数学基礎論・数理論理学　その13

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 01:38:43.25 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その12 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332549969/ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 11:39:44.02 ] また便乗質問ですが「可述的」と「構成的」の違いって何なのでしょうか？ どちらも人によってニュアンスが違いそうなことは分かるのですが この二つはどういう使い分けがなされているのでしょうか？ 詳しい方がいたらご教示ください。 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 16:35:19.72 ] en.wikipedia.org/wiki/Impredicativity 可述的ってのはxの存在を保証するために そのx自身を含む集合Xをxの定義に使わないこと。 ラッセルの逆理などに出て来る集合はこの性質を満たさないので 非可述性が様々な逆理の原因なのではないかと考えられたという歴史的事情がある。 ただし実数の集合Sの上限sup Sの定義なんかも非可述的になってしまうので 可述的な範囲では古典的な数学を展開するには制限が強過ぎると思われていて 構成可能性と違い証明論以外の人が問題として取り上げることはあまり多くない。 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 16:50:13.60 ] >ただし実数の集合Sの上限sup Sの定義なんかも非可述的になってしまうので >可述的な範囲では古典的な数学を展開するには制限が強過ぎると思われていて クソワロた。いつの時代の「思われていて」だ？ 未だにそんなこと思ってるのはその後の逆数学の成果も知らないバカのみ。 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 17:24:41.35 ] いや逆数学は証明論だろ 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 17:28:54.61 ] 自分の無知の言い訳モードに入ったか？ 「思われていて」の主語が非専門家だと言うのは無理がある。 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:03:56.45 ] ＞構成可能性と違い証明論以外の人が問題として取り上げることはあまり多くない。 ってのは構成可能性は非専門家の解析学者とかでも気にすることがあるとか 証明論では実数論の可述的部分を研究したりするとか、 そういうこと込みで言ってるんだがな 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:11:55.47 ] 無知だと指摘された「...と思われていて」の部分への言い訳に全くなっていない。 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:13:40.18 ] 芸風を変えたのか？スレタイ氏 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:21:08.84 ] どうでもいいが>>487=>>491(=スレタイ氏?)は 構成可能性(constructibility)と構成性(constructibity)の区別が出来ていないように見受けられる 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:22:16.92 ] 失礼、タイポした。 ×constructibity ○constructivity 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:34:12.89 ] >>490=>>492 確かに主語をはっきりさせずに「...と思われていて」と書けば 関係する分野の第一線の研究者に思われているという意味でしょうが、 >>487では直後の「証明論以外の人」に思われている、 という意味なのではないでしょうか？ 証明論以外の人が逆数学の結果を一切知らないとも考えにくいと思いますが。 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 18:39:22.07 ] 一部を除いて自分と同じくらい無知なはずだってか？ 構成可能性と構成的の違いも知らんほど無知なSTSらしい発想だな。 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 19:02:19.08 ] 専門的でマイナーな用法を別にすると、 単にconstructiveは直観主義関係で使って constructibleはゲーデルのL関係で使うというだけじゃないの？ ただ田中尚夫の公理的集合論とか、ゲーデルと20世紀の論理学とかは constructive setを「構成的集合」と訳してるけどね。 細かいニュアンスがどうという以前に使う文脈が違うから 訳語が間違っていると言って問題になったりもしてないはずだよ。