r) = m, より Y-m ～ m-y,
(px+qZ+rZ)/(p+q+r) = m, より Z-m ～ m-x,
（～は同符号の意味）
回答(2)
{(Y-m)/(z-m)}f(z) + {(z-Y)/(z-m)}f(m) ≧ f(Y),
{(Z-m)/(z-m)}f(z) + {(z-Z)/(z-m)}f(m) ≧ f(Z),
(上式)･(p+r)＋(下式)･(q+r) から。
- 564 名前：521 mailto:sage [2016/06/25(土) 18:17:57.53 ID:nJzcBttQ.net]
- >>533
回答(1)
{(p+q)X+rz}/{(p+q)+r} = m, より m-X ～ z-m,
{(p+r)Y+qy}/{(p+r)+q} = m, より Y-m ～ m-y,
{px+(q+r)Z}/{p+(q+r)} = m, より Z-m ～ m-x,
（～は同符号の意味）
変わり映えしない…
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 00:44:47.35 ID:HxtdGT1C.net]
- 正の実数 a, b, c が a+b+c=3 を満たすとき，次の不等式を示せ。
(4a+5)/(a^2+2a+3) + (4b+5)/(b^2+2b+3) + (4c+5)/(c^2+2c+3) ≦ 9/2
まったくもって綺麗じゃないけど
- 566 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 01:00:55.95 ID:HxtdGT1C.net]
- ちなみに >>538 は a+b+c=3 じゃなく abc=1 でも成り立ちますね
- 567 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 01:30:42.22 ID:HxtdGT1C.net]
- すいません正に限る必要なかったですね書き直します。
(1) 実数 a, b, c が a + b + c = 3 を満たすとき，次の不等式を示せ。
(4a+5)/(a^2+2a+3) + (4b+5)/(b^2+2b+3) + (4c+5)/(c^2+2c+3) ≦ 9/2
(2) 正の実数 a, b, c が abc = 1 を満たすとき，上の不等式を示せ。
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 10:46:54.86 ID:l4WYJ2nA.net]
- >>536-537
ありがとう！
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 11:01:58.80 ID:l4WYJ2nA.net]
- 実数 a、b、x、y に対して、(a^2 + ab + b^2)(x^2 + xy + y^2) ≧ {ax + (ay+bx)/2 + by}^2
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 17:57:03.72 ID:HJ99ghG/.net]
- >>542
(左辺)
= {3(a+b)^2 +(a-b)^2} {3(x+y)^2 +(x-y)^2}/16
≧{3|a+b||x+y| + |a-b||x-y|}^2 /16
≧{3(a+b)(x+y) + (a-b)(x-y)}^2 /16
=(右辺),
ﾊｧﾊｧ…
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 18:00:41.19 ID:HJ99ghG/.net]
- ↑は�
- 572 名前：Rーシーでつ。
なお、(左辺)－(右辺) = (3/4)(ay-bx)^2 ≧0, [] - [ここ壊れてます]
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 19:37:10.90 ID:l3OFoYpr.net]
- 知らないうちに解かれてた
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 08:01:32.78 ID:WslfN4nO.net]
- 正の数 a、b、c に対して、a^6 + b^6 + c^6 -2a^3*b^3 - 2b^3*c^3 - 2c^3*a^3 + 3a^2*b^2*c^2 ≧0
( ﾟ∀ﾟ) ﾇﾙﾎﾟ！
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 14:56:53.37 ID:WslfN4nO.net]
- >>524
> www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2008_1/a.10_GENERALIZATIONS_AND_REFINEMENTS_FOR_BERGSTROM_AND_RADONS_INEQUALITIES.pdf
P.P.1-2 Radon’s inequality は pが自然数の場合を証明しているけど、pが正の実数の場合には成り立たないのかな？
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 15:06:39.21 ID:WslfN4nO.net]
- ごめん、勘違いだった。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 16:17:35.34 ID:YK4TWhlE.net]
- >>546
f(t)=exp(6t) は下に凸。
∴ぬるぽビッチにより
exp(6x)+exp(6y)+exp(6z)-2exp(3(x+y))-2exp(3(y+z))-2exp(3(z+x))+3exp(2(x+y+z))≧0,
exp(x)=a、exp(y)=b、exp(z)=cとおく。
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 16:56:07.79 ID:WslfN4nO.net]
- >>549
ヌルポビッチから作ったのがバレバレでしたね。
>>524のP.2のRadonの不等式の証明で、
d_{n+1} - d_n の計算過程において、n=2のRadonの不等式を使っているけど、
自分の証明に自分を使ってるような…
