- 58 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/05(月) 02:42:31.82 ]
- 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
K~ を K の代数的閉包とする。
ψ：K~ → K~ をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
φ = ψ^m とおく。
>>57より φ ∈ Aut(K~/K)（過去スレpart4の847）である。
このとき、任意の整数 n ≧ 1 に対して [L ： K] = n となる K~/K の中間体 L が一意に存在する。
L/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり
Aut(L/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
ここで φ|L は φ を L に制限したものである。
証明
L = {x ∈ K~；φ^n(x) = x} とおく。
L は K~ の部分体で K を含む。
L は多項式 X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体である。
X^(q^n) - X の導多項式（過去スレpart1の182）は (q^n)X^(q^n - 1) - 1 = -1
よって、過去スレpart4の695より X^(q^n) - X は分離的（過去スレpart4の694）である。
よって、|L| = q^n である。
よって、[L ： K] = n である。
>>52より [L ： K] = n となる K~/K の中間体 L は
X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体と一致するから一意に決まる。
L/K は多項式 X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
X^(q^n) - X は分離的であるから L/K はGalois拡大である。
>>53より Aut(L/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
証明終
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