- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/09/09(木) 23:01:34 .net]
- 板が飛んだから
代数学と幾何学と解析学の話題をここでしよう
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 01:00:04 .net]
- 訂正：>>315の
>A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式、
は
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式「の解」、
の間違い。
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/22(水) 01:25:56 .net]
- >>315
詳細な説明ありがとうございます
行列のn乗を使った一般解が当然Pell方程式を満足することは分かりました
ちなみにPell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
を示すにはどうしたらよいでしょうか？
それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 01:34:36 .net]
- トーラスの有理点の集合を表現空間とするウンたらかんたら
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/22(水) 01:44:11 .net]
- >>318
二次不定方程式なのにトーラスが出てくるとは…
詳細は分からないですがこの問題も奥深いですね…
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 02:22:07 .net]
- とりあえず複素変数で考えよう
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 03:27:42 .net]
- >>317
>Pell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
は次のようにして示せる。
1つ解(a,±b)を固定して定まる一般解
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の他に解(c,±d)が存在したとする。
すると解(c,±d)に対して或る正方行列Bが存在して一般解
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
が構成される。このとき、(a,b)に対して或る自然数mが存在して
(a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。よって一般解は
A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列について、
任意の自然数nに対してA^nB^m=B^nが成り立つ。
つまり、n=mとすればA^mB^m=B^mであって、
Bは正則行列だから、A^m=Iとなる。
同じくAも正則だから、Aは一般線型群GL(2,R)に属し、A^m∊GL(2,R)。
従ってA=Iであって、B^m=I∊GL(2,R)から
(a,b)=B^m(c,d)=(c,d)が得られて矛盾。
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 04:07:35 .net]
- >>317
>それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
>たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…
これは複素平面上でPell方程式を考えないと意味がないと思うが、
そうするとPell方程式の解(x,y)が複素
- 328 名前：数解になって、
正方行列Aは一般線型群GL(2;C)に属することになるが、
単にA∊GL(2;C)っていうことだけだとAに特別な意味はないと思う。
ただ、解である基底ベクトル(a,±b)の間に
片方が他の片方に対する正則行列の作用によって表わせるということはいえる。
あと、相似変換っていうのは行列に対するスカラー積の作用のことをいっていると思うが、
解が
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の形で表わされる以上、それに意味はないと思う。
[] - [ここ壊れてます]
- 329 名前：猫は悪魔 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2010/12/22(水) 11:28:33 .net]
- 猫
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 16:45:23 .net]
- >>317
>>321の
>(a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。よって一般解は
>A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
>と表わされて、…
このあたり、ギャップがあるというか、間違いがあるから、次のように訂正：
よって一般解は
A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
または
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列Bについて、或る自然数kが存在して(a,-b)=B^k(c,d)、が成り立つ。
このとき(a,-b)≠(c,d)だからB^kは正則行列で、(c,d)=B^{-k}(a,-b)。
従って一般解は
