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不等式への招待 第5章



1 名前:不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド (Part1)  science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/

過去スレのミラー置き場:cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト(?)
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

561 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 20:40:02.91 ]
>>560

a,b,cが三角形の三辺の長さのとき

8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},

を示せ。

等号成立は a=b=c のとき。

562 名前:132人目の素数さん [2011/08/27(土) 20:42:15.42 ]
てめえが示せこの野郎!

563 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 21:41:01.83 ]
>>562
君は口が悪いな、このスレにふさわしくない
さっさと、夜光灯を振る仕事に戻るんだ!

564 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:02:32.00 ]
三角形の辺の長さに関する不等式について検索したら…
不等式プロがヒットした!
www.researchgate.net/publication/41797900__()

565 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 01:06:08.23 ]
>>561

27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
 = 11(aab +bbc +cca) -5(abb +bcc +caa) -18abc
 = (17/3){2(aab +bbc +cca) -(abb +bcc +caa) -3abc}
  +(1/3){-(aab +bbc +cca) +2(abb +bcc +caa) -3abc}
 = (17/3)P + (1/3)Q,

三角不等式より
 2P = 4(aab +bbc +cca) -2(abb +bcc +caa) -6abc
  = (b+c-a)(a-b)^2 + (c+a-b)(b-c)^2 + (a+b-c)(c-a)^2 ≧ 0,
 2Q = -2(aab +bbc +cca) +4(abb +bcc +caa) -6abc
  = (c+a-b)(a-b)^2 + (a+b-c)(b-c)^2 + (b+c-a)(c-a)^2 ≧ 0,

566 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 04:33:06.72 ]
>>544
n!/{x(x+1)(x+2)…(x+n)}

567 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 05:36:37.46 ]
>>561
三角形の3辺だから
 a=q+r, b=r+p, c=p+q,      >>273
とおく。p,q,r≧0

27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
 = 27(q+2r+p)(r+2p+q)(p+2q+r) - 8(q+3r+2p)(r+3p+2q)(p+3q+2r)
 = 6(p^3 +q^3 +r^3) -11(ppq+qqr+rrp) +5(pqq+qrr+rpp)
 = (17/3){p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)}
  +(1/3){p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)}
 = (17/3)P + (1/3)Q,

 P = p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)
  = p(p-q)^2 + q(q-r)^2 + r(r-p)^2 ≧ 0,
 Q = p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)
  = q(p-q)^2 + r(q-r)^2 + p(r-p)^2 ≧ 0,

変わり映えしねぇ.....

568 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 05:59:42.21 ]
>>29-31 >>44
 a,b,c ≧0,
 m = min{a,b,c}
 {a,b,c} = {m,m+x,m+x+y}
とおく。
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
 s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
 st-9u = 2m(x^2+xy+y^2) + x(x+y)(2x+y),
 |處 = |(a-b)(b-c)(c-a)| = xy(x+y),

 6s^3 -21st + 27u = 12m(x^2+xy+y^2) + 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
  > 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
  ≧ 3xy(5x+7y)
  > 15xy(x+y)
  = 15|處,

569 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 06:06:32.37 ]
>>494 の類題

a,b,cを実数、 = (a-b)(b-c)(c-a)、とするとき
 a^4 + b^4 + c^4 + (a+b+c) ≧ (1/27)(a+b+c)^4,
を示せ。 (こってうし)

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/672



570 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 21:55:29.60 ]
 I+J+K+L+N = 0 のとき

f(x,y,z) = N(x^4 + y^4 + z^4) + I(yx^3 + zy^3 + xz^3) + J(xy^3 + yz^3 + zx^3) + K(xxyy+yyzz+zzxx) + Lxyz(z+y+z),

を平方和で表わせ。ただし、N = A^2 + B^2 + C^2 とする。


571 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:08:28.25 ]
>>570

f(x,y,z) = (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Pyz + Qzx + Rxy)^2 + cyclic. + K '{xxyy+yyzz+zzxx-xyz(x+y+z)}