- 579 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/27(月) 21:36:37.50 ID:sKl6oXWf.net]
- おい何でぬるぽビッチが定着してるんだ
- 580 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/27(月) 23:39:17.06 ID:sKl6oXWf.net]
- >>550
n=2 は別途証明してるからその部分はいいんじゃないの
参考文献 [6] を参照しろって書いてあるじゃん（元の論文は読んでないけど）
それより
n = 2, p = 3,
x = (1, 1, 2),
a = (2, 2, 4)
とすると
d[n + 1] - d[n] = -1/2 < 0
にならない？
- 581 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 00:38:13.33 ID:dgtzi8wj.net]
- >>546
（左辺）=(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)(Σa^4 + abcΣa - Σab(a^2 + b^2)) ≧ 0 = （右辺）
後ろの不等式はシューアから
ぬるぽビッチの方が綺麗だね
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 01:27:33.35 ID:uqZezJ5q.net]
- >>552
n = 2, p = 3、x = (1, 1, 2)、a = (2, 2, 4) とすると、
d[n + 1] - d[n]
= (x_3)^4/(a_3)^3 + (x_1 + x_2 + x_3)^4/(a_1 + a_2 + a_3)^3 - (x_1 + x_2)^4/(a_1 + a_2)^3
= 1/4 + 1/2 - 1/4
= 1/2 > 0
大丈夫っぽい。
>>553
因数分解できるのか…。 すげえな！
ぬるぽビッチって便利だな。
- 583 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 01:55:56.39 ID:dgtzi8wj.net]
- >>554
勘違いしてた二乗じゃなく p + 1 乗だよな
何でこんなミスに気づかなかったんだ…
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 03:43:34.74 ID:uqZezJ5q.net]
- Radon's inequality の n=2 の証明は、a_1の関数とみて、微分して片付けた。
- 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 14:29:45.73 ID:2q72uCyh.net]
- d(n+1)-d(n)とか計算せずに普通にヘルダーで良いんじゃないのこれ
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:13:26.71 ID:uqZezJ5q.net]
- >>557
確かに、ヘルダーなら一発だった。
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:17:01.28 ID:uqZezJ5q.net]
- >>524
４ページ目の定理８「ラドンの一般化」の等号成立条件は、
power meanを使っている時点で、a_1 = … = a_n が要るから、
a_1/b_1 = … = a_n/b_n じゃなくて、a_1 = … = a_n かつ b_1 = … = b_n じゃない？
- 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:19:23.83 ID:uqZezJ5q.net]
- >>559
記号がおかしかったな。考えている途中で記号が置き換わってたわ。
x_1/a_1 = … = x_n/a_n じゃなくて、x_1 = … = x_n かつ a_1 = … = a_n じゃない？
- 589 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 21:22:29.12 ID:dgtzi8wj.net]
- ヘルダーが出来るのは p が整数の場合だけでしょ
- 590 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 23:37:55.65 ID:dgtzi8wj.net]
- そうだね等号成立は正しくは次のいずれかが成り立つ時だね
・q=1 かつ x[1]/a[1] = … = x[n]/a[n]
・x
- 591 名前：[1] = … = x[n] かつ a[1] = … = a[n] []
- [ここ壊れてます]
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 06:12:05.86 ID:hgoh04AG.net]
- >>561
Herderの不等式は1/p + 1/q = 1 をみたす実数 p,q>0 だから大丈夫。
ただし、以下のP.310の解２のやり方では、pが正整数の場合の証明にしかなってない。
izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 06:56:55.95 ID:hgoh04AG.net]
- >>562
試しに x_1/a_1 = … = x_n/a_n = c とおいて、拡張Radonの不等式に代入したら、
(左辺) = c^{p+q} Σ(a_k)^q
(右辺) = (c^{p+q}/n^{q-1})*(Σa_k)^q
∴(左辺) - (右辺) = n*c^{p+q}*{(1/n)Σ(a_k)^q - ((1/n)Σa_k)^q}
となって、p乗平均 と 算術平均のp乗 の差なので、これだけでは等号は成立しないよね。
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 07:09:02.99 ID:hgoh04AG.net]
- >>564
訂正。
p乗平均のp乗 と 算術平均のp乗 の差
- 595 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/29(水) 10:59:13.06 ID:SxjNJqQ2.net]