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 19:06:01.09 ] あと「構成性」って名詞は日本語としてこなれてない気がするんだよね >>497とかになると無意識に形容詞に変えちゃってるけど 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 19:41:16.82 ] 非可述性を避ける為に導入されたのが分岐型理論。 階層αまでに定義された集合を使って定義された集合が階層α＋１をなす。 可述的とはこの階層の外側を考えないこと。 この階層にでてくる集合を構成可能的と呼ぶ。 従って可述的＝構成可能的。 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 19:49:17.38 ] >>498 直観主義関係のconstructiveを「構成可能的」と訳した文献はありますか？ 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 20:02:50.03 ] 直観主義の「構成的」とゲーデルのLの「構成可能的」は 専門的な細かいニュアンスが重要になるとき以外には 相互に入れ替え可能な言葉だとすると >>487の「可述性」と「構成可能性」の違いの説明は >>500の指摘しているように意味不明では？ 「xの存在を保証するためにそのx自身を含む集合Xをxの定義に使わない」 ってゲーデルのLの説明にもなってしまうんだから。 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 20:15:24.30 ] >>491 >構成可能性は非専門家の解析学者とかでも気にすることがある これは本当でしょうか？文献などを教えていただけますか？ 504 名前：STS446 [2012/08/26(日) 20:25:09.50 ] なんか上のが私と勘違いしているようだが違うな。 非可述主義ってのはΠ^1_1以下の階層のことだ。 つまり自然数モデルでの充足可能性とω^CK_1未満の証明の長さが トレードオフできる世界。 逆数学のBig FiveではΠ^1_1-CA_0に該当するな。 ちなみに逆数学は証明論というより再帰理論だな。 実際Big Fiveに対応するチューリングマシンがあるからな。 さて、構成的は排中律の排除。 証明の長さはω^ω未満。 さらに可述主義は一般にε_0未満の証明の長さに対して述べられるな。 だから 構成的⊆可述主義⊆非可述主義 ってのが正しい理解だな。 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 20:37:00.12 ] わ、本物のSTSだ！とりあえずスルーで 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/26(日) 23:24:31.46 ] >>502 なに、無理な言い訳を重ねているだけだろ そんなに追及したらかわいそうじゃないかｗ 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 00:36:57.71 ] 素人質問です 面は直線と１対１対応できるが空間は不明という理解で合ってますか もしそうならそれは論理が真か偽かの２値だからですか 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 00:42:34.84 ] 面って何？直線って何？空間って何？ それらをはっきりさせてくれないと１対１対応できるかどうかは分からないよ！ 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 00:54:40.91 ] 直線は自然数濃度であれ実数濃度であれ一次元のものです 面は二次元のものです。空間は三次元以上のつもりで書きました 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 01:00:06.89 ] 追記です 測度論の話で「次元の厳密な定義」というものがあるらしいということは 聞いたことがあります。僕はそれを理解できるほど数学力がありません 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 01:17:14.54 ] さらに追記です 測度に関しては最近ようやく少しだけ勉強することができましたが、ひとまずは、 「一匹の蝿が壁に止まっていた。その蝿は部屋の反対側の壁に移動した。蝿が その過程で天井に止まった確率はいくらか」の類だとしておきます 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 01:19:39.70 ] 〜の類 へー、有名な例なんですかそれ 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 01:27:28.09 ] >>512 www.amazon.co.jp/dp/4875930631/ これで読みました 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 02:11:12.54 ] 487の「構成可能性」でゲーデルのLについて言及したつもりは全くありません。 Lを連想する方がこんなに多いとも思いませんでした。 今回、可述主義と構成主義は違うから大雑把に同じ訳語で訳すなと 言いたい方がいらっしゃるのは了解しましたが、 両者を同じものだとして混同していたわけではないです。 私も"constructive"、"constructivism"であれば「構成的」「構成主義」と訳します。 