数学基礎論・数理論理学　その12

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数学基礎論・数理論理学　その12

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 09:46:09.53 ]: 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その11
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/01(日) 17:31:04.49 ]: すまんが、教えてくれ。

ψ→(a∨b∨c)が恒真式であり、ψが充足可能であるようなψは、
ホーン式ではない。

上記命題は恒真命題でしょうか？

自明に思えますし、可算の範囲で変数の追加によって、
ホーン式にならない事は証明できそうに思いますが、
変数の追加によってホーン式にならないことが
ホーン式ではないことにはならない。

逆数学や形式的検証に関わる分野で、上記は
よく知られていたりしますか?

それとも、物凄く恥ずかしいことを聞いていますか?
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/02(月) 21:02:49.26 ]: やっと書き込めた。
さて、a, b, c が任意変数で
ψ→(a∨b∨c) がトートロジーとなるには...

￢ψ∨a∨b∨c
ψの標準系は
ψ≡p_1∨....∨p_k　（kは自然数）
で定義され、
￢ψ≡￢p_1∧....∧￢p_k であるから、
￢ψ∨a∨b∨c
≡(￢p_1∧....∧￢p_k)∨a∨b∨c
≡(￢p_1∨a∨b∨c)∧....∧(￢p_k∨a∨b∨c)
こいつがトートロジーになるには、p_1 から p_k が a, b, c のいずれかのとき、
つまり、ψ≡p_1∨....∨p_k はホーン節になり得ないわけだ。

＞逆数学や形式的検証に関わる分野で、上記は
＞よく知られていたりしますか?
これは知らないけど
普通は論理プログラミングの分野で出てくる。
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/03(火) 07:34:22.72 ]: メレオロジーや個体計算は位相空間の意味論だよ。
数学というより、むしろ哲学的言語学的な価値がある。
レシニェフスキは確かに集合論のような
非直感的な形式化に疑問を持ち、
唯名論という立場に立って数学を展開したわけだ。
しかしながらメレオロジーも個体計算も
一階述語論理とほとんんど同じとみなしてよいだろう。
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/03(火) 17:28:52.66 ]: CZFって言葉を使えば賢くなったと勘違いする香具師
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/03(火) 19:11:29.15 ]: 論理学は数学・哲学・情報の三分野で研究されてるけど
証明論っぽくない再帰函数論やモデル理論や集合論は
数学科プロパーの研究だし、論理学というよりも数学だと言い切って良いと思う
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/03(火) 19:44:50.39 ]: スレを盛り上げるために
随分前の議論を穿り返してきたか。
82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/03(火) 20:24:10.44 ]: >>80
集合論は、論理式を使うし、不完全性定理を解釈するうえでは、一番切実な
ところだから論理を研究するものは無視できないはずだが、実際には形式体系
としての集合論でしか理解されていない。これは、新井本ですらそうである。
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/03(火) 22:45:12.69 ]: 今の研究テーマって言えば、
・いと美しき算術
・気高き算術
・最後の算術
だけど、どれも非常にスマートだい。
84 名前：┌∩┐(& ◆EQYxHFCTcMRP [2012/04/03(火) 23:21:30.51 ]: ┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Hey!Fucking!!!
このスレ、どんどん頭悪くなってね？
Oh！Yes！Fuckin！BabY!!!
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/04(水) 06:54:19.86 ]: >>84
おひさー
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/04(水) 08:18:41.11 ]: 独立性なしに現代の集合論は語れないが、
証明の形式化なしに独立性を論じることはできない。
証明の形式化を必要としている限り、集合論も論理学の一部。
87 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 09:06:10.30 ]: 同時に論理学は集合論の一部でもある、ということですね。
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/04(水) 09:33:16.89 ]: ↑
パチンコと売春の「うんこ日本」で生活する発達障害者（チビ、ブサ、知的障害）たち
↓
89 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 12:31:54.93 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/04(水) 15:00:27.73 ]: 証明論的意味論ってなんですか？
91 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 21:08:42.06 ]: memo:
Wolfram Class 1,2: Π^0_2-Complete.
Wolfram Class 3: Σ^0_3-Complete.
Wolfram Class 4(Chaos) : Triv.
92 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 21:16:15.95 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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93 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/05(木) 11:44:11.87 ]: >>90
どこで聞いたの？
94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/06(金) 23:28:28.79 ]: 意味論的証明論ってなんですか？
95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 03:15:38.56 ]: ZF集合論の公理系について質問させてください。

