- 59 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/05(月) 02:58:49.50 ]
- 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
K~ を K の代数的閉包とする。
このとき Aut(K~/K)（過去スレpart4の847）は Z＾に位相群として同型である。
ここで Z＾は有理整数全体の作るアーベル群 Z に付随する副有限群（過去スレpart5の741）である。
証明
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
ψ：K~ → K~ をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
φ = ψ^m とおく。
>>56より K~/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）である。
>>58より各整数 n ≧ 1 に対して [L_n ： K] = n となる K~/K の中間体 L_n で
L_n/K がGalois拡大となるものが一意に存在する。
Aut(L_n/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
>>51より Aut(K~/K) は位相群として lim Aut(L_n/K) と同型である。
これは位相群として Z＾ = lim Z/nZ と同型である。
証明終
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