A^nB^{n-k}(a,-b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
一方、(a,-b)及び(c,d)に対して或る自然数iが存在して(a,-b)=B^i(c,d)が成り立つ。
従って、一般解は
A^nB^{n-k+i}(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。この形と
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
の形で一般解は表わされるから、正方行列A、Bは正則であることに注意すれば、
任意の自然数aに対して或る自然数bが存在して、A^aB^{a-k+i}=B^b。
逆に、任意の自然数bに対して或る自然数aが存在して、A^aB^{a-k+i}=B^b。
つまり、A^aB^{a-k+i}=B^bを満たす自然数a、bの間には全単射が存在する。
a、bを共に非負整数としても同様。
一方、任意の整数a、bに対して、A^aB^{a-k+i}、B^b∊GL(2;R)。
従ってb=|-k+i|に対して定まる自然数aについて、A^aB^a=(AB)^a=Iからa=0。
そして、この自然数bについてb=-k+i≧0であって、このときb=-k+i=0。
故にk=iが得られて、一般解は
A^nB^n(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 16:47:09 .net]
- >>324の続き：
よって一般解は
A^nB^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
つまり
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列について、
任意の自然数nに対してA^nB^n=B^nが成り立つ。
このとき、Bは正則行列だから、A^n=Iとなる。
同じくAも正則だから、Aは一般線型群GL(2,R)に属し、A^n∊GL(2,R)、nは任意。
従ってA=Iであって、一般解が(a,b)に限られて有限個存在することになり矛盾。
あとの細かいギャップ埋めは紙の上でして下さい。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 17:13:20 .net]
- 掻い摘んで説明してくれ
- 333 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/22(水) 17:42:45 .net]
- たしかに。
読む気が起こらない。
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 18:38:37 .net]
- >>326
>>324をまとめると、要は
A^aB^{a-k+i}=B^bを満たす自然数a、bの間には全単射が存在する。
a、bを共に負整数としても同様で、
A^aB^{a+k-i}=B^bを満たす負整数a、bの間には全単射が存在する。
これを示すことが重要ってことだ。
あとはk>i、k<i、k=iと場合分けするようにして考えればいい。
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 18:50:46 .net]
- > このとき、(a,b)に対して或る自然数mが存在して (a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。
のはなんで？
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 18:55:28 .net]
- >>329
(a,±b)と(c,±d)は異なる解と仮定しているんだから、
これが成り立つと仮定しても一般性を失わないだろ。
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 18:59:56 .net]
- ？
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 19:21:44 .net]
- >>331
(a,±b)と(c,±d)は異なる解ということは、
常にb≠±dかつ-b≠±dでなければいけない。
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 20:05:36 .net]
- いや、なんでBの冪で(c,d)から到達できる系列に(a,b)が乗ってるのかが判らん
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/22(水) 21:07:00 .net]
- >>333
解(a,b)は(c,±d)、(1,0)のどれとも違うんだから、一般解が
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされることから、解(a,b)がその解空間に入るとすれば、
(a,b)=B^m(c,d)は必然的にいえる。
一方、入っていなければ2つの解空間
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
と
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
は違うがA(a,-b)=B(c,-d)
符号を考えていいかえればA(a,b)=B(c,d)
つまり(a,b)=A{-1}B(c,d)は成り立つ。
ここでA{-1}BをB(本当はCでも何でもいい)で置き換えれば
(a,b)=B(c,d)が得られる。
これはいわんとした主張(a,b)=B^m(c,d)に一致する。
- 341 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/23(木) 00:15:24 .net]
- 元々の質問者です、色々な書き込みありがとうございます
当方数学好きではありますが専門ではないので
時間をかけて理解したいと思います