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo?Fraenkel_set_theory

上記wikipediaによると、ZFの公理のうち、何の仮定もなしに集合の存在を主張するのはAxiom of infinityだけです。
この公理に現れるφが実際に集合であることを保証するために、
既に存在することがわかっている集合wとAxiom schema of specificationを使って
φ＝{ u∈w ; u≠u } として集合φを定義しています。
しかし、既に存在することがわかっている集合はAxiom of infinityから出てくるものしかありません。
Axiom of infinityを述べるためにはφが集合であることを知っておく必要があります。

これは循環論法ではないかと思うのですが…。
どうなんでしょうか？
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 03:19:13.88 ]: ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel_set_theory

申し訳ありません。正しいURLはこちらです。
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 04:31:52.57 ]: >>95
「ｘが空集合である」という論理式を定義するのには、集合の存在は不要。
その定義を満たすｘが存在することを示すときに、
何か集合が一つでも存在していないといけないというだけ。
Axiom of infinity は「ｘが空集合である」という論理式を使っているだけ、
そういう集合の存在は仮定してないので循環論法ではない。
98 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/07(土) 09:15:35.38 ]: すいませんが、
P. Odifreddi, 1989. Classical Recursion Theory と
P. Odifreddi, 1999. Classical Recursion Theory, Volume II
ってcontents見る限り結構内容が被ってそうなんですが、
両者で被った項目は内容もかぶっているんでしょうか？
（1巻だけ所有しています。）
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 09:35:54.45 ]: >>76ですが、

よくよく考えて見ると、

a∧b∧c → (a∨b∨c)

って、恒真式ですし、aもbもcもホーン節なんで
ホーン式なんですよね･･･orz
100 名前：77 mailto:sage [2012/04/07(土) 10:46:47.03 ]: 定義によるけど
aやbやcが正リテラルなことを仮定して回答しちゃいました。
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 11:39:42.50 ]: >>97
御回答ありがとうございます。
なるほど言われてみればその通りでした。
Axiom of infinity ∃X[φ∈X∧∀y(y∈X→S(y)∈X)]
の φ∈X の部分は ∀u[∀v￢(v∈u)→u∈X] と置き換えられるわけですね。
102 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/07(土) 19:09:57.30 ]: どうでもいいけど
メレオロジーってどーなの？
103 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/04/07(土) 19:24:43.40 ]: 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！！
　
　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
104 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/07(土) 20:39:29.94 ]: なにこいつつまんねー
レシュタニフスキの数学が
21世紀には集合論にとって代わるんだろ？
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 21:44:51.60 ]: >>86
かのくるるさんをはじめ、集合論者の中にはそういう部分を疎かにしている人多いよね。
「集合論は論理学ではない」とか大きなことを言うのは、基本を抑えてからにしろよと。
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 22:15:21.61 ]: >>105
佐藤憲太郎さん？
でも僕は「くるる」さんは，佐藤さんよりはるかに，，，と思うよ！
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 00:37:41.67 ]: 佐藤さんってくるるさんに否定的だったの？
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/04/08(日) 01:42:13.85 ]: >>78
>レシニェフスキは確かに集合論のような
>非直感的な形式化に疑問を持ち
レシニェフスキは集合論のどういうところが非直感的と主張したのでしょうか？
109 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/08(日) 07:58:32.31 ]: ブラウンの研究は意味ないがレシュタニフスキのメレオロジーは
優れているとか良くわかんないな。
211.1.212.79/jalop/japanese/ronbun/2003/saito.pdf
レシュタニフスキのメレオロジーも
ブラウンの形式の法則も
ブール代数もすべて同等の理論だっていうのに。
>>108
集合にエレメントが属するって考え方。
唯名論の方がより自然言語に近いと考えた。
しかしいずれにしろ数学的には同じで
クラスの扱いが違うだけ。
クラスの扱いが違う集合論ならURやNFだってそうなのに！
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 08:35:25.63 ]: ZFCが定着した後でそれと同等の体系を提案したって意味はないが、
それ以前に提案してたのなら、色々な経緯でその後ZFCが定着したというだけで、
同等だから意味がないということにはならないと思う。
111 名前：┌∩┐(& ◆yQzN/Kudh5ts mailto:sage [2012/04/08(日) 09:45:26.11 ]: ┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Hey!Fucking!!!
レシュタニフスキ自体が悪い？NO!
レシュタニフスキを発掘したかのようにいう哲学者が悪い！
Fuck!!!!!!!!!
112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 15:00:10.99 ]: メレオロジーはあまり数学科でやる研究という感じじゃないと思う
113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 15:00:39.19 ]: 証明の形式化を（道具として）必要としている限り、
論理学の一部であるというのは必ずしも一般的な意見じゃない。

