- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 17:25:32 .net]
- やっちまった・・・orz
- 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 18:17:58 .net]
- １．
整数ａが整数ｂとｃの差を割り切るとき、ｂとｃはａに関して合同であるといい、
そうでないとき、ｂとｃは非合同であるという。ａをｍｏｄｕｌｕｓという。
前者の場合、整数ｂ、ｃの一方は他方の剰余であるといい、
後者の場合、非剰余であるという。
誰が何で、modulusに「法」なんて訳語を当てたんだろ？
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 19:58:14 .net]
- ２．
ａの、モジュラスｍに関する全ての剰余は式ａ＋ｋｍに含まれる。
ｋは不定な整数を表す。
ｂとｃがモジュラスａに従って合同であることを、記号≡を用いて、
ｂ≡ｃ （ｍｏｄ．ａ）で表す。
そういやガウスの時代にはまだ集合概念がなかったんですねー
- 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 20:06:58 .net]
- この時代は内包を表す述語の概念しか無い。
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 20:09:22 .net]
- 1,2,3はあっても、{1,2,3}はなかったんだよな。
- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 20:28:17 .net]
- ３．
定理．ｍ個の連続する整数ａ、ａ＋１・・・ａ＋ｍ－１と別の整数Ａをとると、
それらのどれかはモジュラスｍについてこれに合同であり、それはただ一つである。
- 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 20:47:20 .net]
- 集合概念をもたなくても、ａ＋ｋｍみたいな書き方をするあたり、
剰余類の概念は感覚的に掴んでいたんですかねー
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/22(土) 20:56:43 .net]
- さすがに何言ってるのかわかりづらいｗ
言い直し。
３．
定理．ｍ個の連続する整数ａ、ａ＋１・・・ａ＋ｍ－１と別の整数Ａをとると、
ｍ個の整数のいずれかはモジュラスｍに関してAと合同であり、それはただ一つである。
- 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/23(日) 09:17:54 .net]
- ＤＡの３．の証明の書き方は
自然数の空でない部分集合は最小限をもつ ・・・（☆）
ってことを意識してるっぽいよね。違う書き様もあるのに。俺たちにできないことを（ｒｙ
（☆）は数学的帰納法の原理と同等。（杉浦の解析入門I）
- 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/23(日) 09:36:35 .net]
- 整数に関する定理の証明でいきなり分数を使うのもなんだし、書き方もちょっと
今風にして３．の証明のスケッチ
ａ－Aがｍで割り切れず、かつa－A＞０のとき
集合｛ｍｋ｜ｋは自然数、ｍｋ＞ａ－Ａ｝は自然数の空でない部分集合だから
最小元ｋ０をもつ。このことから定理は従う。
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/23(日) 11:34:52 .net]
- >>9
誤字
最小限－＞最小元
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/24(月) 18:03:09 .net]
- ４．
任意の整数は数列０、１、・・・、ｍ－１あるいは０、－１、・・・、－（ｍ－１）の中に
剰余をもつ。それを最小剰余とよぶ。
０が剰余になるのでなければ、つねに２つの最小剰余が与えられる。それらのうち
一方は正で、他方は負である。
任意の整数は、絶対値がモジュラスの半分を超えない最小剰余をもつ。すなわち、
任意の整数ａに対して整数ｂが存在して、ａ≡ｂ （ｍｏｄ．ｍ）かつ｜ｂ｜≦ｍ／２。
これを絶対最小剰余とよぶ。
- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/24(月) 18:07:22 .net]
- ５．
ａ≡ｂ （ｍｏｄ．ｍｎ）ならばａ≡ｂ （ｍｏｄ．ｍ）
ａ≡ｂ （ｍｏｄ．ｍ） かつ ｂ≡ｃ （ｍｏｄ．ｍ） ならば ａ≡ｃ （ｍｏｄ．ｍ）
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:17:42 .net]
- ６．
A≡a （ｍｏｄ．ｍ） かつ B≡ｂ （ｍｏｄ．ｍ） ならば A＋B≡a＋ｂ （ｍｏｄ．ｍ）
A≡a （ｍｏｄ．ｍ） かつ B≡ｂ （ｍｏｄ．ｍ） ならば A－B≡a－ｂ （ｍｏｄ．ｍ）