不明な点があればまた質問しますのでよろ
- 342 名前：しくお願いします []
- [ここ壊れてます]
- 343 名前：335 [2010/12/23(木) 00:27:01 .net]
- 実際に計算してみて思ったのですが、
自明解(1,0)に隣接する二つの解(a,±b)でなければ、全ての整数解を表せそうもないです
x^2-3y^2=1 では(1,0)(2,±1)(7,±4) などが見つけやすい解ですが
(7,-4) -A-> (1,0) -A-> (7,4) を満たす一次変換Aはもちろん存在しますが
(x_n,y_n)=A^n(7,±4)(n:自然数) では全ての解を表現できていないのは明らかです
事実nが自然数であることから(2,±1)はこの一般解に含まれていないように思えるのですが
どうなのでしょうか？
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 17:43:14 .net]
- >>336
そちらの予想が間違っている。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 18:26:08 .net]
- >>336
ここにすべてを細かく書くのは面倒で、
本当は>>321、>>324、>>325の前に
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
や
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
のような一般解（1つの一般解の全体は位相空間をなすから解空間って呼んだ）
を構成する(a,±b)のようなもの（これも面倒だから基底って呼ぶ）が有限個存在すること
つまり、上のような解空間が有限個存在することを示さなければいけない。
このとき、すべての1つの解空間Aについて、Aを包含するような解空間は存在しないとして考えていい。
それを示すと、1つの解空間で表わせない解は高々有限個であることがいえる。
一方、解空間全体の交わりに属する解は無限個存在する。
つまり、解空間全体の交わりと1つの解空間とN^2との間には全単射が存在する。
そうである以上、解全体の交わりは或る1つの解空間に一致しなければいけなくて、矛盾が生じる。
こういうのは紙の上でどうぞ。
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 18:35:27 .net]
- >>338
訂正：最初に>>321、>>324、>>325のようなことを行う。
そして>>338を続ける。
要は或る解空間Aの(a,±b)のような基底が他の或る解空間Bに属する場合と
全くそうでない場合とを考える。
すべてをここに丁寧に書くと、かなり長くなる。
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 18:46:02 .net]
- 更に訂正：
それを示すと、1つの解空間で表わせない解は高々有限個であることがいえる。
は省略。ぶっちゃけていえば、
上のような解空間が有限個存在することを示すと、
解空間全体の交わりに属する解は無限個存在する
ことがいえる。
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 18:47:26 .net]
- 要点掻い摘んで話せ
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 18:55:03 .net]
- >>341
要は或る解空間Aの(a,±b)のような基底が他の或る解空間Bに属する場合と
全くそうでない場合とを考える。
最初に前者の場合を考えて、後者の場合をまとめると
解空間が有限個存在することを示して
解空間全体の交わりに属する解は無限個存在することをいい、
解空間全体の交わりと1つの解空間との間には全単射が存在する
ことをいって、矛盾を導く。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 19:00:48 .net]
- なにがポイントなのかをはっきりさせながら、通しでたのむ。
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 22:00:10 .net]
- >>343
一応、あらましを書くと次のようになる。
Pell方程式の1つの一般解を構成するその解(a,±b)を基底と呼ぶ。
そして、基底(a,±b)によって構成される一般解を(a,±b)の解空間と呼ぶ。
最初に1つ基底(a,±b)を固定して定まるその解空間S^1：
A^n(a,b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の他に解空間とそれを構成する基底が存在したと仮定する。
基底全体をX、解空間全体をYとする。
Case1)或る基底(c,±d)∈Xがその解空間S^2∈Yとは異なる或る解空間S^3∈Yに属する場合。
(c,±d)、S^2、S^3はそれぞれ(a,±b)、S^1、S^2で置き換えても一般性を失わない。
そして基底(c,±d)の解空間S^2：
B^n(c,d)、n∈Nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)、
を構成し、(a,b)に対して或るm∈Nが存在して(a,b)=B^m(c,d)が成り立ち、S^1が
A^nB^m(c,d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)、
と表わされることをいう。そして正方行列B∈GL(2;R)に対して或るk∈Nが存在して(a,-b)=B^k(c,d)、
即ち、B^k∈GL(2;R)は正則で、(c,d)=B^{-k}(a,-b)、従ってS^1は
A^nB^{m-k}(a,-b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