- >>563
重みが実数ならいいんだよね
数列の個数が整数個か
何か頭ごちゃごちゃになってきた
- 596 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:05.11 ID:6nTpySyx.net]
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- 597 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:23.12 ID:6nTpySyx.net]
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- 609 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 16:27:38.03 ID:6nTpySyx.net]
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- 610 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 17:46:52.72 ID:6nTpySyx.net]
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- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 18:17:05.21 ID:xnYT2GDL.net]
- >>553
変数が実数の場合も成立ですね。
もっとも負になり得る項は
-2(xy)^3≧-2|xy|^3
だけなので、正の場合に成り立つことが（ぬるぽビッチ等で）分かれば
実数の場合も成り立ちまつが。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 22:03:49.32 ID:xnYT2GDL.net]
- [問題273]
△ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、R≧2r を示せ。
（Beijing Math. Contest 2000)
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/974
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 00:41:41.00 ID:ss2YGiKO.net]
- >>583
なつかしい…。球角不等式でつね。
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 00:42:03.95 ID:ss2YGiKO.net]
- >>584
訂正。球殻不等式でつね。
- 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 16:52:25.09 ID:sy+V6Hgj.net]
- >>551
(ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！ (ﾟ∀ﾟ) ｽﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ﾇﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ｳﾎﾎﾋﾞｯﾁ！
から派生したらしい…
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 18:20:26.57 ID:sy+V6Hgj.net]
- >>505
◇ABCDの面積をSとする。
◇が外接円（半径R）をもつとき、
S = √{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)},
R^2 = (ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)/(4S)^2 = {uu + [(a+b+c+d)^2-4t]v}/(4S)^2,
ここに、t=ab+ac+ad+bc+bd+cd、u=abc+abd+acd+bcd、v=abcd.
◇が内接円（半径r）をもつとき、
a+c=b+d,
-a+b+c+d=2c, a-b+c+d=2d, a+b-c+d=2a, a+b+c-d=2b,
r = 2S/(a+b+c+d) = 2(√v)/(a+b+c+d),
ここで
G(a b c d) = {16abcd - (-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}/(a+b+c+d)
= (a-b)(a-c)(a-d) + (b-a)(b-c)(b-d) + (c-a)(c-b)(c-d) + (d-a)(d-b)(d-c)
= (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
= (a+b+c+d)^3 -4(a+b+c+d)t +8u,
とおく。
内接円をもつとき G=0 ゆえ
R^2 = {uu + (G-8u)v/(a+b+c+d)}/{16v-(a+b+c+d)G},
= {uu -8uv/(a+b+c+d)}/(16v),
よって
R^2 - 2r^2 = {uu -8uv/(a+b+c+d)}/(16v) - 8v/(a+b+c+d)^2
= {u -16v/(a+b+c+d)}{u +8v/(a+b+c+d)}/(16v)
≧0,
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/02(土) 17:56:03.82 ID:N5gz9LFw.net]
- 6√2･√(4 -√6 -√2)＜π＜2(√3 -1)(√3＋√2 -1),
3.132628613 3.142349131
(略証)
左は >>17
右は >>156
- 618 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/02(土) 21:28:35.90 ID:vbadd4D+.net]
- 随分汚い不等式だな