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:19:18 .net]
- ７．
A≡a （ｍｏｄ．ｍ） ならば ｋA≡ｋa （ｍｏｄ．ｍ）
A≡a （ｍｏｄ．ｍ） かつ B≡ｂ （ｍｏｄ．ｍ） ならば AB≡aｂ （ｍｏｄ．ｍ）
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:20:50 .net]
- ８．
ｋを正の整数とする。
A≡a （ｍｏｄ．ｍ） ならば A＾ｋ≡a＾ｋ （ｍｏｄ．ｍ）
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:25:57 .net]
- ｆ（ｘ）を整係数多項式とする。
A≡a （ｍｏｄ．ｍ） ならば ｆ（A）≡ｆ（a） （ｍｏｄ．ｍ））
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:29:56 .net]
- >>17は９．
１０．
整係数多項式ｆ（ｘ）に整数を代入していくと、ｍ項からなる数列が
反復して繰り返される。これをｍ項周期という。
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:38:55 .net]
- １０．
整係数多項式ｆ（ｘ）に整数を代入して最小剰余に還元していくと、
ｍ項からなる数列が反復して繰り返される。これをｍ項周期という。
ｆ（ｘ）＝ｘ＾３－８ｘ＋６、ｍ＝５とすると、正の最小剰余は
１，４，３，４，３が無限に繰り返される。
１１．
ｆ（ｘ）≡０ （ｍｏｄ．５）、ｆ（ｘ）≡２ （ｍｏｄ．５）にはなり得ないので
ｆ（ｘ）＝０、ｆ（ｘ）＝２は整数解をもたない。従って有理数解ももたない。
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:43:02 .net]
- このあたりは初頭整数論でよく知られている。
どうせ途中でやめるなら２次形式のとこからやれ
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 15:44:11 .net]
- 初頭整数論 → 初等整数論
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 16:38:54 .net]
- >>20
やだ
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 16:39:44 .net]
- 頭の体操なら数オリ問題の方が上
- 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 16:59:31 .net]
- >>20
言うことはわかるけどね。記号とか多少違うし最初からやろうや。
次に素因数分解の一意性の証明が出てくるけど、ユークリッドの
互除法を使うやり方とはちょっと趣が違ってまあ結構面白いぜｗ
誰がどのようにやっても構わんが、とりあえず順番にやっていくという
ルールでやらんか？
- 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 17:03:53 .net]
- >>23
なるほど、二流だ。的が外れてやがる。
- 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 17:05:13 .net]
- 一流はこんな掃き溜めに読者を求めないw
- 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 17:14:01 .net]
- 25はアカギ
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 17:26:16 .net]
- 俺は数学科の学生ではないので、クマーほどの見識もないし、
間違いは多々あるとおもうｗ
- 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 19:27:42 .net]
- >>24
ほんとに言ってること分かってるのか？
４章までの内容はそこらに腐るほどある初等整数論の本に大体書かれてる。
この本の肝は２次形式論なんだよ
しかもその内容は現代でも扱ってる本は非常に少ない。
これをやらないとこの本を読む意味はほとんどない
初めからやるとそこまでいかないで挫折するだろ
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 20:31:32 .net]
- やれやれｗまあせっかくプロい人も来られているようなので５章から始めますか。
正直、種の理論は自分の手には余るかもしれませんがｗ
ところで、>>22は俺ではない。だから最初からやる方がいいって人もいるんでしょう。
折に触れて１０．の続きも入れていきます。てか、別の方がやってくれもいいですよｗ
- 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/25(火) 23:00:26 .net]
- >>2
訳語でなく和算あたりの用語なのでは？
小さい頃そろばん習ってたときに実とか法とか商とか言ってた気がする。