一方、(a,-b)及び(c,d)に対して或るi∈Nが存在して(a,-b)=B^i(c,d)が成り立つから、S^1は
A^nB^{m-k+i}(c,d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
及び
A^n(a,b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の形で表わされる。故に(a,±b)、（c,±d）∈S^1であって、必然的にm-k+i=0となり、S^1は
A^n(c,d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
で表わさせる。よって、基底(c,±d)によって解空間S^1つまり
B^n(c,d)、n∈Nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
が生成されることになるが、これはS^2に等しいからS^1≠S^2に反し矛盾。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/23(木) 22:01:26 .net]
- >>344の続き：
Case2)任意の基底(c,±d)∈Xがそれによって構成される解空間S^2∈Y
とは異なるどの解空間S^3∈Yにも属さない場合。
このときは、Case1の結果に注意すると、すべての1つの解空間Aについて、
Aを包含するような解空間は存在しないと仮定してよい。
そして解空間が有限個存在することを示して
解空間全体の交わりに属する解は無限個存在することをいい、
解空間全体の交わりと1つの解空間との間には全単射が存在する
ことをいって、矛盾を導く。
Case1、2からいずれの場合も矛盾する。
故にS^1の他に解空間は存在しない。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/24(金) 03:26:29 .net]
- 掻い摘んで話せ
- 354 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/24(金) 20:09:06 .net]
- >>334
>つまり(a,b)=A{-1}B(c,d)は成り立つ。
>ここでA{-1}BをB(本当はCでも何でもいい)で置き換えれば
>(a,b)=B(c,d)が得られる。
>これはいわんとした主張(a,b)=B^m(c,d)に一致する。
この部分なんですが、A{-1}Bを任意の行列で置換できる理由がわからないのですが
A,Bにはそれぞれ条件があるのでA{-1}Bにも一定の条件が必要なように思うのですが
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/24(金) 20:17:12 .net]
- >>347
それは「任意の行列で置換」しているのではなく、文字を（必要なだけ議論を遡って）修正する
という意味でしょ？
- 356 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/24(金) 23:34:46 .net]
- >>348
文字を修正というと、A{-1}BがBのべき乗で表現できるということでしょうか
すみません、よくわかっていなそうです
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/25(土) 00:31:43 .net]
- >>349
A^(-1)B ってのはある行列なんだからそいつにCと名前をつけることはできるわけだ。
でも、ほんとはCじゃなくてBって書きたい（そういう主張に帰着できるというのがそもそもいいたいことだった）から
A^(-1)B の B は名前をミスった、これは最初から別の名前だったことにしようということ。
たとえばBじゃなくDという名前にしようか、そうすると
> ほんとは A^(-1)B のことを CじゃなくてBって書きたい
っていう部分は 「A^(-1)D のことを Bって書きたい」っていう極自然な主張になるだろ。
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/25(土) 01:39:37 .net]
- >>350
多分そこの置き換え部分はわかったと思います
自力で簡単に示してみようと思います
まず二つの解(a,b)≠(c,d)を用意し
A(a,-b)=(1,0)① and A(1,0)=(a,b)
B(c,-d)=(1,0)② and B(1,0)=(c,d)
をそれぞれ満たす行列A,Bならば①②より
A(a,-b)=B(c,-d) ある行列を左から掛けて
A(a,b)=B(c,d) を得る、Aは正則行列だから
(a,b)=A^(-1)B(c,d) ここでA^(-1)BをCとおくと
(a,b)=C(c,d)
ここで
C(c,-d)=(1,0) and C(1,0)=(c,d) を満たすような(c,d)は当然存在するから
(a,b)=C(c,d),C(c,-d)=(1,0) and C(1,0)=(c,d) を満たすCの存在が示された
∃n∈N C=D^n とすれぱ
∃n∈N (a,b)=D^n(c,d) を得る
すっごくくどい気がしますがこれであってますか？
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/25(土) 01:49:41 .net]
- > ∃n∈N C=D^n とすれぱ
> ∃n∈N (a,b)=D^n(c,d) を得る
馬鹿馬鹿しいことなんだが、(a,b)=C(c,d) の時点で既に単にn=1として
所期の主張が示されてるんだから、お前がクドいだけだと思うぞ。
- 360 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/25(土) 02:04:39 .net]
- >>352
あ、そうですね必死になって変形していたので
気づかなかった…
ちょっと議題から外れますが
双曲回転行列なるものは一体何を示しているのでしょうか