とおいて、係数 P,Q,R を求めよう。 ここに
 K ' = K - P^2 - Q^2 - R^2 - 2(AB+BC+CA),

まづ
 P + Q + R = - (A+B+C),
 CP + AQ + BR = I/2,
 BP + CQ + AR = J/2,
より
 AP + BQ + CR = -(I+J)/2 -(A+B+C)^2,
クラメルの公式より
 P = {I(B-A) + J(C-A) + 2(A+B+C)(BC-AA)}/D,
 Q = {I(C-B) + J(A-B) + 2(A+B+C)(CA-BB)}/D,
 R = {I(A-C) + J(B-C) + 2(A+B+C)(AB-CC)}/D,
ここに
 D = 2(A^2 + B^2 + C^2 -AB -BC -CA) = (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≧ 0,

 P^2 + Q^2 + R^2 = (A+B+C)^2 + {(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,

 PQ + QR + RP = −(1/2){(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,

これを使えば K ' を計算できる。

 K '≧0 なら平方和になる。そのためには、|A+B+C| がなるべく小さくなるように符号をとるとよい。


572 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:28:51.81 ]
>>571 補足

 xxyy + yyzz + zzxx - xyz(x+y+z) = (1/2){x(y-z)}^2 + (1/2){y(z-x)}^2 + (1/2){z(x-y)}^2 ≧ 0,



573 名前:132人目の素数さん [2011/08/29(月) 01:00:36.43 ]
1991 IMO 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27

574 名前:132人目の素数さん [2011/08/29(月) 01:19:05.81 ]
1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧8/9(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)

≧11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)

≧25/4xyzw

575 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 01:40:00.54 ]
x=y=z=w=1.

25/4>=4/27>=11/12>=25/4.


576 名前:132人目の素数さん [2011/08/29(月) 02:17:54.40 ]
1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧(8/9)(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)

+11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)

≧25/4xyzw

だね。

577 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 02:38:43.69 ]
>>573

右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
  8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
  = 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,

578 名前:132人目の素数さん [2011/08/29(月) 20:25:51.28 ]
a^n+b^n<c^n
となる整数a,bをcで表しなさい。

579 名前:132人目の素数さん [2011/08/29(月) 22:27:55.11 ]
 n≧4 で 2^(n-1) < n^(n-2)

を、帰納法以外で示したいのですが
どうすればいいでしょうか。



580 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:14:01.40 ]
>>579

 n ≦ 2(n-2),
 2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2),

581 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:49:13.57 ]
おおっ
不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。
ありがとうございます。>>580

582 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 00:40:02.56 ]
2^2<=n.
2^(n-3)<n^(n-3).
2^(n-1)<n^(n-2).


583 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:06:53.80 ]
>>546-547

で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス…

 x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
 x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)・x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
 x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)・x_n /G} + G,
を導いています。

584 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:12:31.51 ]
つまり既出の証明でも専門誌に発表できるということですね

585 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:59:46.12 ]
対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね
ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。

586 名前:132人目の素数さん [2011/08/30(火) 10:13:00.43 ]
>>573がその後発展してなくて涙目の住民ワロス

587 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:50:39.36 ]
>>573に書き込んだのに誰からもレスされなくて、
あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった

涙拭けよ

588 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:53:45.10 ]
何言ってだこいつら

589 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:59:42.97 ]
いつもの荒らしでしょう



590 名前:132人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:51:18.51 ]
そもそも573は問題の解釈が間違っている
真ん中はこの式にはならない
これ書いたやつ馬鹿すぎ

591 名前:132人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:56:41.46 ]
1991問題は
三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき
AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが

592 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 18:38:17.84 ]
AI/AA'=(b+c)/(a+b+c) etc.