強制法を使わないと示せない定理は全部論理学の研究成果だというのは無理だと思う。

あと、「集合論は論理学なんかじゃない」、じゃなくて
「論理学に詳しくなくても集合論自体の研究は充分できるし、
実際にそうしている人が多いので自分が集合論を研究しているからといって
論理学研究者だと主張できるわけじゃない」
みたいな言い方だったと思うけどな
114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 17:53:46.53 ]: >必ずしも一般的な意見じゃない
最後にこれ付ければなんでもいえるなｗ
115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 18:51:56.37 ]: >>113
＞強制法を使わないと示せない定理は全部論理学の研究成果だというのは無理だと思う。
強制法を使っても使わなくても Set Thoery 03Exxは
Mathematical logic and foundations 03-XX の一部ですが何か？
116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 19:35:12.67 ]: 集合論は logic ではない。
しかし mathematical logic and foundations の一部である。
これらから導かれる結論は簡単で、集合論は foundations だということだ。
117 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/08(日) 19:40:49.09 ]: 基礎になりえるものであって、基礎そのものではなかろう。
118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 20:22:46.17 ]: >>112
数学科以外でもやる研究ではない状態。
119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/08(日) 21:08:25.76 ]: 上の方で証明論っぽくない再帰函数論なんてあったけど
再帰理論は今では計算論と呼ばれ証明論の基礎になっている。
計算論の終焉は証明論の始まりである、なんて誰だったかの言葉もある。
計算論そのものもTT完全みたいに真理値表だとか論理学
そのものと直接絡み合ってる。
120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/09(月) 03:31:06.36 ]: 「論理学」という言葉で表されているものがはっきりしない。
特に議論を始めた>>80にはそこら辺をはっきりさせて貰いたい。
様相論理とか多値論理とか非古典論理の研究が正真正銘の「論理学」だと言いたいのだろうか？
121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/09(月) 08:05:32.93 ]: 非古典論理の研究が「論理学」で、
集合論や計算論が「基礎論」ってことおk
122 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/09(月) 08:47:25.17 ]: 違う言葉があるから違う意味合いを持たせなきゃいけない、という発想は本末転倒である。
123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/09(月) 13:12:00.11 ]: 正則性公理って、代数・幾何・解析のようないわゆる通常の数学でも使われますか？
124 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/09(月) 18:30:55.36 ]: >>122
>>121は>>115,>>116あたりを受けての>>113への皮肉だと思うが、なんでそんな御バカなレスがつくのやら
125 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/09(月) 19:24:12.84 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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126 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/04/09(月) 20:10:03.39 ]: 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/09(月) 21:01:32.55 ]: >>123
ここには「代数・幾何・解析のようないわゆる通常の数学」の専門家はいないから
いるところで聞いてみた方がいいんじゃないかな？
猫なんかは呼べば来るかも知れないけど。
128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/09(月) 21:14:02.03 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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129 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/09(月) 21:58:50.78 ]: >>124
>>122は>>121へのレスではないことに注意せよ
130 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/09(月) 22:01:32.06 ]: >>124
あと>>113って皮肉るに値するほどおかしいレスかい？
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/09(月) 22:30:18.06 ]: おかしいから皮肉られてる（と思われる）んだろ？
132 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/09(月) 22:34:23.91 ]: >>131
的外れな皮肉もあるからねえ、「皮肉られたものには必ずおかしいところがある」なんて思えない。
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 00:01:01.83 ]: 論理学と数学は本質的には同じものだ、という立場もあるけど、
それは一般的な立場じゃない