[coshθ -sinhθ]
[sinhθ coshθ] たぶんこの形であろうと類推しています
このペル方程式の行列と少なからず関係があるらしく
調べたのですがなかなか見つかりません
もし知っていたらお願いします
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/25(土) 02:25:11 .net]
- ユークリッド空間におけるユークリッド的な回転の、双曲空間における対応物
じゃねーの？
- 362 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/25(土) 02:34:40 .net]
- >>354
双曲空間というものがあるとは…知りませんでした
素人の憶測でしかないですが
ペル方程式を双曲平面？でみると何かわかりそうですね
（直線なんかに変換されそうな気もしますが）
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 03:27:05 .net]
- >>344と>>345を少し訂正：
Pell方程式の1つの一般解を構成するその解(a,±b)を基底と呼ぶ。
そして、基底(a,±b)によって構成される一般解
A^n(a,b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b) ＊
を(a,±b)の解空間と呼ぶ。
そして、(a,±b)の解空間における＊のAを(a,±b)の解空間の解行列と呼ぶ。
最初に1つ基底(a,±b)を固定して定まるその解空間S^1：
A^n(a,b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の他に解空間とそれを構成する基底が存在したと仮定する。
基底全体をX、解空間全体をYとする。
Case1)或る基底(c,±d)∈Xがその解空間S^2∈Yとは異なる或る解空間S^3∈Yに属する場合。
(c,±d)、S^2、S^3はそれぞれ(a,±b)、S^1、S^2で置き換えても一般性を失わない。
そして基底(c,±d)の解空間S^2つまり
B^n(c,d)、n∈Nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)、
を構成し、(a,b)に対して或るm∈Nが存在して(a,b)=B^m(c,d)が成り立って、S^1が
A^nB^m(c,d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)、
と表わされることをいう。そして解行列B∈GL(2;R)に対して或るk∈Nが存在して(a,-b)=B^k(c,d)、が成り立ち、
(a,-b)≠(c,d)からB^k∈GL(2;R)は正則で、(c,d)=B^{-k}(a,-b)、従ってS^1は
A^nB^{m-k}(a,-b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
一方、(a,-b)及び(c,d)に対して或るi∈Nが存在して(a,-b)=B^i(c,d)が成り立つから、S^1は
A^nB^{m-k+i}(c,d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
及び
A^n(a,b)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の形で表わされる。従って(a,±b)、（c,±d）∈S^1であって、必然的にm-k+i=0となり、S^1は
A^n(c,d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
で表わさせる。よって、基底(c,±d)によって解空間S^1つまり
B^n(c,d)、n∈Nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
が生成されることになるが、これはS^2に等しいからS^1≠S^2に反し矛盾。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 03:28:35 .net]
- Case2)任意の基底(c,±d)∈Xがそれによって構成される解空間S^2∈Yとは異なるどの解空間S^3∈Yにも属さない場合。
このときは、Case1の結果に注意すると、すべての1つの解空間Aについて、
Aを包含するような解空間は存在しないと仮定してよい。
そして基底(c,±d)の解空間S^2
B^n(c,d)、n∈Nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
を構成し、A(a,-b)=B(c,-d)から(a,-b)=A^{-1}B(c,-d)であって、S^1が
A^n*A^{-1}B(c,-d)、n∈Nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)、
と表わされることをいう。Aは解空間S^1の解行列だから、
A^{-1}B(c,-d)=(a,b)であって、A(a,b)=B(c,-d)=(1,0)=A(a,-b)、
即ちA(a,b)=A(a,-b)から(a,b)=(a,-b)を示して矛盾を導く。
Case1、2からいずれの場合も矛盾する。
故にS^1の他に解空間は存在しない。
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 03:48:01 .net]
- >>346
要約すれば、もとの解空間S^1の他に解空間S^2が存在したとしてそれを構成し、
或る基底(c,±d)∈Xがその解空間S^2∈Yとは異なる或る解空間S^3∈Yに属する場合
と
任意の基底(c,±d)∈Xがそれによって構成される解空間S^2∈Yとは異なるどの解空間S^3∈Yにも属さない場合
とで場合分けしてそれぞれ矛盾を導くとなる。
前者を要約すると、S^2とS^3の基底に着目して、S^3の解行列を考えてつつS^2=S^3を導いてS^2≠S^3に反することをいい矛盾を導く。