ただ"constructivity"という「名詞」は「構成的であること」と訳さずに 構成可能性と訳すかも知れないというだけです。 似たような話で言うと、holomorphicもregularも私は「正則」であると訳しますが 二つの概念の区別ができていない訳ではないし、 regular expressionは正規表現と訳しますけど、だからといって normal spaceとregular spaceを混同している訳じゃないのと同様だとお考え下さい。 >>501 直観主義に関する日本語の文献は一般啓蒙書を除いてほぼゼロに等しいと思います。 そもそも"constructive"を「構成可能的」と敢えて長くは訳しません。 逆に"constructivity"を「構成性」と訳した文献も無いと思います。 （"constructivism"を「構成主義」と訳した文献ではありません） たぶんほぼゼロに近いのではないかと思いますが。 515 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/27(月) 02:56:13.75 ] >>514 「紛らわしい書き方してスマン」で済む話なのに。 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 06:24:16.01 ] >>500 つまり ZF+"V=L" は可述主義数学ということですか？ 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 06:34:18.93 ] >>514 検索してみると constructivity を構成性と訳した文献は幾つもかかりますよ。 例： 直観主義論理と構成性. 一方、直観主義論理は証明がアルゴリズム的内容を持つことを最大の特徴とする（構成性、 constructivity）。 www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/birth.pdf 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 06:52:35.21 ] というかLの要素を構成的集合と呼んだりすると IZFとかCZFとかのモノホンの構成的集合論の研究してる人は 困ったりしないんだろうか まあ集合論というよりも証明論の一分野だろうけど 519 名前：507 mailto:sage [2012/08/27(月) 08:04:44.73 ] おはようございます ひとまず自然数濃度であれば３次元以上でも１対１対応がつけられるのか どうかだけでも教えてください。３次元の場合は対角面が正三角形になるのは 想像がつきますが、４次元の場合は立方体になるのですか？ 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 09:46:15.89 ] >>507、519 大学２年くらいで履修する素朴集合論の範囲なんだろうが 君の理解は根本的なところでわやくちゃになっている その為質問内容もめちゃくちゃで答えようがない 「リンゴ１００グラムは太陽より甘いですか？」のような 電波な質問になってる 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 10:35:47.32 ] >>520 証明論のスレなのは分かっているつもりです。しかし証明論が何故必要 なのかというと連続体仮説に挑戦するためではないのですか？ 522 名前：STS446 [2012/08/27(月) 11:07:22.07 ] >>519 面や空間の積集合を次元と考えるんだったら 自然数は何次元とでも対応できます。 もちろん実数も。 >>521 ファック、全然違います。 証明論はヒルベルトやゲンツェンによる 無限を扱う数学を有限的な記述で体系化する試みから始まっています。 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 11:12:56.71 ] >>522も違う種類の電波なので回答を信じないように。 電波が電波に磨きをかけてどうするよ。 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 12:47:34.42 ] >>518 IZFは直観主義集合論であって構成的集合論とは呼ばれない。 構成的といえばCZF。最初のCはconstructiveの略だし。 ちなみにIZFのIはintuitionisticなんで、そのまんまだな。 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 15:17:00.86 ] >>522 自然数はなんとなく何次元でも対応づけられそうな気がしなくもありませんが 実数は本当に対応づけられるのですか？対応づけられるのですか？ 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 16:19:18.55 ] 結果だけ言うとR^3とRは一対一に対応するよ R×RとRとの間に一対一対応があるのだから R^3を(R×R)×Rと考えて、括弧内で一度Rに対応させて再度対応させれば良い 同様にQ^3とQも一対一対応するしZ^3とZも一対一対応する これで分からなかったらちゃんと説明してある本読んでね 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 16:42:26.90 ] >>526 いえ、その説明で理解できました。