593 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:19:26.11 ]
>>573 △の辺だから
 >>577


>>592

 AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC)

 △BCI = (1/2)ar, △ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。
(rは△ABCの内接円の半径)


594 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 03:30:40.14 ]
>>570-572

〔例1〕  >>268
 2倍すると
 N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0,
 (A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1)  K'=0,
 >>284-290

〔例2〕  >>494 >>504
 27倍すると
 N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96,
 (A,B,C)=(3,-3,1) (P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4) K ' = 3/8,
 (A,B,C)=(3,-3,-1) (P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28) K ' = 3/8,

〔例3〕  >>569
 27倍すると、
 N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12,
 (A,B,C)=(4,-1,-3) (P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26) K '= 29/78
 (A,B,C)=(4, 1,-3) (P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74) K ' = 13/74,


595 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:09:17.96 ]
>>592
間違ってるんだが



596 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:12:33.43 ]
BA'が(a+b)/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')

を考えると明白な間違い

597 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:23:05.21 ]
>>596
>BA'が(a+b)/(2a+b+c)

BA'、a、b、cって長さ?
次元が違うんだが


598 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:26:24.06 ]
二等分線だからこういうふうな比になるだろ
なんで分からないの?馬鹿は死ねよ

599 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:27:50.44 ]
          / ̄ ̄ ̄\
         /   ⌒  ⌒ ヽ
         /  ィ●ァ  ィ●ァ |
         |           |
         |     c{ っ  |
         |    __   }   うーっす
        /、.    ー    ヽ
       /            |
       |           | /
       ヽ_|  ┌──┐ |丿
         |  ├──┤ |
         |  ├──┤ |



600 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:28:24.02 ]
間違いに気付いたか
馬鹿め

601 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:37:45.00 ]
訂正

BA'が(a+b)(b+c)/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')



602 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:39:19.07 ]
上を下に入れると
a+bがきれいにきえて


(2a+b+c)/2(a+b+c)


になるんで、上のほうの解答は大間違い

603 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:41:40.55 ]
>>601
a=b=cのときBA'=(a+b)(b+c)/(2a+b+c)=a=BCになるんだが


604 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:53:35.71 ]
解答が自動化してるイカサマ師が何を言っても恥ずかしいだけ

605 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:59:55.86 ]
ここまで飛ばし読みした俺様に、修正バージョンを書いてくれ

606 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 08:36:42.89 ]
適当にでっちあげた式にでっちあげた式を入れる遊びは楽しいかね

607 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:25:11.12 ]
     凵@    ○   ∇ 、___,、´`゙;~、  ';冫 ☆
           ┏  ━ゝヽ''/  ≧ \━〆A!゚━━┓。
 ╋┓"〓┃  < ゝ\',冫。' |::::  \ ./ |゛△│´'´,.ゝ'┃.      ●┃ ┃┃
 ┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━  ━┛ ・ ・
        ∇  ┠─Σ-  ヽ::::... .ワ.....ノ  冫 そ',´; ┨'゚,。
           .。冫▽ <   ⊂     ./⊃     乙  ≧   ▽
         。 ┃   Σ   (⌒ゞ ,l, 、''  │   て く
           ┠─ム┼   ゝ,,ノ ノゝ. 、,, .┼ ァ Ζ┨ ミo''`
         。、゚`。、   i/   レ' o。了 、'' ×  个o
        ○  ┃   `、,~´+√ ▽   ',!ヽ.◇    o┃
            ┗〆━┷ Z,.' /┷━''o ヾo┷+\━┛,゛;
       ヾ   凵@              '、´    ∇

荒れたスレに不等式ヲタが光臨! 整理すると以下の如しだ!

【1991 IMO 問1】
△ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、
 1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27

【証明】
>>592
角の二等分線の定理から、容易に
 AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c)
>>573
示すべき不等式は
  1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27
>>577
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
  8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
  = 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,

608 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:50:46.29 ]
>>590>>595-602 をあぼーんすればよろし

609 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 18:59:22.02 ]
なんで590、598、600は偉そうなの? 馬鹿なのに



610 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 19:52:41.70 ]
a>0 のとき (a-x)^n + (a+x)^n > 2a^n

って明らかですか?どう示せばいいでしょうか。

611 名前:610 [2011/08/31(水) 19:53:43.74 ]
間違えました。>じゃなくて≧でした。
(a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。