- 619 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:17:00.07 ID:LZWlka8j.net]
- H(x, y) で x, y の調和平均を表す。
正の実数 a[1], …, a[n] および b[1], … b[n] に対して次の不等式を示せ。
H(a[1], b[1]) + … + H(a[n], b[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n], b[1] + b[n])
- 620 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:18:03.58 ID:LZWlka8j.net]
- なんか途中で書き込みしてしまった…
H(x, y) で x, y の調和平均を表す。
正の実数 a[1], …, a[n] および b[1], … b[n] に対して次の不等式を示せ。
H(a[1], b[1]) + … + H(a[n], b[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n], b[1] + … + b[n])
- 621 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:29:42.54 ID:LZWlka8j.net]
- 正の実数 a[1][1], … a[n][n] の対して次の不等式を示せ。
ΣH(a[1][i], …, a[n][i]) ≦ H(Σa[1][i], …, Σa[n][i])
- 622 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:40:46.84 ID:LZWlka8j.net]
- 間違えた
こっちのほうがスッキリしてるね
ベクトル x に対して H(x) は各要素の調和平均を表すとする。
各要素が正である n 個の m 項ベクトル a[1], …, a[n] に対し，次の不等式を示せ。
H(a[1]) + … + H(a[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n])
- 623 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 01:06:47.24 ID:LZWlka8j.net]
- 駄目だ興奮してまた間違えてる
まだ違ってたら察してくれ
n×m 行列 X = [a[1] … a[n]]t = [[b[1] … b[m]] に対し，次の不等式を示せ。
H(a[1] + … + a[n]) ≧ H(b[1]) + … + H(b[m])
累乗平均や和ではなくまた別の平均に置き換えるとどうなるだろうか
- 624 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 01:41:26.49 ID:LZWlka8j.net]
- はぁ…>>593が正しい…これ以降は察して…
- 625 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 03:51:06.05 ID:LZWlka8j.net]
- スレ汚してしまって申し訳ない>>594がやはり正しい
次数 r の一般の累乗平均 M に対して
M(a[1] + … + a[n]) - (M(b[1]) + … + M(b[m]))
の符号はどうなるのだろうか
・r > 1のとき：負
・r = 1 のとき：0
・r < 1 のとき：正
な気がする
r = 1 は明らかで r = 0 はヘルダーになる
それとももう結果は知られてるのか
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/03(日) 22:56:42.54 ID:sQrzmkLN.net]
- >>591
H(a,b) = 2ab/(a+b) = (a+b)/2 - |a-b|^2 /{2(a+b)},
なので、本題は
Σ[i=1,n] (a_i-b_i)^2 /(a_i+b_i) ≧ {Σ[j=1,n] (a_j-b_j)}^2 /{Σ[k=1,n] (a_k+b_k)},
に帰着するが、これはコーシーで簡単に出そう。
- 627 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 23:36:50.30 ID:LZWlka8j.net]
- ちなみに
・n=2, m=2 ： Poland 1993
・n-2, m=3 ： KMO Weekend Program 2007
です
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 00:35:44.47 ID:nl9wXVG2.net]
- >>596
n×m 行列 X = [a[1] … a[n]]t = [[b[1] … b[m]] に対し，次の不等式を示せ。
H(b[1] + … + b[m]) ≧ H(b[1]) + … + H(b[m])
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 17:40:15.09 ID:10Q9AITI.net]
- >>593
ａ[1]+ａ[2]+…+ａ[n]=ｓとおくと、
H(ｓ) - H(ａ[1]) - H(ａ[2]) - … - H(ａ[n])
= ……
= Σ[1≦i<j≦m] {H(s_i, s_j) - H(a[1]_i,a[1]_j) - … - H(a[n]_i,a[n]_j)}
= Σ[1≦i<j≦m] h(ｂ[i],ｂ[j]),
つまりm項ベクトルの場合も、実は2項ベクトルの調和平均差の総和に過ぎない。 ←これ重要
h(ｘ,ｙ) = H(Σ[k=1,n] x_k, Σ[k=1,n] y_k) - H(x_1,y_1) - H(x_2,y_2) - …… - H(x_n,y_n)
≧0, (>>597)
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 21:11:39.88 ID:10Q9AITI.net]
- >>546 の類題
a^6 + b^6 + c^6 -2(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab) + (abc)^2 ≧0,
(因数分解できるらしい.)