ありがとうございました 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 17:13:01.05 ] >>516 ゲーデルのLは確かにラッセルの分岐型理論から来ているので ZF+V=Lを可述的といえないこともないとは思う。 しかし順序数を所与としているのでそこが問題。 つまり可述主義では構成可能階層を ZFCの意味での任意の順序数長さまで延ばせるのか？ということ。 可述的集合論の決定版探しはいまでも決着ついていないと思うけれど 上でちょっと話題になってるCZFやKPωなんかは可述的といわれる。 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/27(月) 18:44:36.27 ] 可述主義と構成主義が話題になっているみたいなので一言言わせてもらいたい。 上のほうで「構成主義に比べて可述主義はあまり興味を持たれていない」 みたいなことが書いてあったが両者を分けるのはナンセンスだ。 何故なら構成主義の研究では可述性がいつも問題になるから。 >>528が言ってるとおり構成的集合論CZFは可述的だし、 Martin=Loefの直観主義型理論でも可述性は重要なポイントだ。 可述的でないことがIZFが構成的と呼ばれない理由に挙げられるくらい。 だから最初の>>486の質問は鋭いところを突いていて簡単に答えられるものではない。 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/28(火) 10:14:55.93 ] 構成的と可述的が同じ概念で可術的と構成可能も同じとな 推移律より構成的と構成可能は同じになるがもはや禅問答だな 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/28(火) 10:34:31.72 ] 同じとは書いてないだろ。アホだなあ。 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/28(火) 16:24:52.63 ] 普通の数学では選択公理を使うか使わないか、 背理法を使うか使わないかなどは興味の対象になるけど 使う論理式がΠ2、Σ2以上の量化を使うかどうか、 というのは大抵気にしないし、気にしてられないな それに背理法と言われているのは良く見ると否定導入であることが多い 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/28(火) 18:12:15.28 ] 普通の数学でΠ5やらΣ4やら複雑な論理式出てこないのでは？ 基礎論でだって出てくることはないと思う 一般のnに対してΠnとかΣnとか言うことはあっても 534 名前：STS446 [2012/08/28(火) 18:49:37.29 ] 出てくるよ Woodin基数＋αからΣ4以下の理論は連続体仮説偽　とか。 Q＋Σ_10-帰納法 |- Con(Q＋Σ_9-帰納法)　とか。 Δ_1理論の不完全性はΠ_2とかω無矛盾はΣ_3　とか。 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/28(火) 19:00:33.48 ] デムパはスルーで 536 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/28(火) 19:15:01.03 ] > STS446 お前自己懺悔して筆を折ったんじゃなかったのか? 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/28(火) 19:24:26.13 ] 基礎論スレのポッポと呼ぶことにしよう 538 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine.co.jp [2012/08/28(火) 19:45:09.78 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああああ！！！！！！！！！！！！！ 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキどもがあああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！ 539 名前：STS446 [2012/08/28(火) 21:19:39.28 ] 懺悔したのは空間論理（メレオトポロジー）についてだけ まともな内容については書いてくよ 540 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/28(火) 22:46:41.53 ] >>539 今度またおカマみたいなクソ懺悔したら承知せんぞ． 性根入れてお前の思うCSの研究課題をまとめて言ってみろ． また口先だけで言ってるのかどうか見てやるから． 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 06:16:00.99 ] 741 ： STS446 ： 2012/03/04(日) 22:31:58.43 　　この数学フォーラムに書き込むのはこれで最後にします。 　　以降プログラム技術などのフォーラムに移る予定ですが、 　　恐らくこれからは匿名で活動したりメーリングリストで内輪の活動になると考えています。 　　これまで多くの書き込みを行ったのは、 　　順序構造の研究などに専念されている数学サイドの方々に、 　　計算機・哲学サイドの大局的な視野や物語というものを紹介したかったからでした。 　　