612 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:13:46.88 ]
n≧1かな?
凸不等式でおk

613 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 20:35:31.95 ]
変な質問ですが、「不等式評価」って言葉はありますか?
クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。

614 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:46:46.40 ]
不等式で評価する


って普通に使うね。

615 名前:132人目の素数さん [2011/08/31(水) 21:48:26.70 ]
進学校じゃないかぎり学校の先生は大抵教育学部出身だから、評価estimateとか言っても基本的には通じない。

数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。

616 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 21:51:24.37 ]
>>615
> 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。

なんで?

617 名前:132人目の素数さん [2011/09/01(木) 11:19:10.51 ]
>>607
なんでa+b+cがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが

618 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 11:42:35.32 ]
何言ってだこいつ

619 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 12:14:01.46 ]
しーっ、目を合わせちゃいけません



620 名前:132人目の素数さん [2011/09/01(木) 16:33:02.11 ]
a+b+cってどこにあるの

621 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:15:08.17 ]
上から評価、下から評価

とか言った使い方をよくする

622 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:41:35.38 ]
>>525

〔補題〕 
AB ≦ CA, CB のとき、
三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB.


623 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:45:57.36 ]
>>622

(略証)
Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから
 f(P) = AP+BP+CP も下に凸。
直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から
 f(P) < max{f(C), f(Q)}
ところで 題意より
 f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C),
∴ f(P) < f(C),

* この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は
  a≠0 のとき双曲線。
  a=0 のとき g(t)=|t| でV字形の折れ線。

624 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 22:57:20.36 ]
0<a、a≠1
((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)!

625 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 08:01:27.09 ]
1 ≦ a、b、c ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) の最大値(上限)は?

626 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 20:20:23.84 ]
>>625

通分して
{(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a)
 = (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2
 = (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)
 = (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)  (k=1/8)
 = (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc}
 + (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc}
 = (1/4)F(k) + (7/12)G(k)
 ≧ 0,

627 名前:626 mailto:sage [2011/09/04(日) 20:25:44.92 ]
>>625 (続き)

〔補題1〕
-1/5≦k≦6/5 のとき
 F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0,
(略証)
 (2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
 (2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
から。

〔補題2〕
-1≦k≦2 のとき
 G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0,
(略証)
 (2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
 (2b-a)(2c-b)(2a-c) = 2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
から。

628 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 23:58:47.65 ]
〔類題〕
1 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して
 4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.

[第2章.325-326 , 514-519]
 
上限(〜17/4)を出すのは大変でござるよ、ニンニン。 ( ゚∀゚)

629 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:06:11.79 ]
ついでに....

>>102
 [第2章.643-645]

>>350-356
 [第2章.780 , 786-818]



630 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:54:00.74 ]
>>628

題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2, 4-b-c≧0.
加比の理 より、
 (a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
 (左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.

[第2章.522,526]

631 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 03:01:55.82 ]
>622

(略証)
点Pを通りCPに垂直な直線Lと 辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。
 CP < CA', CP < CB'

直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。
∴ AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。
 〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕

∴ AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB, または
  AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB,

[参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題)

632 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:11:27.93 ]
>>625
 (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) < 3 + 3/10,
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
 (a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(a-1)/2}/(a+b+c-1),
循環的にたす。
 (与式) < 3 + {(a+b+c-3)/2}/(a+b+c-1) < 3 + 3/10,


>>628 >>630
 (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 4 + 2/3
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
 (a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(d+a-2)/2}/(a+b+c+d-2),
循環的にたす。
 (与式) < 4 + (a+b+c+d-4)/(a+b+c+d-2) < 4 + 2/3,

633 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:16:15.35 ]
難し杉…

634 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/06(火) 19:50:20.37 ]
分かり松…

635 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/07(水) 23:02:48.81 ]
それっ桐…

636 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:20:53.57 ]
ネタ切れ梅

637 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:24:34.78 ]
次のネタ投函を待つ竹さ…

638 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/09(金) 02:47:11.86 ]
粟てず、ゆっ栗…

639 名前:132人目の素数さん [2011/09/09(金) 14:58:55.66 ]
For a>1,b>1,c>1,Prove that for positive integer n

(a-1)(b-1)(c-1)n^3+[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)]n^2
+(a+b+c-3)n+1≦(abc)^n.