後者を要約すると、S^1の基底に
- 366 名前：ついて(a,b)=(a,-b)を示して矛盾を導く。
重要なのは前者の方だ。
>>356や>>357でもかなり大雑把だ。 [] - [ここ壊れてます]
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 03:52:21 .net]
- 大雑把は求めていない。要点を的確に要約したサマリを出せ。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 04:02:53 .net]
- >>359
要点といわれてもね～。
もとの解空間とは異なる解空間が存在したとしてそれを構成し、
或る基底がその解空間とは異なる或る解空間に属する場合
と
任意の基底がその解空間とは異なるどの解空間にも属さない場合
とで場合分けしてそれぞれ矛盾を導くとなる。
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 04:12:18 .net]
- >>359
要点をしいていえば、
一般線型群GL(2;R)の群の性質を用いると
もとの解空間とは異なる解空間が存在したとしてそれを構成し、
或る基底がその解空間とは異なる或る解空間に属する場合
と
任意の基底がその解空間とは異なるどの解空間にも属さない場合
とで場合分けすればそれぞれ矛盾が導けて一意性が示せる
となるか。
まあ、重要なのはGL(2;R)が行列の積について群をなすことだ。
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 04:29:06 .net]
- >>359
>大雑把は求めていない。要点を的確に要約したサマリを出せ。
そういえば、この文自体が矛盾しているなw
要点を的確に要約すると大雑把なものになるぞ。
- 371 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/27(月) 16:06:43 .net]
- >>361
初歩的な質問で申し訳ないですが、一般線型群GL(2,R)ってのは
実数全体の集合Rの要素を並べた二次正方行列のことですよね？
- 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/27(月) 16:17:15 .net]
- 要約したら大雑把になるってのは要約ベタっていうんだ。
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 00:58:04 .net]
- >>363
そうだ。
それらは２行の縦ベクトル全体に左から群作用を引き起こすから変換群でもある。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:03:03 .net]
- >>364
じゃあ、君が上手に要約してくれたまえ
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:06:17 .net]
- >>364
国語のお勉強じゃあるまいし、要約が下手かどうかなどどうでもよい。
そもそも、例え要約しても>>361などでは済まない長さになるだろう。
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:10:17 .net]
- 確かにそうだ。
数行の短い長さでウマく的確には要約出来ない。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:31:23 .net]
- >>363
ちょっとちがう。
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:33:20 .net]
- >>367
>>362の主張を否定することになるのだから、どうでもよくはない。
そも、長さの問題でもない。
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:45:38 .net]
- >>369
よく読んだら違ってたな。
>>363
一般線型群GL(2,R)ってのは
その行列式が0ではないような、実数を成分に持つ二次正方行列全体だ。
しかし、いずれにしろ、これは２行の縦ベクトル全体に
左から群作用を引き起こすから変換群でもある。
そしてリー群、従って位相群でもある。
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/28(火) 01:58:04 .net]
- >>370
新しく言葉を導入して示した訳で、むしろこちらが要約するのに困っている。
要約しろといわれても、すぐには出来ない。
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/29(水) 17:57:41 .net]
- >>296>>298
ホントに存在しない？
- 382 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/03(月) 15:01:50 .net]
- 代数学＝方程式
幾何学＝図形
解析学＝函数
のことだろ？
- 383 名前：ノニ [2011/01/03(月) 17:14:07 .net]
- >>374
それは起源にすぎない。
代数学も方程式に限らないわけだし。
- 384 名前：猫は作業 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/01/04(火) 14:33:34 .net]
- ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫
- 385 名前：１３２人目の素数さん： [2011/01/10(月) 11:09:45 .net]
- 汎方程式というのを見かけたのですが
これは陰関数と同意味なのでしょうか?
