不等式への招待　第７章

1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！ 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 過去スレ ・不等式スレッド　（第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ ・不等式への招待 第５章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/ ・不等式への招待 第６章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/ ・過去スレのミラー置き場　cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ 姉妹サイト（？） キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50 Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学 messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&amp;board=1835554&amp;sid=1835554&amp;type=r&amp;first=1 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 19:15:46.88 ID:Q7b/QKg5.net] 証明の終わりに顔文字使ってる数学書もあるくらいだ。問題なかろう。 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/21(火) 19:19:37.72 ID:Q7b/QKg5.net] 検索すると出題者は数オリ出場者みたいだから、この手の問題が好きなんだろうなあ。 それより出題者は、エレガントな解答を用意してるんだろうか？ 計算の羅列で解説を終わったら、オナラかましたくなるな。 ( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｩ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ 　 くく　へﾍﾉ ← 出題者 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/23(木) 21:40:17.78 ID:vDScqBMH.net] 定理10の重みつきスポポビッチの証明が分かりません… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Cours/Inegalites/Inequalities.pdf 536 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 03:28:52.14 ID:W/Uj9dP4.net] はい www.dotup.org/uploda/www.dotup.org915431.pdf わざわざ書いたけど，初等的な不等式I とほとんど同じ証明法なんだよな しかもこっちだと重み付きの一般変数の場合もあるし 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 03:42:58.22 ID:JzDlPDy9.net] >>510 おぉ！ありがとうございます！ 今から読んで理解します。 538 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 03:50:44.16 ID:W/Uj9dP4.net] 人いたのか >>511 a*はaの要素を大きい順に並べたベクトルね 539 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 04:07:55.28 ID:W/Uj9dP4.net] これでかなりの数の初等不等式を証明できるよね 問題は使いこなせるかどうかだけど 【不等式類】 Bernoulli の不等式，Cauthy の不等式，Chebyshev の不等式，Holder の不等式，Jensen の不等 Karamata の不等式，Minkovski の不等式，Muirhead の不等式，Nesbitt の不等式，PowerMean 不等式 QM-AM-GM-HM 不等式，Radon の不等式（次数1），Rearrangement 不等式，Schur の不等式 【メソッド】 ABC，CD3，CDN，CRT，isolated fudging，normalization Lagrange Multipliers，SD3，SMV，SOS，UMV，symmetric separation，uvw，置換 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 04:28:46.11 ID:JzDlPDy9.net] >>513 Radon の不等式（次数1）は知らないです…。 ヌポポビッチを改造した。 改造せずにはいられない！ 不等式ヲタ-ヌポポビッチの不等式 と名づけよう！ 凸関数 f に対して、 { f(a) + f(b) + f(c) + f((a+b+c)/3) }/4 ≧ [ {f(a) + f(b) + f(c)}/3 + f((a+b+c)/3) ]/2 ≧ { f((a+b)/2) + f((b+c)/2) + f((c+a)/2) }/3 左側は Jensenの不等式 {f(a) + f(b) + f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3) を変形しただけ。 右側は ヌッポビッチそのまま。 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 07:23:09.91 ID:JzDlPDy9.net] もう少し改造。ぬるぽビッチの不等式と命名。 【ぬるぽビッチの不等式】 凸関数 f に対して、 { f(a) + f(b) + f(c) - f((a+b+c)/3) }/2 ≧ { f(a) + f(b) + f(c) + f((a+b+c)/3) }/4 ≧ [ {f(a) + f(b) + f(c)}/3 + f((a+b+c)/3) ]/2 ≧ { f((a+b)/2) + f((b+c)/2) + f((c+a)/2) }/3 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！ 