それはある意味では成功したし、別の意味では不快感を与えるだけに終わったのかもしれません。 　　しかし現在私が数学サイドの述べる非古典論理（例えば部分構造論理や直観主義論理） 　　の話を耳にするたびに、一般性のない不自然な形式化の仕方に疑問を感じます。 　　しかしそれは皆さんの興味の対象があくまで数学だからなのかもしれません。 　　私には非可算濃度だとか巨大基数だとかは内実のないシンボリック操作としての興味しかありません。 　　やはり論理というよりCoqのような構成的な型体系の中ですべての言語を展開するのが自然に思えます。 　　以上。 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 06:17:59.80 ] ＞この数学フォーラムに書き込むのはこれで最後にします。 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 13:16:26.66 ] 言っちゃ何だがこの種のキチガイが前言をキッチリ守ったのを見たことがない 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 13:19:51.21 ] いや全く 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 14:41:04.38 ] まさに鳩ぽっぽだな 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 14:53:23.04 ] ネタでもそうでなくても、コテが本物でも偽物でも内容的に詰めればよろしい 547 名前：STS446 [2012/08/29(水) 17:00:35.14 ] 本物だよ。 確かに以前断筆宣言したのは事実だが余りに低レベルな書き込みが多いので、 復活がこのフォーラムのためになると考えた。 メレオロジーやオントロジーみたいな空間系論理が糞ってのは重々承知。 書き込み内容が充実していれば構わないだろう？ 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/29(水) 17:09:07.30 ] 内容は支離滅裂で充実とはほど遠いぞ そしてお前の書き込みこそレベルが低い、っつーか電波だからそれ以前の問題だ。 549 名前：STS446 [2012/08/29(水) 21:45:55.15 ] >そしてお前の書き込みこそレベルが低い、っつーか電波だからそれ以前の問題だ。 内容が理解できていないだけかと＾＾； 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/30(木) 13:32:22.39 ] 基地外への対処法はスルーしかないってことだな 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/30(木) 16:23:55.62 ] そうなんだけど、スルーしてたら鳩ポッポみたいに 自分に都合のいいように「思いを受け取った」とか言い出すからな この手の輩は 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/30(木) 16:38:19.91 ] 「むしろ叱咤激励だと思って感謝をして今まで以上に」とかなｗ 553 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/30(木) 18:22:07.13 ] >>549 >>441-442>>444>>448についての釈明を求める 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/30(木) 19:02:31.63 ] 相手なんかしたらだめだよ 555 名前：STS446 [2012/08/30(木) 21:58:06.41 ] そうですね、なんだかんだで色々書き込んできましたが、 問題点１：自明のことや大したことでもないことに 専門用語を並び立て飾り立てること。 問題点２：不勉強、理解が浅いから知っていることだけ書き込む。 結果書き込みの内容が支離滅裂になる。 以上2点が問題だと考えられます。 私は上記のような状態を脱しました。 556 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/30(木) 23:11:46.28 ] >>555 >>553に答えてない 557 名前：STS446 [2012/08/31(金) 06:58:39.31 ] >>553の意図がわかりませんね 558 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/31(金) 08:28:31.81 ] >>557 自演してるから 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 10:37:25.24 ] 公園で一人ベンチに座ってるキチガイがブツブツ自問自答してるのを見たことない？ その類だろ。 気持ち悪いので近づかないのが吉。 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 17:34:25.01 ] 普通の数学でΠ5やらΣ4やら複雑な論理式出てこないってことでおk？ 基礎論でもΠ5やらΣ4に属する＊具体的な＊論理式は出てこないってことでおk？ 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 19:13:43.76 ] 構成的、可述的、更正可能の違いは「簡単に答えられるものではない」で終わりなの？ 