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 06:09:46 .net]
- なるほど、和算ですか。
モジュラスは別のとこでも使われるから、その方がかぶらなくてよいのかも。
- 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 06:13:18 .net]
- １５３．
二次形式ａｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ＾２を（ａ，ｂ，ｃ）で表す。
（ａ，ｂ，ｃ）と（ｃ，ｂ，ａ）は相異なるものとして区別する。
- 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 06:20:10 .net]
- １５４．
定理
二次形式（ａ，ｂ，ｃ）と整数Ｍに対して、互いに素な整数ｍ、ｎが存在して、
Ｍ＝ａｍ＾２＋２ｂｍｎ＋ｃｎ＾２となるとき、ｂ＾２－ａｃはＭの平方剰余である。
※ａがｍの平方剰余であるとは、ｘ＾２≡ａ （ｍｏｄ．ｍ）が解を持つことをいう。
- 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 07:39:22 .net]
- １５４．の証明
ｍ、ｎは互いに素なのでμｍ－νｎ＝１となる整数μ、νがとれる。
行列Ｘ＝［ｍ，ｎ；ν，μ］とA＝［a，ｂ：ｃ，ｄ］について
ＸA（ｔＸ）の成分を計算して両辺の行列式をとる。ここでｔＸはＸの
転倒行列を表す。これをｍｏｄ．Mに還元して
ｂ＾２－ａｃ≡（μ（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν（ａｍ＋ｂｎ））＾２ （ｍｏｄ．Ｍ）
を得る。
- 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 07:41:59 .net]
- 二次形式（ａ，ｂ，ｃ）と整数Ｍに対して、整数ｍ、ｎが存在して、
Ｍ＝ａｍ＾２＋２ｂｍｎ＋ｃｎ＾２となるとき、
Ｍは二次形式（ａ，ｂ，ｃ）によって表現されるという。
- 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 21:59:58 .net]
- １５５．
１５４．の定理よりｖ＝μ（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν（ａｍ＋ｂｎ）は
ｘ＾２≡ｂ＾２－ａｃ （ｍｏｄ．Ｍ）の解のである。
vの値は、ｍｏｄ．Ｍに関して（μ，ν）の取り方に依らず
一意に定まることを示そう。
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 22:10:31 .net]
- ｍｘ－ｎｙ＝１の解を（μ，ν）、（μ’，ν’）とすると、
（μ’，ν’）＝（μ，ν）＋ｋ（ｎ，ｍ） （ｋは整数）
また、ｖ’＝μ’（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν’（ａｍ＋ｂｎ）とおく。
μ（ｂｍ＋ｃｎ）＋ν（ａｍ＋ｂｎ）＝（ｍ，ｎ）（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（ｔ（ν，μ））
に注意して、ｖ’＝ｖ＋ｋＭ≡ｖ （ｍｏｄ．Ｍ）を得る。
- 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/26(水) 22:11:14 .net]
- 逆に、ｖ’≡ｖ （ｍｏｄ．Ｍ）となるｖ’が与えられれば、
ｋ＝（ｖ’－ｖ）／Ｍとしてμ’，ν’が定まる。
- 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/27(木) 20:36:40 .net]
- 以下、二次形式の判別式は≠０とする。
１５７．
二次形式Ｆの表現行列を（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）、
二次形式Ｆ’の表現行列を（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）とする。
整数α、β、γ、δが存在して、
（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）＝ｔ（α，β，γ，δ）（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（α，β，γ，δ）
となるとき、ＦはＦ’を含むという。Ｆ≧Ｆ’と書くことにする。
Ｆ≧Ｆ’かつＦ’≧Ｆのとき、ＦとＦ’は同等であるという。Ｆ～Ｆ’と書くことにする。
- 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/27(木) 20:43:23 .net]
- Ｆ≧Ｆ’のときｂ’＾２－a’ｃ’＝（αδ－βγ）＾２（ｂ＾２－aｃ）
よって、Ｆ～Ｆ’⇒ｂ’＾２－a’ｃ’＝ｂ＾２－aｃ⇔（αδ－βγ）＾２＝１
同等であるために判別式が等しいことは必要であるが、
十分であるとは限らない。
