- 51 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/04(日) 23:38:57.97 ]
- 命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
過去スレpart5の231より G は標準位相（過去スレpart5の216）で位相群となる。
L/K の中間体 M で M/K が有限次の正規拡大となるもの全体を Φ とする。
M_1、M_2 ∈ Φ、M_1 ⊂ M_2 とする。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ Aut(M_2/K) に対して σ(M_1) = M_1 である。
よって、σ の M_1 への制限 σ|M_1 は Aut(M_1/K) の元である。
σ ∈ Aut(M_2/K) に対して σ|M_1 を対応させることにより
準同型 Aut(M_2/K) → Aut(M_1/K) が得られる。
位相群の圏を TopGrp とすれば (Aut(M/K))、M ∈ Φ は
TopGrp における Φ 上の射影系（過去スレpart5の684）である。
ただし、各 Aut(M/K) は離散群（過去スレpart5の712）と見なす。
このとき G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。
証明
過去スレpart5の727より G は標準位相で副有限群（過去スレpart5の705）となる。
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
過去スレpart5の706より G は lim[H ∈ Ψ] G/H に位相群として同型である。
>>50より k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H = g(M)
よって、過去スレpart5の309より G/H は位相群として Aut(M/K) に同型である。
過去スレpart5の212より G/H は離散群（過去スレpart5の712）である。
よって、G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。
証明終
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