562 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/31(金) 19:17:40.84 ] >>560 コンパクトとか局所環とかの定義をベタに書けばそれくらい複雑になるでしょ 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 19:20:08.34 ] Lの元は構成可能 STSは更正不可能 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 19:49:35.75 ] >>562 どういう言語を念頭においているのか知りませんが ZFCだったら冪集合をパラメータにしてΔ0になりますが？ 565 名前：STS446 [2012/08/31(金) 20:10:20.70 ] そうそう 普通の数学がZFCだとするなら 数学の命題はどれも有界量化子文だから。 算術的階層の上の方や解析的階層使いたいなら 算術や2階算術使わんとね 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 20:12:30.80 ] STSは更正不可能 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 20:27:44.38 ] 通常、群とか環とかの話をする場合、 暗黙の内に想定される言語は決まっていて 群の言語とか環の言語とか呼ばれる。 群や環のelemenaryな性質とはそういう言語で記述可能な性質。 しかし環の局所性はelementaryな性質ではなくその言語では記述できない。 位相空間に至っては暗黙の内に想定される言語などない。 >>562はまず言語を明示するべきではないだろうか。 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 21:31:02.38 ] 一般の位相空間論になると、もう集合論が暗黙のうちに仮定されていると 考えないとどうしようもないんじゃないだろうか 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 21:50:03.38 ] 位相空間って、集合族に対する公理じゃないの？ 集合の公理無しで位相空間は成立するの？ 570 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/31(金) 22:01:48.57 ] >>567 文句は「普通の数学」と言った人に言ってくれ 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 22:13:21.80 ] >>570 「普通の数学」と言った香具師に責任はない。Δ0でないと主張したわけじゃない。 責任があるのは「普通の数学」に出てくる論理式が、Σ5とか複雑になると主張した君だ！ 572 名前：STS446 [2012/08/31(金) 22:13:25.83 ] 位相空間はIΣ_1＋Δ^0_1-帰納法だけで十分。 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 22:14:38.62 ] また電波のSTS… 574 名前：１３２人目の素数さん [2012/08/31(金) 22:16:46.00 ] >>571 「普通の数学」と言う言葉が厳密ではないから、そんなにきちんとしたことは言わなくても良いでしょ？ 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 22:24:53.00 ] >>574 きちんとしいているいない以前の問題だろ？ Σ5論理式がどう表れるのかさっぱり分からない。 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 22:48:01.36 ] 素人ですが「普通の数学」とは「不完全性定理の言う不完全な数学」のこと、 ではだめなんですか？ 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 22:52:37.74 ] 「きちんとしたことは言わなくても良い」は「滅茶苦茶を言っても良い」と同義ではない。 厳密でない言葉をそれなりに納得できる厳密な意味を与えれば正しい、というものでなければならない。 従って>>562は「それなりに納得できる厳密な」定義を、想定している言語に対して与えられなければならない。 578 名前：STS446 [2012/08/31(金) 23:28:46.22 ] ペアノ算術のω無矛盾性はΠ^0_3 余無限な再帰的可算集合のインデックス全体の集合はΣ^0_3 最小のチューリング次数のジャンプ集合に属する再帰的可算集合のインデックス全体の集合はΣ^0_4 頻出するのだとここら辺位 例えΣ^0_5でもそれより低い階層で表現できる可能性もあるし 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/08/31(金) 23:48:17.84 ] >>561 ZFC:　　　構成的−　可述的−　構成可能− ZFC+V=L:　構成的−　可述的−　構成可能＋ KPω:　　 構成的−　可述的＋　構成可能− KPω+V=L: 構成的−　可述的＋　構成可能＋ CZF:　　　構成的＋　可述的＋　構成可能− ?:　　　　構成的＋　可述的＋　構成可能＋ ?:　　　　構成的＋　可述的−　構成可能− ?:　　　　構成的＋　可述的−　構成可能＋ 誰か最後の３つを埋めてくれ。 