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 542 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 12:40:59.46 ID:W/Uj9dP4.net] >>514 Radon の不等式って言ってるけど，Cauthy を変形したものだよ 証明も Cauthy で済ませてると思う 一次の場合は Bergstom's inequality とか，>>8 だと Engel 型の Cauthy の不等式って書いてある 543 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 13:04:01.41 ID:W/Uj9dP4.net] もしかして徹夜でぬるぽビッチやってたのか 何か実例に当てはめられないかね 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 13:52:35.40 ID:JzDlPDy9.net] >>516 なるほど、これですか。 この形にする必要があるのかと小一時間…。 【Engel 型の Cauthy の不等式】 x、y、z > 0 のとき、a^2/x + b^2/y + c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z) 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 13:57:31.91 ID:JzDlPDy9.net] 【ぬるぽビッチの不等式・改】 凸関数 f に対して、 { f(a) + f(b) + f(c) - f((a+b+c)/3) }/2 ≧ { f(a) + f(b) + f(c) + f((a+b+c)/3) }/4 ≧ [ {f(a) + f(b) + f(c)}/3 + f((a+b+c)/3) ]/2 ≧ { f((a+b)/2) + f((b+c)/2) + f((c+a)/2) }/3 ≧ f((a+b+c)/3) １番目と２番目の不等号は、Jensenの不等式 {f(a) + f(b) + f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3) を変形しただけ。 ３番目がヌポポビッチ。 ４番目の不等号は、Jensenの不等式のa、b、cに代入しただけ。 　　　　 ＿＿_ 　　　／|_　　　| 　　　||. (ﾟ∀ﾟ ) 546 名前： |　ぬるぽと聞いて・・・ 　　　||oと.　 Ｕ| 　　　||　|（__）Ｊ| 　　　||／彡￣ ｶﾞﾁｬ [] [ここ壊れてます] 547 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:40:22.34 ID:W/Uj9dP4.net] >>518 まあ見やすいしそのまま不等式に適用できるしいいじゃん 一般の Radon の不等式は Holder の不等式と同じだけど，たぶん別々に発見されたんだろうな 詳しくは知らないけど 548 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:41:35.44 ID:W/Uj9dP4.net] >>494 (1) a≧b≧c として一般性を失わない。 f(x) = \sqrt[(x+1)/(x^2-x+1) とおく。 ・a ≦ 32.8295 のとき g(x) = (-1/(2\sqrt[2]) * log[x] + \sqrt[2]) とおくと f(x) ≦ g(x) が成り立つ。よって Σ[cyc] f(a) ≦Σ[cyc] g(a) = 3\sqrt[2] となる。 ・a ≧ 32.8295 のとき a > 32.8295，0 < c < 1/\sqrt[32.8295] = 0.1745 である。よって f(a) ≦ f(32.8295) = 0.1798 f(b) ≦ f(0.7320) = 1.4678 f(c) ≦ f(0.1745)= 1.1714 つまり f(a) + f(b) + f(c) ≦ 0.1798 + 1.4678 + 1.1714 = 2.8190 ≦ 3\sqrt[2] となる。 どや 549 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:50:54.05 ID:W/Uj9dP4.net] 普通に g(x) = (-1/(2\sqrt[2])) * x + \sqrt[2] + 1/(2\sqrt[2]) で上から抑えればよかったな 550 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 17:54:33.54 ID:W/Uj9dP4.net] ああ違うかなんでもない 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 19:14:35.39 ID:JzDlPDy9.net] >>521 いつもながら流石ですな。 ラドンは検索しても殆ど出てこなくて挫けそうになった。 www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2008_1/a.10_GENERALIZATIONS_AND_REFINEMENTS_FOR_BERGSTROM_AND_RADONS_INEQUALITIES.pdf P.P.1-2 Radon’s inequality P. 3 for refinement of Radon’s inequality P.P.3-4 refinement of Bergstr¨om’s inequality P. 4 the generalization of Radon’s inequality P. 5 the generalization of Radon’s inequality - a variant また一つコレクションが増えたな。 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 20:03:05.61 ID:RC5mmS3F.net] >>509-510 weighted Popoviciuの略証 (px+qy)/(p+q)=X, (px+rz)/(p+r)=Y, (qy+rz)/(q+r)=Z, (px+qy+rz)/(p+q+r)=m とおく。 (i) x,y<m<z のとき X<m<Y,Z p･f(x) + q･f(y)≧(p+q)f(X), r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z), 辺々たす。 (ii) x<m<y,z のとき X,Y<m<Z p･f(x) + (p+q+r)f(m)≧(p+q)f(X) + (p+r)f(Y), q･f(y) + r･f(z)≧(q+r)f(Z), 辺々たす。 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店、演習問題1.89 553 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:13:17.88 ID:W/Uj9dP4.net] >>461 a≧b≧c として一般性を失わない。 