数学者の多くはもちろん違うと考えてるし数学者じゃなくて
論理学者や哲学者や計算機科学者でもそうだと思う
134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 00:16:06.32 ]: (Ｐ⊃Ｑ)⊃(～Ｑ⊃～Ｐ)は恒真式で、「(ＰならばＱ)ならば(ＱでなけばＰではない)」が
成立するが、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] は恒真式なのに、
[Ｐならば(ＱかＲ)]ならば[(ＰならばＱ)か又は(ＰならばＲである)] は成立しない！？！
135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 00:21:07.41 ]: >>132
本人乙
136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 00:21:10.03 ]: >>128
俺は、オマエのような奴とは付き合わないｗｗｗｗ
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 02:08:16.48 ]: >>133
君の脳内「一般的」はいいから、>>120に答えてくれんかな？
138 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/10(火) 03:46:08.06 ]: >>137
私も一般的じゃないと思う
139 名前：┌∩┐(& ◆yQzN/Kudh5ts [2012/04/10(火) 07:40:33.68 ]: ┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Hey!Fucking!!!
罵倒し合ってないで数学OR論理学しろよぉ！Fuking!!
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 09:06:54.10 ]: >>120の言う通り意味のはっきりしない主張について
一般的だの一般的でないだの言い合っていても無意味。
噛み合わない議論続けても時間と２ｃｈのリソースの無駄だろう。
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/10(火) 20:50:08.44 ]: 別に正真正銘の論理学なるものがあると言いたいんじゃないし
或る分野が論理学か数学かということに綺麗な一線が引けるという主張もしてないが
論理学の研究としては>120で挙がってるようなものの研究の方が
>80で挙げた分野の研究よりも典型的だろうね

実際世に出ている「論理学」とか"Logic"と名前の付いた本を集めて見てみれば一目瞭然だけどね
142 名前：┌∩┐(& ◆yQzN/Kudh5ts [2012/04/10(火) 20:56:07.24 ]: Fuck!
計算論から論理学を抜いたら何が残るんNENｗ
AKIMASEN NEN!!
143 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/10(火) 23:58:14.63 ]: 論理学入門書で良書発見したんでメモっとく
A Concise Introduction to Mathematical Logic (Universitext) [Paperback]
Wolfgang Rautenberg (Author)
命題論理、述語論理、自然演繹、論理プログラミング、
モデル理論の基礎、不完全性定理の完璧な算術化による証明。
決定不能性に関する定理や証明可能性論理。
相当詳しく最新の話題もあり、Boolosの例の本よりさらに一歩踏み込んでる。
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/11(水) 01:09:46.14 ]: 141は実際世に出ている"Logic"と名前の付いた
　★★学術誌★★
を集めて見てみるべきだな
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/11(水) 05:56:15.97 ]: >>141
Association for Symbolic LOGIC のブックシリーズ Perspectives in LOGIC
ラインナップはこちら
www.aslonline.org/books_perspectives.html
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/11(水) 07:44:07.01 ]: 141はどうせロジックの入門書を幾つか見ただけの自称プロなんだろ。
ジャーナルに載ってる研究論文どころか、
perspectives in logic みたいな専門書とも無縁な自称プロさん乙だなｗｗ
147 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/11(水) 09:39:43.86 ]: >>146
そういうことを自分の学習歴・研究歴を晒さずに言われても説得力はない。
もちろん、説得力のないことを書いても問題はない。
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/11(水) 11:23:46.20 ]: まあまあ。
ジャーナルに載ってる研究論文を読んだことがある程度の
自称プロさんのいうことですから
149 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/11(水) 11:32:43.32 ]: 数理論理学と弁証法論理学
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/11(水) 18:13:41.02 ]: つまりこれまでのすべてのレスが説得力なしということですね。
151 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/11(水) 22:13:34.73 ]: 記号のことについて質問です
本に書いてあった
｢試験に及第するためには、勉強するかカンニングをしなければならないが、カンニングをしないから、勉強しなければならぬ｣
について記号化した場合、自分の予想では
[{Ａ⊃(Ｂ∨Ｃ)}∧～Ｃ]⊃Ｂ
だと思ってました。