- 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/27(木) 20:46:08 .net]
- αδ－βγ＞０のとき、（�
- 43 名前：ｿ，β；γ，δ）を固有変換と呼び、
またＦ’はＦに固有に含まれるということにする。
αδ－βγ＜０のとき、（α，β；γ，δ）を非固有変換と呼び、
またＦ’はＦに非固有に含まれるということにする。 [] - [ここ壊れてます]
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/27(木) 20:48:49 .net]
- （α，β；γ，δ）と（α’，β’；γ’，δ’）が同種であるとは
（αδ－βγ）（α’δ’－β’γ’）＞０であるときをいう。
（α，β；γ，δ）と（α’，β’；γ’，δ’）が異種であるとは
（αδ－βγ）（α’δ’－β’γ’）＜０であるときをいう。
- 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 06:44:46 .net]
- １５８．
二次形式ＦとＦ’が同等であるとする。
Ｆ’がＦに固有（非固有）に含まれるならば、ＦもＦ’に固有（非固有）に含まれる。
このとき、ＦとＦ’は固有（非固有）に同等であるということにする。
- 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 22:26:25 .net]
- ＦとＦ’が固有に同等であるとき、Ｆ～Ｆ’（固）と書くことにする。
ＦとＦ’が非固有に同等であるとき、Ｆ～Ｆ’（非）と書くことにする。
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 22:30:34 .net]
- １５９．
Ｆ≧Ｆ’かつＦ’≧Ｆ’’ならばＦ≧Ｆ’’
Ｆ～Ｆ’かつＦ’～Ｆ’’ならばＦ～Ｆ’’
特に、
Ｆ～Ｆ’（固）かつＦ’～Ｆ’’（固）ならばＦ～Ｆ’’（固）
Ｆ～Ｆ’（非）かつＦ’～Ｆ’’（非）ならばＦ～Ｆ’’（固）
Ｆ～Ｆ’（固）かつＦ’～Ｆ’’（非）ならばＦ～Ｆ’’（非）
Ｆ～Ｆ’（非）かつＦ’～Ｆ’’（固）ならばＦ～Ｆ’’（非）
- 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 22:38:10 .net]
- （ａ，－ｂ，ｃ）～（ａ，ｂ，ｃ） （非）
∵（１，０；０，－１）（ａ，－ｂ；－ｂ，ｃ）（１，０；０，－１）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｃ）
（ｃ，ｂ，ａ）～（ａ，ｂ，ｃ） （非）
∵（０，１；１，０）（ｃ，ｂ；ｂ，ａ）（０，１；１，０）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｃ）
（ｃ，－ｂ，ａ）～（ａ，ｂ，ｃ） （固）
∵（０，－１；１，０）（ｃ，－ｂ；－ｂ，ａ）（０，１；－１，０）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｃ）
- 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 20:56:30 .net]
- １６２．
二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２は二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２を含むとし、
（ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）＝ｔ（α，β；γ，δ）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α，β；γ，δ）
α，β；γ，δは整数
とする。
（α，β；γ，δ）と同種な任意の変換を構成する。
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 21:19:20 .net]
- （ａ’，ｂ’；ｃ’，ｄ’）＝ｔ（α’，β’；γ’，δ’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α’，β’；γ’，δ’）
α’，β’，γ’，δ’は整数
とすると、（αδ－βγ）＾２＝（α’δ’－β’γ’）＾２
同種なので、αδ－βγ＝α’δ’－β’γ’
（α’’，β’’；γ’’，δ’’）＝（α’，β’；γ’，δ’）（α，β；γ，δ）＾（－１）
とすると、α’’δ’’－β’’γ’’＝１
また、
（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）＝ｔ（α’’，β’’；γ’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α’’，β’’；γ’’，δ’’）
となるので、
（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（δ’’，－β’’；－γ’’，α’’）＝（α’’，γ’’；β’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）