斉次化して整理すれば不等式は 27Σa^4b^4(a^4+b^4) + 54Σa^6b^6 ≧ 46a^2b^2c^2Σa^6 + 30a^2b^2c^2Σa^2b^2(a^2+b^2) + 6a^4b^4c^4 と同値。b = a + p, c = a + q (p, q≧0) を代入すれば不等式は (27*p^4*q^8+54*p^6*q^6+27*p^8*q^4) +a*(108*p^3*q^8+216*p^4*q^7+324*p^5*q^6+324*p^6*q^5+216*p^7*q^4+108*p^8*q^3) +a^2*(116*p^2*q^8+864*p^3*q^7+1536*p^4*q^6+1944*p^5*q^5+1536*p^6*q^4+864*p^7*q^3+116*p^8*q^2) +a^3*(16*p*q^8+928*p^2*q^7+3984*p^3*q^6+6192*p^4*q^5+6192*p^5*q^4+3984*p^6*q^3+928*p^7*q^2+16*p^8*q) +a^4*(8*q^8+128*p*q^7+3848*p^2*q^6+11808*p^3*q^5+15024*p^4*q^4+11808*p^5*q^3+3848*p^6*q^2+128*p^7*q+8*p^8) +a^5*(64*q^7+592*p*q^6+10096*p^2*q^5+22848*p^3*q^4+22848*p^4*q^3+10096*p^5*q^2+592*p^6*q+64*p^7) +a^6*(272*q^6+1760*p*q^5+17360*p^2*q^4+28800*p^3*q^3+17360*p^4*q^2+1760*p^5*q+272*p^6) +a^7*(736*q^5+3232*p*q^4+19456*p^2*q^3+19456*p^3*q^2+3232*p^4*q+736*p^5) +a^8*(1268*q^4+3584*p*q^3+11724*p^2*q^2+3584*p^3*q+1268*p^4) +a^9*(1360*q^3+1560*p*q^2+1560*p^2*q+1360*p^3) +a^10*(720*q^2-720*p*q+720*p^2) ≧0 となるが，これは明らかに成り立つ。 554 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:13:57.50 ID:W/Uj9dP4.net] 明後日 TOEIC があるというのに何をやっとるんだ！ 555 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:19:41.98 ID:W/Uj9dP4.net] こんな解き方（？）じゃ証明力つかなくてもしょうがないな… 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/24(金) 20:22:13.49 ID:JzDlPDy9.net] ５月にTOEICを初めて受けた。 リスニングは全く聞き取れず、リーディングは１問だけ分かった。残りは適当に埋めた。 Lis130、Read170、合計300点。 ４択をランダムに埋めても990÷4≒250なのに、300点。 １問しか分からないのに300点とは、いかに検定試験が当てにならないものかよく分かった。 >>525 ( ﾟ∀ﾟ)ｷﾀｺﾚ 557 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 20:41:33.98 ID:W/Uj9dP4.net] >>525 こういうスマートな解き方できるのはいいね 558 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/24(金) 21:49:56.15 ID:W/Uj9dP4.net] >>526 符号気にしないで分母払ったから間違えてるな 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/25(土) 02:19:54.44 ID:KQNANX1m.net] >>461 aa=bb→1/2, cc→0の時成り立たなさそう… >>526はバンチングで良いかと 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/25(土) 03:47:35.78 ID:bGJ+ot70.net] >>525 > (i) x,y<m<z のとき > X<m<Y,Z > r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z), ちょっと分からないので、教えてください。 疑問(1) x、y<m<z のとき、X<mは分かるけど、m<Y、Zはどうやって示すのですか？ 疑問(2) r･f(z) + (p+q+r)f(m)≧(p+r)f(Y) + (q+r)f(Z) はどこから？ 561 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/25(土) 05:34:40.62 ID:loQiTtfh.net] >>532 それも面白みがないじゃん 562 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/25(土) 05:41:14.30 ID:loQiTtfh.net] [2]の数オリ本でも書いてあるけどバンチという言葉って使われてるの？ Schurheadの方が多い気がするけど… 563 名前：521 mailto:sage [2016/06/25(土) 18:12:23.22 ID:nJzcBttQ.net] >>533 回答(1) (pX+qX+rz)/(p+q+r) = m, より m-X 〜 z-m, (pY+qy+rY)/(p+q+r) = m, より Y-m 〜 m-y, (px+qZ+rZ)/(p+q+r) = m, より Z-m 〜 m-x, （〜は同符号の意味） 回答(2) {(Y-m)/(z-m)}f(z) + {(z-Y)/(z-m)}f(m) ≧ f(Y), {(Z-m)/(z-m)}f(z) + {(z-Z)/(z-m)}f(m) ≧ f(Z), (上式)･(p+r)＋(下式)･(q+r) から。 564 名前：521 mailto:sage [2016/06/25(土) 18:17:57.53 ID:nJzcBttQ.net] >>533 回答(1) {(p+q)X+rz}/{(p+q)+r} = m, より m-X 〜 z-m, {(p+r)Y+qy}/{(p+r)+q} = m, より Y-m 〜 m-y, {px+(q+r)Z}/{p+(q+r)} = m, より Z-m 〜 m-x, （〜は同符号の意味） 変わり映えしない… 565 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 00:44:47.35 ID:HxtdGT1C.net] 正の実数 a, b, c が a+b+c=3 を満たすとき，次の不等式を示せ。 (4a+5)/(a^2+2a+3) + (4b+5)/(b^2+2b+3) + (4c+5)/(c^2+2c+3) ≦ 9/2 まったくもって綺麗じゃないけど 566 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 01:00:55.95 ID:HxtdGT1C.net] ちなみに >>538 は a+b+c=3 じゃなく abc=1 でも成り立ちますね 567 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/26(日) 01:30:42.22 ID:HxtdGT1C.net] すいません正に限る必要なかったですね書き直します。 (1) 実数 a, b, c が a + b + c = 3 を満たすとき，次の不等式を示せ。 (4a+5)/(a^2+2a+3) + (4b+5)/(b^2+2b+3) + (4c+5)/(c^2+2c+3) ≦ 9/2 (2) 正の実数 a, b, c が abc = 1 を満たすとき，上の不等式を示せ。 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 10:46:54.86 ID:l4WYJ2nA.net] >>536-537 ありがとう！ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 11:01:58.80 ID:l4WYJ2nA.net] 実数 a、b、x、y に対して、(a^2 + ab + b^2)(x^2 + xy + y^2) ≧ {ax + (ay+bx)/2 + by}^2 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 17:57:03.72 ID:HJ99ghG/.net] >>542 (左辺) = {3(a+b)^2 +(a-b)^2} {3(x+y)^2 +(x-y)^2}/16 ≧{3|a+b||x+y| + |a-b||x-y|}^2 /16 ≧{3(a+b)(x+y) + (a-b)(x-y)}^2 /16 =(右辺), ﾊｧﾊｧ… 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 18:00:41.19 ID:HJ99ghG/.net] ↑は� 572 名前：Rーシーでつ。 なお、(左辺)−(右辺) = (3/4)(ay-bx)^2 ≧0, [] [ここ壊れてます] 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/26(日) 19:37:10.90 ID:l3OFoYpr.net] 知らないうちに解かれてた 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 08:01:32.78 ID:WslfN4nO.net] 正の数 a、b、c に対して、a^6 + b^6 + c^6 -2a^3*b^3 - 2b^3*c^3 - 2c^3*a^3 + 3a^2*b^2*c^2 ≧0 ( ﾟ∀ﾟ) ﾇﾙﾎﾟ！ 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 14:56:53.37 ID:WslfN4nO.net] >>524 > www.icstm.ro/DOCS/josa/josa_2008_1/a.10_GENERALIZATIONS_AND_REFINEMENTS_FOR_BERGSTROM_AND_RADONS_INEQUALITIES.pdf P.P.1-2 Radon’s inequality は pが自然数の場合を証明しているけど、pが正の実数の場合には成り立たないのかな？ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 15:06:39.21 ID:WslfN4nO.net] ごめん、勘違いだった。 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 16:17:35.34 ID:YK4TWhlE.net] >>546 f(t)=exp(6t) は下に凸。 ∴ぬるぽビッチにより exp(6x)+exp(6y)+exp(6z)-2exp(3(x+y))-2exp(3(y+z))-2exp(3(z+x))+3exp(2(x+y+z))≧0, exp(x)=a、exp(y)=b、exp(z)=cとおく。 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/27(月) 16:56:07.79 ID:WslfN4nO.net] >>549 ヌルポビッチから作ったのがバレバレでしたね。 >>524のP.2のRadonの不等式の証明で、 d_{n+1} - d_n の計算過程において、n=2のRadonの不等式を使っているけど、 自分の証明に自分を使ってるような… 579 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/27(月) 21:36:37.50 ID:sKl6oXWf.net] おい何でぬるぽビッチが定着してるんだ 580 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/27(月) 23:39:17.06 ID:sKl6oXWf.net] >>550 n=2 は別途証明してるからその部分はいいんじゃないの 参考文献 [6] を参照しろって書いてあるじゃん（元の論文は読んでないけど） それより n = 2, p = 3, x = (1, 1, 2), a = (2, 2, 4) とすると d[n + 1] - d[n] = -1/2 < 0 にならない？ 581 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 00:38:13.33 ID:dgtzi8wj.net] >>546 （左辺）=(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)(Σa^4 + abcΣa - Σab(a^2 + b^2)) ≧ 0 = （右辺） 後ろの不等式はシューアから ぬるぽビッチの方が綺麗だね 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 01:27:33.35 ID:uqZezJ5q.net] >>552 n = 2, p = 3、x = (1, 1, 2)、a = (2, 2, 4) とすると、 d[n + 1] - d[n] 　= (x_3)^4/(a_3)^3 + (x_1 + x_2 + x_3)^4/(a_1 + a_2 + a_3)^3 - (x_1 + x_2)^4/(a_1 + a_2)^3 　= 1/4 + 1/2 - 1/4 　= 1/2 > 0 大丈夫っぽい。 >>553 因数分解できるのか…。 すげえな！ ぬるぽビッチって便利だな。 583 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 01:55:56.39 ID:dgtzi8wj.net] >>554 勘違いしてた二乗じゃなく p + 1 乗だよな 何でこんなミスに気づかなかったんだ… 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 03:43:34.74 ID:uqZezJ5q.net] Radon's inequality の n=2 の証明は、a_1の関数とみて、微分して片付けた。 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 14:29:45.73 ID:2q72uCyh.net] d(n+1)-d(n)とか計算せずに普通にヘルダーで良いんじゃないのこれ 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:13:26.71 ID:uqZezJ5q.net] >>557 確かに、ヘルダーなら一発だった。 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:17:01.28 ID:uqZezJ5q.net] >>524 ４ページ目の定理８「ラドンの一般化」の等号成立条件は、 power meanを使っている時点で、a_1 = … = a_n が要るから、 a_1/b_1 = … = a_n/b_n じゃなくて、a_1 = … = a_n かつ b_1 = … = b_n じゃない？ 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/28(火) 21:19:23.83 ID:uqZezJ5q.net] >>559 記号がおかしかったな。考えている途中で記号が置き換わってたわ。 x_1/a_1 = … = x_n/a_n じゃなくて、x_1 = … = x_n かつ a_1 = … = a_n じゃない？ 589 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 21:22:29.12 ID:dgtzi8wj.net] ヘルダーが出来るのは p が整数の場合だけでしょ 590 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/28(火) 23:37:55.65 ID:dgtzi8wj.net] そうだね等号成立は正しくは次のいずれかが成り立つ時だね ・q=1 かつ x[1]/a[1] = … = x[n]/a[n] ・x 591 名前：[1] = … = x[n] かつ a[1] = … = a[n] [] [ここ壊れてます] 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 06:12:05.86 ID:hgoh04AG.net] >>561 Herderの不等式は1/p + 1/q = 1 をみたす実数 p,q>0 だから大丈夫。 ただし、以下のP.310の解２のやり方では、pが正整数の場合の証明にしかなってない。 izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 06:56:55.95 ID:hgoh04AG.net] >>562 試しに x_1/a_1 = … = x_n/a_n = c とおいて、拡張Radonの不等式に代入したら、 (左辺) = c^{p+q} Σ(a_k)^q (右辺) = (c^{p+q}/n^{q-1})*(Σa_k)^q ∴(左辺) - (右辺) = n*c^{p+q}*{(1/n)Σ(a_k)^q - ((1/n)Σa_k)^q} となって、p乗平均 と 算術平均のp乗 の差なので、これだけでは等号は成立しないよね。 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 07:09:02.99 ID:hgoh04AG.net] >>564 訂正。 p乗平均のp乗 と 算術平均のp乗 の差 595 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/29(水) 10:59:13.06 ID:SxjNJqQ2.net] >>563 重みが実数ならいいんだよね 数列の個数が整数個か 何か頭ごちゃごちゃになってきた 596 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:05.11 ID:6nTpySyx.net] ￥ 597 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:23.12 ID:6nTpySyx.net] ￥ 598 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:40.87 ID:6nTpySyx.net] ￥ 599 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:56:58.18 ID:6nTpySyx.net] ￥ 600 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:57:17.19 ID:6nTpySyx.net] ￥ 601 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:57:36.87 ID:6nTpySyx.net] ￥ 602 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:57:55.81 ID:6nTpySyx.net] ￥ 603 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:58:14.89 ID:6nTpySyx.net] ￥ 604 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:58:36.14 ID:6nTpySyx.net] ￥ 605 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/29(水) 11:58:56.98 ID:6nTpySyx.net] ￥ 606 