- 386 名前：１３２人目の素数さん： [2011/01/12(水) 02:01:55 .net]
- 汎方程式というのを見かけたのですが
これは陰関数と同意味なのでしょうか?
- 387 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/12(水) 02:36:23 .net]
- >>374
そもそも代数幾何や解析幾何がある時点で
３つに完全に区切って考えるのがnonsenseであることは明らか。
- 388 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/12(水) 21:23:48 .net]
- 高校数学でとまっているものです。
ガロアの素人向けの本を読んでいますが、、
「KのF上の自己同型」の意味を教えて下さい。
いろいろ、検索して、「体Kの自己同型」の意味は（たぶん）
理解できましたが、「F上の」の意味がはっきり分かりません。
体Kの自己同型のうち、�
- 389 名前：ﾌFの自己同型となるもののことでしょうか。
[] - [ここ壊れてます]
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/12(水) 22:32:13 .net]
- KのF上の（単位的環）自己同型
＝Kの（単位的環）自己同型でF上自明なもの
＝Kの（単位的環）自己同型でFの元を固定するもの
＝Kの（単位的環）自己同型でそのＦへの制限がF上の恒等写像となるもの
拡大K/Fの自己同型とも言うね。
> 体Kの自己同型のうち、体Fの自己同型となるもののこと
そりゃ全部そうだろ
- 391 名前：ノニ mailto:sage [2011/01/12(水) 22:45:04 .net]
- KのF上自己同型、もしくはKのF-自己同型とは、
「K/FからK/Fへの自己同型写像」
で、なおかつ
「Kの部分体であるFの元は、必ずそのままFに移すような写像」
のことですね。
f:K/F→K/F
∀a∊F；f(a)=a∊F
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/12(水) 23:06:14 .net]
- >>381,>>382
多謝！はっきり分かりました。
たった、３文字にこれだけの意味があったとは・・・。
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/21(金) 22:06:28 .net]
- やぎしたひろき 建部賞 柳下浩紀
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 07:42:31 .net]
- 質問です
Gが位相群で（T１）を満たすときGは（T2）であることを示せ
助けてください
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 10:28:14 .net]
- >>385
反転するだけ
- 396 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 19:50:23 .net]
- ベッセル関数J(x)の積分ってできますか?
具体的には ∫[0,∞]J^2(x)xdx こういう形の積分です
あとlim(x→∞)J(x)=0になるのでしょうか?
- 397 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 22:32:01 .net]
- Re[n]>-1/2 -> (log4-2Polygamma(0,1/2+n))/(2pi)
None
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/23(水) 21:10:52.72 .net]
- 回転放物面を任意の平面で斜めに切った断面って円ですよね？
x^2+y^2-r^2*z=0
a*x+b*y+z+c=0
zを消去して
(x+a*r^2/2)^2 + (y+b*r^2/2)^2 + (c*r^2-(a*r^2/2)^2-(b*r^2/2)^2)=0
(c*r^2-...)が負なら円であってますね？
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/24(木) 02:17:28.03 .net]
- はい。
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/25(金) 22:44:00.64 .net]
- ttp://www.geocities.jp/uchu_tako/newpage2.html
超微積分 （Super Calculus） って何なの
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/25(金) 23:34:21.06 .net]
- Liemannって誰っていう
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 15:00:15.01 .net]
- グレブナー基底って指数対数の関数に対しては使えないの？
もし使えないなら指数対数を含む多項式のゼロ点を求めるにはどうしたらよい？
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 17:24:16.32 .net]
- > 指数対数を含む多項式
をどういう意味で言ってるのかが問題だなあ……
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 18:10:54.37 .net]
- たとえば f=a^x と g=x+d （aとdは適当な定数） の交点をグレブナー基底を使って求めるみたいな
実際にはもっと複雑で適当な変数変換が難しい関数を扱いたいんだけど
