- 57 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/05(月) 02:19:27.51 ]
- 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
K~ を K の代数的閉包とする。
ψ：K~ → K~ をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
φ = ψ^m とおく。
このとき φ ∈ Aut(K~/K)（過去スレpart4の847）である。
証明
α ∈ K~ のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。
K~ は代数的閉体（過去スレpart4の628）であるから、
任意の β ∈ K~ に対して多項式 X^q - β は K~ において根を持つ。
よって、φ は全射である。
よって、φ は K~ の自己同型である。
>>52より K は多項式 X^q - X の根全体と一致する。
よって、φ は K の元を動かさない。
よって、φ ∈ Aut(K~/K) である。
証明終