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 12:17:26.52 ID:6nTpySyx.net] ￥ 607 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 13:44:11.30 ID:6nTpySyx.net] ￥ 608 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 15:17:37.30 ID:6nTpySyx.net] ￥ 609 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 16:27:38.03 ID:6nTpySyx.net] ￥ 610 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/06/29(水) 17:46:52.72 ID:6nTpySyx.net] ￥ 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 18:17:05.21 ID:xnYT2GDL.net] >>553 変数が実数の場合も成立ですね。 もっとも負になり得る項は -2(xy)^3≧-2|xy|^3 だけなので、正の場合に成り立つことが（ぬるぽビッチ等で）分かれば 実数の場合も成り立ちまつが。 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/29(水) 22:03:49.32 ID:xnYT2GDL.net] [問題273] △ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、R≧2r を示せ。 （Beijing Math. Contest 2000) science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/974 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 00:41:41.00 ID:ss2YGiKO.net] >>583 なつかしい…。球角不等式でつね。 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 00:42:03.95 ID:ss2YGiKO.net] >>584 訂正。球殻不等式でつね。 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 16:52:25.09 ID:sy+V6Hgj.net] >>551 　(ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！　(ﾟ∀ﾟ) ｽﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ﾇﾎﾟﾎﾟﾋﾞｯﾁ、ｳﾎﾎﾋﾞｯﾁ！ から派生したらしい… 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/30(木) 18:20:26.57 ID:sy+V6Hgj.net] >>505 ◇ABCDの面積をSとする。 ◇が外接円（半径R）をもつとき、 S = √{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}, R^2 = (ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)/(4S)^2 = {uu + [(a+b+c+d)^2-4t]v}/(4S)^2, ここに、t=ab+ac+ad+bc+bd+cd、u=abc+abd+acd+bcd、v=abcd. ◇が内接円（半径r）をもつとき、 a+c=b+d, -a+b+c+d=2c, a-b+c+d=2d, a+b-c+d=2a, a+b+c-d=2b, r = 2S/(a+b+c+d) = 2(√v)/(a+b+c+d), ここで G(a b c d) = {16abcd - (-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}/(a+b+c+d) = (a-b)(a-c)(a-d) + (b-a)(b-c)(b-d) + (c-a)(c-b)(c-d) + (d-a)(d-b)(d-c) = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) = (a+b+c+d)^3 -4(a+b+c+d)t +8u, とおく。 内接円をもつとき G=0 ゆえ R^2 = {uu + (G-8u)v/(a+b+c+d)}/{16v-(a+b+c+d)G}, = {uu -8uv/(a+b+c+d)}/(16v), よって R^2 - 2r^2 = {uu -8uv/(a+b+c+d)}/(16v) - 8v/(a+b+c+d)^2 = {u -16v/(a+b+c+d)}{u +8v/(a+b+c+d)}/(16v) ≧0, 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/02(土) 17:56:03.82 ID:N5gz9LFw.net] 6√2･√(4 -√6 -√2)＜π＜2(√3 -1)(√3＋√2 -1), 　3.132628613　　　　　　　　　3.142349131 (略証) 左は >>17 右は >>156 618 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/02(土) 21:28:35.90 ID:vbadd4D+.net] 随分汚い不等式だな 619 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:17:00.07 ID:LZWlka8j.net] H(x, y) で x, y の調和平均を表す。 正の実数 a[1], …, a[n] および b[1], … b[n] に対して次の不等式を示せ。 H(a[1], b[1]) + … + H(a[n], b[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n], b[1] + b[n]) 620 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:18:03.58 ID:LZWlka8j.net] なんか途中で書き込みしてしまった… H(x, y) で x, y の調和平均を表す。 正の実数 a[1], …, a[n] および b[1], … b[n] に対して次の不等式を示せ。 