しかし、今読んでる本には
Ａ・[Ａ⊃(Ｂ∨Ｃ)]・～Ｃ⊃Ｂ

古い本なので∧が・になってたり、カッコについては置いといて
最初の『Ａ∧』についてどうも理解できません。
教えてください。よろしくおねがいします
152 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/11(水) 22:37:02.52 ]: あなたが日本語で書いた文には一部無意識に省略してしまった部分が
あるということではないかな？
省略しないで書くと次のようになるね（省略されていたのは(3)の部分）
｢(1)試験に及第するためには、勉強するかカンニングをしなければなら
ない。(2)カンニングはしない。(3)試験には及第する。(1)(2)(3)のす
べてを満たすなら、勉強しなければならぬ｣
これを記号化すればほぼ本の答えになるのでは？
153 名前：151 [2012/04/12(木) 08:42:55.52 ]: >>152
ありがとうございます。でも
本の通り書いたので省略はないです。
仮に(1)(2)(3)のす
べてを満たすならという意味を著者がこめてたとしてもよくわからないです
何回も、本を見返したりしました。
自分のカッコの付け方がおかしかったかと思いかえてみたりしましたがわかりません
ありがとうございました
154 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/12(木) 10:03:02.98 ]: >>153
そういうことなら、本の記述が不適切であり、
あなたの「最初の『Ａ∧』についてどうも理解できない」は正しい
反応だと思う。
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/04/12(木) 18:37:06.08 ]: 上の方で議論になっていた、非古典論理より集合論の方が通常の数学に近い、
という話、僕はむしろ逆だと思うけどな。
メタ理論ZFCの中でメタ理論ZFCそのもののモデルを作ったり、
メタ理論に独立な命題を加えたり外したりで、
集合論ではメタ理論を気にしなければいけないので、通常の数学とは毛色が全然違う。
非古典論理ではメタ理論なんて気にもせずに、
群や環などの代数系を扱うのと同じように○○論理の代数系を扱うだけ。
非古典論理の方がずっと普通の数学の匂いがする。
156 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/04/12(木) 19:36:47.85 ]: 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！！！
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/12(木) 19:42:57.33 ]: 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
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　　　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/12(木) 22:45:50.60 ]: >>155
私は非古典論理が代数構造だけ研究しているとは思いません。
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 03:18:50.99 ]: 非古典論理は代数系の研究だけというのはどうかと思うけど
メタ理論を気にしなくていいというのは（ほとんどの場合）確か。
だから大筋としては>>155に同意。
「通常の数学」から奇異の目で見られる一番の原因は
メタ理論を気にしたり独立命題とか扱っているからだと思うので。
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 08:31:27.42 ]: 日本には、小野寛晰先生がいらっしゃるせいか、
非古典論理というと代数というイメージが強いですね。
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 21:51:50.25 ]: 命題論理の完全性について教えてください。

命題論理の演繹が健全であることは、有限の範囲
であれば真理値表を作れば明らかだと思います。

しかし、妥当式ならば演繹が存在するのか?
つまり、証明できるのかと聞かれると途端に
分からなくなります。

古典論理ならば全ての妥当式に演繹が存在するそうですが、
使用する結合記号を限定してしまえば、直観主義論理でも
完全なのでしょうか?