（１，１）成分を比較して、
a（α’’－δ’’）＋２ｂγ’’＝０
（１，２）成分を比較して、
aβ’’＋ｃγ’’＝０
よって、ａ、２ｂ、ｃの最大公約数をｍとすると、整数ｕが存在して、
α’’－δ’’＝２ｂｕ／ｍ、γ’’＝－ａｕ／ｍ、β’’＝ｃｕ／ｍ
こうして、ｔ＝（ｍ／２）（α’’＋δ’’）、Ｄ＝ｂ＾２－ａｃとおいて、
ｔ＾２－Ｄｕ＾２＝ｍ＾２を得る。ここで、ｔ、ｕは整数である。
- 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 21:22:20 .net]
- つまり、二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２から
二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２への２つの同種な変換より
不定方程式ｘ＾２－Ｄｙ＾２＝ｍ＾２の整数解を構成することができる。
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 21:29:42 .net]
- α’’＋δ’’＝２ｔ／ｍ、α’’－δ’’＝２ｂｕ／ｍより
α’’＝（ｔ＋ｂｕ）／ｍ、δ’’＝（ｔ－ｂｕ）／ｍとなるので、
α’＝（１／ｍ）｛αｔ＋（αｂ＋γｃ）ｕ｝
β’＝（１／ｍ）｛βｔ＋（βｂ＋δｃ）ｕ｝
γ’＝（１／ｍ）｛γｔ－（αａ＋γｂ）ｕ｝
δ’＝（１／ｍ）｛δｔ－（βａ＋δｂ）ｕ｝
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 00:10:53 .net]
- α’’，β’’，γ’’，δ’’は整数とは限らないのでこれではダメですねorz
後ほどやり直します＞＜
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 01:33:39 .net]
- >>48-51の訂正
１６２．
二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２は二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２を含むとし、
（ａ’，ｂ’；ｂ’，ｃ’）＝ｔ（α，β；γ，δ）（a，ｂ；ｂ，ｃ）（α，β；γ，δ）
α，β，γ，δは整数
とする。
（α，β；γ，δ）と同種な任意の変換を構成する。
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 01:43:45 .net]
- （ａ’，ｂ’；ｂ’，ｃ’）＝ｔ（α’，β’；γ’，δ’）（a，ｂ；ｂ，ｃ）（α’，β’；γ’，δ’）
α’，β’，γ’，δ’は整数
とすると、（αδ－βγ）＾２＝（α’δ’－β’γ’）＾２
同種なので、αδ－βγ＝α’δ’－β’γ’
（α’’，β’’；γ’’，δ’’）＝（α’，β’；γ’，δ’）（δ，－β；－γ，α）とすると、
α’’δ’’－β’’γ’’＝（αδ－βγ）＾２
また、（αδ－βγ）＾２（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）
＝ｔ（α’’，β’’；γ’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）（α’’，β’’；γ’’，δ’’）
となるので、
（ａ，ｂ；ｃ，ｄ）（δ’’，－β’’；－γ’’，α’’）＝（α’’，γ’’；β’’，δ’’）（a，ｂ；ｃ，ｄ）
（１，１）成分を比較して、
a（α’’－δ’’）＋２ｂγ’’＝０
（１，２）成分を比較して、
aβ’’＋ｃγ’’＝０
よって、ａ、２ｂ、ｃの最大公約数をｍとすると、整数ｕが存在して、
α’’－δ’’＝２ｂｕ／ｍ、γ’’＝－ａｕ／ｍ、β’’＝ｃｕ／ｍ
こうして、ｔ＝（ｍ／２）（α’’＋δ’’）、Ｄ＝ｂ＾２－ａｃとおいて、
ｔ＾２－Ｄｕ＾２＝ｍ＾２を得る。ここで、ｔ、ｕは整数である。
- 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 01:44:29 .net]
- つまり、二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２から
二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２への２つの同種な変換より
不定方程式ｘ＾２－Ｄｙ＾２＝ｍ＾２の整数解を構成することができる。
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 01:47:05 .net]
- α’’＋δ’’＝２ｔ／ｍ、α’’－δ’’＝２ｂｕ／ｍより
α’’＝（ｔ＋ｂｕ）／ｍ、δ’’＝（ｔ－ｂｕ）／ｍとなるので、
α’＝｛１／ｍ（αδ－βγ）｝｛αｔ＋（αｂ＋γｃ）ｕ｝
β’＝｛１／ｍ（αδ－βγ）｝｛βｔ＋（βｂ＋δｃ）ｕ｝
γ’＝｛１／ｍ（αδ－βγ）｝｛γｔ－（αａ＋γｂ）ｕ｝
δ’＝｛１／ｍ（αδ－βγ）｝｛δｔ－（βａ＋δｂ）ｕ｝
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 13:52:47 .net]