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/01(土) 00:09:20.71 ] たとえば有界な関数が〜〜と言っただけで、 （実数論として）Σ2の式が出て来るんだから Σ3くらいの量化は普通に考えることになる 実数と自然数の部分集合を同一視する場合はさらに複雑になる 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/01(土) 02:06:29.62 ] >>580 >たとえば有界な関数が〜〜と言っただけで、 >（実数論として）Σ2の式が出て来るんだから 「実数論として」の意味が分からんない 実数構造を「素直」に表現した言語を考えたら 「有界な関数が存在して」とかΣ2以前にそもそも論理式で表現できないし 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/01(土) 02:22:55.86 ] >>577, >>581 分かっている人が説明のためにきちんとしない話をするのと 分かっていないバカ(574=580)がその真似をし電波になっていることの違い がクリアに見出せる例かと。 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/01(土) 04:52:33.01 ] 例えば超準解析で実数体 R と任意の実関数 f たちを付け加えた構造を考えて その上の論理式考えたりするけど、 あんな感じで考えると普通に数学の問題を考えているときの量化の仕方と 形式的な論理式としての量化の複雑さがほぼ一緒になると思うけど。 （あくまで"便宜的に"与えた一例）。 理論が公理化可能じゃないとか素直じゃないとか言われても知ったことじゃない。 言語とか論理式ってのはロジックを一般の数学に応用するときに 便宜的に定義するものであって、応用される側から見たら そんなに本質的なものじゃないと思うんだけどね。 一般的な代数学や解析学では量化の複雑さを制限したりもしないし、 それ以前に言語を敢えて固定してその範囲で議論したりもしないように思う。 しかも一階論理で必要十分な定式化をしづらいような性質・対象も平気で考える。 定式化がやりにくいのはロジックの表現力がダメだからで、代数学や解析学の責任じゃない。 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/01(土) 06:37:40.34 ] >理論が公理化可能じゃないとか素直じゃないとか言われても知ったことじゃない。 論理式で書けない概念についてΣ2だのΣ5だのって意味をなさないってこと分かってる？ 意味をなさない問題を議論していることになって「知ったことじゃない」じゃ済まないんだが。 （脇道に逸れるが、理論とか公理化可能など全く関係ない。 こいつが理論と言語、公理化可能と言語での表現可能を混同していることが分かる。） >言語とか論理式ってのはロジックを一般の数学に応用するときに >便宜的に定義するものであって、応用される側から見たら >そんなに本質的なものじゃないと思うんだけどね。 本質的でないのはその通りかもしれないが、 それならΣ2かどうかΣ5かどうかの議論はもっと本質的ではないことになる。 議論には乗ってきながら自分が不利になるとその議論の土台を壊すことを人は負惜しみと呼ぶ。 >しかも一階論理で必要十分な定式化をしづらいような性質・対象も平気で考える。 >定式化がやりにくいのはロジックの表現力がダメだからで、代数学や解析学の責任じゃない。 定式化しづらい性質を考えることについて誰も誰の責任も追及していない。 責任を追及しているのは、しづらい定式化をしないまま （定式化を前提とした概念である）Σ5などの複雑な論理式が出てくると主張したこと。 Δ0で済むと主張する側は、集合論という定式化を与えてそう主張している。 定式化しづらいのであれば、尚の事、具体的な定式化を明示してからΣ2だのΣ5を云々すべき。 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/01(土) 06:51:34.85 ] >>562 その上でもう一度聞きたい。 どのような定式化の下で、コンパクト性や環の局所性がΣ5以上になるのか？ 定式化しづらい概念だからこそ、定式化を暗黙の了解に出来ない。 それ説明しなければ、Σ2だのΣ5だの言っても聞き手にはさっぱり分からない。 586 名前：STS446 [2012/09/01(土) 08:18:18.89 ] >>583 ＞あんな感じで考えると普通に数学の問題を考えているときの量化の仕方と ＞形式的な論理式としての量化の複雑さがほぼ一緒になると思うけど。 私の経験では普通の数学の問題に出現する量化は すべて∊で制限されたΔ^0_1文のみですね。 そうすると形式的な論理式もΔ^0_1になるので、 あなたのΣ2だのΣ5が出てくると言う主張と矛盾します。 ＞しかも一階論理で必要十分な定式化をしづらいような性質・対象も平気で考える。 実際一階論理の枠組みを超えた命題はあります。 それは大抵「部分集合の全体が〜〜の性質を満たす場合・・・」、 だとか2階の数学的帰納法の不足から生じます。 しかしもしも一階のZFCから展開できないのならば、 その数学的命題は素朴集合論にも基づかないことになりますね。 つまり同時に数学は集合論から展開されないということも意味します。 とはいえ2階のZFCというのもあり、モデルもありますよ。

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