結合記号￢→のみで表される命題が妥当式ならば、
同一律とprinciple of explosionのみを公理とする推論体系で
証明可能なのでしょうか？

たとえば、

((A→((B→C)→C))→((B→C)→C))→(
(A→((B→C)→C))→((B→((A→C)→C))→(
(A→(B→C))→((C→((A→B)→B))→(
(A→(C→B))→((B→(C→A))→(
(A→(B→￢C)))))))))

は、同一律とprinciple of explosionのみで証明可能なのでしょうか?

言い換えれば、結合記号￢→のみで表される命題が妥当式ならば、
￢→⊥の導入と除去のみで証明図が示せるのでしょうか?

もし良ければ、教えてください。
162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 22:10:09.34 ]: でも「通常の数学」からみた場合の集合論の存在意義って
かなりの部分が命題の独立性証明にあると思うけどなあ

それに集合論のひとは案外、外の人が思うよりも
群論や環論の公理系と似たようにZFCの公理系やそのモデルなどを扱っていると思う。
メタ理論と意味論を与える理論の区別をきちんとしていれば、
原理的にはほぼ全てのケースで、集合論における独立性証明を行うときの
メタ理論は弱い自然数論と見做せる。

一方で時相論理とか義務論理とかの研究の興味は
体系の数学的性質にはあまり無いと思う
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 22:12:34.22 ]: 直観主義論理でも完全性は成り立ちますが、
その場合、可能世界意味論などの、古典論理の場合とは異なる意味論を採用しなければなりません

直観主義論理における「妥当式」というのはどういったものを考えていますか？
164 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/13(金) 22:24:45.00 ]: 記号での練習問題がたくさんあって解説も丁寧な本を教えてください

古いのでも新しいのでもたくさんお願いします
165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 22:28:38.57 ]: >>164
Elliott Mendelson　INTRO..MATHEMATICAL　LOGIC
166 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/13(金) 22:40:19.65 ]: >>165
ありがとうございます
これはもしかして英語で書かれてますか？
自分は英語さっぱりわかりません
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 22:45:05.83 ]: 数学書の英語は高校１年生でも楽に読める程度
もちろん、数学的な内容まで楽に理解できるわけではありませんが
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/13(金) 22:49:58.55 ]: >>直観主義論理における「妥当式」というのはどういったものを考えていますか？
それがよく分からないのです。
だから、結合記号￢→のみで表される命題が妥当式ならば
直観主義論理の範囲で証明できるのか？
と言う疑問が沸きました。
169 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/13(金) 22:51:45.72 ]: 自分は中学くらいの英語もよくわかりません！
日本語で書かれたのがいいです
170 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/14(土) 00:01:39.40 ]: >>168
あなたが何に疑問を抱いているか、いまひとつわからないけれども、次の事実はご存知ですか？

パースの論理式と呼ばれる
((A→B)→A)→A
はトートロジーであるが、直観主義論理では証明できない。
（A,Bは異なる命題変数）
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/14(土) 00:07:02.30 ]: >>162
私は非古典論理が時相論理とか義務論理とかだけ研究しているとは思いません。
上で名前の挙がった小野先生の論文を幾つか見られては？
172 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/14(土) 00:15:19.59 ]: >>162
モデル検査などの応用指向で時相論理を研究する人や、
哲学指向の論理学で義務論理を研究する人はそうでしょう。
しかし、様々な代数系の数学的性質を調べるのと同様に、
時相論理や義務論理の数学的性質プロパーに興味をもって
研究している非古典論理研究者もいるのではないでしょうか。
それにどれだけの意義があるかは別問題として。
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/14(土) 00:21:16.87 ]: 二重否定除去　￢￢A　→　A　も結合記号￢→のみで表せますよね？
174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/14(土) 01:46:53.59 ]: >でも「通常の数学」からみた場合の集合論の存在意義って
>かなりの部分が命題の独立性証明にあると思うけどなあ
これって>>86や>>105の言ってる集合論の「論理学」の側面だな
175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/14(土) 01:49:43.98 ]: 非ユークリッド幾何の円盤モデルとかが論理学ならそうだろうね
176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/14(土) 01:59:25.38 ]: 平行線の公理がユークリッド幾何の他の公理から独立という話と、
連続体仮説がZFCから独立という話は全然毛色の違う話だと思うが

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