- 訂正抜けてた。
>>54
ｔ＾２－Ｄｕ＾２＝ｍ＾２ －＞ ｔ＾２－Ｄｕ＾２＝（ｍ（αδ－βγ））＾２
>>55
ｘ＾２－Ｄｙ＾２＝ｍ＾２ －＞ ｘ＾２－Ｄｙ＾２＝（ｍ（αδ－βγ））＾２
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 15:18:00 .net]
- コテつけ無いと落書きされるで
- 60 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/01(火) 01:46:43 .net]
- 検索には便利そうですねー。仰せのとおりに。
- 61 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/04(金) 13:41:45 .net]
- 逆に、ｔ、ｕがｔ＾２－Ｄｕ＾２＝（ｍ（αδ－βγ））＾２を満たす整数であるとき、
（ｔ＋ｂｕ）／ｍと（ｔ－ｂｕ）／ｍはそれぞれ整数であることを示そう。
- 62 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/04(金) 13:56:25 .net]
- Ｄ＝ｂ＾２－ａｃであったので、
ｔ＾２－ｂ＾２ｕ＾２＝（ｍ（αδ－βγ））＾２－ａｃｕ＾２
ｍはａ、２ｂ、ｃの最大公約数であったので、
４ｔ＾２はｍ＾２の倍数であり、２ｔはｍの倍数。
従って、２（ｔ＋ｂｕ）／ｍと２（ｔ－ｂｕ）／ｍは整数となり、
２数の差は偶数になることがわかる。
また２数の積は４の倍数になることがわかるので、
２（ｔ＋ｂｕ）／ｍと２（ｔ－ｂｕ）／ｍは偶数である。
以上により、主張が示された。
- 63 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/04(金) 14:08:00 .net]
- 二次形式a’ｘ＾２＋２ｂ’ｘｙ＋ｃ’ｚ＾２が二次形式aｘ＾２＋２ｂｘｙ＋ｃｚ＾２が
同等であるときには、αδ－βγ＝±１であるので、同種な変換を
ｘ＾２－Ｄｙ＾２＝ｍ＾２の整数解から構成することができる。
同等でない場合は、変換行列の成分に分数を含む場合が生じる。
- 64 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/06(日) 02:22:57 .net]
- １６３．
１５９．（>>46）より、（ａ，－ｂ，ｃ）～（ａ，ｂ，ｃ） （非）であったので、
（ａ，０，ｃ）は自分自身と固有的かつ非固有的に同等であることがわかる。
より一般的に、
２ｂがａで割り切れるとき、（ａ，ｂ，ｃ）と（ｃ，ｂ，ａ）は固有的かつ非固有的に
同等である。
∵（－１，０；－２ｂ／ａ，１）（ａ，ｂ；ｂ，ｄ）（－１，－２ｂ／ａ；０，１）＝（ａ，ｂ；ｂ，ｄ）
- 65 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/06(日) 02:25:53 .net]
- ２ｂがａで割り切れるときの二次形式（ａ，ｂ，ｃ）を双性形式と呼ぶことにする。
- 66 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/10(木) 19:04:11 .net]
- 二次形式Ｆ’は二次形式Ｆに従属するとする。
Ｆ≧Ｇ≧Ｆ’で、自分自身と固有的かつ非固有的に同等であるような
二次形式Ｇが存在したとする。
このとき、Ｆ’はＦに固有的かつ非固有的に従属する。
これは明らかなことであるが、これの逆が成りたつ。
- 67 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/10(木) 19:06:39 .net]
- 二次形式Ｆ’は二次形式Ｆに固有的かつ非固有的に従属するとする。
このとき、双性形式Ｇが存在して、Ｆ≧Ｇ≧Ｆ’となる。
- 68 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/10(木) 19:07:21 .net]
- >>66は１６４．
- 69 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/10(木) 19:11:16 .net]
- ここからしばらく１６４．の証明
ガウスの式変形が神すぎて、全く訳がわからない。
兎に角やるです。
- 70 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/10(木) 19:32:14 .net]
- 簡便のため、ＦおよびＦ’の表現行列をそれぞれＦ、Ｆ’で表すことにする。
また、行列Ａの余因子行列をｃＡで表すことにする。
整数行列Ｔ、Ｔ’が
Ｆ’＝ｔＴＦＴ＝ｔＴ’ＦＴ’、ｄｅｔ（Ｔ）ｄｅｔ（Ｔ’）＜０
を満たすとする。
ｄｅｔ（Ｔ）＾２＝ｄｅｔ（Ｔ’）＾２かつｄｅｔ（Ｔ）ｄｅｔ（Ｔ’）＜０よりｄｅｔ（Ｔ）＋ｄｅｔ（Ｔ’）＝０・・・①
Ｔ’’＝Ｔ’ｃＴとすると、ｔＴ’’Ｆ＝－ＦｃＴ’’・・・②
- 71 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/10(木) 19:46:58 .net]
- ②より