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 21:18:40.30 ID:gsq/KsKg.net]
- >>601
a^6 + b^6 + c^6 -2(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab) + (abc)^2
= (a^3 + b^3 + c^3 - abc)^2
≧0
ぬるぽビッチにどうやって当てはめるのだらうか？
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 22:04:41.76 ID:10Q9AITI.net]
- >>602
無理ぽビッチみたい…
(p+1)(a^4+b^4+c^4) -p(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) +(pp-1){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} +p(2-p)abc(a+b+c)≧0,
A=aa+pbc, B=bb+pca, C=cc+pab とおくと？
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 23:34:28.58 ID:gsq/KsKg.net]
- a_k、b_k ≧0、c_k >.0 のとき、Σ(a_k)(b_k)/(c_k) ≧ (Σa_k)(Σb_k)/(Σc_k)
- 634 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 00:32:20.90 ID:vlIg6IAS.net]
- 累乗平均 M の次数を r とすると
・r>1 のとき：M(a[1]) + … + M(a[n]) ≧
- 635 名前：M(a[1] + … + a[n])
・r=1 のとき：M(a[1]) + … + M(a[n]) ＝ M(a[1] + … + a[n])
・r<1 のとき：M(a[1]) + … + M(a[n]) ≦ M(a[1] + … + a[n])
どっかで見たことあると思ったらポリアの不等式の本に書いてありました [] - [ここ壊れてます]
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 08:25:08.18 ID:kHdvVXoJ.net]
- The Cauchy Reverse Technique
www.isinj.com/usamo/Secrets%20in%20Inequalities%20(volume%201)%20Pham%20Kim%20Hung.pdf
分かりやすく説明してケロ！
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 13:24:55.90 ID:vlIg6IAS.net]
- >>606
mathtrain.jp/crt
分数和を下から抑えるときに使うテクニック
分母にAM≧GMを適用させると与不等式とは不等号が逆になるから，分子を無理やり分母で割ってあまりの部分の分数を符号を反転させる
- 638 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 13:35:43.21 ID:vlIg6IAS.net]
- ・Romania 1997 xyz=1, x, y, z>0
(x^9+y^9)/(x^6+x^3y^3+y^6) + (y^9+z^9)/(y^6+y^3z^3+z^6) + (z^9+x^3)/(z^6+z^3x^3+x^6) ≧ 2
・Lithuania 1987 x, y, z>0
x^3/(x^2+xy+y^2) + y^3/(y^2+yz+z^2) + z^3/(z^2+zx+x^2) ≧ (x+y+z)/3
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 19:37:08.65 ID:zGQUvoYm.net]
- >>608
・上
x^3 = X, y^3 = Y, z^3 = Z とおく。
(X^3 + Y^3)/(XX+XY+YY)
=(X+Y)(XX-XY+YY)/(XX+XY+YY)
=(X+Y){1 + 2(X-Y)^2/(XX+XY+YY)}/3
≧ (X+Y)/3,
・下
x^3/(xx+xy+yy)
= (2x-y)/3 + (x+y)(x-y)^2/{3(xx+xy+yy)}
≧ (2x-y)/3,
- 640 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 21:41:03.01 ID:vlIg6IAS.net]
- CRTの話題が出てきたのでその練習問題として出したんだけど
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 22:42:14.15 ID:zGQUvoYm.net]
- >>593
mについての帰納法で…
・m=2のとき
>>591 >>597
・m>2のとき
H(ａ)＝H(a_1, a_2,…,a_(m-1),a_m)
H0(ａ)＝H(a_1, a_2,…,a_(m-1))
ｓ＝ａ[1] + ａ[2] + …… + ａ[n],
とおく。
m-1について成立したとする。（帰納法の仮定）
H1 = Σ[k=1,n] H0(ａ[k]) ≦ H0(ｓ),
さて
H(ａ) = H(a_1,a_2,･･････,a_(m-1),a_m)
= H(H0(ａ),･･････,H0(ａ),a_m)
= m･a_m･H0(ａ)/{(m-1)a_m + H0(ａ)}
= {a_m + (m-1)H0(ａ)}/m - ((m-1)/m)Σ[k=1,n] {a_m - H0(ａ)}^2 /{(m-1)a_m + H0(ａ)},
なので、
Σ[k=1,n] H(ａ[k]) = {s_m+ (m-1)H1}/m - ((m-1)/m)Σ[k=1,n] {a[k]_m - H0(ａ[k])}^2 /{(m-1)a[k]_m + H0(ａ[k])}
≦ {s_m + (m-1)H1}/m - ((m-1)/m)(s_m - H1)^2 /{(m-1)s_m + H1} (←コーシー)
= m･s_m･H1/{(m-1)s_m + H1}
≦ m･s_m･H0(ｓ)/{(m-1)s_m + H0(ｓ)} (← H1≦H0(ｓ))
= H(ｓ),
>>600 は違うっぽい…