H(a[1], b[1]) + … + H(a[n], b[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n], b[1] + … + b[n]) 621 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:29:42.54 ID:LZWlka8j.net] 正の実数 a[1][1], … a[n][n] の対して次の不等式を示せ。 ΣH(a[1][i], …, a[n][i]) ≦ H(Σa[1][i], …, Σa[n][i]) 622 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 00:40:46.84 ID:LZWlka8j.net] 間違えた こっちのほうがスッキリしてるね ベクトル x に対して H(x) は各要素の調和平均を表すとする。 各要素が正である n 個の m 項ベクトル a[1], …, a[n] に対し，次の不等式を示せ。 　　H(a[1]) + … + H(a[n]) ≦ H(a[1] + … + a[n]) 623 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 01:06:47.24 ID:LZWlka8j.net] 駄目だ興奮してまた間違えてる まだ違ってたら察してくれ n×m 行列 X = [a[1] … a[n]]t = [[b[1] … b[m]] に対し，次の不等式を示せ。 　　H(a[1] + … + a[n]) ≧ H(b[1]) + … + H(b[m]) 累乗平均や和ではなくまた別の平均に置き換えるとどうなるだろうか 624 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 01:41:26.49 ID:LZWlka8j.net] はぁ…>>593が正しい…これ以降は察して… 625 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 03:51:06.05 ID:LZWlka8j.net] スレ汚してしまって申し訳ない>>594がやはり正しい 次数 r の一般の累乗平均 M に対して 　　M(a[1] + … + a[n]) - (M(b[1]) + … + M(b[m])) の符号はどうなるのだろうか ・r > 1のとき：負 ・r = 1 のとき：0 ・r < 1 のとき：正 な気がする r = 1 は明らかで r = 0 はヘルダーになる それとももう結果は知られてるのか 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/03(日) 22:56:42.54 ID:sQrzmkLN.net] >>591 H(a,b) = 2ab/(a+b) = (a+b)/2 - |a-b|^2 /{2(a+b)}, なので、本題は Σ[i=1,n] (a_i-b_i)^2 /(a_i+b_i) ≧ {Σ[j=1,n] (a_j-b_j)}^2 /{Σ[k=1,n] (a_k+b_k)}, に帰着するが、これはコーシーで簡単に出そう。 627 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/03(日) 23:36:50.30 ID:LZWlka8j.net] ちなみに ・n=2, m=2 ： Poland 1993 ・n-2, m=3 ： KMO Weekend Program 2007 です 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 00:35:44.47 ID:nl9wXVG2.net] >>596 n×m 行列 X = [a[1] … a[n]]t = [[b[1] … b[m]] に対し，次の不等式を示せ。 　　H(b[1] + … + b[m]) ≧ H(b[1]) + … + H(b[m]) 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 17:40:15.09 ID:10Q9AITI.net] >>593 ａ[1]+ａ[2]+…+ａ[n]=ｓとおくと、 H(ｓ) - H(ａ[1]) - H(ａ[2]) - … - H(ａ[n]) = …… = Σ[1≦i<j≦m] {H(s_i, s_j) - H(a[1]_i,a[1]_j) - … - H(a[n]_i,a[n]_j)} = Σ[1≦i<j≦m] h(ｂ[i],ｂ[j]), つまりm項ベクトルの場合も、実は2項ベクトルの調和平均差の総和に過ぎない。　←これ重要 h(ｘ,ｙ) = H(Σ[k=1,n] x_k, Σ[k=1,n] y_k) - H(x_1,y_1) - H(x_2,y_2) - …… - H(x_n,y_n) ≧0,　(>>597) 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 21:11:39.88 ID:10Q9AITI.net] >>546 の類題 a^6 + b^6 + c^6 -2(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab) + (abc)^2 ≧0, (因数分解できるらしい.) 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 21:18:40.30 ID:gsq/KsKg.net] >>601 a^6 + b^6 + c^6 -2(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab) + (abc)^2 = (a^3 + b^3 + c^3 - abc)^2 ≧0 ぬるぽビッチにどうやって当てはめるのだらうか？ 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 22:04:41.76 ID:10Q9AITI.net] >>602 無理ぽビッチみたい… (p+1)(a^4+b^4+c^4) -p(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) +(pp-1){(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2} +p(2-p)abc(a+b+c)≧0, A=aa+pbc, B=bb+pca, C=cc+pab とおくと？ 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/04(月) 23:34:28.58 ID:gsq/KsKg.net] a_k、b_k ≧0、c_k >.0 のとき、Σ(a_k)(b_k)/(c_k) ≧ (Σa_k)(Σb_k)/(Σc_k)

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