ｔ（Ｔ’’＋ｃＴ’’）Ｆ＋Ｆ（Ｔ’’＋ｃＴ’’）
＝ｔＴ’’Ｆ＋ＦｃＴ’’＋ｔ（ｔＴ’’Ｆ＋ＦｃＴ’’）＝０
Ｔ’’＋ｃＴ’’＝ｔｒ（Ｔ’’）Ｉ （Ｉ は単位行列）
なので、ｔｒ（Ｔ’’）＝ｔｒ（Ｔ’ｃＴ）＝０・・・③
また、ｄｅｔ（Ｔ＋Ｔ’）＝ｄｅｔ（Ｔ）＋ｄｅｔ（Ｔ’）＋ｔｒ（Ｔ’ｃＴ）＝０・・・④
- 72 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/11(金) 22:44:34 .net]
- 複雑な式を打ってると自分自身間違えてしまうので、texでうｐることにしました。
とりあえず、153-162まで。
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf529
DLkey gauss
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/12(土) 23:15:46 .net]
- pdfわかりやすいよ。
- 74 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/17(木) 00:39:59 .net]
- ちょっと表記の仕方を前回と変えました。
やっぱ列ベクトルの方が慣れてて扱い易ので。
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf545
DLkey gauss
- 75 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/17(木) 00:41:17 .net]
- 163, 164 death
- 76 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/19(土) 00:19:58 .net]
- がうすの二元二次形式の理論、三元二次形式の理論、特に後者は難解だ。
もっと現代的に整理しなおした良い教科書みたいなものは無いのだろうか？
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 01:17:35 .net]
- >>75
あるよ。
ｐ＝ｘ＾２＋ｎ ｙ＾２
という本。著者はど忘れ。
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 02:50:16 .net]
- David A. Coxか？
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 03:07:23 .net]
- 大学入ったころ最初の100pほど邦訳のを読んだなぁ。
今でも普通に数学の本として面白いんだからすごいよねぇ。
- 80 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/21(月) 14:41:21.76 .net]
- test
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/24(木) 01:25:11.38 .net]
- ガンバレ！
- 82 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/24(木) 03:46:08.09 .net]
- 153から170まで範囲で、手を加えたり配列を変えたりしてるので
時間がかかってます(´・ω・`)いましばらくお待ち下さい
- 83 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/24(木) 03:48:11.56 .net]
- とりあえず今日はもう寝る
＜⌒／ヽ-、_＿_
／＜_/＿＿＿＿／
- 84 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/26(土) 00:52:09.38 .net]
- ちょっと中途半端ですが、保守的な
- 85 名前：意味も込めて
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf573
DLkey gauss
[] - [ここ壊れてます]
- 86 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/02/26(土) 00:54:57.56 .net]
- 内容的に新しいところは５、８、９、１０です。
- 87 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/03/02(水) 13:36:01.53 .net]
- DA171，172
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf591
DLkey gauss
- 88 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/03/25(金) 20:56:36.32 .net]
- DA153-178
aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf678
DLkey gauss