- 642 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 22:51:44.60 ID:vlIg6IAS.net]
- 何かみんな難しく考えてない？
>>593
n 以下で成り立つと仮定すると
H(a[1] + … + a[n] + a[n+1])
≧H(a[1] + … + a[n]) + H(a[n+1])
≧H(a[1]) + … + H(a[n]) + H(a[n+1])
- 643 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 23:02:59.95 ID:vlIg6IAS.net]
- >>593 において，n=2 としたものが >>591
つまりベクトルの項数ではなく個数が 2 個
>>597 は n=2 で正しく証明してるから，帰納法を使うなら m ではなく n についてやらなきゃダメ
それが >>612
- 644 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/06(水) 08:33:21.29 ID:udLxg5Zs.net]
- 夏 休 み の 友
gathery.recruit-lifestyle.co.jp/article/1146775541637910801
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/06(水) 20:08:21.77 ID:714K2b8V.net]
- >>612
n=2 の場合を示せば十分だな。
やっぱり、mについての帰納法になるのかな。
H(ａ) + H(ｂ)
= H(H0(a),……,H0(a),a') + H(H0(b),……,H0(b),b')
= m･a'･H0(a)/[(m-1)a' + H0(a)] + m･b'･H0(ｂ)/[(m-1)b' + H0(ｂ)]
= m(a'+b'){H0(a)+H0(b)}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]－{(m-1)/m}[a'･H0(b)－b'･H0(a)]^2 {H(a)/[a'･H0(a)]}{H(b)/[b'･H0(b)
- 646 名前：]}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]
≦ m(a'+b'){H0(a)+H0(b)}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]
≦ m(a'+b')H0(a+b)/{(m-1)(a'+b')+H0(a+b)} {← H0(a)+H0(b)≦H0(a+b)}
= H(H0(a+b),……,H0(a+b), a'+b')
= H(ａ＋ｂ),
>>613 は意味不明… [] - [ここ壊れてます]
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 17:17:18.77 ID:qeaoYgad.net]
- >>608 >>610
CRT（ブラウン管）を使うと、
(XX-XY+YY)/(XX+XY+YY)
= 1 - 2XY/(XX+XY+YY)
≧ 1 - 2XY/(3XY)
= 1/3,
x^3/(xx+xy+yy)
= x - xy(x+y)/(xx+xy+yy)
≧ x - xy(x+y)/(3xy)
= x - (x+y)/3
= (2x-y)/3,
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 18:33:58.42 ID:qeaoYgad.net]
- >>601の類題
a^6 +b^6 +c^6 +2(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab) -3(abc)^2 ≧0,
(因数分解できるらしい.)
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 18:56:39.91 ID:PHUaneap.net]
- >>617
a^6 +b^6 +c^6 +2(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab) -3(abc)^2
= (a^3 + b^3 + c^3 + abc)^2
≧0
ぬるぽビッチの性能とやらを見せてもらおうか？
- 650 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/07(木) 20:32:24.67 ID:o/iOEGvs.net]
- Let a, b, c be three positive real numbers such that a+b+c=1.
Find max of k∈R satisfies (a+b)(b+c)(c+a)≧k√(abc).
- 651 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/08(金) 04:26:06.83 ID:uwPT+eQg.net]
- >>147
左辺は (x, y, z) = (1, (√5-1)/2, (√5+1)/2) 及びこの巡回置換の時に最小値 11-5√5 = -0.18 を取ります
よって不等式は成り立ちません
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 18:04:18.17 ID:+GqLshVo.net]
- >>619
let a+b+c=s, then
(a+b)(b+c)(c+a) ≧ (8/9)s(ab+bc+ca) ≧ (4s/3)^(3/2)･√(abc),
Left:
(a+b)(b+c)(c+a) - (8/9)s(ab+bc+ca)
= (1/9){(a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc}
= (1/18){a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2}
≧0
Right:
(ab+bc+ca)^2 - 3s(abc)
= (ab+bc+ca)^2 - 3(ab･bc + bc･ca + ca･ab)
= (1/2){aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2 + cc(a-b)^2}
≧0,
∴k=(4/3)^(3/2).
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