640 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 07:21:21.34 ]
>>639

 LHS = {(a-1)n+1}{(b-1)n+1}{(c-1)n+1},

(i) For n=1, equality holds.

(ii) For n>1 and t≧-1, by AM-GM,
 f(t) = t^n -n(t-1) -1 = t^n -nt +(n-1)
  = (t^n + 1 + …… + 1) - nt
  = (t-1){t^(n-1) + t^(n-2) + …… + t -(n-1)}
  = (t-1)g(t)
  ≧ 0.            (*)
 Equality holds only if t=1.

*)
 For -1≦t<1, g(t) < 0.
 For t>1, g(t) > 0.

641 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 20:15:07.41 ]
>>611
 nが偶数 または a>0 のとき
 (左辺) - (右辺) = 2Σ_(k=1,[n/2]) C(n,2k) a^(n-2k) x^(2k) ≧ 0,
 等号成立は x=0 のとき。

>>612
 nが奇数(>1)かつ |x| >a のとき ……

642 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 21:00:30.45 ]
>>611
nについての帰納法による。

・n=1 のとき 等号成立。

・n>1 のとき
f_n(a,x) = (a-x)^n + (a+x)^n - 2a^n
    = a・f_(n-1)(a,x) + x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)}
  ≧ a・f_(n-1)(a,x),

 x>0 のとき a+x > |a-x|,
 x<0 のとき a-x > |a+x|,
 x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} ≧ 0,
よって
 f_n(a,x) ≧ a・f_(n-1)(a,x) ≧ …… ≧ a^(n-1)・f_1(a,x) = 0,

643 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 00:59:16.87 ]
>>625 >>628

文字の数をn個に拡張すると……

(a,b,c,……) の並びが (1,1,2) と (1,1,2,2) の組み合わせのとき、

n=4m  : n + n/16,
n=4m+1 : n + (n-9)/16 + 1/2,
n=4m+2 : n + (n-6)/16 + 1/3,
n=4m+3 : n + (n-3)/16 + 1/6,

∴ 最大値はこれ以上だが....

644 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 11:36:09.72 ]
〔問題〕
正の実数 x,y,z が三角形(最大角θ)の3辺の長さとなるとき
 S = (x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+zx),
のとりうる値の範囲を求めよ。(じゅー)

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/679-

645 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 14:40:04.06 ]
>>644 のあらすじ

正弦定理より
 S = {sin(A)^2 + sin(B)^2 + (sinθ)^2}/{sin(A)sin(B) + [sin(A)+sin(B)]sinθ},

A+B+θ = 180゚(θ≧60゚) より

 S = 2{2+cosθcos(A-B) -(cosθ)^2}/{4(1+cosθ)sin(θ/2) +cos(A-B) +cosθ}
これは |A-B| について単調増加。

∴ 2(2-cosθ)/{1+4sin(θ/2)} ≦ S < 2,
 左側の等号は A=B=(180゚-θ)/2,
 右側の不等号は {A,B}→{0゚, 180゚-θ}

646 名前:132人目の素数さん [2011/09/14(水) 00:12:23.53 ]
For a,b,c>0 with a+b+c=3, Prove that
a/1+(b+c)^2+b/1+(a+c)^2+c/1+(a+b)^2≦3(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2+12abc)

647 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/14(水) 01:02:37.37 ]
>>646
a/{1+(b+c)^2} のつもりだよな?(残り2つも)

648 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/16(金) 22:27:40.55 ]
【うんち問題】
a > b > 0 のとき、a + 1/{(a-b)b} ≧ 3

【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
  (x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}

       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    もう秋ですなぁ…
      ヽ::::......ワ...ノ    過去スレに a+b+c=1の場合があったような希ガス
        人つゝ 人,,         テヘッ!
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