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/27(日) 22:34:11.05 .net]
- お疲れ
- 90 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/04/02(土) 00:57:52.16 .net]
- DA171-183
aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf700
DLkey gauss
しばらく手書きです。時間のあるときに整理するかもです。
- 91 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/04/02(土) 09:08:13.14 .net]
- 今までのところのまとめ。
Ｍ＝ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２の整数解を求める統一的な方法を考える。
この不定方程式が解を持つとき、ｘ＾２≡Ｄ （ｍｏｄ．４Ｍ）は解を持ち、
それをＮ （ｍｏｄ．２Ｍ）とすると、Ｔ∈ＳＬ＿２（Z）が存在して、
ｔＴ（ａ，ｂ／２；ｂ／２，ｃ）T＝（Ｍ，Ｎ／２；Ｎ／２，Ｐ）とできる。
Ｔ＝（α，β；γ，δ）とすると、Ｍ＝ａα＾２＋ｂαγ＋ｃγ＾２なので、
整数解を求める問題はTを求める問題に帰着される。
- 92 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/04/02(土) 09:14:46.82 .net]
- すべての変換行列Tを求める問題は、変換行列が一つ与えられていれば、
不定方程式ｘ＾２－Dｙ＾２＝４ｒ＾２の整数解を求める問題に帰着される。
ただし、ｒは2次形式の係数の最大公約数である。
- 93 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/04/02(土) 09:20:58.72 .net]
- 2次形式Ｆ＿１とＦ_２が同値であることを、
Ｔ∈ＳＬ＿２（Z）が存在して、ｔＴＦ＿１T＝Ｆ＿２である定義する。
変換行列を一つ求める問題は、上の同値関係による代表系を求めることによって
なされる。この代表系は簡約形式と呼ばれる。
Ｆ＿１とＦ＿２に同値な簡約形式ｆが与えられると、Ｆ＿１とｆ、Ｆ＿２とｆの変換行列を
それぞれ求めることができるので、それによりＦ＿１とＦ＿２の変換行列を求めることが
できる。
- 94 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/04/02(土) 09:25:08.94 .net]
- 判別式が負の場合、同値な簡約形式は高々２個であるので、話は比較的簡単になる。
判別式が正の場合、同値な簡約形式の個数はもっと大きくなり、複雑になる。
とりあえず以上です。
このあたりはガウスのオリジナルではなく、ラグランジュなどがすでに見つけていて、
ガウスはそれを整理した、というのをどこかで読みました。たぶんブルバキ数学史。
- 95 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/04/02(土) 09:47:01.58 .net]
- ガウスの二次形式論以降、
二次形式論→二次体論（円分体論）→代数的整数論
という流れがありますが、これに比べると高次形式論はあまり進展がないようです。
上の方でも少し話題がありましたが。
比較的最近Bhargavaという数学者が高次形式の合成を見つけたそうです。
- 96 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/05/01(日) 11:12:26.07 .net]
- 落ちたらチラシの裏にでもあげるです(´・ω・`)
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/04(水) 20:04:19.03 .net]
- >>88
エラーになりますが
- 98 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/05/18(水) 21:01:11.00 .net]
- 流れたみたいですね。少々お待ちください。
- 99 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/05/20(金) 23:38:59.63 .net]
- 153-177
aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=file849
178-181
aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=file850
DLkey gauss
- 100 名前： ◆41yyeRTLRU mailto:sage [2011/05/20(金) 23:41:09.83 .net]
- 続きを再開できるのは夏休みまでムリかなぁ(´・ω・`)
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