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 19:04:55.07 .net]
- >>395
ならもうそれは多項式ではないので、グレブナ基底自体そのままでは考えることも
- 406 名前：出来ない。 []
- [ここ壊れてます]
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 19:08:04.59 .net]
- なんつーか、「多項式」の定義もわかって無いという一番残念な答えでガッカリだわｗｗ
ちなみに、多項式環の不定元に指数函数や対数函数を代入したもの
というのを考えている人だったときには、指数函数や対数函数と思わずに
そのまま不定元として扱えばいいんじゃないかと答えるつもりだった。
あるいは係数に指数・対数が入っているだけの多項式なら
普通に多項式環で考えればいいじゃんと行っていただろう。
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 21:40:21.77 .net]
- 多項式の意味を誤用したのは申し訳ない
聞きたかったのは指数対数関数を含む連立方程式のゼロ点を効率的に求めるグレブナー基底みたいな方法はありますか？ってことなんだけど
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/26(土) 23:02:29.71 .net]
- 指数対数の形に拘らず級数展開して形式巾級数環のグレブナ（広中）基底を
計算するというスタンスなら何かできるかもしれない。
よい計算アルゴリズムがあるのかとかまでは知らない。
- 410 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/10(木) 08:08:48.75 .net]
- 質問です。連立一次方程式をクォータニオンを使って解くメリットがわかりません。
どういうメリットがあるんでしょうか・・・
- 411 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/10(木) 10:38:19.31 .net]
- ガロア理論の質問なんだですけど、正規拡大体の定義について分からないことがあります。
E.アルティンが書いた本によると、｢体Kの拡大体Eがあり、KがEの自己同型写像のつくるある有限群Gの不変体になっているとき、EはKの正規拡大体という｣となっています。
一方、他の本では、｢EをKの有限次拡大体とする。Kの任意の元xの既約多項式のすべての根がEの元のとき、EをKの正規拡大体という｣となっています。
この2つの定義は一致するのですか？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/10(木) 13:17:45.55 .net]
- >>401
自己同型から成る群の作用で不変てことは、
上の体にするために下の体につけ加えた元（＝最小多項式の根）が
どれも外へ出ないということだから一致してる。
納得できないなら、まずEをKの代数閉包まで伸ばして考えても同値だ
というような命題が大抵の本にはあるはずだから探してみるといい。
たぶん参考に成る。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/10(木) 18:49:14.26 .net]
- アルティンの本ってそんな定義だったっけ？と見直してみたら
確かにそう書いてある。そして正規拡大の定義の直後に
分離拡大であることを証明している。
アルティンの定義は、他の本だと「有限次の分離かつ正規拡大」
（＝有限次ガロワ拡大）に当たるので注意。アルティンがなぜ
ガロワ拡大という言葉を使わなかったのかはわからんなぁ
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/10(木) 19:01:45.30 .net]
- 確かこのことについて
代数方程式とガロア理論とかいう本に詳しく書いてあったような気がする。
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/10(木) 21:25:05.59 .net]
- >>402-404
ありがとうございます。大変参考になりました。
- 416 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/06(水) 14:47:00.93 .net]
- 位相幾何学と微分幾何学、どちらが偉いですか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/07(木) 21:54:13.80 .net]
- 初等幾何学が一番偉いです
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/22(金) 14:32:52.53 .net]
- 高木貞次の代数学講義の一章が途中から全然意味が分からないくなるのですけど
分かるようになる本おしえてください。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/22(金) 16:12:15.30 .net]
- 追伸、幾何学のようなやつが分かりません。
- 420 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/23(土) 14:24:25.01 .net]
- 後期の解析(多変数微積)単位落とした・・・・
まじで多変数関数の微分だら、ベクトル解析だら訳分からなさ杉。
陰数関数定理やら、もう本当に意味不明。
前期も解析(微積)落としたし・・
やっぱり解析の単位って難しいんでしょうか�
- 421 名前：H []
- [ここ壊れてます]
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