649 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 00:45:14.80 ]
>>646
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
 LHS = a/{(s/3)^2 +(s-a)^2} + b/{(s/3)^2 +(s-b)^2} + c/{(s/3)^2 +(s-c)^2}
   = 9(100s^5 -270s^3・t +378s^2・t +81tu)/(100s^6 -180s^4・t +324s^3・u +810s^2・t^2 -1458stu +729u^2),
 RHS = 9(a^2+b^2+c^2)/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+36abc}
   = 9(s^2 -2t)/(s^3 -2st+36u),
は使いたくないし...

>>648 【うんち】
 (a-b)b = (a/2)^2 - (a/2 - b)^2 ≦ (a/2)^2,

相加・相乗平均より
 (左辺) ≧ a + (2/a)^2
  = a/2 + a/2 + (2/a)^2
  = 3 + (1+a)(1 - 2/a)^2
  ≧ 3,



650 名前:132人目の素数さん [2011/09/17(土) 14:08:46.56 ]
>>【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
  (x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}

Just use weighted AM-GM inequality. Done!

651 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 15:06:06.78 ]
>>648 >>650

 L(X)=log(X) は上に凸なので、Jensen により

 a・L(x/a) + b・L(y/b) + c・L(z/c) ≦ (a+b+c)・L((x+y+z)/(a+b+c)),


652 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 18:48:40.09 ]
ということで、>>648を修正すると…

---------------------------------------------------
非負実数 x、y、z と正の数 a、b、c に対して、
  (x+y+z)/(a+b+c) ≧ {(x/a)^a・(y/b)^b・(z/c)^c}^{1/(a+b+c)}
等号成立条件は、x/a = y/b = z/c のとき
---------------------------------------------------

これを使えば、次式も出てくるよね? 間違ってないかな?

正の数 x、y、z が x+y+z=1 をみたすとき、
  x^x・y^y・z^z ≧ (x^y・y^z・z^x + x^z・y^x・z^y)/2
  x^x・y^y・z^z ≧ x^{(y+z)/2}・y^{(z+x)/2}・z^{(x+y)/2}

もっと面白いのできないかな?

     |
 \  __  /
 _ (m) _ピコーン
    |ミ|
 /___\   
 ./  ≧ \  
 |::::  \ ./ |  
 |::::: (● (● | < 相加ッ! 相乗だったのか! ハァハァ…
 ヽ::::... .ワ.....ノ


653 名前:132人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:34:16.82 ]
For x, y, z>0 with xyz=1.

Prove that

(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]

654 名前:132人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:35:58.39 ]
For x, y, z>0 with xyz=1.

Find the maximum value of

(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]

655 名前:132人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:37:38.42 ]
Sorry for multi posts,

For x, y, z>0 with xyz=1.

Find the minimum value of

(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]

656 名前:132人目の素数さん [2011/09/19(月) 13:41:18.19 ]
不等式か!

ハーディーと誰かがコレクション集だしてたよね

おまえ等、買った?

657 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 14:37:40.12 ]
>>656
コレクションですと!
kwsk!

658 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 16:46:53.20 ]
今日も自演操業乙であります!

659 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 21:32:54.72 ]
>>417
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/630



660 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 22:09:41.76 ]
>>659

つまり >637 によれば
 f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca) -abc,
とおくと
 f(x)f(-x) = (-x^2 +a^2)(-x^2 +b^2)(-x^2 +c^2)
  = -x^6 +(a^2+b^2+c^2)x^4 -{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}x^2 +(abc)^2
  = -(x^2){(ab+bc+ca) + x^2}^2 + {abc + (a+b+c)x^2}^2, (恒等式)

x^2 = -1 を代入して
 (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = (ab+bc+ca-1)^2 + (abc -a-b-c)^2,

661 名前:132人目の素数さん [2011/09/20(火) 12:41:18.89 ]
Just use,1+a^2=(1+ai)(1-ai) Done!






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